高二数学选修2-2综合测试题(含答案)

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高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB u u u r u u u r ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA u u u r 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n +<+++++<+>L ，当2n =时，中间式子等于（） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（） A ．2B ．2 C ．32D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-L ，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++L ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+L ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-，设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <．（2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x Q 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点；当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得((0m ∈U ．综上，m的取值范围是(．。

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(4)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（）（A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）52曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（）（A ）38 （B ）37 （C ）35（D ）343、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e1 （B ）e1-（C ）e2 （D ）e2-4、设ai b bi a ++,,1是一等比数列的连续三项，则b a ,的值分别为（）（A ）21,23±=±=b a （B ）23,21=-=b a（C ）21,23=±=b a （D ）23,21-=-=b a5、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （）（A ）i 22- （B ）i 22+（C ）i 22+- （D ）i 22--6、已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=rc b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。

类比三角形的面积可得四面体的体积为（）（A ）R s s s s V )(214321+++= （B ）Rs s s s V )(314321+++=（C ）Rs s s s V )(414321+++= （D ）R s s s s V )(4321+++=7、数列 ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是（）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）118、在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（）（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③9、若R b a ∈,，则复数i b b a a )62()54(22-+-++-表示的点在（）（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限 10、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n nn n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（）（A ）增加了一项)1(21+k（B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ；（D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ；11、如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（）（A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）31212、对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值；②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4班级：姓名：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为：14、若i z 311-=，i z 862-=，且21111z z z =+，则z 的值为；15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。

高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

导数复习一．选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）（2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（）A ．34y x =-B 。

32y x =-+C 。

43y x =-+D 。

45y x =- a(3) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21D ．1(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（）A ． 12B ． -1C ．0D ．1（8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（） A 、0 B 、1002C 、200D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23.10设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin xcos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A.0B.1C.－1D.214.经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0B.x －y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x －y =0D.x －y =0或25x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( )A.可能不是f (x )的极值B.一定是f (x )的极值C.一定是f (x )的极小值D.等于016.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0B.1C.n n)221(+-D.1)2(4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )A 、有极大值B 、无极值C 、有极小值D 、无法确定极值情况18.f(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( )A 、310 B 、313 C 、316 D 、31919.过抛物线y=x 2上的点M （41,21）的切线的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、90020.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )abxy)(x f y ?=OA 、（0，1）B 、（-∞，1）C 、（0，+∞）D 、（0，21）21.函数y=x 3-3x+3在[25,23-]上的最小值是( )A 、889 B 、1C 、833 D 、522、若f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时，f(0)为极小值23、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞） C 、（2，+∞） D 、（-∞，3）24、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( ) A 、至少有2个元素 B 、至少有3个元素 C 、至多有1个元素 D 、恰好有5个元素二．填空题25．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是。

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花瓣的面积为（）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

【金版学案】高二数学选修2-2习题：模块综合评价(2)(新人教A版)(含答案解析)

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：由1＋z 1－z ＝i 得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1. 答案：A2．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，检验知θ＝π2.答案：B3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1解析：左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，所以应增加的项数为2k. 答案：C5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)D ．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，所以f ′(x )≤0恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，所以－3≤a ≤ 3. 答案：D9．若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：设∫10f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，m ＝∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋2mx |1＝13＋2m ，解得m ＝－13. 答案：B10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x ＜0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，所以选项D 正确．答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|0－2＝43. 答案：B12．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.因为f (x )＝0在上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ＋2≥0，解得－2≤m ≤2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：|z 2|＝|3＋4i|＝5，|z |2＝5，所以|z |＝ 5. 答案： 514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A -BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．设x ∈R ，若x ＋x －1＝4.则可猜测x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________．解析：n ＝1时，x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝14；n ＝2时，x 4＋x －4＝(x 2＋x －2)2－2＝142－2＝194；n ＝3时，x 8＋x －8＝(x 4＋x －4)2－2＝1942－2，因为1942的个位数字是6，所以1942－2的个位数字是4.猜想可得x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是4. 答案：416．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在上有最小值3，那么在上f (x )的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，所以最大值为f (3)＝54＋3＝57.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3.－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1，所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S ＜2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S ＜2a ，只需证S ＜S 2b ，即b ＜S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b ＜a ＋b ＋c ，即证b ＜a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边，所以b ＜a ＋c 成立，所以S ＜2a 成立．19．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2 ，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0，解得a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1，1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1或t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴g (t )在h (t )＜－2t ＋m 在(0，2)内恒成立等价于g (t )＜0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m ＜0， ∴m 的取值范围为(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ，所以f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x ＞0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2（a ＋1）x ＋2a x ＝2（x －1）（x －a ）x (x ＞0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0＜a ＜1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(a ，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2（x －1）2x≥0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞1时，在x ∈(0，1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间上只可能有极小值点，所以f (x )在区间上的最大值必在区间端点取到，所以f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2，所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥e 2－2e 2e －2. 22．(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝an 2＋nbn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．解：假设存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2，得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＝k 2＋k 4k ＋2，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝ k 2＋k 4k ＋2＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝ k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1·（2k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）4k ＋6＝（k ＋1）2＋k ＋14（k ＋1）＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。

广州市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)

一、选择题1．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A ．1B ．23C ．43D ．23．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．已知函数()f x 的图像如图所示， ()f x '就()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()224224f f f f <-'<'B ．()()()()242242f f f f '<<-'C ．()()()()222442f f f f '<<-'D ．()()()()422422f f f f '<'-< 5．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．506．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（） A ．()11y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()121x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()11x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰7．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3 B ．23-C ．π23-D ．π33-8．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（）A ．18B ．16C ．13D ．129．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则（） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<10．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（）A ．823B ．845C ．965-D ．87711．下列积分值最大的是（） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．由函数()ln f x x x x =-的图像在点(,())P e f e 处的切线,l 直线1x e -=直线x e =（其中e 是自然对数的底数）及曲线ln y x =所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积S =_________.15．若()()122f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx =⎰_______.16．设函数2y nx n =-+和1122y x n =-+（*n N ∈，2n ≥）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞=________ 17．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________．18．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e0f x dx =⎰_________.19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.22．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 25．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．26．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.2．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A【解析】解：观察所给的函数图象可知： ()()()()42'2'442f f f f -<<- ，整理可得： ()()()()224224f f f f <-'<' . 本题选择A 选项.5．B解析：B【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．6．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y =−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.8．B解析：B 【解析】区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y =)1321200211|326x dx x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y =16，故选B ．9．B解析：B 【解析】1235211132,log 2,log 3,12a x dx x m n p -===∴===-⎰5211log 2log ,log 31,22m n p ====m p n ∴<<故选B10．A解析：A 【分析】利用微积分基本定理，可计算得329n x dx ==⎰，又210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-利用赋值法，令1x =，可得解【详解】由题意3323200|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：901210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-令1x =有：9812102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=-故12310012102310823a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+故选：A 【点睛】本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题11．A解析：A 【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果. 【详解】A ：22222222sin +1sin 1x x dx x xdx dx ---=+⎰⎰⎰（），函数y=2sin x x 为奇函数，故222sin 0x xdx -=⎰，2222222sin +11|2(2)4x x dx dx x ---===--=⎰⎰（），B:2222(cos )sin sin sin 222x dx x ππππππ--⎡⎤⎛⎫-=-=---=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，C:-⎰表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故144ππ-=⨯⨯=⎰， D:111dx ln |ln ln11ee x e x==-=⎰，通过比较可知选项A 的积分值最大，故选A 【点睛】计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若2(22)(2)tt x dx x x -=-⎰=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题解析：21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案.【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2-⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x ⎰2-+⎰＝12π+. 故答案为：21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14．【分析】利用导数求得切线的方程利用定积分计算出阴影部分的面积【详解】所以切线的方程为：故阴影部分面积为故答案为：【点睛】本小题主要考查切线方程的计算考查定积分计算面积属于中档题解析：2221122e e e++-【分析】利用导数求得切线l 的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积. 【详解】()()()''ln ,ln 1,0f x x f e e f e e e ====-=，所以切线l 的方程为：y x e =-.故阴影部分面积为()2111ln ln |2e e eex x e dx x x x x ex ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭⎰2221111111ln ln 22e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--⋅+---+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22121122e e e ⎡⎤=⋅---+⎢⎥⎣⎦2221122e e e++-=. 故答案为：2221122e e e ++-【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题.15．【分析】所以对等式在上积分得到关于的方程解得的值即可【详解】解：设则解得所以故答案为：【点睛】本题考查了定积分的应用考查了定积分的求法属于中档题解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分进而构造解析：13-【分析】1()f x dx n =⎰，所以2()2f x x n =+，对等式在(0,1)上积分，得到关于n 的方程，解得n 的值即可．【详解】解：设10()f x dx n =⎰，则2()2f x x n =+2311111()(2)22033f x dx n x n dx x nx n ⎛⎫∴⎰==⎰+=+=+ ⎪⎝⎭，解得13n =-，所以101()3f x dx =⎰．故答案为：13-．【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了定积分的求法．属于中档题．解题时要注意根据题目要求灵活的在固定区间上积分，进而构造出需要的方程．16．【分析】联立两直线得到交点坐标当时判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状即可求出对应的面积【详解】解当时直线斜率此时直线与轴交点为当时直线斜率此时直线与轴交点为此时函数和的图象与两坐标轴围成的封闭解析：14【分析】联立两直线，得到交点坐标，当n →+∞时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积．【详解】解，当n →+∞时，直线2y nx n =-+斜率1k →-∞，此时，直线与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当n →+∞时，直线1122y x n =-+斜率20k →，此时，直线与y 轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时函数2y nx n =-+和11(*,2)22y x n N n n =-+∈的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为12的正方形，故111lim 224n n S →∞=⨯=，故答案为：14．【点睛】本题考查极限的计算，可以先由n →+∞，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档题．17．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e - 【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.18．【解析】因为所以解析：43【解析】因为()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，所以()e1e231e 0101114|ln |33f x dx x dx dx x x x =+=+=⎰⎰⎰ 19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --==考点：1．定积分；2．二项式定理20．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.三、解答题 21．163【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分求解即可. 【详解】2x x =-解得：4x =，4322021216(2)288803233S x x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.22．(1)单调增区间为(ln 2,)+∞，单调减区间为(,ln 2)-∞.(2)1[0,]2e -. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数()2xh x e '=-,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m 的范围得到函数的值域,从而确定m 的具体范围即可. 试题（1）()()()()21,2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-'.由()0h x '>得ln2x >，由()0h x '<得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞.（2）()xf x e e '=-.当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.1° 当1m ≤时，()f x 在(],m -∞上单调递减，值域为)1,m e em ⎡--+∞⎣，()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-，因为()F x 的值域为R ，所以()12me em e m --≤-，即210m e m --≤.（*）由（1）可知当0m <时，()()2100mh m e m h =-->=，故（*）不成立.因为()h m 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,1上单调递增，且()()00,130h h e ==-<，所以当01m ≤≤时，()0h m ≤恒成立，因此01m ≤≤.2° 当1m >时，()f x 在(),1-∞上单调递减，在(]1,m 上单调递增，所以函数()1xf x e ex =--在(],m -∞上的值域为())1,f ⎡+∞⎣，即[)1,-+∞.()()2g x e x =-在（m ，＋∞）上单调递减，值域为()(),2e m -∞-.因为()F x 的值域为R ，所以()12e m -≤-，即112m e <≤-. 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 23．（1）应设计BC 长为74米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为92单位．（2）应设计BC 【解析】试题分析：（1）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，分别表示AB ，BC ，CD,根据题意得函数4cos θ+4 sin2θ,利用二倍角余弦公式得关于sin 2θ二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，利用弧长公式表示,AB CD ,得函数2θ＋4cos θ,利用导数求函数单调性,并确定最值试题解：(1)设∠AOB ＝θ，θ∈(0，)则AB ＝2sin ，BC ＝2cos θ，总热量单位f (θ) ＝4cos θ+4 sin ＝－8(sin )2＋4 sin ＋4，当sin ＝，此时BC ＝2cos θ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．答：应设计BC 长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位． (2)总热量单位g (θ)＝2θ＋4cos θ，θ∈(0，)令g'(θ)＝0，即2－4sin θ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，）当θ＝，g (θ)最大，此时BC ＝2cos θ＝ (米)答：应设计BC 长为米，电热丝辐射的总热量最大．24．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题. 25．(1) y ＝800x ＋259200x ＋16 000，252≤x ≤16. (2) 当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．【解析】试题分析：（1）先求面积，再乘以对应价格，求和得总造价，根据长、宽都不能超过16 m 要求确定定义域（2）利用导数可得函数为定义域上单调减函数，再根据单调性求最小值试题解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m ， m ，根据题意，得解得≤x ≤16. y ＝×400＋×248＋16 000＝800x ＋＋16 000，≤x ≤16. (2)y ′＝800－，当≤x ≤16时，y ′＜0，函数在上为减函数，所以当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．26．（1）x ＝2f (x )的极大值点，x ＝2f (x )的极小值点；（2）详见解析. 【解析】【分析】(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出()221()1(1)f x x ax x x '=-++，设g (x )＝x 2－ax ＋1，对a 分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝ln x ＋61x +， 2221641()(1)(1)x x f x x x x x -+'=-=++.令f ′(x )＝0⇒x ＝列表(2)()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1，∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭.当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12x x ==0＜x 1＜x 2，∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0) ，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞2．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞3．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．设()f x 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函()'f x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B 3C 3D ．r8．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃9．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（） A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（） A ．2eB ．eC ．1D ．1212．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln2+ D ．ln21-二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.15．已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值范围是_____.16．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .17．函数()()21xf x x =-的最小值是______.18．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．19．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 20．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；22．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 23．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围.24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和；（2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 26．已知函数2()2ln f x x mx x =-+ （m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解．【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥．所以实数a 的取值范围是[3,)+∞．故选：B ．【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．2．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，令()ln x g x x=-，则()()21ln ln x g x x -=′，令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减， ∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++，因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0，所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以28b x x>--，设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以12x =时，()g x 取最大值，为()max182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由xy e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【详解】试题分析：函数的递减区间对应的()0f x '<，函数的递增区间对应()0f x '>，可知B 选项符合题意.考点：函数的单调性与导数的关系.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.7．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ，因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，）因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=，得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.8．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.9．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x=有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由()312ln xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点，则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<，则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-，即不等式的解集为(2,1)--，故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<，而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=，令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立，即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论.【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ， ()212120-'∴=-=>x y x x x x，令0y '<，0x，02∴<<x，函数在2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为单调减函数；令0y '>，0x，∴>x，函数在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【解析：34m > 【分析】转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果.【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥，当0x >时，()x y f x x e x =-=-，10x y e '=->，所以函数()x y f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m >【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =，则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()6sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】通过求导得出分段函数各段上的单调性从而画出图像若要方程f （x ）﹣m=0恰有两个实根只需y=m 与y=f （x ）恰有两个交点即可从而得出的取值范围【详解】（1）x≤0时f′（x ）=ex ﹣x ﹣1易知解析：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值范围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0，所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增，且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnx f x x-=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ；故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减，故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的范围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.16．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可.【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ，因为302x AE AH -== cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ，所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<，则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =，当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.17．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14- 【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf xx=-，故可得()()311xf xx---'=，令()0f x'=，解得1x=-；故当(),1x∈-∞-时，()f x单调递减；当()1,1x∈-时，()f x单调递增；当()1,x∈+∞时，()f x单调递减.且()114f-=-，当x趋近于1时()f x趋近于正无穷；当x趋近于正无穷时，()f x趋近于零.函数图像如下所示：故()f x的最小值为14-.故答案为：14-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.18．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln,0()log,0xxf x xx x+⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m的取值范围.【详解】当0x >时，2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数；当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →；作出函数21ln ,0()log ,0x x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<；故答案为：1(0,)2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.19．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x +=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案；【详解】 ()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-． ∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=，令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==- 当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <， ∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.20．【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为：【点睛】本题考查利用导解析：18a ≥ 【分析】依题意可得()210a f x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210a f x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x = 所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题. 三、解答题21．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞.【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果；（2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a h x x x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>； ()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a t x x x '=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>，当1x =时，()2max 21x x-+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．（1）见解析；（2）若c<3102，则当v ＝3102时，总用氧量最少；若c≥3102，则当v ＝c 时，总用氧量最少．【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<3102时，函数单调递减；当v>3102时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度．【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)，返回水面用时＝ (单位时间)，用氧量为×1．5＝ (升)，因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>． (2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>， ∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝32当0<v<3102y′<0，函数单调递减；当v>32y′>0，函数单调递增．①若c<32 ，则函数在(c ，32上单调递减，在(310215)上单调递增， ∴ 当v ＝32②若c≥32，则y 在[c ，15]上单调递增，∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少．【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．（2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．23．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围；【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果；（2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<，因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低.【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x+的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根，由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=， ∵120x x <<，∴1201x x <<<，又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<， ∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+- 2112114ln x x x =-+，设221()4ln g x x x x =-+（112x <<），则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x ---+--=-+='=<， ∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=， ∴150()4ln 24g x <<-，即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。

高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)

32y x =-+C 。

43y x =-+D 。

45y x =-a(3) 函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )A ． 18B ．41C ．21D ．1(4) 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )A ．2B ．3C ．4D ．5/(5) 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 （6）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ （7）函数3()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（） A ．12B ． -1C ．0D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！（9）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23》.10设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=12函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ． 4个 13. y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )C.－114.经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( )￥+y =0或25x +y =0 －y =0或25x +y =0 +y =0或25x －y =0－y =0或25x －y =0 15.设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( )A.可能不是f (x )的极值B.一定是f (x )的极值C.一定是f (x )的极小值D.等于016.设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( )C.n n)221(+-D.1)2(4++n n n 17、函数y=(x 2-1)3+1在x=-1处( )A 、有极大值B 、无极值C 、有极小值D 、无法确定极值情况(x)=ax 3+3x 2+2，f ’(-1)=4，则a=( )<A 、310 B 、313 C 、316 D 、319abxy)(x f y ?=O19.过抛物线y=x 2上的点M （41,21）的切线的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、90020.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A 、（0，1）B 、（-∞，1）C 、（0，+∞）D 、（0，21）21.函数y=x 3-3x+3在[25,23-]上的最小值是( )A 、889B 、1C 、833D 、522、若f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时，f(0)为极大值C 、b=0D 、当a<0时，f(0)为极小值 #23、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A 、（2，3） B 、（3，+∞）C 、（2，+∞）D 、（-∞，3）24、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( )A 、至少有2个元素B 、至少有3个元素C 、至多有1个元素D 、恰好有5个元素二．填空题25．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是。

玉溪市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a2．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．e3．对于函数()sin x f x x =， 30,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，下列说法错误的是（） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点C ．函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 4．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π25．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-27．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．12B ．1C ．2D ．3 8．使函数()322912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（） A ．8B ．6C ．4D ．29．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．计算()122x x dx -⎰的结果为（）A ．0B ．1C ．23D ．5311．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2212．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．已知0a >，6x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(02a x x dx -++=⎰______.14．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．)102x dx =⎰__________．16．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.17．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 18．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．19．2(1)x dx -=⎰________.20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=，试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由.23．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大． 24．（1）已知0a >，求22aa x dx --⎰；（2）求证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π.25．（1）求曲线2y x 和曲线y x =（2cos351sin 20︒︒︒-．26．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。

高二数学理科选修2-2测试题(带答案)(最新整理)

ak +1 =Sk 1 Sk
( ak1 2
1 ak 1
1) ( ak 2
1 ak
1) =
ak+ 1 2
+
1ak+ 1
2k + 1 ．
所以 ak2+1 + 2 2k + 1ak+1 - 2 = 0
ak+1 = 2(k + 1) + 1 - 2(k + 1) - 1 所以当 n = k + 1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切 n Î N+ 都成立．
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 r2 ．
6．已知 f x 2x 13 2a 3a ,若 f 1 8 ,则 f 1
x
A．4
B．5
C． - 2
D． - 3
7．若函数 f x ln x ax 在点 P 1,b 处的切线与 x 3y 2 0 垂直,则 2a b 等于
18.已知 a b c, 求证： 1 1 4 . ab bc ac
{ 19.已知数列
an } 的前
n 项和
Sn
满足：
Sn
an2
2an 2an
2
，且 an
0, n N.
{ （1）求 a1, a2 , a3; （2）猜想 an } 的通项公式，并用数学归纳法证明
21．设函数 f x xekx k 0
10．函数 f x 的定义域为 a,b ，导函数 f x 在 a,b 内的图像如图所示，则函数 f x 在 a,b 内有极小值点
1
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
11．已知 a1 1, an1 an 且 an1 an 2 2 an1 an 1 0 ,计算 a2 , a3 ,猜想 an 等于

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高二数学选修2-2综合测试题
一、选择题：
1、i是虚数单位。已知复数413(1)3iZii，则复数Z对应点落在（）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这
些数对应的点可以排成一个正三角形

1 3 6 10 15
则第n个三角形数为（）

A．n B．2)1(nn C．12n D．2)1(nn

3、求由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积错误．．的为（）
A.40(2)xxdx B.40xdx C.222(2)yydy D.022(4)ydy
4、设复数z的共轭复数是z,且1z,又(1,0)A与(0,1)B为定点,则函数()fz︱(1)z
()zi
︱取最大值时在复平面上以z,A,B三点为顶点的图形是
A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形
5、函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意xR，'()2fx,则()24fxx的解集为

(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)
6、用数学归纳法证明412135()nnnN能被8整除时，当1nk时，对于4(1)12(1)135kk可变形为
Ａ．41412156325(35)kkk·Ｂ．441223355kk··Ｃ．412135kkＤ．412125(35)kk
7、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x)g(x)＋
f(x)g′(x)>0，且(3)0g，则不等式f(x)g(x
)<0的解集是（）

A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)
C.(－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)

8、已知函数2()fxxbx的图象在点(1,(1))Af处的切线的斜率为3，数列)(1nf
的前n项和为nS,则2011S的值为（）
20122011.20112010.20102009.2009
2008
.DCBA

9、设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x22k＋1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是 ( )
A.13k B.103k C.103k D.13k

10、函数()yfx在定义域3(,3)2内可导，其图象如图所示，记()yfx的导函数为()yfx，
则不等式()0fx的解集为（）
A．



,12,33




B．

48
1,2,33




C．31,1,222U
D．
3148
,1,,32233





11、已知函数)(131)(23Rbabxaxxxf、在区间[-1,3]上是减函数，则ba的最小值是
A. 32 B. 23 C.2 D. 3
12、函数32()393,fxxxx若函数()()[2,5]gxfxmx在上有3个零点，则m的取值
范围为（）
A．（-24,8） B．（-24,1] C．[1,8] D．[1,8）

二、填空题：
13、直线l过点(1,3)，且与曲线12yx在点(1,1)处的切线相互垂直，，则直线l的方程
为；
14、
如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点
(0,)Pp

在线段AO上的一点（异于端点），这里pcba,,,均为非零实数，设直线CPBP,分别与边
ABAC,

交于点FE,，某同学已正确求得直线OE的方程为01111yapxcb，请你完成直线OF的
方程： ( )。
15、设()()()()fxxaxbxc(,,abc是两两不等的常数),则///()()()abcfafbfc的值是