向量知识点
向量总结知识点公式
向量总结知识点公式一、向量的定义及表示1. 向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量，它通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量一般用字母加上一个箭头表示，比如a。
2. 向量的表示向量可以用坐标表示，通常是一个n维的有序实数数组，如(a1, a2, ..., an)，也可以用矩阵表示，如[a1 a2 ... an]。
3. 向量的运算向量有加法、减法、数乘等运算。
向量的加法是对应分量相加得到新的向量，向量的数乘是每个分量乘以一个实数得到新的向量。
减法和加法类似，是对应分量相减得到新的向量。
4. 向量的模向量的模是指向量的大小，它通常用||a||表示，它的计算公式是：||a|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。
5. 单位向量单位向量是指模为1的向量，通常用a^表示，它的计算公式是：a^ = a / ||a||。
6. 平行向量如果两个向量a和b的方向相同或者相反，它们就是平行向量；如果它们的模之比等于一个实数k，那么它们也是平行向量。
在数学中，平行向量的定义为：a || b，或者a = kb。
7. 直角向量如果两个向量a和b的内积等于0，那么它们就是直角向量，即a·b = 0。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是对应分量相加得到新的向量，其计算公式是：a + b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an+ bn)。
2. 向量的减法向量的减法是对应分量相减得到新的向量，其计算公式是：a - b = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)。
3. 向量的数乘向量的数乘是每个分量乘以一个实数得到新的向量，其计算公式是：k·a = (k·a1, k·a2, ..., k·an)。
4. 向量的内积向量的内积也叫点积，是一个标量，它的计算公式是：a·b = a1·b1 + a2·b2 + ... + an·bn =||a|| ||b|| cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
向量知识点考点总结
向量知识点考点总结一、向量的概念1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2. 自由向量和定向向量：自由向量只有大小和方向，没有固定的起点和终点；而定向向量有固定的起点和终点。
二、向量的表示1. 坐标表示：向量可以用坐标表示，如A(x1, y1)和B(x2, y2)，AB表示的向量的坐标可以表示为(x2-x1, y2-y1)。
2. 分解表示：一个向量可以分解为水平方向和垂直方向上的分量。
3. 向量的模长：向量的模长是指向量的大小，也可以叫做向量的长度。
求向量的模长可以使用勾股定理，即向量的模长等于坐标表示的平方和的平方根。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是构成的三角形的第三条边。
2. 向量的减法：向量的减法可以看做是求向量的相反向量然后进行加法操作。
3. 向量的数量乘法：一个向量与一个数相乘，称为数量乘法，结果是一个新的向量，新向量的模长是原向量的模长与数的绝对值的乘积，方向与原向量相同或相反。
4. 向量的数量除法：向量的数量除法就是将向量的模长除以一个数，得到的结果是一个新向量，其方向与原向量相同或相反。
四、向量的点乘和叉乘1. 向量的点乘：两个向量的点乘结果是一个数，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的模长的积。
2. 向量的叉乘：叉乘运算只有三维向量才可以进行，其结果是一个新的向量，垂直于两个原向量所张成的平面，并且模长等于两个原向量所张成的平行四边形的面积。
五、向量的应用1. 平行四边形法则：两个共点向量的和等于其对角线的向量，两个共点向量的差等于由两个共点向量组成的平行四边形的对角线向量。
2. 向量的夹角和垂直：两个向量的夹角为0度时，称为共线；两个向量的夹角为90度时，称为垂直。
3. 向量的投影：向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来求夹角。
4. 向量的运动学应用：向量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
关于向量知识点总结
关于向量知识点总结一、向量的概念与性质1.1 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组表示。
例如，二维向量可以写为（x, y），三维向量可以写为（x, y, z）。
向量的大小称为模，记作|a|；向量的方向可以用角度来表示。
向量常表示为a，b等字母，大写字母则表示定向线段。
1.2 向量的性质向量具有以下性质：1.2.1 大小和方向向量有大小和方向，因此可以用箭头来表示。
1.2.2 平行向量如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
平行向量的大小可能不同，但方向一致。
1.2.3 零向量模为0的向量称为零向量，记作0，它没有方向。
1.2.4 单位向量模为1的向量称为单位向量，记作u。
1.2.5 相等向量当且仅当两个向量的大小相等，且方向相同时，它们是相等向量。
1.2.6 平面向量平面向量是一个向量在平面上的表示。
1.3 向量的表示方法在数学中，向量有多种表示方法，例如点表示法、坐标表示法、三角函数表示法等。
1.3.1 点表示法点表示法即表示向量的始点和终点的坐标。
例如，向量a可以表示为OA，其中O为始点，A为终点。
1.3.2 坐标表示法向量a可以表示为（x, y）。
1.3.3 三角函数表示法在向量a的表示中，可以使用向量a与x轴正方向的夹角θ来表示。
即a=(|a|, θ)。
1.3.4 混合表示法向量的表示方法可以混合使用，例如a=(2, 3)=(|a|, θ)，表达的含义是向量a的大小为2，方向为x轴正方向与向量a夹角为θ。
1.4 向量的运算1.4.1 向量加法向量加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
例如，向量a=(3, 2)和向量b=(1, 4)相加得到向量c=(4, 6)。
1.4.2 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
例如，向量a=(3, 2)减去向量b=(1, 4)得到向量c=(2, -2)。
1.4.3 向量数乘向量数乘是指将一个向量乘以一个数，得到一个新的向量。
向量知识点总结
向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。
向量的大小叫做模，通常用||a||表示。
2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。
3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。
二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。
2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。
数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。
3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。
向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。
4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。
三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。
2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。
3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。
向量知识点总结大全
向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。
向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。
向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。
2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。
(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。
其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。
(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。
(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。
(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
向量全部知识点总结
向量全部知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，由起点和终点确定。
通常用有向线段表示，记作AB→，其中A为起点，B为终点，→表示方向。
向量的大小表示为|AB→| 或 ||v||，表示有向线段AB的长度。
向量的方向表示为从起点指向终点的方向，可以用夹角、方向角、方向余弦等方式表示。
二、向量的性质1. 相等性：两个有向线段代表的向量，当且仅当它们的长度和方向都相同时，称为相等向量。
2. 平行性：如果两个向量的方向相同或者相反，则称它们是平行的。
3. 非零向量：如果一个向量的长度不为0，则称为非零向量，反之为零向量。
4. 相反向量：如果一个向量AB→代表的有向线段AB与向量BA→代表的有向线段BA平行且方向相反，则称BA→是AB→的相反向量，记作-AB→。
5. 平移性：向量在空间中的平行移动不改变它的长度和方向。
三、向量的运算向量的运算包括加法、数乘和减法。
1. 向量的加法：设有向线段AB→和BC→，若A、B、C三点共线，则有向线段AB→与BC→的和表示为AC→。
2. 向量的减法：假设有向线段AB→和AC→，则有向线段AB→与-AC→的和表示为AB→-AC→=AB→+(-AC→)。
3. 向量的数乘：实数k与向量AB→的数乘表示为kAB→，它的长度为|k||AB→|，方向与AB→相同或者相反，且方向角与AB→相同。
四、线性组合设有n个向量v1，v2，. . . .，vn及n个实数k1，k2，...，kn，则k1v1+k2v2+...+knvn称为向量v1，v2，...，vn的线性组合。
线性组合常用于描述多个向量的合成效果，如力的叠加、位移的合成等。
五、线性相关性和线性无关性1. 线性相关性：如果存在不全为零的实数k1，k2，...，kn，使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，称向量v1，v2，...，vn线性相关。
2. 线性无关性：如果向量v1，v2，...，vn不线性相关，则称其线性无关。
向量数学知识点总结
向量数学知识点总结1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。
通常用一个箭头或者是一段有方向的线段来表示。
向量的大小称为模，用符号||a||来表示。
向量的方向通常通过箭头所指的方向来表示。
一个向量通常用加粗的小写字母或者是在上方加一个箭头来表示，如 a 或者是→a。
2. 向量的表示在数学中，向量通常用坐标表示。
如果在一个二维空间中，一个向量可以表示成 (x, y) 的形式。
在三维空间中，一个向量可以表示成 (x, y, z) 的形式。
3. 向量的运算向量的加法：向量a 和向量 b 的和记作 a+b，它的定义是 a+b=(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)向量的数量乘法：数与向量相乘，记作k∙a，即k∙a=(k∙a_1,k∙a_2,...,k∙a_n)点积：向量a和向量b的点积表示为a∙b=a_1∙b_1+a_2∙b_2+...+a_n∙b_n，也可以表示为“a⋅b=│a││b│cosθ”其中θ为a与b的夹角叉积：在三维空间中，向量a和向量b的叉积表示为a×b=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)4. 向量的线性相关性向量a和b线性相关的充分必要条件是存在不全为0的实数λ和μ，使得λa+μb=05. 向量的线性无关性若存在一组向量{a_1, a_2, …, a_n}使得只有λ_1 a_1+λ_2 a_2+。
λ_n a_n=0 当且仅当λ_1=λ_2=…=λ_n=0，则称向量{a_1, a_2, …, a_n}线性无关6. 向量的基底和维度一个线性空间的基底就是一个线性无关的极大集合，即这个集合中的向量不能再添进任何一个可以由这个集合张成的向量空间。
一个向量空间的维度就是这个向量空间的一组基底中有多少个向量。
一个n维的向量空间能被n维向量张成，任意向量可以被这n个向量线性表示。
7. 向量的投影向量的投影是向量在另一个向量上的投影，向量a在向量b上的投影的长度为|a|cosθ，与b同向8. 向量的夹角两个非零向量a和b夹角的cosθ= a∙b／(|a||b|)夹角的范围是[0, π]，当cosθ>0时夹角在[0, π/2]上，当cosθ<0时夹角在(π/2, π]上，当cosθ=0时，a和b垂直。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全数学向量是高中数学的重要内容之一、它是表示大小和方向的物理量，常用箭头或有向线段表示。
下面是数学向量的一些重要知识点：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量。
2.零向量：大小为零的向量，表示为0或。
3.等于向量：若向量和向量的对应分量相等，则称这两个向量相等。
4.向量的加法：若向量和向量都有相同的起点，则它们的和向量从共同起点出发，终点位于连接两个向量终点的直线上。
5. 向量的数量乘法：若向量a和实数k，积ka的大小为，k，乘以a的大小，方向和a相同（若k>0）或相反（若k<0）。
6.两个向量的数量乘积：向量的数量乘积是一个向量，大小等于这两个向量大小的乘积，方向和这两个向量夹角的余弦相同。
7.向量的平行条件：若向量和向量大小相等或其大小为零，则称这两个向量平行。
8.向量的线性组合：若给定向量，实数称为向量的系数，则向量的线性组合是形如的向量。
9.向量的加法交换律：对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a。
10.向量的加法结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
11.零向量的加法逆元：对于任意向量a，有a+(-a)=0。
12.向量长度的计算：向量的长度（或模）由勾股定理求得，即，a，=√(a₁²+a₂²)。
13.单位向量：长度为1的向量，可以通过将向量除以其长度得到。
14. 单位向量的夹角余弦：若a和b是非零向量，则向量a与向量b 的夹角余弦由公式cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)求得。
15.向量的点乘积：向量的点乘积是一个标量，等于两个向量大小的乘积，方向是两个向量夹角的余弦。
表示为a·b。
16.向量的点乘积的性质：对于任意向量a、b和c，以及实数k，有以下性质：-a·b=b·a（交换律）-a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）- (ka)·b = k(a·b)17.向量的叉乘积（向量积）：向量的叉乘积是一个向量，大小等于两个向量大小的乘积与夹角的正弦乘积，方向垂直于这两个向量所确定的平面。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。
一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。
3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。
若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。
4. 单位向量：单位向量是模长为1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。
二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。
若k为实数，向量AB→的数量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。
3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个向量的对应分量相乘后相加。
向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。
4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。
向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2-x2y1)。
三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、多边形等几何图形的性质和关系。
2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。
3. 计算机图形学：向量在计算机图形学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。
4. 数据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。
向量组相关知识点总结
向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。
2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。
3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。
4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。
5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。
6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。
8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。
9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。
二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。
否则称为线性无关。
2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。
b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。
c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。
3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。
4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。
5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。
6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。
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第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
如下图：[3]对零向量的规定。
三、向量的线性运算1、向量的加法：求两个向量和的运算。
设：，，则加法法则：（1）三角形法则：即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段所表示的向量。
有：推广：n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的向量。
（多边形法则）（2）平行四边形法则：如图加法交换律：；加法结合律：2、向量的减法：求两个向量差的运算。
（可看作加法的逆运算）设：，则；减法运算法则：从同一点出发的向量（起点移到一点），差向量只需连结两向量终点，并指向被减向量。
3、实数与向量的积（1）是一个向量，也有长度和方向。
其长度，即等于的绝对值与的长度的乘积。
其方向与的符号有关，当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。
设：，则（2）实数与向量的积的运算律结合律：；分配律：；。
其中：，为任意实数。
（3）向量共线的等价条件共线向量的基本定理：已知向量与非零向量它们共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。
设，，其中，则存在一个实数，使得。
即：2、如图在△ABC中，E、F分别是边CA、AB上的点，CF与BE交于点0，化简下列各式。
（1）；（2）解：（1）（2）3、三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半。
已知：如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点。
求证：DE∥BC且DE=BC。
证明：因为D、E分别是边AB、AC的中点，所以，。
所以，再由D、B不共点，故DE∥BC且。
4、化简：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式5、在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，，试用，表示，。
解：设，，因为M，N分别为DC，BC的中点，∴，，∴，由两方程解得：，6、如图所示，已知平面上三点坐标分别为，，，求点D的坐标，使得这四个点构成平行四边形的四个顶点。
解：（1）以AC为对角线作平行四边形ABCD1，设顶点D1的坐标为（，），因为，，∴∴即∴顶点D1的坐标为（2，2）（2）以BC为对角线作平行四边形ACD2B，设顶点D2的坐标为，因为，，∴∴即∴顶点D2的坐标为（4，6）（3）以AB为对角线作平行四边形D2ACB，设顶点D2的坐标为，因为，，∴∴即∴顶点D3的坐标为（-6，0）。
注意：平行四边形只定了三个顶点，而且字母顺序未指定，第四个顶点的确定需考虑三种情况。
周末练习：1．平行四边形ABCD中，________________．2．，下列关系式中正确的有（）A．若，则；B．若，则C．D．3．，，则________；________；_________。
4．已知，，当k为何值时与平行？平行时它们是同向还是反向？5．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若，试求满足什么条件时，点P在第三象限内？6．（1）已知向量与相等，其中M（-1，3），N（1，3），求。
（2）向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线。
第一节参考答案1．2．B3．（0，0），（-5，10），4．5．6．（1）（2）或第二节参考答案：DCADBD7．8．9．10．第二节向量运算与数量积1、平面向量基本定理（向量坐标化的理论基础）如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得．注：作为平面内所有向量的一组基底，不共线．2、向量的正交分解两个向量互相垂直：两个向量的基线互相垂直.正交基底：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底.正交分解：在正交基底下分解向量.注：平面上任意向量都可以分解为两个正交向量的和.向量在基底{}下的坐标（向量的坐标表示）：在直角坐标系O中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，正交基底{}就叫做直角坐标系O的基底．在直角坐标平面O内任意作一向量（用有线线段表示），则由平面向量基本定理知存在唯一一对有序实数对，使得，则就是向量在基底{}下的坐标，即=，其中叫做向量在轴上的坐标分量，叫做向量在轴上的坐标分量．特别：设O（0，0）、A（，），则，所以符号在直角坐标系O中有了双重含义：既可以表示一个固定的点A，又可以表示一个向量．3、向量的直角坐标运算：设，则注：向量的直角坐标运算将向量运算数量化、代数化，将数与形紧密联系在一起．4、用坐标表示平面向量共线的条件：设，其中，则5、数量积的背景（1）物理背景：力做功的计算，功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，其中就是在物体位移方向上的分量的数量．（2）两个向量的夹角已知两个非零向量，作，则称作向量的夹角，记作，并规定：说明：（1）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．对不是同起点的两个向量，要先将它们平移到同一起点．（2）当时，与同向（3）当时，与反向（4）当时，与垂直，记作规定：零向量与任意向量垂直（5）（3）向量在轴上的正射影已知向量和轴L，做，过点A、O分别做轴L的垂线，垂足分别为M、N，则叫做向量在轴上L的正射影．6、数量积（内积）的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，也叫内积，记作，即有=，其中为向量与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．的几何意义：等于与在方向上的投影的乘积．规定：零向量与任意向量的数量积为零注意1：向量的数量积为实数，其大小与两个向量的长度及其夹角有关，可以是正数、负数和零．注意2：符号“·”在向量运算中不是实数运算中的乘号，因此既不能省略，也不能用“”代替.注意3：设是非零向量，由不能推出是零向量.（不满足消去律）7、数量积（内积）的性质设与都是非零向量, 是单位向量，是与夹角，是与夹角.①②（证明垂直的等价条件）③当与同向时，；当与反向时，特别地，或（求向量的长度）④（求向量的夹角，体现内积与三角的关系）⑤8、向量数量积（内积）的运算律：已知向量和实数，则向量的数量积满足：①交换律②数乘结合律③分配律注意1：在实数运算中，我们有即约分性质（消去律）．这一性质在数量积中一般不成立．反例：与夹角是，与夹角是，显然，但．注意2：一般地，结合律不满足，即，这是因为，左边是一个与共线的向量，右边是一个与共线的向量，一般情况下，左右不相等．注意3：与代数中类似的结论（可以直接应用）9、向量数量积的坐标运算与度量（长度、距离、夹角）公式（1）向量内积的坐标运算：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i·i = 1，j·j = 1，i·j = j·i = 0，推导坐标公式∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j，∴a·b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i·j + x2y1i·j + y1y2j2= x1x2 + y1y2从而获得公式：a·b = x1x2 + y1y2这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件x1x2 + y1y2 = 0（3）向量的长度、距离、夹角公式向量的长度：设a = (x, y)，则|a|2 = a·a= x2 + y2 ，所以|a| =两点间距离：设，则向量的夹角的余弦：设，本周典型例题：1．如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．解析：是△的重心，2. 已知△ABC的三个顶点坐标A（0，0），B（-1，2），C（1，1），试求△ABC的面积．解析：法一：向量法，=（-1，2），=（1，1），再利用数量积求夹角，解得，于是法二：三角法，求出三边长，用余弦定理求角．同样可求得3．已知向量的夹角为，,求向量的模．解析：4．已知点，且原点分的比为，又，求在上的投影．解析：设，，得，即得，，．5．平面向量，若存在不同时为的实数和，使且，试求函数关系式．解析：由得6．如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值．解析：7．的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．解析：夹角为钝角，则，即，解得8. 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足()·=0，求t的值．解析：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积．（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，．由()·=0，得：，从而所以．或者：，本周课堂练习：1．下列命题中正确的是（）A．B．C．D．2．设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（）A．B．C．或D．无数多个3．若平面向量与向量的夹角是，且，则( )A．B．C．D．4．向量，，若与平行，则等于（）A．B．C．D．5．若是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．7．若，且，则向量与的夹角为____________．8．已知向量，，，若用和表示，则=________．9．若,，与的夹角为，若，则的值为____________．10．若菱形的边长为，则__________．第三节平面向量综合1．在△ABC中，设向量，．求证：△ABC的面积证：记∴∴小结：在此题中应用必修5正余弦定理中推导的面积公式，并结合向量法求夹角的公式作答．两个向量间的夹角的取值范围是．因此其正弦值是非负的．2．证明三角形的三条高线交于一点．已知：△ABC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于H，连结CH并延长交AB于F．求证：CF⊥AB．证：设，，，，，由可知∴①由可知∴②由①②联立即即∴CF⊥AB．小结：（1）证明三线共点问题可先作两线的交点，再证明第三条线过该点．（2）垂直的等价条件是数量积为0，这种形位数的转化十分实用．3．证明三角形的三条中线交于一点，且此点到顶点的距离等于该点到对边中点距离的2倍．已知：△ABC，D、E分别为BC、AC上的中点，AD、BE交于点G，连结CG 交AB于F．求证：F是AB的中点．证：设，，，由G是AD的分点由G是BE的分点∴∴即∴设∴又∴∴即∴∴F是AB的中点，G分CF的比为2．4．四边形ABCD中，，，，，且，试问四边形ABCD是什么四边形？分析：四边形的形状由边角关系确定，因此解答本题的关键是把题设条件转化为四边形ABCD中，，，，四个向量的关系．解：（法一），，，四个向量顺次首尾相连∴其和向量为，即∴∴由已知∴同理可知∴，．∴四边形ABCD是平行四边形（法二）由知∴即由知∴即∴同理可证∴四边形ABCD是平行四边形．5．求与向量的夹角为45°的单位向量．解：设单位向量∴∴即①又②联立①、②得：或∴或6．在△ABC中，，，且△ABC的一个内角为直角，求值．解：当∠A=90°时，．∴∴当∠B=90°时，，∴∴当∠C=90°时，∴∴综上，k的值为，和．7．已知，，．（1）求证：与垂直；（2）若（，且），求的值．（1）证：∴（2）解：<法一> ∵∴∴∵∴即∴∵∴∴即<法二> ∵，与可看作由与利用平行四边形法则所作的平行四边形的两条对角线，∴由与构成的四边形是矩形∴，∵∴∵∴∴即8．已知非零向量和，满足条件：，且，求与的夹角．解：由知，由知，联立两式，得①—②得：∴③把③代入①得：∴即∴∴．小结：两个向量，间夹角的取值范围是，因此一个余弦值对应唯一的角．9．已知向量，，其中，（1）求及的值；（2）若的最小值为，求：实数的值．解：（1）∴∴（2）令∴当时，则时，∴不合题意，舍当时，则时，∴∴（舍负）当时，则时，不合题意．综上，．小结：抓住题目本质，利用平面向量的坐标运算，把向量运算转化为数，问题呈现为带字母参数的二次函数求最值问题．10．如图，以△ABC的两边AC，AB为边分别向外作正方形ACDE，ABGF，M为BC的中点．求证：AM⊥EF．证：设，，，∴，∴又M为BC的中点∴∴又且且∴∴即即EF⊥AM小结：抓住题目本质，把平面几何问题转化成向量问题，把数转化成形，使问题迎刃而解．。