2020哈三中高一期中数学试卷+答案
【文数】2020年哈三中普通高考模拟试卷(一)文科数学_20200331_153537
ìïïíïïîlaogxa
x
2 ，0 ，x >
< 1
x
£
1 在（0，+¥
）为单调递增
函数，则 a 的取值范围为（ ）
A．（1， +¥ ）
B．（1，2）
C． ( 1，2 ]
D． ( 0，2 ]
10． 已知三棱锥 S - ABC 的外接球为球 O，SA 为球 O 的直径，且 SA = 2，若面 SAC⊥面 SAB，
A． p 6
B． p 4
C． p 3
D． 2p 3
4． 函数 f (x) = xa（x ³ 0）， g(x) = loga x ，则 f (x) 与 g(x) 的图象可能为（ ）
A
B
C
D
5． 已知双曲线 x2 - y2 = 1 的右焦点为 F，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂 45
足为 A，O 为坐标原点，则 SV OAF = （ ）
则三棱锥 S - ABC 的体积最大值为（ ）
A． 1 3
B． 2 3
C．1
D．2
11． 已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数，且满足 f (1+ x) = f (1- x) ，已知 x Î [ 0，1 ] 时，
f (x) = ln
x2 + 1 ，若 a =
f (log1 54) , b =
3
2020 年哈尔滨市第三中学普通高 考模拟试题（一）
数 学（文）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 已知集合 A = { x | x > - 1}，B = { - 3，- 2，- 1，0 ，1} ，则 A I B = （ ）
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题． 【详解】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：a Q ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C【解析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-.故选：C本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.5．已知函数1()sin 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】化简()1sin cos 22f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为 ， ，函数 在区间 内恒有 ，所以 ，由复合函数的单调性可知 的单调递减区间 ，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为 ，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出 的底数 的值，由 ，可得到内层函数的值域，再由 恒成立，可得到底数 的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
【答案】D
【解析】A.根据众数和中位数的性质进行判断；
B.根据系统抽样的定义进行判断；
C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
D.根据含有量词的命题的否定进行判断.
【详解】
对于A，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A错误；
对于B，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B错误；
故答案为：
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC的方程；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将给出的条件： ， ， ， 成等比数列用基本量 表示，求解 ，进而得到前 项和 .
黑龙江省哈尔滨市2020版高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
黑龙江省哈尔滨市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i2. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A . 33B . 72C . 84D . 1893. （2分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . f（x）=x与f（x）=B . f（x）=x﹣1与C . f（x）=x与D . f（x）=|x|与4. （2分）(2017·金山模拟) 已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A .B .C . log2x+log2y＞0D . sinx﹣siny＞05. （2分）的展开式中x6y2项的系数是（）A . 56B . -56C . 28D . -286. （2分）已知点A和点B是双曲线x2﹣=1上的两点，O为坐标原点，且满足•=0，则点O到直线AB的距离等于（）A .B .C . 2D . 27. （2分） (2018高二下·通许期末) 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数（）A . -2B . 0C . 1D . -18. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角9. （2分）从写上0，1，2，…，9 十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片数字各不相同的概率是（）A .B .C .D . 110. （2分）抛物线及其在点和处的两条切线所围成图形的面积为（）A .B .C . 2D .11. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（）A . （﹣∞，﹣）B .C .D . （0，+∞）12. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为________．14. （1分） (2018高一下·雅安期中) 如图,在中,D是边BC上一点，AB= ,，则 ________15. （1分）(2017·宝山模拟) 设复数z满足（i为虚数单位），则z=________．16. （1分） (2017高一上·奉新期末) 函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a在（﹣∞，4）上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2012·新课标卷理) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．18. （5分）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（|φ|≤ ）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位得到函数．f（x）= sinωx的图象．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[ ]上的最小值和最大值．19. （10分） (2016高三上·珠海模拟) 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20. （10分） (2016高二下·民勤期中) 已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，m）处的切线方程为y=﹣3x+1（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式．（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．21. （10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1= ，（n∈N*）（1）证明数列是等差数列，并求出通项an．（2）若＜a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an﹣1•an＜，求n的值．22. （5分） (2018高三上·湖南月考) 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2025届黑龙江省哈尔滨市哈三中高一上数学期末综合测试试题含解析
3, b
log 1
2
1 3
,
c
1 2
0.3
，则
A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. b a c
3．已知函数
f
(x)
2x
x2 ，则不等式
f
(2 cos x)
3,
x
2
,
2
的解集为（
）
A.
6
,
6
B.
3
,
3
C.
2
,
6
6
,
2
D.
2
,
3
11、[ 2, 2]
【解析】 f x
1 cosx
1 cosx
2sin2 x 2
2cos2 x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
2sin
x 2
4
，
又
x
0
,
2
，∴
x 2
4
4
， 2
，∴
2sin
x 2
4
2, 2
故答案为 2, 2
12、
0,
1 6
1 3
,
2 3
【解析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由 f x 在区间 , 2 上没有最值可知
，∵
x
R， x
12
R
，∴
1
sin
x
12
1 ，则
f
x 的最大值为 2 ；
∵ 1，∴周期T 2 ；当 x k k Z 时，f x 图象关于某一点对称，∴当 k 0 ，求出 x ，即 f x
数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
哈师大附中2020级高一上期中考试数学试卷第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|0}1x A x x -=≥+，集合{|20}B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{|21}x x -<<-B ．{|21}x x -≤<-C ．{|21}x x -<≤-D ．{|10}x x -≤≤2.函数0()f x =的定义域为（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|3}x x <C ．{|3,1}x x x ≤≠且D ．{|3,1}x x x <≠且 3.若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．22a b >C ．||||a c b c >D ．2211a bc c >++ 4.设a ∈R ，则“38a <”是“11a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +>C ．2a bb a +≥D ．11a b +>6.函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[2,3]7.已知函数()||2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数，单调递增区间是[0,)+∞B ．()f x 是偶函数，单调递减区间是(,1]-∞C ．()f x 是奇函数，单调递减区间是[1,1]-D ．()f x 是奇函数，单调递增区间是(,0]-∞8.已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是( )9.如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10.已知定义域(1,1)-的奇函数()y f x =，当[0,1)x ∈时，函数()f x 为增函数，若(3)f a -+2(9)0f a -<，则实数a 的取值范围为（ ）A.（22,3） B ．（3,10） C ．（22,4） D ．(2,3)-11.已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.2332a << B.213a <≤ C.9a ≥ D.293a <≤12.若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有11122122()()()()x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①2()f x x =；②3()f x x =；③21()21x f x x -=+；④224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置.13.幂函数)(x f y =的图像过点(8,22)，则(9)f =________________．14.函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间,1]-∞（单调递减，则实数a 的取值范围为____________ ． 15. 函数()21f x x x =-+的值域为______________________．16．设函数211()231x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，，,①若()2f x =，则x =____________；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是_____________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知集合2{|}A x a x a =<<，2{|540}B x x x =-+->．（Ⅰ）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+．（Ⅰ）求当0x ≤时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增．19.（本小题满分12分）已知函数2()6f x x ax =-+(0)a >.（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为}32|{<<x x ，求()f x y x=在区间[2,4]的最小值； （Ⅱ）关于x 的不等式1()5f x x a<+. 20.（本小题满分12分）若二函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,3]x ∈时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且128a b +=，若存在,a b 使()2bf t a >+成立，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分12分）在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量12x x 、，若都有（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （Ⅱ）若对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020年高中必修一数学上期中试题附答案
2020年高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)77．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<9．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =11．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．15．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.16．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．17．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）18．关于函数()f x =__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.19．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．三、解答题21．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．22．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围；（2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 23．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．24．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.25．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000． 26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.9．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.11．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.12．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.16．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．17．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=，设t天后体积变为原来的13，即13ktV a e a-=⋅=，即13kte-=，则1ln3kt-=两式相除可得2ln2531ln3kkt-=-，即2lg25lg2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg3t--===≈--，所以68t≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t的方程，求解t的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.18．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f（x ）的定义域可判断①；化简f（x）讨论0＜x≤1﹣1≤x＜0分别求得f（x）的范围求并集可得f（x）的值域可判断②；由f（﹣1）＝f（解析：①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f（x）的定义域，可判断①；化简f（x），讨论0＜x≤1，﹣1≤x＜0，分别求得f（x）的范围，求并集可得f（x）的值域，可判断②；由f（﹣1）＝f（1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f（x）为奇函数，可判断③．【详解】①，由240110x xx⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x≤1且x≠0，可得函数()f x=的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f（x）＝x-，即f（x）＝﹣||xx，当0＜x≤1可得f（x1，0]；当﹣1≤x＜0可得f（x[0，1）．可得f（x）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f（x的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f（﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，即有f（x）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f（﹣1）＝f（1）＝0，则f（x）在定义域上不是增函数，故④错误；故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．（1）(2,3]；（2）2log (12)x =．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质． 22．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4.【解析】 【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫⎪⎝⎭； （2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=，解得4x =或12x =-.【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题. 23．（1）；（2）.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可．【详解】函数是奇函数，，故，故； 当时，恒成立， 即在恒成立，令，，显然在的最小值是， 故，解得：． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 24．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 25．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
2020-2021学年哈尔滨三中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年哈尔滨三中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合M ={x|lgx =0}，N ={x|10x =1}，则M ∪N 等于( )A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,0}2.在中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在线段AM 上且满足，则等于( )A.B.C.D.3.设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=a n 2+a n (n ∈N ∗)，记S n =11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n，则S 10的整数部分为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是( )A. 4元B. 5元C. 3元D. 6 元5.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB =4，AD =3，AA 1=5，∠BAA 1=∠DAA 1=60°则|AC 1|=( )A. √95B. √59C. √85D. √586.在数列{a n }中a 1=14,a 2=15，且a 1⋅a 2+a 2⋅a 3+⋯+a n ⋅a n+1=na 1⋅a n+1，则1a 10+1a 11+⋯+1a 84=( )A. 3750B. 3700C. 3650D. 36007.与函数f(x)=sin(2x)+xx 2的部分图象最符合的是( )A.B.C. D.8.若向量a⃗，b⃗ ，c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，则|a⃗+b⃗ +c⃗|=()A. 0B. 3C. 3或 0D. 1或√39.设函数有三个零点则下列结论正确的是()A. B. C. D.10.若函数是幂函数，则的值为()A. B. C. D.11.函数y=lg(1−x)+lg(1+x)的图象关于()A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 点(1,1)对称12.函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x−π6)的最大值为()A. 65B. 1 C. 35D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(−12,4)，c⃗=(2,−4)，且a⃗//b⃗ ，则向量c⃗在向量a⃗方向上的投影为______ ．14.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则y=f(x)+cos(ωx+7π12)的增区间是______ ．15.在△ABC中，AB=2,AC=4,∠BAC=2π3，AD为BC边上的中线，则AD=______．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2，则S3等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，(1)已知a 1=1，d =2，n =15，求a n 和S n ； (2)已知a 1=−13，d =2，a n =7，求n 和S n ； (3)已知a 1=8，n =5.a n =12，求d 和S n ； (4)已知a n =2，n =12，S n =90，求a 1和d ．18. 已知sin(π2+α)=−35α∈(0,π)， (1)求sin(α2) (2)求cos(2α−3π4)19. 已知公差不为零的等差数列{a n }，满足a 1+a 3+a 5=12，且a 1，a 5，a 17成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =a n 2+1a n2−1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n −n <32．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4) (1)若m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1，求sin(−2x +π6)的值；(2)记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，求函数f(A)的取值范围．21. 已知函数f(x)=(x −1)e x +ax 2．(1)当a =0时，求函数f(x)的图象与直线y =1的交点个数； (2)若f(x)有两个零点 (i)求a 的取值范围；(ii)x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明x 1+x 2<0．22. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C 2的极坐标方程为θ=π4(p ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(Ⅰ)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(Ⅱ)求弦AB的长度．23.已知函数f(x)=|x|，且关于x的不等式f(x−a)<b的解集为(−1,3)．(1)求实数a，b的值；(2)证明：f(2x−a)+f(x−b)≥3．2【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵M={1}，N={0}，∴M∪N={0,1}．故选：C．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了对数和指数的运算性质，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题主要考查向量的数量积．解：由题知P为△ABC重心，则.则，故选A．3.答案：B解析：解：∵数列{a n}满足a1=13，a n+1=a n2+a n=a n(a n+1)(n∈N∗)，∴1a n+1=1a n(a n+1)=1a n×1a n+1=1a n−1a n+1，∴1a n+1=1a n−1a n+1，∴S10=1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1a10−1a11=1a1−1a11，∵a1=13，a2=19+13 =49，a3=1681+49=5281，a4=27046561+5281>1，。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。
2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II 卷答题纸上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ） A.iB.1-C.i -D.12.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法3.平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A.255B.45 C. 55 D. 154.如图是一个由正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1和正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB 1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球表面的最小距离是（ ） A. 6243- B. 6(32)- C. 6(21)-D. 6(31)-5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B-的取值范围是（ ）A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 6.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若αα⊥b a ,//，则b a ⊥ B. 若b a =⋂=⋂γβγαβα,,//，则b a //C. 若αβα⊥a ,//，则β⊥aD. 若γβγα⊥⊥,，则βα⊥a ,// 7.平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，060=∠BAD ，Q 为CD 中点，点Р在对角线BD1上，且BD BP λ=，若BQ AP ⊥，则=λ（ ） A.14B.12C.23D.348.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，60ABC =∠︒，12AA AB ==，1BC =，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A.1010B.31020C.31010 D. 10209.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被1分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.15B.25C.35 D. 4510.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点， 再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成 的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（ ）A.112+πB.3+π C. 2+πD. 11+π11.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80︒，P 为α，β外一定点，过点P 的一条直线与α和β所1成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，11则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 13.6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A.23B. 2C. －2D. 23-14.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点(－1,0)的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共80分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.16.6(12)(2x -的展开式中2x 的系数为________.（用数字作答）17.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.18.已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________.①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（本题满分12分）在①cos 13sin b B a A+=，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积. 20.（本题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业 加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障 抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管 理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,， [)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加1A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n ()*2,n n N ≥∈个该型号口罩构成.假1定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2nπ，2cosn nπ，记甲、乙两人抢购1成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .①求X 的分布列及数学期望()E X ；②求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.21.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角 形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点. （1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 22.（本题满分12分）（1）已知()2112n x +-的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求n 的值.（2）记()212210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，①求0121n a a a +++⋅⋅⋅+；②设()2kk k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅.23.（本题满分12分）设,a b ∈R ，b 为常数，*,2n N n ∈≥，函数(),n f x x ax b x R =-+∈， （1）设3n =，①已知2,1a b ==，求函数f (x )的所有极值的和；②已知0a >，02b <<，函数f (x )在区间[0,1]上恒为非负数，求实数a 的最大值；并判断a 取最大值时函数()f x 在R 上的零点的个数；（2）求证：无论,a n 如何变化，只要函数()f x 同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和1就是与,a n无关的常数.绝密★启用前 试卷类型A哈尔滨市第三中学2020—2021学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。