广西梧州、崇左2015届高三上摸底考试数学理试题(+WORD版)
2015广西高考压轴数学(理)试卷
2015广西高考压轴卷理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则AB =A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3. 已知点()1,1A -,()1,2B ,()2,1C --,()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AB.C.D 4. 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠= ()A BC D 5. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )A.25B.35100C.78D.576. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A ．4B ．143C ．163D ．6 7. 将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．248.已知函数2()2(2)88,f x f x x x =--+- 则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+9.已知,x y满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z axby a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A．5 B ．4 CD ．2俯视图 侧视图10..在直三棱柱111ABC A B C -中，A 1,2,B AC BC ===,D,E 分别是1AC 和1BB 的中点，则直线DE 与平面11BB C C 所成角为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π11.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49 D.3 12.已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-二.填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
广西梧州市高考数学三模试卷理(含解析)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知函数f （x ）=则f （x ）dx=（）A ． ﹣B ． +C ． +D ． ﹣9．（5分）设函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）对任意的x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （+x ），若函数g （x ）=3sin （ωx+ϕ）﹣2，则g （）的值是（）A ． 1B ． ﹣5或3C ． ﹣2D ．10．（5分）点M （x ，y ）在直线x+y ﹣10=0上，且x ，y 满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（） A ． [0，]B ． [0，5]C ． [5，]D ． [5，]11．（5分）过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）直线y=m 分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx 交于A 、B ，则|AB|的最小值为（）A ．B ．C ． 2D ． 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在△ABC 中，若AB=1，AC=3，•=，则S △ABC =．14．（5分）若球的半径为a ，球的最大截面面积为4π，则二项式（a ﹣）4的展开式中的常数项为．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={0，1}，由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，即x（x﹣2）≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，则A∩B={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过化简，计算即可．解答：解：∵z+i=zi，∴z=====﹣i，∴=+i，故选：A．点评：本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论．解答：解：由题可知：a3•a18=a1•a20=100，∴a 3+a18≥2=2×10=20，故选：A．点评：本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的等价条件进行判断即可．解答：解：若∥，则，即m2=2，则m=±，故“∥”是“m=”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于111的概率是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计；算法和程序框图．分析：由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于111得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于111的概率．解答：解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4，此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥111得x≥13，由几何概型得到输出的x不小于111的概率为P==，故选：B点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：连接EF，由BF=CF，我们易得∠FED是线面所成角，设棱长为a，求出三角形FED的各边长，代入余弦定理，求出∠FED的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF所成角的正弦值．解答：解：连接EF，由BF=CF，BD=CD可得FE⊥BC，DE⊥BC∴∠FED是线面所成角设棱长a，CD=a，ED=BF=CF= a三角形BCF是等腰三角形，则EF= a由余弦定理，cos∠FED=则SIN∠FED=故选B点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出∠FED 即为直线DE与平面BCF所成角的平面角．7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：由等比中项的性质列出式子，结合条件和正弦定理求出a的表达式，代入式子化简即可求出的值．解答：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，①又A=60°，则由正弦定理得：=，即a=，代入①得，，则，所以=sinA=sin60°=，故选：B．点评：本题考查了正弦定理，以及等比中项的性质的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=则f（x）dx=（）A．﹣B．+C．+D．﹣考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）dx=dx+x2dx，分别根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算计算即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（x）dx=dx+x2dx，∵dx表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，∴dx=π•2=，∴f（x）dx=dx+x2dx=+x3|=+，故选：B．点评：本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．9．（5分）设函数f（x）=cos（ωx+ϕ）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+ϕ）﹣2，则g（）的值是（）A．1 B．﹣5或3 C．﹣2 D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（﹣x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函数的关系进行求解即可．解答：解：∵对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），∴x=是函数f（x）的对称轴，此时f（x）=cos（ωx+ϕ）取得最值，而y=sin（ωx+ϕ）=0，故g（）=0﹣2=﹣2，故选：C点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．10．（5分）点M（x，y）在直线x+y﹣10=0上，且x，y满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（）A．[0，] B．[0，5] C．[5，] D．[5，]考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0、x﹣y﹣5=0的交点坐标，可得，再求出原点到直线x+y﹣10=0的距离，即可求出的取值范围．解答：解：直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；直线x+y﹣10=0与x﹣y﹣5=0联立可得交点坐标为（，），此时==；原点到直线x+y﹣10=0的距离为=5，∴的取值范围是[5，]．故选：C．点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．12．（5分）直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．解答：解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，∴x1=（x2+lnx2）﹣，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+，令y=（x﹣lnx）+，则y′=（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数的最小值为2，故选：C．点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=3，•=，则S△ABC=．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．解答：解：在△ABC中，AB=1，AC=3，所以=1×3×cosA=∴cosA=，∴sinA=则S△ABC=sinA==故答案为：点评：本题考查三角形的面积的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由球的最大截面面积求出a值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r 值，则答案可求．解答：解：由题意可知πa2=4π，即a=2．∴（a﹣）4 =（2﹣）4 ，由=．令2﹣r=0，得r=2．∴二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．故答案为：24．点评：本题考查圆的面积公式，考查了二项式系数的性质，是基础题．15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则•的范围是[﹣2+2，2+2]．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ），可得•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ）．∴•=（2，0）•（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，∵﹣1≤cosθ≤1，∴•的范围是[﹣2+2，2+2]，故答案为：[﹣2+2，2+2]．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．则其中正确的命题为①④．考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1即可判断；对于③由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确故答案为：①④．点评：本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）由题意等差数列{a n}中a2=17，S10=100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列{b n}的通项公式，然后当n为奇数时T n=b1+b2++b n=，当n为奇数时，T n=b1+b2+…+b n==2n+1+n﹣22，即可求出结果．解答：解：（I）设a n首项为a1，公差为d，则解得（5分）∴a n=19+（n﹣1）×（﹣2）=21﹣2n（7分）（II）∵b n=a n cos（nπ）+2n=（﹣1）n a n+2n当n为偶数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（a n+2n）=（10分）当n为奇数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（﹣a n+2n）===2n+1+n﹣22（13分）∴（14分）点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题．18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014代号t 1 2 3 4 5 6 7销售额y 27 31 35 41 49 56 62（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：b==．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）有给定的坐标系中描出各组数据对应的点，可得年份代号与销售额的散点图；（2）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（3）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区的销售额．解答：解：（1）年份代号与销售额的散点图如下所示：（2）由已知中的数据可得：=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（27+31+35+41+49+56+62）=43，=1373，=140，故===≈6.04，则=﹣6.04=18.84，故y关于t的线性回归方程=6.04x+18.84，（3）的年份代号为8，当t=8时，=6.04×8+18.84=67.16，故预测该企业的销售额约为67.16亿元点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角的余弦值．解答：（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1∵BC1⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．∴=（2，0，3），=（，，3），．设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），则，令a=1，得=（1，，﹣）．同理平面ABD的法向量=（0，﹣6，）．∴cos＜，＞=．点评：由三视图可得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二面角的余弦值是解题的关键．20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；（2）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．解答：解：（1）∵曲线C为圆，则曲线C为x2+y2=1，∴A（﹣1，0），B（1，0），P（1，±），∴直线AP的方程为：y=±（x+1），∴圆心到直线AP的距离为d=，∴弦AM=2=2=；（2）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），由得：（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0，设点M（x M，y M），∴x M•（﹣a）=，故x M=，从而y M=k（x M+a）=，∴M（，），∵B（a，0），∴=（，），由BM⊥OP，可得•==0，即﹣2a4k2+4a2k2=0，∵k≠0，a＞0，∴a=，经检验，当a=时，O、N、P三点共线，∴曲线C的方程是：+y2=1．点评：本题考察了直线和圆锥曲线的问题，第一问中求出AP的方程是解题的关键，第二问中求出M点的坐标，利用向量垂直的性质是解题的关键，本题是一道难题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得f′（x）=﹣a=．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=，k2=g′（x2）=e x2=，所以x2=1，y2=e，则k2=e x2=e．由题意知，切线l1的斜率为k1==，l1的方程为y=k1x=x．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f′（x1）=﹣a==，所以y1==1﹣ax1，a=﹣．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得lnx1﹣1+﹣=0．令m（x）=lnx﹣1+﹣=0，则m′（x）=﹣=，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0，所以x1∈（，1），而a=﹣在x1∈（，1）上单调递减，所以＜a＜．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=﹣=0（舍去）．综上可知，＜a＜（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，h′（x）=ex+﹣a．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以h′（x）=ex+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为h″（x）=ex﹣=≥0，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP•PB=PD•PC；（2）求圆心O到弦CD的距离．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）证明△APC∽△DPB，可得AP•PB=PD•PC；（2）利用垂径定理、勾股定理，即可求圆心O到弦CD的距离．解答：（1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB，∴，∴AP•PB=PD•PC；（2）解：由（1）知，AP•PB=PD•PC，可得2×2=1×PC，∴PC=4，过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，在△OMC中，d==．点评：本题考查三角形相似的判定与性质，考查垂径定理、勾股定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的范围．（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）化圆的参数方程为普通方程，利用过原点的圆的切线的斜率求得的范围；（2）化圆的直角坐标方程为极坐标方程，和直线线θ=联立后，利用根与系数的关系求解．解答：解：（1）由，得（x﹣2）2+y2=3，如图，设过原点的直线方程为y=kx，由圆心（2，0）到直线的距离为，得，即，∴的范围为[]；（2）曲线C的极坐标方程可化为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，把θ=代入上式可得：，设A，B两点的极径分别为ρ1，ρ2，则．故|OA|+|OB|=．点评：本题考查参数方程化普通方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．考点：不等式的证明；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件把不等式的左边化为[3++++]，再利用基本不等式证得结论．解答：解：（1）根据f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，由不等式f（x）＜2，可得①，或②，或③．解①求得＜x≤1，解②求得1＜x＜3，解③求得 x∈∅，综上可得，原不等式的解集为{x|＜x＜3}．（2）∵a+b+c=2，∴++=[++]=[3+++]=[3++++]≥（3+2+2+2）=，当且仅当a=b=c时，取等号，故++≥成立．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用基本不等式证明不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
2015届广西学业水平考试数学模拟考及详细参考答案
2015届广西普通高中数学学业水平考试模拟考一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}2,1{},3,2,1{==N M ，则N M 等于A ．}2,1{B ．}3,1{C ．}3,2{D ．}3,2,,1{ 2．函数)2lg()(-=x x f 的定义域是A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),3(+∞D ．),3[+∞ 3．0410角的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．抛掷一枚骰子，得到偶数点的概率是A ．61 B ．41 C ．31 D ．215．在等差数列}{n a 中，11=a ，公差2=d ，则8a 等于 A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．下列函数中，在区间),0(+∞内单调递减的是 A ．2x y = B ．xy 1=C ．x y 2=D ．x y 2log = 7．直线0=-y x 与02=-+y x 的交点坐标是A ．)1,1(B ．)1,1(--C ．)1,1(-D ．)1,1(-8．命题甲“sin 0x >”，命题乙“0x >”，那么甲是乙的（ ） （A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（第16题图）正（主）视图侧（左）视图俯视图9．圆0622=-+x y x 的圆心坐标和半径分别是A ．9),0,3(B ．3),0,3(C ．9),0,3(-D ．3),0,3(- 10．313tanπ的值是 A ．33- B ．3- C ．33 D ．311．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知0120,2,1===C b a ，则c 等于 A ．2 B ．5 C ．7 D ．4 12．在等比数列}{n a 中，44=a ，则62a a ⋅等于 A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 13．将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为A ．321sin(2π+=x yB ．)621sin(2π+=x yC ．32sin(2π+=x y D ．)322sin(2π+=x y 14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若B c b si n 2=，则C sin 等于 A ．1 B ．23 C ．22 D ．21 15．曲线x x x y 223-+=在1-=x 处的切线斜率是（ ）(A) 1 (B) －1 (C) 16．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2甲 乙85 0 1 2 3 2 2 8 8 95 2 3 5 第25题图17．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 表示的平面区域面积是A ．21B ．41C ．1D ．218．容量为100的样本数据被分为6组，如下表第3组的频率是 A ．15.0 B ．16.0 C ．18.0 D ．20.0 19．若c b a >>，则下列不等式中正确的是A ．bc ac >B ．c b b a ->-C ．c b c a ->-D ．b c a >+ 20．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A ．11 B ．12 C ．131 D ．132 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x x x f ，则=)3(f ____________．22．过点)1,0(且与直线02=-y x 垂直的直线方程的一般式是____________． 23．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．已知36=a ，则=11S ___________．24、甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中得分的茎叶图如图所示，记甲的平均分为a ，乙的平均分为b ，则=-a b ___．2015届学业水平考试模拟考（二）数学科答题卡MCV ABD第27题图一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21 22 23 24 三、解答题（本大题共4小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25.（本题满分6分）已知抛物线的焦点和双曲线224520x y -=的一个焦点重合，求抛物线的标准方程.26．（本小题满分6分）已知向量a =)3,sin 1(x +，b =)3,1(．设函数=)(x f b a ⋅，求)(x f 的最大值及单调递增区间． 27．（本小题满分8分）已知：如图，在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是 平行四边形，M 为侧棱VC 的中点．求证：//VA 平面BDM 28．（本小题满分8分）已知函数)(5)1(23)(2R k k x k x x f ∈++-+=在区间)2,0(内有零点，求k 的取值范围．参 考 答 案一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21 9 22 x+2y-2=0 23 33 24 0.5三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25、抛物线的标准方程为：x y 122±=26函数f(x)=a·b=1+sinx+3= sinx+4，所以最大值是5.增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2],k ∈Z.27、连结AC 交BD 于O 点，连结OM.底面ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，又因M 为侧棱VC 的中点，所以VA ∥OM,因为OM ⊂平面BDM,VA ⊄平面BDM, 所以//VA 平面BDM .28、f(x)=3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5在区间(0，2)内有零点， 等价于方程3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5=0在(0，2)内有实数根，则：(1)判别式△=4(k －1)2－12(k ＋5)=0时，得：k=7或者k=－2，此时方程的根分别是： k=7时，根是：x1=x2=－2；k=－2时，根是：x1=x2=1. 因为方程在(0，2)内有实数根，所以k=-2.（k=7舍去） (2)若判别式大于0，则：k>7或k<－2.此时：①若两根都在(0，2)内，则：对称轴x=-(k-1)/3在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-+=>+=<--<>+--=05)1(412)2(05)0(23100)5(12)1(42k k f k f k k k △解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<<>513-5-15-2-7k k k k k 或得：2-513-<<k . ②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－13/5. (3)当f(2)=0时，即12+4(k-1)+k+5=0,k=-13/5.此时f(0)=k+5=12/5>0,所以k=-13/5符合题意.当f(0)=k+5=0时，k=-5,此时f(2)= 12+4(k-1)+k+5=-12<0,不符合题意，舍去.得：k=513-.综上可得：－5<k ≤-2.。
数学_2015年广西南宁市某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年广西南宁市某校高考数学一模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 抛物线x 2=−2y 的焦点坐标是( ) A (−1, 0) B (1, 0) C (0,−12) D (0,12) 2. 设复数z 满足1+2i z=i ，则 z ¯=( )A −2+iB −2−iC 2+iD 2−i 3. 下列结论正确的是（ ）A 若向量a → // b →，则存在唯一的实数λ使得a →=2λb →B 已知向量a →，b →为非零向量，则“a →，b →的夹角为钝角”的充要条件是“a →，b →<0” C 命题：若x 2=1，则x =1或x =−1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠−1，则x 2≠1 D 若命题P:∃x ∈R ，x 2−x +1<0，则￢P:∀x ∈R ，x 2−x +1>04. 设集合P ={x|∫(x03t 2−10t +6)dt =0, x >0}，则集合P 的非空子集个数是（ ） A 2 B 3 C 7 D 85. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A 4B 5C 6D 76.一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（ ）A a 3B a 33 C a 36 D5a 367. 已知某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ̂=0.95x +a ̂，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A 2.6万元B 8.3万元C 7.3万元D 9.3万元8. 已知点P(a, b)与点Q(1, 0)在直线2x +3y −1=0的两侧，且a >0，b >0，则w =a −2b 的取值范围是（ ）A [−23, 12] B (−23, 0) C (0, 12) D (−23, 12)9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n =4(a 1+a 3+...+a 2n−1)，a 1a 2a 3=27，则a 6=( )A 27B 81C 243D 72910. 设AB →=(k, 1)(k ∈Z)，AC →=(2, 4)，若k 为满足|AB →|≤4的一个随机数，则△ABC 是直角三角形的概率是（ ） A 17B 27C 37D 4711. 已知圆C ：(x +c)2+y 2=4a 2，点A(c, 0)，其中c >a >0，M 是圆C 上的动点，MA 的中垂线交MC 所在直线于P ，则点P 的轨迹是（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 直线12. 已知以T =4为周期的函数f(x)={m√1−x 2，x ∈(−1,1]1−|x −2|,x ∈(1,3]，其中m >0，若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A (√153, 83) B (√153, √7) C (43, √7) D (43, 83)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1∼1000编号，并按照编号顺序平均分成100组（1∼10号，11∼20号，…，991∼1000号）．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为________． 14. 已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足|OA →+OB →|=|OA →−OB →|，则实数a 的________．15. 四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，AB =PA =2，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，则MD 与AN 所成角的余弦值为________．16. 如图所示，6个扇形区域A，B，C，D，E，F，现给这6个区域着色，要求同一个区域涂同一种颜色，相邻的两个区城不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可用，那么一共有多少种不同的涂色方法？三．解答题：（本大题共5小题，17至21每题12分，选做题10分，共70分）17. 已知函数f(x)=sinx⋅(2cosx−sinx)+cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）设π4<α<π2，且f(α)=−5√213，求sin2α的值．18. 在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：（1）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；（2）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. 已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120∘，PA=b．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O−PM−D的正切值为2√6，求a:b的值．20. 已知动点P到定点F(1, 0)和到直线x=2的距离之比为√22，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l:y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点（交点位于线段AB上，且与A，B不重合）.(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax+b xe x ，a ，b ∈R ，且a >0．(1)若a =2，b =1，求函数f(x)的极值； (2)设g(x)=a(x −1)e x −f(x)．①当a =1时，对任意x ∈(0, +∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；②设g ′(x)为g(x)的导函数，若存在x >1，使g(x)+g ′(x)=0成立，求ba 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]：22. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外接圆劣弧AC ̂上的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F （1）求证：∠CDF ＝∠EDF ；（2）求证：AB ⋅AC ⋅DF ＝AD ⋅FC ⋅FB ．[选修4-4极坐标与参数方程选讲]23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t （t 为参数） （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．[选修4-5不等式选讲]24. 已知a +b ＝1，对∀a ，b ∈(0, +∞)，1a +4b ≥|2x −1|−|x +1|恒成立， (Ⅰ)求1a +4b 的最小值； (Ⅱ)求x 的取值范围．2015年广西南宁市某校高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. C4. B5. A6. D7. B8. D9. C 10. C 11. B 12. B 13. 96 14. ±2 15. 2516. 解：(1)当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，故有4×3×3×3=108种方法．(2)当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有4×3×3=36种着色方法，此时B 、D 、F 有3×2×2=12种着色方法，故共有432种着色方法．(3)当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有4×3×2=24种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法．此时共有24×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．17. 解：（1） f(x)=sin2x −sin 2x +cos 2x =sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)，故函数f(x)的最小正周期是T =2π2=π． （2）由f(α)=−5√213，即√2sin(2α+π4)=−5√213，得sin(2α+π4)=−513，因为π4<α<π2，所以3π4<2α+π4<5π4，可得cos(2α+π4)=−1213， 则sin2α=sin[(2α+π4)−π4]=√22sin(2α+π4)−√22cos(2α+π4)=√22×(−513)−√22×(−1213)=7√226． 18. 解：（1）学生甲的平均成绩x ¯甲=68+76+79+86+88+956=82，学生乙的平均成绩x ¯乙=71+75+82+84+86+946=82，又S 甲2=16[(68−82)2+(76−82)2+(79−82)2+(86−82)2+(88−82)2+(95−82)2]=77，S 乙2=16[(71−82)2+(75−82)2+(82−82)2+(84−82)2+(86−82)2+(94−82)2]=1673，则x ¯甲=x ¯乙，S 甲2>S 乙2，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2， 则P(ξ=0)=C 42C 62=25，P(ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P(ξ=2)=C 22C 62=115，ξ的分布列为所以数学期望Eξ=0×25+1×815+2×115=23．19. 解：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ， 又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，因为PA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． （2）解：过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD ，因为DO ⊥平面PAC ，由三垂线定理可得DH ⊥PM ，所以∠OHD 为A −PM −D 的平面角 又OD =√32a ，OM =a 4，AM =3a4，且OH OM =APPM 从而OH =b √b 2+916a 2⋅a4=ab√16b 2+9a 2∴ tan∠OHD =OD OH=√3(16b 2+9a 2)2b =2√6所以9a 2=16b 2，即ab =43．20. 解：(1)设点P(x, y)，由题意可得，√(x−1)2+y 2|x−2|=√22， 整理可得：x 22+y 2=1． ∴ 曲线E 的方程是x 22+y 2=1．(2)设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，由已知可得：|AB|=√2，当m =0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2+y 2=1相切， 可得：√m 2+1=1，即m 2+1=n 2，联立{y =mx +n ，x 22+y 2=1，消去y 得(m 2+12)x 2+2mnx +n 2−1=0．Δ=4m 2n 2−4(m 2+12)(n 2−1)=2m 2>0，所以，x 1+x 2=−4mn2m 2+1， x 1x 2=2n 2−22m 2+1，S 四边形ACBD =12|AB||x 2−x 1|=2√2m 2−n 2+12m 2+1=2|m|2m 2+1=22|m|+1|m|≤√22． 当且仅当2|m|=1|m|，即m =±√22时等号成立，此时n =±√62． 经检验可知，直线y =√22x −√62和直线y =−√22x +√62符合题意． 21. 解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=(2+1x )e x ，定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)， ∴ f ′(x)=(x+1)(2x−1)x 2e x ，令f′(x)>0得：x <−1或x >12， 令f ′(x)<0得−1<x <0或0<x <12，∴ 函数y =f(x)，在(−∞, −1)和(12，+∞)上单调递增，在(−1, 0)和(0, 12)上单调递减；∴ f(x)的极大值是f(−1)=1e，极小值是f(12)=4√e ；(2)g(x)=(ax −bx−2a)e x ，①当a =1时，g(x)=(x −bx −2)e x ， ∵ g(x)≥1在x ∈(0, +∞)上恒成立， ∴ b ≤x 2−2x −xe x 在x ∈(0, +∞)上恒成立． 记ℎ(x)=x 2−2x −xe x ，(x >0)， 则ℎ′(x)=(x−1)(2e x +1)e x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, 1)上是减函数；当x>1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(1, +∞)上是增函数；∴ ℎ(x)min=ℎ(1)=−1−e−1，∴ b的最大值为−1−e−1．②∵ g(x)=(ax−bx−2a)e x，所以g′(x)=(bx2+ax−bx−a)e x，由g(x)+g′(x)=0，得(ax−bx −2a)e x+(bx2+ax−bx−a)e x=0，整理得2ax3−3ax2−2bx+b=0．存在x>1，使g(x)+g′(x)=0成立，等价于存在x>1，2ax3−3ax2−2bx+b=0成立，∵ a>0，∴ ba =2x3−3x22x−1，设u(x)=2x 3−3x22x−1(x>1)，则u′(x)=8x[(x−34)2+316](2x−1)2，∵ x>1，u′(x)>0恒成立，∴ u(x)在(1, +∞)上是增函数，∴ u(x)>u(1)=−1，∴ ba >−1，即ba的取值范围为(−1, +∞)．22. （II）由(I)得∠ADB＝∠ABF，∵ ∠BAD＝∠FAB，∴ △BAD∽△FAB，∴ ABAF =ADAB，∴ AB2＝AD⋅AF，∵ AB＝AC，∴ AB⋅AC＝AD⋅AF，∴ AB⋅AC⋅DF＝AD⋅AF⋅DF，根据割线定理DF⋅AF＝FC⋅FB，∴ AB⋅AC⋅DF＝AD⋅FC⋅FB．23. 解：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，…又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ 曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．…（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=−43(x−2)．…令y=0，得x=2，即M点的坐标为(2, 0)．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C(0, 1)，半径r=1，∵ 直线l与x轴的交点是M，∴ M(2, 0)，∴ |MC|=√4+1=√5，…∵ N是曲线C上一动点，∴ |MN|≤|MC|+r=√5+1．故MN的最大值为√5+1．…24. （1）∵ a>0，b>0且a+b＝1∴ 1a +4b=(a+b)(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当b＝2a时等号成立，又a+b＝1，即a=13,b=23时，等号成立，故1a +4b的最小值为9．（2）因为对a，b∈(0, +∞)，使1a +4b≥|2x−1|−|x+1|恒成立，所以|2x−1|−|x+1|≤9，当x≤−1时，2−x≤9，∴ −7≤x≤−1，当−1<x<12时，−3x≤9，∴ −1<x<12，当x≥12时，x−2≤9，∴ 12≤x≤11，∴ −7≤x≤11．。
2015级高三摸底考试数学理科答案及评分意见
数学(理科)参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选 择 题 ,共 ６０ 分 )
一 、选 择 题 :(每 小 题 ５ 分 ,共 ６０ 分 )
１．B;
２．A;
３．C;
７．B;
８．C;
９．D;
４．C; １０．; １２．B．
第 Ⅱ 卷 (非 选 择 题 ,共 ９０ 分 )
������ ������ ������ ������１１ 分 ������ ������ ������ ������１２ 分
２１．解 :(Ⅰ )f′(x)＝１－ax－２１nx(x＞０)．
由f′(x)＝０,得x＝e１－a ．
������ ������ ������ ������１ 分
当０＜x＜e１－a 时,f′(x)＞０．此时函数f(x)单调递增;
{ { a＝３
a＝ －２
∴
,或
．
b＝－９ b＝１
经检验符合题意．
(Ⅱ )∵a＞０,由 (Ⅰ ),得 f(x)＝x３ ＋３x２ －９x＋９． ∴f′(x)＝３x２＋６x－９． ∴f(－２)＝３１,f′(－２)＝ －９． ∴ 所 求 切 线 方 程 为 ９x＋y－１３＝０．
１８．解 :(Ⅰ )由 题 意 ,可 得 x������＝７,y������＝３．
５
５
������xiyi
i＝１
＝１１０,i���＝５���１xi２＝２５５,b∧ ＝i���＝������１５x���xiyi２i－－５５x���x������２���y������＝
１ ２
．
i＝１
∵a∧ ＝y������－b∧x,∴a∧ ＝
－
１ ２
．
∴
所
2015年广西梧州市高考数学一模试卷(理科)及参考答案
）的图象向左平移
个单位后关 ． + …+
]上取得最小值时，x＝
16． （5 分） 数列{an}满足 a1＝ ， an+1＝an2﹣an+1 （n∈N*） ， 则 m＝ 的整数部分是 ．
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17． （12 分）在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB＝2，BC＝ 延长线上一点，且 CD＝ （1）求∠BCD 的大小； （2）求 BD 的长． 18． （12 分）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越 多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出 10 名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个 方案，每个方案都有 M（文化） 、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成 绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每 个方案中的 M、N 两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计， 某同学完成甲方案和乙方案的 M、N 两个考核内容的情况如表： 表 1：甲方案 考核内容 M（文化） N （面 试 ） 得分 概率 表 2：乙方案
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分）向量 ＝（﹣1，1） ， ＝（x，2） ，若（ ﹣ ）⊥ ，则 ， 的夹角 为 ． ．
14． （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
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15． （5 分）函数 f（x）＝cos（2x+φ） （|φ|＜ 于原点对称，则当函数 f（x）在[0，
（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为（ B．﹣ C．1 D．﹣1
3． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝sin2x， 则 f（﹣ A． ）＝（ ） C． ） D．﹣
数学_2015年广西高考数学压轴试卷(理科)(含答案)
2015年广西高考数学压轴试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{x||x −1|<2}，B ＝{y|y ＝2x , x ∈[0, 2]}，则A ∩B ＝（ ） A [0, 2] B (1, 3) C [1, 3) D (1, 4)2. 设复数z 满足(z −2i)(2−i)=5，则z =( ) A 2+3i B 2−3i C 3+2i D 3−2i3. 已知点A(−1, 1)，B(1, 2)，C(−2, −1)，D(3, 4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为（ ） A3√22 B 3√152 C −3√22 D −3√1524. 在△ABC 中，∠ABC =π4，AB =√2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝（ ） A √1010 B√105 C 3√1010 D √555. 两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A 事件为”从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B 事件为”从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)等于（ ） A 25 B 35100 C 78 D 576. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A 4B 143 C 163 D 67. 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ） A 144 B 120 C 72 D 248. 已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(x −2)−x 2+8x −8，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是（ ）A y =2x −1B y =xC y =3x −2D y =−2x +39. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤02x −y −3≥0 ，当目标函数z ＝ax +by(a >0, b >0)在该约束条件下取到最小值2√5时，a 2+b 2的最小值为（ ） A 5 B 4 C √5 D 210.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =1，AC =2，BC =√3，D ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为（ ） A π6B π4C π3D π211. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|＝3b ，|PF 1|⋅|PF 2|=94ab ，则该双曲线的离心率为（ ） A 43B 53C 94D 312. 已知a 为常数，函数f(x)=x(lnx −ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则（ ） A f(x 1)<0，f(x 2)<−12B f(x 1)>0，f(x 2)>−12C f(x 1)<0，f(x 2)>−12D f(x 1)>0，f(x 2)<−12二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13. 设函数f(x)=(12−√2)n，其中n =3∫cos π2−π2xdx ，则f(x)的展开式中x 2的系数为________． 14. 关于函数f(x)=4sin(2x +2π3)(x ∈R)，有下列命题：(1)由f(x 1)=f(x 2)=0，可得x 1−x 2必定是π的整数倍； (2)y =f(x)的表达式可改写为y =4cos(2x +π6)； (3)y =f(x)的图象关于点(π6, 0)对称；(4)y =f(x)的图象关于直线x =−π6对称，其中正确的命题的序号是________．15. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−4x ，那么，不等式f(x +2)<5的解集是________．16. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=1，点P 在直线l:x +y +1=0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________．三．解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必做题17. 已知数列{a n }满足a n <0，a n 2+(n −1)a n −n =0， （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．2n18. 某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AD // BC，∠BAD=90∘，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．（1）证明：AC⊥EF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．20. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(−√3，0)，(√3，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(−1, 0)且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，（1）若a=−1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率；2（2）求f(x)的单调区间；（3）设g(x)=2x−2，若存在x1∈(0, +∞)，对于任意x2∈[0, 1]，使f(x1)≥g(x2)，求a的范围．(二)选做题（请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE．(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1, −5)，点M的极坐标为(4, π2)．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．2015年广西高考数学压轴试卷（理科）答案1. C2. A3. A4. C5. C6. B7. D8. A9. B10. A11. B12. C13. 1514. (2)，(3)15. (−7, 3)16. [−1, 2]17. 解：（1）由a n2+(n−1)a n−n=0得：(a n+n)(a n−1)=0，由a n<0，得a n=−n…（2）由（1）得，a n2n =−n2n，∵ S n=a12+a222+⋯+a n2n，∴ S n=−12+−222+⋯+−n2n=−(12+222+⋯+n2n)①则12S n =−(122+223+⋯+n 2n+1) ②①-②得，12S n =−(12+122+123+⋯+12n −n 2n+1)=−[1−(12)n−n 2n+1]，即12S n =−(1−n+22n+1)=n+22n+1−1， 则S n =n+22n−2．…18. 解：（1）抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为(0.06+0.02)×5×200=80人参加社区服务时间不少于90小时的概率80200=0.4；（2）ξ=0，1，2，3，则P(ξ=0)=0.63=0.216，P(ξ=1)=C 31⋅0.4⋅0．62=0.432，P(ξ=2)=C 32⋅0．42⋅0.6=0.288，P(ξ=3)=0.43=0.064 ∴ ξ的分布列为19. 易知AB ，AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB =t ，则相关各点的坐标为：A(0, 0, 0)，B(t, 0, 0)，C(t, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(t2，0，1)F(0, 1, 0)．从而EF →=(−t2, 1, −1)，AC →=(t, 1, 0)，BD →=(−t, 2, 0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=−t 2+2+0=0． 解得t =√2或t =−√2（舍去）． 于是EF →=(−√22, 1, −1)，AC →=(√2, 1, 0)．因为AC →⋅EF →=−1+1+0=0，所以AC →⊥EF →，即AC ⊥EF ． 由(1)知，PC →=(√2, 1, −2)，PD →=(0, 2, −2)．设n →=(x, y, z)是平面PCD 的一个法向量，则{√2x +y −2z =02y −2z =0令z =√2，则n →=(1, √2, √2)．设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，EF →>|=15． 即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15．20. 解：（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(−√3，0)，(√3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．… 故曲线C 的方程为x 24+y 2=1． …（2）存在△AOB 面积的最大值．…因为直线l 过点E(−1, 0)，设直线l 的方程为 x =my −1或y =0（舍）． 则{x 24+y 2=1x =my −1.整理得 (m 2+4)y 2−2my −3=0．… 由△=(2m)2+12(m 2+4)>0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 解得y 1=m+2√m 2+3m 2+4，y 2=m−2√m 2+3m 2+4．则 |y 2−y 1|=4√m 2+3m 2+4．因为S △AOB =12|OE|⋅|y 1−y 2| =2√m 2+3m 2+4=√m 2+3+1√m 2+3． …设g(t)=t +1t，t =√m 2+3，t ≥√3． 则g(t)在区间[√3，+∞)上为增函数． 所以g(t)≥4√33．所以S △AOB ≤√32， 当且仅当m =0时取等号，即(S △AOB )max =√32． 所以S △AOB 的最大值为√32．…21. 解：（1）∵ f(x)=ax +lnx ，∴ f′(x)=ax+1x(x >0)若a =−1，k =f ′(12)=−1+2=1（2）当a ≥0，f′(x)>0，∴ f(x)在(0, +∞)为增函数当a <0，令f ′(x)>0，∴ 0<x <−1a ，f ′(x)<0，∴ x >−1a ，综上：a≥0，f(x)的单调增区间为(0, +∞)；a<0时，f(x)的单调增区间为(0, −1a)，单调减区间为(−1a,+∞)；（3）由（2）知，当a≥0时，符合题意；当a<0时，f(x)的单调增区间为(0, −1a )，单调减区间为(−1a,+∞)∴ f(x)max=f(−1a )=−1+ln(−1a)由题意知，只需满足f(x)max≥g(x)max=g(1)=0，∴ −1+ln(−1a)≥0，∴ −1e≤a<0综上：a≥−1e22. 证明：(1)如图：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴ ∠D＝∠CBE，∵ CB＝CE，∴ ∠E＝∠CBE，∴ ∠D＝∠E；(2)设BC的中点为N，连接MN，如图：则由MB＝MC知MN⊥BC，∴ O在直线MN上，∵ AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴ OM⊥AD，∴ AD // BC，∴ ∠A＝∠CBE，∵ ∠CBE＝∠E，∴ ∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴ △ADE为等边三角形．23. 解（1）直线l的参数方程为{x=1+12ty=−5+√32t，（t为参数）圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）因为M(4,π2)对应的直角坐标为(0, 4)直线l化为普通方程为√3x−y−5−√3=0圆心到l的距离d=√3|√3+1=9+√32>4，所以直线l与圆C相离．。
广西梧州市2015届高三第三次模拟数学(文)试卷 (Word版含答案)
梧州市2015届高三第三次模拟试卷文科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意：1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效。
2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。
3．选择题，请用2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。
非选择题，请用 0. 5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 {}{}(2)|ln(2),|21,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤=A ． {}|1x x ≥B ． {}|12x x ≤<C ． {}1D ． {}0,12．已知复数z 满足方程z ii z+=（i 为虚数单位），则 z = A. 1122i + B ． 1122i - C ． 1122i -- D ． 1122i -+3．一个四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. l B ．2 C 3． D ．44．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ⋅=，那么 318a a + 的最小值为A.20 B ．25 C. 50 D ．不存在5．若实数x ，y 满足约束条 330,240,220.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=x+y 的最大值为A.1 B ．2 C. 3 D ．56.已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则等于A.2 B ．3 C.4 D ．5 7.命题p:已知αβ⊥，则l α∀⊂，都有l β⊥命题q:已知//l α，则m α∃⊂，使得l不平行于m （其中αβ、是平面，l 、m 是直线），则下列命题中真命题的是A. ()q ⌝∧⌝(p) B ． ()p q ∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D ． q ⌝∧(p) 8．在△ABC 中,A=60，若a,b,c 成等比数列，则sin b Bc=A.12 B ． C. 2 D ． 9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，l ，0)， (0，1,0)， (1，1，1)，则该四面体的外接球的体积为A.B ．π C. D ． 2π10．设函数 1()cos 2f x x ω=对任意的 x R ∈，都有 ()()66f x f x ππ-=+，若函数 ()23sin g x x ω=-+，则 ()6g π的值是A. 1 B ． -5或3 C. -2 D ．1210.点 (,)M x y 在直线x+y-10=0上，且x ，y 满足 55x y -≤-≤，则 围是A. ⎡⎢⎣⎦ B ． 0,⎡⎣ C. ⎡⎢⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-，则双曲线的离心率为A.B ．5 C. 2D ． 12.直线y=m 分别与曲线y=2x+3， ln y x x =+交于A ，B ，则 AB 的最小值为A.32 B ．4C. 2 D ． 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.在 ∆ABC 中，若 31,32AB AC AB AC ==⋅=,则 ABC S ∆为_________。
广西梧州、崇左两市联考2015届高三上学期摸底数学(文)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（C u A ）∩B=（ ） A ． {2} B ． {4，6}C ． {l ，3，5}D ． {4，6，7，8}【答案】B考点：集合的运算.2．已知复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z=（ ） A ． -1＋i B ． －1－iC ． 1＋iD ． 1﹣i【答案】C考点：复数的运算. 3．设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则•等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为6a b +=，所以()222626a ba ab b +=⇒+⋅+=又因为1,2a b ==，所以1246a b +⋅+=，解得：12a b ⋅=， 故选D.考点：平面向量的概念与运算. 4．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ）A ． y=±2xB ． y=±xC ． y=±xD ． y=±x【答案】A考点：双曲线的简单几何性质.5． “2a＞2b”是“log 2a ＞log 2b”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件【答案】B考点：1、指数函数与对数函数；2、充要条件. 6．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A． 3 B．4 C．5 D．6【答案】B考点：循环结构.7．若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（）A． 10+6πB．10+20πC．14+5πD．14+20π【答案】C【解析】考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.8．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）【答案】A考点：茎叶图与频率分布直方图.9．设函数f （x ）=sin （2x+），则下列结论正确的是（ ）A ． f （x ）的图象关于直线x=对称B ． f （x ）的图象关于点（，0）对称C ． f （x ）的最小正周期为πD ． f （x ）在上为增函数【答案】C考点：正弦函数的图象和性质.10．已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣9x+1，下列结论中错误的是（ ） A ． ∃x 0∈R ，f （x 0）=0B ． “a=3”是“﹣3为f （x ）的极大值点”的充分不必要条件C ． 若x 0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（x 0，+∞）单调递增D ． 若3是f （x ）的极值点，则f （x ）的单调递减区间是（﹣1，3） 【答案】B所以选项A 正确；当“3a =”时，123,1x x =-=，所以“﹣3为f （x ）的极大值点”；反过来，若“﹣3为f （x ）的极大值点”，则3x =-是方程23290x ax +-=的一个根，由韦达定理知，另一考点：导数在研究函数性质中的应用.11．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．2 D．1【答案】A故选A.考点：1、抛物线的标准方程与几何性质；2、直线与抛物线的位置关系.12．已知x1，x2是函数f（x）=e﹣x﹣|lnx|的两个零点，则（）A．＜x1x2＜1 B．1＜x1x2＜e C．e＜x1x2＜2e D．2e＜x1x2＜10 【答案】A因为21x x ee --<，所以，2112120ln 01x x e e x x x x ---<⇒<⇒<考点：函数的零点。
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2014-2015学年广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择项：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|（x+1）（x﹣3）＜0，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N等于（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，2} D．{1，2，3}2．已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（）A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i3．设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则•等于（）A．B．C．D．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．已知（1+ax）（1﹣x）2的展开式中x2的系数为5，则a等于（）A．1 B．﹣1 C．2D．﹣26．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4C．5D．67．若某物体的三视图如图所示，则该物体的体积是（）A．10+6πB．10+20πC．14+5πD．14+20π8．已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．49．设函数f（x）=sin2x+cos2x，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得图象对应函数为g（x），则（）A．f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称C．f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称10．已知函数f（x）=x3+ax2﹣9x+1，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．“a=3”是“﹣3为f（x）的极大值点”的充分不必要条件C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（x0，+∞）单调递增D．若3是f（x）的极值点，则f（x）的单调递减区间是（﹣1，3）11．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．2D．112．若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若曲线y=aln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=_________．14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，cosC=﹣，则sinB=_________．15．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调增函数．如果实数t满足时，那么t的取值范围是_________．16．将a，b都是整数的点（a，b）称为整点，若在圆x2+y2﹣6x+5=0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于的概率为_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．19．（12分）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：（Ⅰ）乙投篮次数不超过1次的概率．（Ⅱ）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD 于点D，交⊙O于点E．（Ⅰ）证明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）证明：AB•CD=AC•CE．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣4|﹣t，t∈R，且关于x的不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]．（1）求t值；（2）a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：++≥1．参考答案一、选择项：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1－5ACDAA6-10BCACB11－12AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．2．14．．15．≤t≤e．16．．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解：（1）设数列{a n}的公比为q，由a1=2，a3﹣a2=12，得：2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合题意，舍去，故q=3．∴a n=2×3n﹣1；（2）∵数列{b n}是首项b1=1，公差d=2的等差数列，∴b n=2n﹣1，∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=3n﹣1+n2．18．解：（1）取BC的中点F，连结EF，则EF∥PC∥DA，且EF=PC=DA=1，则四边形ADEF是平行四边形，即DE∥AF，∵DE⊄平面ABC，AF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC；（2）∵DA⊥平面ABC，DA∥PC，∴PC⊥平面ABC，∵∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，∴分别以DA，CB，CP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），则E（0，，1），则=（1，0，﹣1），=（1，2，1），设=（x，y，z）是平面ECD的法向量，，，则，令z=1，则x=﹣1，y=﹣2，则=（﹣1，﹣2，1），设=（x，y，z）是平面BCD的法向量，∵，，∴，令z=1，则x=﹣1，则=（﹣1，0，1），∴cos＜＞=．易知二面角E﹣CD﹣B为锐角，故二面角E﹣CD﹣B的余弦值为．19．解：（I）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B．“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P=P（A+==乙投篮次数不超过1次的概率为…（7分）（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，P（ξ=1）=P（A）=；P（ξ=2）=P（）==；P （ξ=3）=P （）==； P （ξ=4）=P （）==；甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为：ξ 1 23 4P …（11分）甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为…（13分）20． 解：（1）∵椭圆的右顶点为A （2，0），∴a=2，∵点P （2e ，）在椭圆上， ∴， ∵a 2=4，，a 2=b 2+c 2，∴b 2=1，c 2=3，∴椭圆的方程为． （2）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y=kx ， 代入椭圆方程，即x 2+4y 2=4， 得（1+4k 2）x 2=4，∴， ∴C （，），又直线AB 方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程x 2+4y 2=4，得（1+4k 2）x 2﹣16k 2x+16k 2﹣4=0，∵x A =2，∴x B =， ∵=0，∴+=0，∴，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=，∵=（），=（2﹣，0﹣）=（，），由=，得，∴k=，∴．21．（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=e x﹣m﹣，由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．…（2分）于是f（x）=e x﹣1﹣ln（2x），f′（x）=e x﹣1﹣，由f″（x）=e x﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．…（4分）因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．…（6分）（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，e x﹣m≥e x﹣2，又e x≥x+1，∴e x﹣m≥e x﹣2≥x﹣1．…（8分）取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=﹣ln2．…（12分）∴f（x）=e x﹣m﹣ln（2x）≥e x﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．：证明：（Ⅰ）连结BC，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD=∠ABC，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，∴∠AOC=2∠ACD．（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，∵CD是⊙O的切线，C为切点，OC为半径，∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，∴OC∥AD，又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴，∴AB•CD=AC•CE．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．【选修4-5：不等式选讲】24．解：（1）由f（x+2）≤2得|x﹣4|﹣t≤2，∴当t+2≥0时，解得﹣t≤x≤t+4，又∵不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]，∴﹣t=﹣1且t+4=5，∴t=1．（2）∵a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，∴+++（a+b+c）=（）+（+c）+（+a）≥2+2+2=2（a+b+c）=2∴++≥1．。