【数学】哈三中2020级高一新生入学摸底试题+答案!
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.已知a⃗=(3,4)，|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗·b⃗ 的值是()A. 7B. 12C. 5D. 254.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为163，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为()A. 2√3B. 2√5C. 2√10D. 2√156.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测7.某一算法框图如图，输出的S值为()A. √32B. −√32C. √3D. 08. 函数f(x)=3sin(ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )A. (76,136]B. [76,136)C. (56,116]D. [56,116)9. 若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为( )A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)10. 在三棱锥A −BCD 中，ΔBCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 8111. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(2x +1)，则f(−12)等于( )．A. log 23B. log 25C. 1D. −112. 如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C和y 轴分别交于点A ，B ，E 为准线l 上一点，且|AF|=|AB|=|AE|，则△BEF 的面积为( )A. 2√3B. 3√22C. 3√2D. 2√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=−34，则cos2α=______．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≤4x≥0y≥0，则z=x−3y的取值范围为_________．15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=2asinB，则∠A=______．16.设函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设各项均为正数的数列{a n}满足4S n=(a n+1)2(n∈N∗)．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n⋅a n+1，n∈N∗，求b n的前n项和T n．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87919.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N，SA=AD．(1)求证：SC⊥MN；(2)若SA=2，求三棱锥M−ANC的体积．20. 椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y =1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点，若|AB|=2√2，O 为坐标原点，OC 的斜率为√22，求m ，n 的值．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a(a ∈R ).(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，a ∈(1,e −1]，求g(x)的极小值ℎ(a)的值域．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)，定点A(0,−√3)，F 1、F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|⋅|F1N|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解． 解：∵集合A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x <3}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题． 利用数量积的定义即可得出． 解：∵a⃗ =(3,4)，∴|a ⃗ |=5． 又|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5×2×12=5． 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题．解：当x>2时，x+1>3，ln(x−1)>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)=(x+1)ln(x−1)>0，且随着x→+∞时，f(x)→+∞，故排除A、C；当x<−1时，，x+1<0，|x−1|>2，ln|x−1|>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)<0，故排除D．故选B．5.答案：C解析：本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解得】解：由题意可得e=ca =√52，a2+b2=c2，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB=2aba2−b2，设FB⊥OB，则F到渐近线y=bax的距离为d=b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为12⋅a⋅atanθ=a3ba2−b2=163，解得a=2√2,b=√2,c=√10，则2c=2√10，故选C．6.答案：A解析：本题考查了简易逻辑推理，属于基础题．分别假设甲，乙，丙预测正确，再根据其他人预测错误逐个判断各人的名次．解：(1)若只有甲预测正确，则甲为第一名或第二名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第二名，于是丙为第三名，故丙预测正确，矛盾；(2)若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第三名，于是丙为第二名，乙为第一名．故选A．7.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y=sin nπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查函数的零点存在性问题，涉及三角函数的图像及性质的应用，属于中档题目．解：∵x∈[0,π]，ω>0，，∵函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点， ∴π≤ωπ−π6<2π，解得76≤ω<136．故选B ．9.答案：A解析：解：若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a ，在R 上是单调函数，由y =lgx ，x >a 是增函数， 所以{a −1>01+lga ≥(a −1)a −88，当a >1时，lga −a 2+a +89>0，画出函数y =1+lga ， 以及y =a 2−a −88的图象如图： 可得，a ∈(1,10]． 故选：A ．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．由题意画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当△ABC 为等边三角形时，三棱锥A −BCD 的体积取最大值，则答案可求． 解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=√3．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=√15，∴DG=√15−3=2√3．则DE=3√3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A−BCD的高为3√3．∴三棱锥A−BCD的体积的最大值为V=13×12×6×3√3×3√3=27．故选C．11.答案：D解析：解：∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−x)=−f(x)，∴f(−12)=−f(12)=−log2(2×12+1)=−1．故选：D．由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−12)=−f(12)，由此可解得f(−12)的值．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．12.答案：B解析：本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题．根据抛物线的性质，求出a值，即可计算三角形的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1．设E(−1,2a)，则A(a 2,2a)，由中点公式可得B(0,4a)，故2a 2=1，解得a =√22， 故E (−1,√2)，B(0,2√2)， ∴直线BF ：2√2x +y −2√2=0，故可得点E 到直线BF 的距离d =√2+√2−2√2|√(−2√2)2+1=√2，又|AB|=√(0−1)2+(2√2−0)2=3，∴△BFE 的面积为12×3×√2=3√22． 故选B ． 13.答案：725解析：解：∵tanα=−34，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−9161+916=725， 故答案为：725．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.答案：[−2,4]解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x −y ≥1x +y ≤4x ≥0y ≥0作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =1，解得A(52,32)， 联立{y =0x +y =4，解得B(4,0)， 由图可知，当目标函数z =x −3y 过A 时，z 有最小值为−2；当目标函数z =x −3y 过B 时，z 有最大值为：4．故答案为：[−2,4]．15.答案：π6解析：解：∵b =2asinB ，∴sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =12，∵A 为锐角，∴A =π6， 故答案为：π6根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，以及解三角形，属于基础题． 16.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x (2x −3)−a 2x 2+ax ，∴f′(x)=e x (2x −1)−ax +a ，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x (2x −1)与ℎ(x)=a(x −1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x (2x +1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)，由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)，可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知，得DC⊥SA，DC⊥DA，又SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，∴DC⊥平面SAD，∵AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA =AD ，M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD ，又AM ⊥DC ，SD ∩DC =D ，DC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ，∴SC ⊥AM ．由已知SC ⊥AN ，则SC ⊥平面AMN ．∵MN ⊂平面AMN ，∴SC ⊥MN ；(2)解：由题意可知，在Rt △SAC 中，SA =2,AC =2√2,SC =2√3，由SA ⋅AC =SC ⋅AN ，可得AN =√22√3=√2√3， 则CN =2−AN 2=4√33，∴CN SC =4√332√3=23， 故三棱锥M −ANC 的体积V =12V D−ANC =12V N−ACD =12×23V S−ACD =(13)2×12×2×2×2=49．解析：(1)由已知利用线面垂直的判定可得DC ⊥平面SAD ，得到AM ⊥DC.再由已知得到AM ⊥SD ，可得AM ⊥平面SDC ，从而得到SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，利用线面垂直的判定可得SC ⊥平面AMN.则SC ⊥MN ； (2)由已知求解三角形得到AN ，进一步求得CN ，得到CN SC =23，然后利用等积法求三棱锥M −ANC 的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.答案：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将A ，B 点坐标代入方程得：mx 12+ny 12=1，mx 22+ny 22=1，两式相减得：m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，{x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0， mx 0+ny 0⋅y 1−y0x 1−x 0=0， ∴mx 0+ny 0k OC =0，m =−ny 0x 0⋅k OC =−n ×√22×(−1)=√22n ，即n =√2m ，∴椭圆mx 2+√2my 2=1联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +1，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0， x 1+x 2=√2√2+1，x 1x 2=√2m−1√2+1，2√2=|AB|=√2⋅(6√2√2+1)−49√2m−1√2+1，解得m =13,n =√23．解析：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由点差法得m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，得n =√2m ，椭圆mx 2+√2my 2=1，联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +3，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0，由椭圆弦长公式能求出m ，n 的值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用． 21.答案：解：(1)因为f(x)=x −lnx −a ，所以f′(x)=1−1x =x−1x ，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(1)=1−a ．①当a <1时，f(x)无零点；②当a =1时，f(x)有一个零点； ③当a >1时，因为f(e a )=e a −2a >0，f(1e )=1e>0，f(1)=1−a <0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，所以g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a ．由(1)可知当a ∈(1,e −1]时，f(x)有两个零点x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，同时x 1，x 2也是F(x)=e x−a −x 的两个零点，且在定义域内f(x)与F(x)的符号完全相同， 所以g(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，所以g(x)的极小值为ℎ(a)=g(x 2)=e x 2−a −x 2lnx 2+(1−a)x 2．因为x 2满足e x 2−a −x 2=0，所以a =x 2−lnx 2，则ℎ(a)=g(x 2)=x 2−x 2lnx 2+(1−x 2+lnx 2)x 2=2x 2−x 22． 因为a =x 2−lnx 2∈(1,e −1]，所以x 2∈(1,e]，所以ℎ(a)=g(x 2)∈[2e −e 2,1)．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题，(1)求出f′(x)=1−1x =x−1x ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．(2)通过g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，求出g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a.通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．22.答案：解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)， ∴普通方程为C ：x 24+y 23=1，A(0,−√3)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，k AF 2=√3，直线l 的方程为y =√3(x +1)，∴直线l 极坐标方程为：ρsinθ=√3ρcosθ+√3，化为2ρsin(θ−π3)=√3．(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，∴t 1t 2=−125．∴|F 1M|⋅|F 1N|=|t 1t 2|=125．解析：(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C 的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)，代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，利用参数的意义即可得出．本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m +4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2020年哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题1.已知全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，{|0}5xB x x =<-，那么集合()UC A B ⋂=（ ）A. {}14x x -≤≤B. {}04x x <≤C. {}05x x <<D.{}15x x -≤<【答案】B 【解析】 【分析】先分别解不等式2340x x -->和05xx <-,再求得UA ,进而根据交集的定义求解即可.【详解】由题,2340x x -->,解得4x >或1x <-,则{}U|14A x x =-≤≤,05xx <-,解得05x <<,即{}|05B x x =<<, 所以(){}U|04A B x x ⋂=<≤,故选:B【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解一元二次不等式和分式不等式,考查运算能力.2.i 为虚数单位，满足2i z i ⋅=+的复数z 的虚部是（ ） A. 1 B. iC. 2-D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】整理z 为a bi +的形式,即可得到结果. 【详解】由题,因为2i z i ⋅=+,所以()22212i ii z i i i ++===-,故选:C【点睛】本题考查复数的虚部,考查复数的除法运算,属于基础题.3.34x ⎫⎪⎪⎝⎭-的展开式中的常数项为（ ）A. -B.C. 9-D. 9【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式)()()33246241331rrrrr r r r r T C xCx ----+++=-=-,令6240r r -++=,进行求解.【详解】由题,因为)()()33246241331rrrrr r r r r T C x Cx ----+++=-=-,所以令6240r r -++=,解得1r =,所以常数项为()3111319C --=-,故选:C【点睛】本题考查二项式展开式中的常数项,属于基础题.4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）B. 1D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ,则母线长为2r ,,由同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解. 【详解】由题,设圆锥的底面半径为r ,因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为2r ,,因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,所以()2133V r ππ=⨯=,解得r =,所以母线长为故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.5.某商场每天的食品销售额x （万元）与该商场的总销售额y （万元）具有相关关系，且回归方程为ˆ9.7 2.4yx =+.已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为（ ）. A.110B.19C.18D.17【答案】A 【解析】 【分析】将8x =代入ˆ9.7 2.4yx =+中即可得到该商场平均每天的总销售额,进而求比即可. 【详解】由题,当8x =,9.78 2.480y =⨯+=, 所以比值为818010=, 故选:A【点睛】本题考查线性回归方程的应用,属于基础题.6.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3S 是4S 与5S 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A. 2- B. 12-C. 12-D. 2-或1【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项可得3452S S S =+,整理可得4520a a +=,进而根据等比数列的定义求解即可. 【详解】由题,因为3S 是4S 与5S 的等差中项,所以3452S S S =+,即()()()1231234123452a a a a a a a a a a a a ++=++++++++,所以4520a a +=, 所以542a q a ==-, 故选:A【点睛】本题考查求等比数列的公比,考查等差中项的应用.7.某地区有10000名高三上模拟考试，其中数学分数服从正态分布()120,9N ，成绩在(117,126]之外的人数估计有（ ）（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=）A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人【答案】A 【解析】 【分析】由120μ=,3σ=可得()()11712612031206P X P X <≤=-<≤+,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.【详解】由题,120μ=,3σ=,()()()1117126*********.95450.95450.68270.81862P X P X <≤=-<≤+=-⨯-=,所以()11171260.1814P X -<≤=, 所以100000.18141814⨯=人, 故选:A【点睛】本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的3σ区间及对称性求概率.8.以()1F ，)2F 为焦点的椭圆与直线0x y -+=有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为（ ）A. 22164x y +=B. 2213x y +=C. 22153x y +=D.22142x y += 【答案】C 【解析】 【分析】设222212x y a a +=-()22a >,与直线方程联立可得()2222422100a x x a a -++-=,由有公共点,则满足0∆≥,进而求解即可.【详解】由题,设椭圆方程为222212x y a a +=-()22a >,与直线0x y -+=联立可得()2222422100a x x a a -++-=,令()()()22224422100a a a ∆=---≥,解得25a ≥或22a ≤（舍去）,故2a 的最小值为5, 故选:C【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p =（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】C 【解析】 【分析】若该同学射箭3次射中多于1次,即射中2次或3次,有()22333310.784C p p C p -+=,进而求解即可.【详解】由题,()22333310.784P C p p C p =-+=,解得0.7p =, 故选:C【点睛】本题考查独立重复事件的概率,考查二项分布的应用.10.已知函数2log y x =和函数2log (2)y x =-的图象分别为曲线1C ，2C ，直线y k =与1C ，2C 分别交于M ，N 两点，P 为曲线1C 上的点.如果PMN 为正三角形，则实数k 的值为（ ）A. ()2log 1-B. ()2log 1--C. ()121-D.()121--【答案】B 【解析】 【分析】由y k =可求得M x ,由两曲线可知2MN =,即可求得点P 坐标,再由正三角形PMN 的性质可得P y k =,进而求解.【详解】由题可知,当y k =时,2log k x =,则2k x =,即2kM x =,由曲线1C ,2C 可得2MN =,所以P()()221,log 21kk ++,又PMN 为正三角形,所以P y k =,所以()2log 21=+kk ,解得()2log 1k =--,故选:B【点睛】本题考查指数式与对数式的应用,考查对数函数图象的应用,考查运算能力. 11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是（ ） A.13B.14C.15D.16【答案】B 【解析】 【分析】由最大点数与最小点数之差为3可得最大点数与最小点可能为()1,4,()2,5,()3,6,由每次骰子的点数可能的情况为6种,当两点数组合为()1,4时,第三个数可取1,2,3,4,则对选出的3个数全排列,再减去重复的情况,其他两组同理,进而求解. 【详解】由题可知,因为最大点数与最小点数之差为3,则最大点数与最小点可能为()1,4,()2,5,()3,6,则()3346316664A P ⨯-⨯==⨯⨯,故选:B【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查排列的应用,考查分析能力.12.已知函数()11,0ln()1,0x x f x ex x x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()()()200f x mf x n n -+=≠⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数解,则23m n +的取值范围（ ） A. (2,6) B. (6,9)C. (2,12)D. (4,13)【答案】C 【解析】 【分析】先画出()f x 的图象,设()t f x =,由图象可转化问题为()1f x t =有3个解,()2f x t =有4个解,则分别讨论①10t =,()20,1∈t ；②()11,2t ∈,()20,1∈t ；③11t =,()20,1∈t ,再利用线性规划求解.【详解】由题,当0x ≤时,(),102,212,2x x f x x x x x --<≤⎧⎪=+-<≤-⎨⎪--≤-⎩；当0x >时,()()()22ln 1ln ex ex exex f x x x ⋅--'==, 当()0,1x ∈时,()0f x '>；当()1,x ∈+∞,()0f x '<, 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, 所以()()max 12f x f ==,当0x →时,()ln ex →-∞,则()f x →-∞；当x →+∞时,()ln 0ex x→,则()1f x →, 画出()f x 的图象,如图所示,因为()()()200f x mf x n n-+=≠⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数解,设()t f x=,则()200t mt n n-+=≠,设12,t t为方程()200t mt n n-+=≠的解,则由图象可知()1f x t=有3个解,()2f x t=有4个解,①10t=,()20,1∈t,将1t=代入方程中可得0n=,与条件矛盾,舍去；②()11,2t∈,()20,1∈t,设()2g t t mt n=-+,则()()()001020ggg⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即10420nm nm n>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,则可行域如图所示,设23z m n=+,即2133n m z=-+,平移直线2133n m z=-+,与点B相交时截距最小,与点A相交时截距最大, 因为点()10B,,点()3,2A,所以()232,12m n+∈；③11t=,()20,1∈t,则()()0010012ggm⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<<⎩,即1002nm nm>⎧⎪-+=⎨⎪<<⎩,则可行域如图所示,即为线段CB,平移直线2133n m z=-+,与点B相交时截距最小,与点C相交时截距最大,因为点()10B,,点()2,1C,所以()232,7m n+∈,综上,()232,12m n+∈,故选:C【点睛】本题考查由零点个数求参数范围,考查利用线性规划求范围,考查利用导函数判断函数图象,考查转化思想、分类讨论思想和数形结合思想.第Ⅱ卷二、填空题13.已知函数()54cos cos6f x x x mπ⎛⎫=--⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.【答案】0,23⎡⎣【解析】【分析】转化问题为函数()54cos cos6g x x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭与y m=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点,进而求解即可.【详解】由题,因为函数()54cos cos 6f x x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点, 所以设()54cos cos 6g x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则函数()54cos cos 6g x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与y m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点, 因为()514cos cos 4sin cos 22sin 22sin 2623g x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则设23t x π=-,2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2sin y t =则当,32t ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,函数单调递增；当2,23t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数单调递减,当23t π=时,0y =；当2t π=时,2y =3t π=-时,y =-所以0,2m ⎡∈⎣,故答案为: 0,2⎡⎣【点睛】本题考查由零点的个数求参数范围,考查利用三角恒等变换化简,考查转化思想和运算能力.14.已知点P 为圆()()22681x y -+-=上任一点，1F ，2F 分别为椭圆22143x y +=的两个焦点，求12PF PF ⋅的取值范围______. 【答案】[80,120] 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得焦点()11,0F -,()21,0F ,由点P 在圆上可设()6cos ,8sin P θθ++,求得1PF ,2PF ,进而利用三角函数的性质求解即可.【详解】由题,椭圆的焦点为()11,0F -,()21,0F , 设点()6cos ,8sin P θθ++,则()17cos ,8sin PF θθ=----,()25cos ,8sin PF θθ=----, 所以()()()()127cos 5cos 8sin 8sin 10012cos 16sin PF PF θθθθθθ⋅=----+----=++()10020sin θϕ=++,3tan 4ϕ=, 因为()[]sin 1,1θϕ+∈-, 所以[]1280,120PF PF ⋅∈, 故答案为:[]80,120【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查椭圆的几何性质的应用,考查三角函数的应用. 15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，1A ，2A 是实轴顶点，以12A A 为直径的圆与直线0bx cy bc +-=在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e 的取值范围是______.【答案】12+⎭【解析】 【分析】根据题意坐标原点到直线0bx cy bc +-=的小于a ，得到,,a b c 不等量关系，结合,,a b c 关系，得出e 的范围，再由直线0bx cy bc +-=与y 轴交点()0,b 在以12A A 为直径的圆外，得到b a >，进而求出结论.【详解】直线0bx cy bc +-=化为1x yc b+=， 与坐标轴交于()0,b 和(),0c ,以12A A 为直径的圆是以原点为圆心,半径为a 的圆, 该圆与直线0bx cy bc +-=在第一象限有两个不同公共点，所以()0,b 在圆外，得,1,b b a e a >∴>=>， 坐标原点到直线0bx cy bc +-=距离小于半径a ， 即d a =<,因为222b c a =-,则整理可得422430c a c a -+<， 42310e e -+<，解得23322e -+<<，又12e e +><<，故答案为:⎭【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查直线与圆的位置关系的应用,考查运算能力. 三､解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c +=. （1）若2sin sin cos2AB C =，求C 的大小；（2）若AC 边上的中线BM 的长为1ABC 面积的最大值. 【答案】（1）6C π=（2）2【解析】 【分析】（1）由余弦定理表示cos A,代入cos b A c =中,整理可得6B π=，利用降幂公式整理可得11cos sin 22A C +=,然后得sin 13C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即可求得角；（2）延长线段BM 至D ,满足BM MD =,联结AD,在ABD △中,设AD a =,AB c =,由余弦定理可得(222412a c ac ⎛+=+- ⎝⎭,再利用均值不等式可得ac 的最大值,进而求解.【详解】由cos b A c =,根据余弦定理222cos 2b c a A bc+-=, 所以22222b c a b a c bc +-⋅+=,即222b a c=+,所以222cos 2a c b Bac +-==, 由0B π<<,则6B π=,（1）因为2sin sin cos2AB C =, 所以11cos sin 22AC +=,即51cos 16sin 22C C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,则1sin 1sin 2C C C =+,即1sin 12C C +=,则sin 13C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由0C π<<,即32C ππ+=,则6C π=（2）如图延长线段BM 至D ,满足BM MD =,联结AD ,在ABD △中,()2213BD BM ==+,AD a =,AB c =,56BAD B ππ∠=-=, 由余弦定理可得2222cos BD AD AC AD AC BAD =+-⋅⋅∠, 即()22234132a c ac ⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为222a c ac +≥, 所以()()2223413223a c ac ac ⎛⎫+=+--≥+ ⎪ ⎪⎝⎭,则()()241323ac +≥+,即8ac ≤,当且仅当a c =时等号成立,那么11111sin 8222222ABC S ac B ac ==≤⨯⨯=△,当且仅当4a c ==时等号成立, 则ABC 面积的最大值为2.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用,考查利用均值定理求最值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1AD CD ==，120ADC =∠︒，3PA AB BC ===，点M 是AC 与BD 的交点.（1）求二面角A PC B --的余弦值；（2）若点N 在线段PB 上且//MN 平面PDC ，求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（17（2）14【解析】【分析】（1）在ACD 中,由AD CD =可得6DAC DCA π∠=∠=,由余弦定理可得3AC =,则3BAC π∠=,可得AB AD ⊥,以直线,,AB AD AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面PAC 和平面BCP 的法向量,进而利用向量的数量积求解即可；（2）先求得平面PCD 的法向量,由点N 在线段PB 上得BN BP λ=()01λ≤≤,解得点N 的坐标,即可得到MN ,再由0MN a ⋅=求得λ,代回MN ,进而利用向量的数量积求解即可. 【详解】（1）在ACD 中,222cos1201113AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=++=,因为AD CD =,所以6DAC DCA π∠=∠=,在ABC 中,3AB BC AC ===,所以ABC 是等边三角形,则3BAC π∠=,所以2BAD π∠=,即AB AD ⊥,因为PA ⊥平面ABCD ,所以分别以直线,,AB AD AP 为x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间直角坐标系,则()0,0,0A ,()3,0,0B,33,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0D ,(3P ,33,,044M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, 则33,02AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(3AP =,33,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,(3,0,3BP =-,设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即111330230x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,令1x =则11y =-,10z =,则()3,1,0m =-设平面BCP 的法向量为()222,,n x y z =,则00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2222302x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 令2x =,则21y =,2z =则()31,3n =,则cos ,7m n ==, 所以二面角A PC B--的余弦值为7（2）设平面PCD 的法向量为(),,a x y z =,因为33,22PC ⎛=⎝且(0,1,PD =, 则00a PC aPD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即302x y y +-=⎨⎪-=⎩, 令3y =,则1x =-,1z =,则()1,3,1a =-,设()000,,N x y z 且BN BP λ=()01λ≤≤,则()(00,λ=xy z ,即0000x yz ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,则)N,所以3,4MN ⎫=-⎪⎭,因为0MN a ⋅=,=,则34λ=, 所以30,4MN ⎛=-⎝, 因为平面PAC 的法向量()3,1,0m =-,则314cos ,3422m MN ==⨯,所以直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为14【点睛】本题考查空间向量法求二面角、线面角,考查运算能力.19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品.并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A ，“箱中有i 件非优质产品”为事件()0,1,2i B i =. （1）求()0P A B ，()1P A B ，()2P A B ；（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X 为非优质产品的盒数，求X 的分布列及期望；（3）若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效. 【答案】（1）()01P A B =，()145P A B =，()21219P A B =（2）见解析，38475（3）该方案无效. 【解析】 【分析】（1）()i P A B 表示在“箱中有i 件非优质产品”的前提下“买下所查看的一箱粉笔”的概率,分别求得结果数,再由古典概型的概率公式求解即可；（2）由每箱含有0,1,2盒非优质产品粉笔的概率为0.7,0.2和0.1可得X 可能的取值为0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,进而求得期望； （3）由()()()()()0000665877P A B P B P AB P B A P A P A ===,即为方案中箱中每盒粉笔都是优质产品概率；随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为0.7,进而使得期望差与10比较即可判断.【详解】解:（1）由已知()01P A B =,()419142045C P A B C ==,()41824201219C P A B C ==（2）X 可能的取值为0,1,2, 所以()4419184420208770.100.57.2900P X C C C C ==+⨯+⨯=,()31319218442020700.10.12950P X C C C C C +⨯===⨯,()2221842030.1925C C C P X ===⨯,所以随机变量X的分布列为:所以87770338012950950950475EX =⨯+⨯+⨯=. （3）由（1）知,()()8770950P A P X ===,按照设计方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为()()()()()()0000665877P A B P B P AB P B A P A P A ===, 因为6651001000.710877⨯-⨯<,所以该方案无效. 【点睛】本题考查条件概率的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查利用期望判断方案的有效性,考查数据分析能力.20.已知函数()22ln f x x mx x =++.（1）讨论()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）若对0x ∀>，()2230xf x e x --≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）证明：若()0,x ∈+∞，不等式()21110xe x e x x+-++-≥成立. 【答案】（1）当4m <-时，函数()f x 有两个极值点；当4m ≥-时，函数()f x 没有极值点（2）22m e ≤+（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得()()22222,0,x mx f x x m x x x++'=++=∈+∞,转化问题为()222x x mx ϕ=++的变号零点个数,分别讨论44m -≤≤,4m <-,4m >的情况即可；（2）转化问题为2222ln x x e x m x +-≤在()0,∞+上恒成立,设()2222ln x x e xg x x+-=,利用导函数求得()g x 的最小值,进而求解；（3）由（2）可得()21ln 0xe x x e x ++--≤恒成立,即()21ln xe x e x x +-+≥,则欲证()2111x e x e x x +-+≥-,只需证1ln 1x x ≥-,设()1ln 1h x x x=-+,进而利用导函数求得()h x 的最小值大于等于0即可.【详解】（1）解:由题,()()22222,0,x mx f x x m x x x++'=++=∈+∞设()222x x mx ϕ=++,令()0x ϕ=,即方程2220x mx ++=,216m ∆=-,当44m -≤≤时,2160m ∆=-≤,则()0f x '≥,此时()f x 没有极值点； 当4m <-时,>0∆,设方程2220x mx ++=两根为1x ,2x ,不妨设12x x <, 则1202mx x +=->,121x x ⋅=,则120x x <<, 当10x x <<或2x x >时,0f x ；当12x x x <<时,0fx ,此时1x ,2x 是函数()f x 的两个极值点,当4m >时,>0∆,设方程2220x mx ++=两根为3x ,4x , 则3402mx x +=-<,341x x ⋅=,所以30x <,40x <, 所以当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 没有极值点,综上,当4m <-时,函数()f x 有两个极值点；当4m ≥-时,函数()f x 没有极值点. （2）解:由题,()222232ln 230xxf x e x x mx x e x --=++--≤在()0,∞+上恒成立,则22ln 220x mx x e x +--≤在()0,∞+上恒成立,即2222ln x x e x m x +-≤在()0,∞+上恒成立,设()2222ln x x e xg x x+-=,则()()()()222211ln 211ln x xx x e x x x e x g x xx⎡⎤-+++⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦'==,因为10x x e ++>,当()0,1x ∈时,()0g x '<,则()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞,()0g x '>,则()g x 单调递增； 所以()()min 122g x g e ==+, 所以22m e ≤+（3）证明:由（2）知22m e =+,所以()21ln 0xe x x e x ++--≤恒成立,即()21ln xe x e x x +-+≥,欲证()2111xe x e x x+-+≥-, 只需证1ln 1x x≥-, 设()1ln 1h x x x =-+,则()21x h x x-'=, 当()0,1x ∈时,()0h x '<,则()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,则()h x 单调递增, 所以()()10h x h ≥=,即1ln 1x x≥-, 所以当()0,x ∈+∞时,不等式()21110xe x e x x+-++-≥成立. 【点睛】本题考查利用导函数讨论极值点的个数,考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查分类讨论思想、转化思想和运算能力.21.过x 轴正半轴上一点(),0M m 做直线与抛物线2:E y x =交于()11,A x y ，()22,B x y ，()120y y >>两点，且满足02OA OB <⋅<，过定点()4,0N 与点A 做直线AC 与抛物线交于另一点C ，过点()4,0N 与点B 做直线BD 与抛物线交于另一点D .设三角形AMN 的面积为1S ，三角形DMN 的面积为2S . （1）求正实数m 的取值范围；（2）连接C ，D 两点，设直线CD 的斜率为0k ； （ⅰ）当43m =时，直线AB 在y 轴的纵截距范围为84[,]33--，则求0k 的取值范围； （ⅱ）当实数m 在（1）取到的范围内取值时，求21S S 的取值范围. 【答案】（1）()1,2m ∈（2）（ⅰ）12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（ⅱ）()2,4 【解析】 【分析】（1）设过点(),0M m ()0m >的直线为x ty m =+,与抛物线联立可得20y ty m --=,利用韦达定理可得12y y m =-,则可得212x x m =,代入OA OB ⋅中,进而由()0,2OA OB ⋅∈求解即可；（2）（ⅰ）设过点()4,0N 的直线为14x t y =+,过点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线243x t y =+,分别与抛物线联立,利用韦达定理和直线的斜率公式可得3ABCDk k =,根据直线AB 在y 轴的纵截距范围为84,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,即可求得AB k 的范围,进而得到0k ,即CD k 的范围；（ⅱ）由24241121S y y y S y y y ==,根据（1）和（ⅰ）求解即可. 【详解】（1）设过点(),0M m ()0m >的直线为x ty m =+,联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩可得20y ty m --=,且240t m ∆=+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,所以12y y m =-,则2221212x x y y m ==,因为()0,2OA OB ⋅∈,所以()212120,2x x y y m m OA OB +-⋅∈==,解得()1,2m ∈（2）由题,设()211,A y y ,()222,B y y ,()233,C y y ,()244,D y y , （ⅰ）设过点()4,0N 的直线为14x t y =+,过点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线243x t y =+,联立124x t y y x=+⎧⎨=⎩可得2140y t y --=,联立2243x t y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得22403y t y --=,所以1324124443y y y y y y ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩,所以122212341222341212123411443AB CDy y y y y y k y y y y k y y y y y y y y ⎛⎫--+ ⎪+--⎝⎭=====-++-, 因为直线AB 在y 轴的纵截距范围为84,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,设截距为t ,因为43m =,则AB t k m =-,所以[]1,2AB k ∈,则0112,333CD AB k k k ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（ⅱ）112AMN S MN y =⋅⋅△,412DMN S MN y =⋅⋅△, 由（1）可知12y y m =-,由（ⅰ）可知424y y =-, 因为()1,2m ∈,所以()2411442,4S y S y m m-===∈- 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线中的三角形问题,考查韦达定理的应用,考查运算能力.请考生在第22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为12xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若点(A，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦PQ的中点为M，求AP AQAM⋅的值.【答案】（1）2222:cos2cos12Cρθρθ+=；:1l x y-=.（2）(511【解析】【分析】（1）由消参可得曲线C的普通方程,再利用cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；消参即可得到直线l的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中可得232100t t+-=,利用韦达定理可得12t t+,12t t⋅,由12122AP AQ t tt tAM⋅=+,代入求解即可.【详解】（1）由题,因为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）,则cossinαα==（α为参数），所以221126x y+=,即22212x y+=,因为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩,所以2222:cos2cos12Cρθρθ+=；因为122xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）,所以122x ty t⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）,则:10l x y--+=.（2）将122x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）代入22212x y+=中可得232100t t+-=,设方程的两根为12,t t，所以1223t t-+=，12103t t-⋅=，因为M为PQ的中点，所以(12125112AP AQ t tt tAM⋅==+【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查直线的参数方程中参数的几何意义的应用,考查运算能力.23.设函数()13f x x x=++-.（1）求()5f x≥的解集；（2）若x R∀∈，使()f x m≥恒成立的m的最大值为n.正数a，b满足1123na b a b+=++，求34a b+的最小值.【答案】（1）3|2x x⎧≤-⎨⎩或72x⎫≥⎬⎭（2）1【解析】【分析】（1）分别求得当1x≤-,13x-<≤,3x>时不等式的解集,并求并集即可；（2）由13134x x x x ++-≥++-=可得4n =,即11423a b a b+=++,进而利用均值不等式求解即可.【详解】解:（1）因为()135f x x x =++-≥当1x ≤-时,不等式135x x --+-≥,即23x ≤-,解得32x ≤-； 当13x -<≤时,不等式135x x ++-≥,即45≥,解集为∅； 当3x >时,不等式135x x ++-≥,即27x ≥,解得72x ≥, 综上,3|2x x ⎧≤-⎨⎩或72x ⎫≥⎬⎭（2）因为13134x x x x ++-≥++-=,所以m 的最大值为4,即4n =, 则11423a b a b+=++,所以()()11112334232423432a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()12214≥+= 当且仅当2332a b a b a b a b ++=++,即15a =,110b =取等号成立,所以34a b +的最小值为1.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查利用均值不等式求最值.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期新生入学摸底考试数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期新生入学摸底考试数学试题一、单选题 1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍.将58000000000用科学记数法表示应为（ ）.A ．105.810⨯B ．115.810⨯C ．95.810⨯D ．110.5810⨯【答案】A【解析】直接用科学计数法标准形式(11100,n a n ≤<⨯且n 为整数)表示即可. 【详解】直接利用科学计数法表示数的标准形式为105.810⨯，故选：A.【点睛】本题主要考查科学计数法，属于容易题.2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）.A ．千里江山图B ．京津冀协同发展C ．内蒙古自治区成立七十周年D ．河北雄安新区设立纪念【答案】C【解析】根据对称性判断．【详解】A是轴对称，B，D不是轴对称也不是中心对称，C是中心对称．故选：C．【点睛】本题考查对称的概念，掌握轴对称和中心对称的概念是解题基础．3．空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示.AQI数据05051100101150151200201300301以上AQI类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示.根据以上信息，下列推断不合理的是（）.A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月之间的天数最少的是2014年1月B．AQI数据在0100C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别【答案】D【解析】根据统计图作答．【详解】根据统计图AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月，共14天，A正确；优良相加，天数最少的是2014年1月，B正确；这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动达到10天，最大，C正确；2018年1月的AQI数据中，优有14天，良有12天，轻度污染只有4天，中度污染只有一天，月均值不可能达到中度污染程度，D错，故选：D．【点睛】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．4．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A．①B．②C．①③D．②③【答案】B【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.【详解】解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.5．如图，数轴上点A ，B 分别对应实数1，2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的实数的平方是（ ）.A ．2B ．5C ．223D ．56【答案】C 【解析】先求AC 的长，然后确定点M 对应的实数，最后求得结果.【详解】因为A B 、分别对应1、2，所以1AB BC ==，因为PQ AB ⊥，所以在Rt ABC 中，2AC =， 所以2AM AC ==，所以点M 21，2(21)223=，故选：C.【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题.6．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】设三个关于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，代入三个方程得到a ，b ，c 的关系，然后代入代数式求出代数式的值．【详解】解：设三个关于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，则20at bt c ++=①，20bt ct a ++=②，20ct at b ++=③∴①+②+③得：2()()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= ()2()10a b c t t ∴++++= 而2213 124t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ 2102t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭210t t ∴++>0a b c ∴++= a b c ∴+=-原式222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc+++-+=++== 333223(33)3()3()3a b a a b ab b ab a b ab c abc abc abc+-+++-+--===== 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．7．不等式组()()11132412x x x x a -⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）.A ．65a -≤<-B ．65a -<≤-C ．65a -<<-D ．65a -≤≤-【答案】B【解析】先解不等式组，然后根据条件要有3个整数解，得到关于a 的不等式，求解即可.【详解】由不等式组()()11132412xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩得42xx a>⎧⎨≤-⎩，要有3个整数解，则728a≤-<即65a-<≤-，a的取值范围是65a-<≤-，故选：B.【点睛】本题考查了不等式组的整数解的问题，结合数轴更容易得到答案.8．如图，边长为2的等边ABC和边长为1的等边A B C'''，它们的边B C''，BC位于同一条直线l上，开始时，点C'与B重合，ABC固定不动，然后把A B C'''自左向右沿直线l平移，移出ABC外（点B'与C重合）停止，设A B C'''平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】求出y关于x的函数，由四个选项，只要求出前面一部分的函数就可选择正确选项．【详解】在01x<≤时，阴影部分是以BC'为边的等边三角形，BC x'=，则阴影部分面积为234y x=，最大值为34，对照各选项，只有A相符，BCD均排除．故选：A．【点睛】本题考查求函数的图象表示，解题时可先求出函数解析式，由解析式先把图象，但结合函数的性质求解更方便简捷．根据正三角形性质，本题中阴影部分面积对应的函数图象应该关于32x =对称，中间在12x ≤≤时面积不变，图象是水平线段，值为34．因此只要求得开始在01x <≤时的函数表达式即可得．9．如图，在33⨯的方格中，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于格点上，从C ，D ，E ，F 四点中任意取一点，与点A ，B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（ ）.A ．1B ．14C ．34D ．12【答案】C 【解析】根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．【详解】解：根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，故P （所作三角形是等腰三角形）34=． 故选：C ． 【点睛】 此题主要考查了概率公式和等腰三角形的判定，熟记随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．10．如图，在正方形ABCD 中，2BC =，点P ，Q 均为AB 边上的动点，BE CP ⊥，垂足为E ，则QD QE +的最小值为（ ）.A ．2B ．3C 101D 131【答案】D 【解析】作出D 点关于直线AB 的对称点H ，则HQ DQ =，BE CP ⊥，则E 在以BC 为直径的圆上，设其圆心为O ，则当,Q ,,E H O 共线时，QD QE +最小．【详解】如图，作出D 点关于直线AB 的对称点H ，则HQ DQ =，QD QE +QH QE =+， 因为BE CP ⊥，所以E 在以BC 为直径的圆上，设其圆心为O ，显然HQ QE HE +≥，,,H Q E 共线时等号成立， 易得223213HO =+=HE 的最小值是131HO OB -=，当E 是线段HO 与圆的交点时取得最小值，所以当,,,H Q E O 共线时，QD QE +131．故选：D ．【点睛】本题考查对称性，求直线上动点到两定点的距离之和的最小值，可利用对称性转化为求两定点间的距离，圆外定点到圆上点的距离的最值转化为定点到圆心的距离减半径得最小值，加半径为最大值．二、填空题11．若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为______. 【答案】1【解析】将分式方程转化为整式方程求解即可. 【详解】解：由已知可得101x x -=+， 则()()11010x x x ⎧-+=⎨+≠⎩，解得1x =． 故答案为：1．【点睛】本题考查分式方程的求解，注意分母不为零，属于基础题.12．化简：()()()421a a a a +--+=______.【答案】8a -【解析】根据整式的运算即可得到答案.【详解】()()()224212488a a a a a a a a a a +--+=-+---=-故答案为：8a -【点睛】本题主要考查整式的运算，属于简单题.13．如图，在ABC中，//DE AB，DE分别与AC，BC交于D、E两点，若49DECABCSS=△△，3AC =，则DC=______.【答案】2【解析】根据三角形相似结合条件2DECABCS CDS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，可求得CD的长.【详解】//DE AB，则CDE CAB∠=∠，CED CBA∠=∠，DEC ABC∴△△，所以，249DECABCS CDS AC⎛⎫==⎪⎝⎭△△，可得23CDAC=，3AC=，223DC AC∴==.故答案为：2.【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，考查计算能力，属于基础题.14．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h到达，从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快35km h，约用4.5h到达.如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，求“杭京高铁复兴号”的运行速度.设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h，依题意，可列方程为______.【答案】()535 4.5x x-=【解析】根据“复兴号速度×运行时间＝G20速度×G20运行时间”可得的方程．【详解】解：题中设“杭京高铁复兴号”的运行速度为x km h，依题意，可列方程为：()535 4.5x x-=，故答案为：()535 4.5x x-=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 15．如图，AB 为O 的直径，C 为AB 上一点，50BOC ∠=︒，//AD OC ，AD 交O 于点D ，连接AC ，CD ，那么ACD ∠=______.【答案】40【解析】先求出∠DAB =50°，进而得出∠AOD =80°，即可得出结论． 【详解】 连接OD ，∵AD ∥OC ，∴∠DAB =∠BOC =50°， ∵OA =OD ，∴∠AOD =180°-2∠DAB =80°， ∴∠ACD =12∠AOD =40°， 故答案为40° 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，求出∠AOD 是解本题的关键． 16．一个自然数的立方，可以分裂成若千个连续奇数的和.例如：32、33和34分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即3235=+，337911=++，3413151719=+++，…若3100也按照此规律来进行“分裂”，则3100“分裂”出的奇数中，最小的奇数是______. 【答案】9901【解析】根据"3235=+，337911=++，3413151719=+++",得出3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+,把100m =代入计算求值即可． 【详解】解: 3235=+，337911=++，3413151719=+++;3211=⨯+,7321,=⨯+ 13431,=⨯+∴3m “分裂”出的奇数中最小的奇数是1()1m m -+, ∴3100 “分裂”出的奇数中最小的奇数是1009919901⨯+＝, 故选答案为: 9901． 【点睛】本题为中考数学题，考查学生找规律求通项的能力，属于基础题.17．如图，Rt ABC △中，90B ∠=︒，正方形EFDQ 、正方形MNPQ 公共顶点记为点Q ，其余的各个顶点都在Rt ABC △的边上，若5AC =，3BC =，则EP =______.【答案】6029【解析】过P 作PG BC ⊥于G ，可证QDM MBN NGP ∆∆∆≌≌，AEF PGC ABC ∆∆∆∽∽，设33EF a CG b ==，，则5454AE a AF a PC b PG b ====，，，，可列二元一次方程组：3731044a b a b +=+=，，求出a b 、的值，代入555EP a b =--求出即可．【详解】在Rt ABC ∆中，9053B AC BC ∠=︒==，，，由勾股定理得：4AB =， 过P 作PG BC ⊥于G ，∵四边形EFDQ 和四边形QMNP 是正方形，∴90CGP QMN QDF B PN MN MQ ∠=∠=∠=∠=︒==，， ∴9090GPN GNP GNP BNM ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴GPN BNM ∠=∠， 同理BNM QMD ∠=∠，在QDM MBN NGP ∆∆∆、、中，90PGN B QDM ∠=∠=∠=︒，GPN BNM DMQ PN MN QM ∠=∠=∠==，，∴QDM MBN NGP ∆∆∆≌≌，∴PG BN DM GN BM DQ ====，， ∵90PGC B ∠=∠=︒， ∴CGP CBA ∽，∴3,5CGCB PC AC == ∴34CGPG = 同理34CG PG=，34EF AF =， 设33EF a CG b ==，，则5,4,5,4,3,AE a AF a PC b PG b BN DM GN BM DQ EF a ========== 可列一元二次方程组：3731044a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：829929a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6055529EP a b =--=． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．18．甲乙丙三个人在一起聊天，每周从星期一到星期日每人连续两天说谎（包括星期日和星期一），其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎.已知周一时，乙说：“我昨天说谎了.”周二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了.”则三个人都没说谎的是星期______. 【答案】一【解析】分4种情况讨论，乙丙均说真话；乙说真话，丙说谎；乙说慌，丙说真话；乙丙均说慌，找出矛盾，即可得答案. 【详解】解：如果乙丙均说真话，则乙星期六和星期天说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；如果乙说真话，丙说谎，则乙星期六和星期天说谎，丙星期二和星期三说谎，此时甲星期四和星期五说谎，符合题意，则三个人都没说谎的是星期一；如果乙说慌，丙说真话，则乙星期一和星期二说谎，丙星期天和星期一说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；如果乙丙均说慌，则乙星期一和星期二说谎，丙星期二和星期三说谎，与任意两人不会在同一天说谎矛盾；综上所述，三个人都没说谎的是星期一. 故答案为：一. 【点睛】本题主要考查了推理与论证，抓住乙和丙说真话和假话的日期特点，是本题推理的关键所在.19．已知0x y z ++=，0xyz ≠，则111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.【答案】3-【解析】首先将0x y z ++=转化为x y z +=-，x z y +=-，y z x +=-，再将111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简为()()()xz x z xy x y yz y z xyz +++++，代入上式即可得到答案. 【详解】因为0x y z ++=，所以x y z +=-，x z y +=-，y z x +=-.()()()111111x z y y z x z y x x y z y z x z x y yz xz xy +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()222222222x z y y z x z y x x z x y y z y x z y z xxyz xyz xyz xyz++++++++=++=()()()()()()222222x z z x x y y x y z z y xz x z xy x y yz y z xyz xyz++++++++++==3xyz xyz xyzxyz---==-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，同时考查学生的计算能力，属于简单题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为1,0A ，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限.将ABC 绕点A 逆时针旋转75︒，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为______.2【解析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE ＝60°，再根据OA ＝1，∠EOA ＝90°，∠OAE ＝60°，即可得出AE ，AC ．最后在RT ABC 中，可得到AB . 【详解】解：依题可知，∠BAC ＝45°，∠CAE ＝75°，AC ＝AE ， 则∠OAE ＝180°-45°-75°=60°，在RT OAE 中，OA ＝1，∠EOA ＝90°，∠OAE ＝60°， ∴AE ＝2OA ＝2，∴AC ＝AE ＝2,∴在RT ABC 中，AB ＝BC ＝22⨯.. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的图形特征.三、解答题21．已知关于x 的方程()2330mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1-或3-. 【解析】（1）证明判别式0∆≥即可得；（2）利用求根公式求出两根，根据根为整数可得整数m 的值． 【详解】（1）证明：∵0m ≠，∴方程()2330mx m x +--=为一元二次方程.依题意，得()()223123m m m ∆=-+=+.∵无论m 取何实数，总有()230m +≥，∴此方程总有两个实数根. （2）解：由求根公式，得()()332m m x m--±+=.∴11x =，()230x m m=-≠. ∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m 的值为1-或3-. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，考查整数解问题，用一元二次方程的求根公式解方程是基本方法．22．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A .纪念馆志愿讲解员；B .书香社区图书整理；C .学编中国结及义卖；D .家风讲解员；E .校内志愿服务.每位同学都从中选择一个项目参加.为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下. 收集数据：设计调查问卷，收集到如下的数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，整理、描述数据：划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下.（1）请补全统计表和统计图.选择各志愿服务项目的人数统计表志愿服务项目划记人数A.纪念馆志愿讲解员正8B.书香社图书管理C.学编中国结及义卖正正12D.家风讲解员E.校内志愿服务正6合计4040选择各志愿服务项目的人数比例统计图A纪念馆志愿讲解员B书香社区图书管理C学编中国结及义卖D家风讲解员E校内志愿服务（2）分析数据、推断结论（i）抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是.______（填A-E的字母代号）.（ii）请你任选A-E中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目.【答案】（1）统计图见解析；（2）（i）C，（ii）答案见解析.【解析】（1）依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；（2）（i）依据抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，C出现的次数最多，可得众数是C；（ii）依据A−E中的各志愿服务项目在样本中所占的百分比，即可得到全年级大约有多少名同学选择某两个志愿服务项目．【详解】解：（1）B项有10人，D项有4人.选择各志愿服务项目的人数比例统计图中， B 占10100%25%40⨯=，D 占4100%10%40⨯=，统计表和统计图如下：选择各志愿服务项目的人数统计表 志愿服务项目 划记 人数 A .纪念馆志愿讲解员 正8B .书香社图书管理正正10C .学编中国结及义卖 正正12D .家风讲解员 4E .校内志愿服务 正 6 合计4040选择各志愿服务项目的人数比例统计图A 纪念馆志愿讲解员B 书香社区图书管理C 学编中国结及义卖D 家风讲解员E 校内志愿服务（2）分析数据、推断结论（i ）抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C . 故答案为：C ；（ii ）根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）. A ：50020%100⨯=（人）. B ：50025%125⨯=（人）. C ：50030%150⨯=（人）. D ：50010%50⨯=（人）. E ：50015%75⨯=（人）. 【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体、众数的定义的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数()0ky k x=≠的图象上.（1）求m ，k 的值；（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度()0n >得到线段CD ，A ，M ，B 的对应点分别为C ，N ，D .①当点D 落在函数()0ky x x=<的图象上时，求n 的值； ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【答案】（1）4m =，4k =-；（2）①1n =，②2n ≥.【解析】（1）利用待定系数法求出m ，进而求出点B 的坐标，即可得出M 的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；（2）①先表示出点D 的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；②先确定出MD ，MN ，建立不等式即可得出结论. 【详解】 解：（1）如图.∵直线y x m =+与x 轴的交点为()4,0A -，∴4m =. ∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ，∴点B 的坐标为()0,4B . ∵线段AB 的中点为M ，可得点M 的坐标为()2,3M -. ∵点M 在函数()0ky k x=≠的图象上，∴4k =-.（2）①由题意得点D 的坐标为(),4D n -. ∵点D 落在函数()40y x x=-<的图象上，∴44n -=-.解得1n =. ②n 的取值范围是2n ≥. 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，解不等式，利用待定系数法求出双曲线解析式是解本题的关键. 24．如图，O 的半径为r ，ABC 内接于O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D为CB 延长线上一点，AD 与O 相切，切点为A .（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）； （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值. 【答案】（1）2r ；（2）90ADH ∠=︒，12CB CD =. 【解析】（1）先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得30BOC ∠=︒，然后在Rt BOE 计算BP 的长度即可。
文数答案2020哈三中高三学年第一次模拟考试文数答案(1)
AD 面 PAD , PA AD A , AB 面 PAD , PD 面 PAD
AB PD
……………………4 分
(2) MN / / 面 PCD , MN 面 PBD ,面 PCD 面 PBD PD ,MN / /PD
BM
BN
,
BM 3 , MD 1 , BN 3
MD NP
x
x2
……8 分
x 0,1 ， g‘(x） 0 ， g(x）单调递减； x 1, ， g‘(x） 0 g(x）单调递增；
g(x） g（1） e 1， m 2(e 1)
……12 分
21.
x ty m
（1）
y
2
x
联立解得 y2 - ty - m = 0
t
2
4m
0
y1 y2 x1x2
m m2
…………………………… 2 分
K 2 502015 10 52 25 8.333 6.635
30 20 25 25 3
……………………………5 分
所以有 99 ％的把握认为”对冰球运动是否有兴趣与性别有关；
………………………………… 6 分
（2）设抽取的两人都是男生为事件 A 按照性别利用分层抽样的方法从中抽取的 5 人中男生有 3 人，分别用 a1, a2, a3 表示，
满足余弦定理 4 1 3 2 a 2 c2 2ac( 3 ) ……………………………..9 分 2 因为 a2 c2 2ac ,
所以 4 1 3 2 a 2 c2 2ac( 3 ) (2 3)ac , 2
则 4 1
2
3 (2
3)ac , 即 ac 8 , 当且仅当 a c 时取”=”
2
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三学年第一次模拟考试理科数学试题答案
2020年哈三中高三学年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. [0,23) 14. [80,120] 15.1e或1 16. 152,2三、解答题：17. (1) 由 c a A b =+23cos , 余弦定理bc a c b A 2cos 222−+= 有c a bc a c b b =+−+⋅232222, 即ac c a b 3222−+= 有232cos 222=−+=ac b c a B由π<<B 0, 则6π=B ……………………………………………………..……3分又因为2cossin sin 2AC B = 有2cos 1sin 21A C +=, 即2)65cos(1sin 21C C −+=π, 有C C C sin 21cos 231sin +−=, 即1cos 23sin 21=+C C , 则1)3sin(=+πC , 由π<<C 0, 即23ππ=+C , 则6π=C ……………………………….………6分(2)延长线段AM 至D, 满足BM=MD, 联结AD在ABD ∆中, ()65,,,3122ππ=−=∠==+==B BAD c AB a AD AM BD , 满足余弦定理())23(2314222−−+=+ac c a ……………………………..9分 因为ac c a 222≥+,所以()ac ac c a )32()23(2314222+≥−−+=+, 则()ac )32(3142+≥+, 即8≤ac , 当且仅当c a =时取”=” 那么2218212121sin 21=⨯⨯≤==∆ac B ac S ABC, 当且仅当4==c a 时取”=” 则ABC ∆面积的最大值为2…………………………………….………………..12分18. (1)在ACD ∆中3111120cos 222=++=⋅⋅−+=︒CD AD CD AD AC ,232cos 222=⋅−+=∠AC AD CD AC AD DAC , 则6π=∠DAC在ABC ∆中212cos 222=⋅−+=∠AC AB BC AC AB BAC , 则3π=∠BAC ,那么2π=∠BAD , 即⊥AB AD因为⊥PA 平面ABCD …………………………………………………………………1分 所以, 分别以直线AB AD AP 为z y x ,,轴如图建立空间直角坐标系有()0,0,0A , ()0,0,3B , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23,23C , ()0,1,0D , ()3,0,0P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43,43M ,设平面ACP 的法向量为()z y x m ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,23,23AC 且()3,0,0=AP满足⎪⎩⎪⎨⎧==+0302323z y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧=−==013z y x , 则()0,1,3−=m ………...…….3分 设平面BCP 的法向量为()z y x n ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=0,23,23BC 且()3,0,3−=BP 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−03302323z x y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧===313z y x , 则()3,1,3=n ……….……5分则7774013,cos =⨯+−>=<n m , 那么二面角B PC A −−的余弦值为77….…6分(2)设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=3,23,23PC 且()3,1,0−=PD满足⎪⎩⎪⎨⎧=−=−+03032323z y z y x , 令3=y , 有⎪⎩⎪⎨⎧==−=131z y x , 则()1,3,1−=a ……..…..8分 设()z y x N ,,且BP BN λ=,()10≤≤λ, 满足()()3,0,3,,3−=−λz y x有⎪⎩⎪⎨⎧==−=−λλ3033z y x , 则()λλ3,0,33−N , 则⎪⎭⎫⎝⎛−−=λλ3,43,3343MN则0=⋅a MN , 即033433433=+−−λλ, 有43=λ则⎪⎭⎫ ⎝⎛−=343,43,0MN ………………………………………………………………….10分 因为平面ACP 的法向量为()0,1,3−=m , 有4123243,cos =⨯>=<MN m那么直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为41………………………………………12分19. 解: (1) 由已知1)(0=B A P , 54)(4204191==C C B A P , 1912)(4204182==C C B A P …… 2分(2) X 可能的取值为2,1,0,· ……………………………… 3分所以9508771.02.07.0)0(420418420419=⨯+⨯+==C C C C X P ,950701.02.0)1(42031812420319=⨯+⨯==C C C C C X P , 95031.0)2(42021822=⨯==C C C X P . ………………………………… 6分 所以随机变量X 的分布列为4753895032950701=⨯+⨯=EX . ………………………………… 7分 (3) 由(1)知, =)(A P 950877)0(==X P , ………………………………… 8分按照设计方案购买的一箱粉笔中, 箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为()A B P 0877665)()()()()(000===A PB P B A P A P AB P , ……………………………11分 因为107.0100877665100<⨯−⨯, 所以该方案无效. ……………………… 12分20.解（1）x mx x x m x x f 2222)(2++=++=‘()+∞∈,0x …………1分对于方程0222=++mx x 162−=∆m当44-≤≤m 时，0162≤−=∆m ，0)(≥x f ‘此时)(x f 没有极值点. …………………2分 当4−<m 时，方程0222=++mx x 两根为21,x x ，不妨设21x x <，0221>−=+mx x ，121=⋅x x ，210x x << 当0)(021>><<x f x x x x ‘，时或，当0)(21<<x f x x ‘时.此时21,x x 是函数)(x f 的两个极值点. ………………3分 当4>m 时，方程0222=++mx x 两根为43,x x ，0243<−=+mx x ，143=⋅x x ，所以004,3<<x x ， ()+∞∈,0x 0)(>x f ‘，故)(x f 没有极值点.综上，当4−<m 时，函数)(x f 有两个极值点；当4−≥m 时，函数)(x f 没有极值点 …………. ………4分 （2）032ln 232-)(222≤−−++=−x e x mx x x e x f xx022ln 22≤−−+x e x mx x，x xe x x ln 222m 2−+≤x x e x x g x ln 222)(2−+=，22ln 11-)(x x e x x x g x +−+=）（‘……6分 ()1,0∈x ，0(<）‘x g ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x g ）x g (单调递增； 11(+=≥e g x g ）（），)1(2+≤e m ……8分（3）由（2）知当)1(2+=e m ，0ln )12≤−−++x e x x e x （恒成立，即 x x e x e x ln 1-2≥++）（ 欲证xx e x e x 1-11-2≥++）（ 只需证x x 1-1ln ≥，设x x x h 11ln )(+−=，21)(x x x h −=‘……10分 ()1,0∈x ，0('<）x h ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x h ）x g (单调递增；01(=≥）（）h x h ，所以xx 1-1ln ≥。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|y=1og2（2-x）}，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，+∞）C. （1，2]D. （2，+∞）2.已知向量=（2m-1，m），=（3，1），若∥，则m=（）A. 1B. ±1C. -1D. -23.已知α是第二象限角，若sin（-α）=-，则sinα=（）A. B. C. D.4.等差数列{a n}中，a3与a8的等差中项为10，则a1+a10=（）A. 40B. 30C. 20D. 105.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 117.已知命题p：函数f（x）=是定义在实数集上的奇函数；命题q：直线x=0是g（x）=x的切线，则下列命题是真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. （￢p）∧qD. ￢p8.已知圆C：x2+y2=4和直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为（）9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c1的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A. dB. fC. eD.10.函数f（x）=（x2-4x+1）•e x的大致图象是（）A. B.C. D.11.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点，且b=n，若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±D. y=±x12.已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. （-1，1）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，e）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足=-3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是______．14.已知实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为______．①x2+1＞y2② |1-x|＞|y-1|③sin x＞sin y④x3＞y315.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是______．16.已知点P为直线l：x=-2上任意一点，过点P作抛物线y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1•x2为定值，此定值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x．（1）求函数y=f（x）的单调增区间；（2）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A）=0，a=1，求b+c的取值范围．18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AC=CC1=2，其中P为棱CC1上的任意一点，设平面PAB与平面A1B1C的交线为QR．（1）求证：AB∥QR；（2）若P为棱CC1上的中点，求几何体QR-ABC的体积．19.某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理非优秀总计数学优秀12数学非优秀总计附：K2=，其中n=a+b+c+d．k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.00120.椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆交于E、F两点，以EF为直径的圆过坐标原点O，求证：坐标原点O到直线l距离为定值．21.某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y（单位：万元）是每日产量x（单位：吨）的函数：y=ln x（x＞1）．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；（2）记每日生产平均成本为m，求证：m＜16；（3）若财团每日注入资金可按数列a n=（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于41n11亿元．22.曲线C1：（其中t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2直角坐标方程；（2）将C2向左平移2个单位长度，按照变换得到C3，点P为C3上任意一点，求点P到曲线C1距离的最大值．23.已知f（x）=2|x|+|x-1|．（1）解关于x的不等式f（x）＞4；（2）对于任意正数m、n，求使得不等式f（x）≤+2nm恒成立的x的取值集合M．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x-1＞0}={x|x＞1}，B={x|y=1og2（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}故选：A．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：∵向量=（2m-1，m），=（3，1），∥，∴=，解得m=-1．故选：C．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题.直接利用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：由sin（-α）=-，可得cosα=-，∵α是第二象限角，∴sinα==．故选：D．4.答案：C解析：解：a1+a10=a3+a8=20，故选：C．由下标定理可得结果本题考查了等差数列的性质，属基础题．5.答案：B解析：解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．定理公理综合运用能力的考查，属中档题6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0不满足条件S≥，执行循环体，S=，n=3不满足条件S≥，执行循环体，S=+，n=5不满足条件S≥，执行循环体，S=++=，n=7此时，满足条件S≥，退出循环，输出n的值为7．故选：B．先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．本题考查程序框图．要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．7.答案：A解析：解：f（-x）===-=-f（x），即f（x）是奇函数，故命题p是真命题，函数的导数g′（x）==，当x=0时，g′（x）不存在，此时切线为y轴，即x=0，故命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q的真假是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：如图，设与直线y=x平行的直线方程为x-y+c=0，由O到直线x-y+c=0的距离为，即OD=，且OB=2，得∠BOD=30°，则∠AOB=60°，∴则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为P=．由题意画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．9.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与指数幂的计算能力，属于中档题．220Hz的音比a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz的音设为第n项，则这个数列是以440Hz为第一项，以q=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从#g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q=由220=440×，解得n=7，频率为220Hz的音名是（#d），故选：D．10.答案：A解析：解：当x＜0时，x2-4x+1＞0，e x＞0，所以f（x）＞0，故可排除B，C；当x=2时，f（2）=-3e2＜0，故可排除D．故选：A．用x＜0排除B，C；用x=2排除D．故选A．本题考查了函数图象与图象的变换，属基础题．11.答案：C解析：解：椭圆的半焦距为c，则以题意可得：又n=b，所以，所以，双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：y=．故选：C．利用椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质，列出方程，转化求解双曲线方程，即可得到渐近线方程．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：C解析：解：当x＞0时，f（x）=，所以f′（x）=，易得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）所以f（x）max=f（1）=1，设t=f（x），则方程f2（x）+mf（x）=0可变为t2+mt=0，解得：t=0或t=-m则方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由图可知：0＜-m＜1，即-1＜m＜0，故选：C．由导数的应用得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以f（x）=f（1）=1，max由方程的解的个数与函数图象的交点个数的关系得：方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的位置关系可得：-1＜m＜0，得解本题考查了利用导数研究函数的单调性，图象，方程的解的个数与函数图象的交点个数，属中档题13.答案：解析：解：由=-3i，得z=-3i（1+i）=3-3i．则复数z的模是．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．14.答案：①②解析：解：∵实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），∴x＜y＜0，∴x2+1＞y2，故①正确；∴-x＞-y＞0，1-x＞1-y＞1，∴|1-x|＞|y-1|，故②正确；不一定有sin x＞sin y，故③不一定正确；∴x3＜y3 ，∴④不正确，故答案为：①②．由题意利用指数函数的单调性，判断x＜y＜0，从而得出结论．本题主要考查指数函数的单调性，判断x＜y＜0，是解题的关键，属于基础题．15.答案：3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分，由，解得A（1，0）目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z越大，由数形结合可得当动直线过点A时，z最大=3×1+0=3．故答案为：3．16.答案：4解析：解：不妨设P（-2，0），过P的切线方程设为y=k（x+2），代入抛物线方程y2=2px（p＞0）得k2x2+（4k2-2p）x+4k2=0，又k≠0，故x1x2=4．故答案为4．取P的特殊位置，设出切线方程并与抛物线方程联立，再根据一元二次方程根与系数的关系求解．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意利用特殊化思想处理客观题，可以大大提高解题的效率．17.答案：解：（1）函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x=cos2x+sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间是（kπ-，kπ+），k∈Z．（2）△ABC中，已知f（A）=sin（2A-）-1=0，∴2A-=，∴A=．∵a=1，由正弦定理可得===，∴b+c=（sin B+sin C）=[sin B+sin（-B）]=（sin B+cos B+sin B）=sin B+cos B=2sin（B+）．∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴2sin（B+）∈（1，2]．所以b+c的范围是（1，2]．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）先由题意求得A，再利用正弦定理求得b+c的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得b+c的取值范围．属于中档题．18.答案：证明：（1）在直线三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C，∵平面PAB与平面A1B1C的交线为QR，且AB⊂平面PAB，∴AB∥QR．解：（2）在侧面BCC1B1中，∵BC=2，CC1=2，P为棱CC1上的中点，∴tan∠BB1C===，tan=，∴∠BB1C=∠PBC，∴PB⊥B1C，∴CR⊥PB，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴QR⊥平面BCC1B1，∵BC=2，PC=，∴CR===，∵△PRC∽△PCB，∴PR===，∵AB∥QR，∴，∴QR===，∴几何体QR-ABC的体积：V A-PBC-V Q-PBC=-=．解析：（1）由AB∥A1B1，得AB∥平面A1B1C，由此能证明AB∥QR．（2）推导出tan∠BB1C===，tan=，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，CR⊥PB，由BB1⊥平面ABC，得BB1⊥AB，推导出AB⊥BC，从而AB⊥平面BCC1B1，QR⊥平面BCC1B1，几何体QR-ABC的体积V A-PBC-V Q-PBC．本题考查线线平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）有频率分布直方图可知众数为85，∵0.02×10+0.026×10=0.46＜0.5，所以中位数位于区间（80，90），设为x，则0.46+（x-80）×0.03=0.5，解得x=，所以中位数为81.33．（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，物理优秀物理非优秀合计数学优秀12 1224数学非优秀8 6876合计 20 80100K2=≈17.76＞10.828，故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关．解析：（1）众数在最高的矩形中，取其中点值即可，中位数是使概率为0.5的数学成绩，根据0.46+（x-80）×0.03=0.5解得即可；（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，由此可得列联表，计算出K2，结合临界值可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：（1）由椭圆定义可知，2a=|AF1|+|AF2|=+=4，所以a=2，因为c=，所以b=1，椭圆C的方程为：+y2=1；（2）证明：由可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）＞0，即4k2+1＞m2，设E（x1，y1），F（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴•=x1x2+y1y2=（1+m2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+m2）+km（-）+m2=0，∴4k2+4=5m2，∵d===，所以坐标原点O到直线l距离为定值．解析：（1）由椭圆定义可知，2a=|4，求出a，再求出b，即可得到椭圆方程；（2）联立方程组消y，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线l的距离为定值．本题考查椭圆方程，考查原点到直线的距离为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．21.答案：解：（1）y=ln x的导数为y′=-ln x，当x=3时，y′|=-ln3=12-3ln3，当日产量为3吨时的边际成本为12-3ln3万元；（2）证明：=ln x，x＞1，要证m＜16，即证2x lnx＜x2-1，即为2ln x＜x-，即为2ln x-x+＜0，设h（x）=2ln x-x+，x＞1，h′（x）=-1-==-＜0，可得h（x）在x＞1递减，可得h（x）＜h（1）=0，则m＜16成立；（3）证明：由（2）可得x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，则a1+a2+…+a60＞2ln3+2ln+…+2ln=2ln（3•…）=2ln121=4ln11．即为这60天的总投入资金大于41n11亿元．解析：（1）求得函数y的导数，令x=3代入角色可得所求值；（2）运用分析法证明，结合构造函数法，运用导数，判断单调性可得证明；（3）由x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式的证明，运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由消去t得x-y-2=0，由ρ=2a cosθ得ρ2=2aρcosθ，得x2+y2-2ax=0，依题意C2的圆心C2（a，0）在C1：x-y-2=0上，所以a-0-2=0，解得a=2，故曲线C1的普通方程为x-y-2=0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0．即（x-2）2+y2=4．（2）C2向左平移2各单位长度后得x2+y2=4，再按照变换得到C3：x2+=1，设P点坐标为（cosθ，），P点到C1的距离为d==，当θ=时，点P到C1的距离最大，最大值为2．解析：（1）消去参数t可得C1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a=2；（2）利用图象变换先得C3，再C2上设P点，由点到直线的距离求出距离d再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=2|x|+|x-1|，当x≤0时，不等式f（x）＞4化为-2x-（x-1）＞4，解得x＜-1；当0＜x＜1时，不等式f（x）＞4化为2x-（x-1）＞4，解得x＞3，所以x∈∅；当x≥1时，不等式f（x）＞4化为2x+（x-1）＞4，解得x＞；综上，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；…（5分）（2）对于任意正数m、n，+2nm≥2•+2nm≥4，当且仅当m=n=1时“=”成立，所以不等式f（x）≤+2nm恒成立，等价于2|x|+|x-1|≤4，由（1）知，该不等式的解集为{x|-1≤x≤}，所以x的取值集合是M=[-1，]．…（10分）解析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞4的解集；（2）利用基本不等式求出+2nm的最小值为4，把不等式f（x）≤+2nm恒成立化为2|x|+|x-1|≤4，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市新第三中学2020年高一数学文摸底试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市新第三中学2020年高一数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A． B． C． D．不能确定参考答案：B解析：2. 函数的图象可能是（）参考答案：D略3. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A解析：对称轴4. 设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角参考答案：B【考点】三角函数值的符号．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵θ是第三象限角，∴在第二象限或在第四象限，由|cos|=﹣cos，∴cos≤0，即在第二象限，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号和象限之间的关系，比较基础．5. 已知函数，若将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由函数平移得解析式，由函数为偶函数得，从而得.进而结合条件的范围可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是：.由此函数为偶函数得时有：.所以.即.由，得.故选C.6. 已知等比数列{a n}中，a2+a5=18，a3?a4=32，若a n=128，则n=（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质，a2?a5=a3?a4=32，以及a2+a5=18，联立求出a2与a5的值，求得公比q，再由通项公式得到通项，即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a2?a5=a3?a4=32，又a2+a5=18，∴a2=2，a5=16或a2=16，a5=2，∴公比q=2或，则a n=或26﹣n．∵a n=128，∴n=8或﹣1，∵n≥1，∴n=8．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项和性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键，是基础题．7. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：B8. 已知函数，那么的值为( )A． 27 B．C．D．参考答案：D略9. 直线与圆的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定参考答案：B10. 设是轴上的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为，则直线的方程是（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是(填“大于、小于或等于”).参考答案：<12. （5分）在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣1）和坐标原点O之间的距离|OA|=．参考答案：考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间中两点间的距离公式，求出|OA|的值．解答：根据空间中两点间的距离公式，得；|OA|==．故答案为：．点评：本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．13. 对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函数y=[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值为．参考答案：12【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用新定义，化简求解即可．【解答】解：由题意可知：[log31]=0，[log33]=1，[log39]=2，∴[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]=0+0+1+1+1+1+1+1+2+2+2=12，故答案为：12．14. 已知集合，且,则的值分别为。