空间曲线参数方程
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。
例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和扭曲程度。
在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地质学、材料科学等领域。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
假设曲线的参数方程为$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|} $$曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。
空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。
假设曲线的单位切向量为$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。
则曲线的挠率为其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。
挠率的单位也是长度的倒数，通常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。
对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。
三、曲率与挠率的关系曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。
南京航空航天大学《高等数学》7.6空间曲线及其方程
思考题解答
⎧2 y 2 + x 2 = z , 交线方程为 ⎨ 2 ⎩2 − x = z
消去 z 得投影柱面
x + y = 1,
2 2
⎧ x2 + y2 = 1 在 xoy 面上的投影为 ⎨ . ⎩z = 0
解 （1）消去变量z后得
3 x +y = , 4
2 2
在 xoy 面上的投影为 3 ⎧ 2 2 ⎪x + y = 4, ⎨ ⎪z = 0 ⎩
1 （2）因为曲线在平面 z = 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 ⎧ 3 ⎪z = | x |≤ ; 2, ⎨ 2 ⎪y = 0 ⎩ （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 ⎧ ⎪z = 2, ⎨ ⎪x = 0 ⎩ 3 | y |≤ . 2
例5
求抛物面 y + z = x 与平面 x + 2 y − z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
z2 = x ⎨ ⎩x + 2y − z = 0
如图,
⎧ x + 5 y + 4 xy − x = 0 , （1）消去 z 得投影 ⎨ ⎩z = 0
2 2
2
2
⎧ 上方程组等价 ⎪ x + y = b
⎨ ⎪ z = ± a 2 − b2 ⎩
⎧ x = b cos t ⎪ 参数方程： y = b sin t ⎨ ⎪ z = ± a 2 − b2 ⎩
而
⎧ x = cos θ ⎪ ⎨ y = sin θ ⎪ z = tan θ ⎩
⎧ x2 + y2 = 1 ⎪ 消去参数 ⇒ ⎨ y ⎪z = ⎩ x
第六节 空间曲线及其方程
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结在数学的广袤领域中，空间曲面与曲线方程是一个充满魅力且具有重要意义的部分。
它不仅在理论研究中占据关键地位，也在实际应用中发挥着巨大作用，如工程设计、计算机图形学等。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解空间曲面与曲线方程的相关知识。
一、空间曲面方程的类型空间曲面方程主要有以下几种常见类型：1、球面方程以点$（a,b,c)＄为球心，＄r$为半径的球面方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＋（z c)＾2 ＝ r^2$。
2、柱面方程母线平行于＄z$ 轴，准线为＄xOy$ 平面上的曲线＄f(x,y) ＝0$ 的柱面方程为＄f(x,y) ＝ 0$ 。
3、旋转曲面方程曲线＄y ＝ f(z)＄绕＄z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ f^2(z)＄。
二、空间曲线方程的表示空间曲线可以用一般式方程和参数方程来表示。
1、一般式方程由两个曲面方程联立而成，例如＄＼begin{cases}F(x,y,z) ＝ 0 ＼＼G(x,y,z) ＝ 0\end{cases}＄。
2、参数方程设空间曲线的参数方程为＄＼begin{cases}x ＝ x(t) ＼＼ y ＝ y(t) ＼＼ z ＝ z(t)＼end{cases}＄，其中＄t$ 为参数。
三、例题解析例 1：求以点$（1,2,3)＄为球心，半径为 4 的球面方程。
解：根据球面方程的公式，可得$（x 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＋（z 3)＾2 ＝ 16$ 。
例 2：已知圆柱面的母线平行于＄z$ 轴，准线是＄xOy$ 平面上以原点为圆心，半径为 2 的圆，求该圆柱面的方程。
解：准线方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$，因为母线平行于＄z$ 轴，所以圆柱面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$ 。
例 3：曲线＄y ＝＼sqrt{x}＄绕＄x$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是什么？解：将＄y ＝＼sqrt{x}＄改写为＄y^2 ＝ x$ ，绕＄x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为＄y^2 ＋ z^2 ＝ x$ 。
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以由参数方程或者一般方程表示。
在某一点处，我们可以求出该点处的切线方程和法平面方程。
我们来看一下切线方程的求解。
对于空间曲线来说，切线方程可以通过求曲线在该点处的切向量来获得。
切向量是曲线上一点的切线方向的向量表示。
设空间曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)是曲线的参数方程。
现在我们要求曲线在某一点P(t0)处的切向量。
我们可以求出曲线在点P(t0)处的切线方向的向量表示：r'(t0) = (f'(t0), g'(t0), h'(t0))其中，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)分别是f(t)、g(t)、h(t)对t求导后在t0处的值。
然后，我们可以得到曲线在点P(t0)处的切线方程的向量表示：r(t) = (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))切线方程的向量表示为：r(t) = r(t0) + (t - t0) * r'(t0)切线方程的参数方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)这就是空间曲线在一点处的切线方程。
接下来，我们来看一下法平面方程的求解。
对于空间曲线来说，法平面是垂直于曲线切线的平面。
设曲线在点P(t0)处的切线方程为：x = f(t0) + (t - t0) * f'(t0)y = g(t0) + (t - t0) * g'(t0)z = h(t0) + (t - t0) * h'(t0)其中，f(t0)、g(t0)、h(t0)是曲线在点P(t0)处的坐标，f'(t0)、g'(t0)、h'(t0)是曲线在点P(t0)处的切向量。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
solidworks 空间曲线 方程式
solidworks 空间曲线方程式【1.SolidWorks 空间曲线概述】SolidWorks是一款强大的三维建模软件，其中的空间曲线功能让用户能够轻松地创建复杂的三维曲线。
空间曲线不仅能够在平面上绘制，还可以在空间中自由绘制，为建模和设计提供了无限的可能。
【2.创建空间曲线的方程式】在SolidWorks中，空间曲线主要由参数方程或极坐标方程控制。
这些方程可以描述空间中的点、线和面。
例如，一个空间曲线的参数方程可以表示为：x = x0 + t * dxy = y0 + t * dyz = z0 + t * dz其中，t是参数，x0、y0、z0是曲线上的初始点，dx、dy、dz是曲线在x、y、z方向上的切线。
【3.空间曲线在SolidWorks中的应用】空间曲线在SolidWorks中的应用非常广泛，包括创建模型、装配体、工程图等。
通过空间曲线，用户可以轻松地创建复杂的几何形状，为产品设计和工程分析提供支持。
此外，空间曲线还可以用于模拟和分析物体的运动轨迹，为机械设计和动态仿真提供数据支持。
【4.实例：创建一个空间曲线】以下是一个创建空间曲线的实例：1.打开SolidWorks，新建一个零件文件。
2.在工具栏中选择“曲线”工具，然后选择“空间曲线”。
3.在空间曲线对话框中，选择“通过点”创建方式。
4.在对话框中输入曲线的起始点和终止点，并确定曲线类型（如圆弧、样条曲线等）。
5.点击“确定”，完成空间曲线的创建。
【5.总结与建议】掌握SolidWorks空间曲线的创建方法与应用，有助于提高三维建模效率和质量。
在学习过程中，不仅要熟练运用空间曲线功能，还要了解曲线方程的基本原理。
通过实践，不断积累经验，才能更好地发挥空间曲线在实际工程中的应用价值。
空间曲线参数方程与一般方程互化_张荣锋(常微分参考资料)
第29卷第1期Vol 129 No 11长春师范学院学报(自然科学版)Journal of Changchun Normal Universi ty(Natural Science)2010年2月Feb.2010空间曲线参数方程与一般方程互化张荣锋(齐齐哈尔高等师范专科学校,黑龙江齐齐哈尔 161005)[摘 要]空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解问题,由曲线建立它的轨迹方程,方法很多.但是任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有的方程求解,因此,如何完成空间曲线不同方程互化便成了一个基本问题.本文通过例题展示空间曲线参数方程与一般方程互化的作用,及两种方程互化中需要注意的事项.[关键词]参数方程;一般方程;互化[中图分类号]O18212 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X(2010)01-0015-03[收稿日期]2009-11-14[作者简介]张荣锋(1977-),男,黑龙江齐齐哈尔人,齐齐哈尔高等师范专科学校讲师,从事几何学研究。
空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解,由曲线建立其轨迹方程,方法很多.而曲线又常常表现为一个动点运动的轨迹,但是运动的规律往往不是直接反映为动点的三个坐标x 、y 与z 之间的关系,而是直接表现为动点的径矢随着时间t 的变动而变动的规律,这个变动规律用等式表示出来就是曲线的矢量式参数方程,而且曲线的矢量式参数方程一旦求出,曲线的坐标式参数方程也就可以写出了,因此,如何完成空间曲线参数方程与一般方程互化便成了一个基本问题.1 曲线方程的几种定义[1]定义1 设C 为空间曲线,F 1(x ,y ,z )=0F 2(x ,y ,z )=0为三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若C 上任一点M(x ,y ,z )的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线C 上,则称F 1(x ,y ,z )=0F 2(x ,y ,z )=0为曲线L 的普通方程,又称一般方程.定义2 设C 为一空间曲线,r =r (t),t I A 为一元矢函数,在空间坐标系下,若对P P I C,v t I A ,使OP =r (t),而且对P t I A ,必有P I C,使r (t)=OP ,则称r =r (t),t I A 为曲线C 的矢量式参数方程,记作C =r (t),(t I A ,t 为参数).若点r(t )={x (t),y (t),z (t)},则称x =x (t)y =y (t)z =z (t),t I A 为L 的坐标式参数方程.2 利用参数方程求解一般方程在空间解析几何中表示同一条曲线的参数方程和直角坐标方程,虽然形式不同,却有着极为密切的联系.在一定条件下,通过消去参数,可将曲线的参数方程转化为直角坐标方程,许多空间曲线不能直接根据已知条件求解出构成这条曲线的两个相交的曲面来,我们可以引入恰当的参数先求解参数方程,然后通过参数方程求解一般方程,完成对空间曲线的构造.#15#例1 一质点,在半径为a 的圆柱面上,一方面绕圆柱面的轴作匀速转动,一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动,求质点的运动轨迹.[1]解:以圆柱面的轴作为z 轴,建立直角坐标系{O;i ,j ,k },如图,不妨设质点的起始点在x 轴上,质点的角速率与线速率分别为X ,v ,质点的轨迹为C ,则对P I C ,M在xOy 面上的投影为M c ,r =OM =OM c +M c M =a cos X ti +a sin X tj +vtk,若令X t =H ,v X=b ,则r =a cos H i +a sin H j +b H k ,0F H <+].而x =a cos Hy =a sin H z =b H,0F H <+].从圆柱螺旋线的参数方程化为一般方程,我们使用代入法从中消去参数H ,可以得到圆柱螺旋线方程的一般式为x 2+y 2=a 2y =a sin z b.由此可以看出,参数方程不仅表示出明确的质点运动的意义,而且从它也比较容易想象出轨迹的图形,因此在这样的问题中,空间曲线的参数方程显示出了它的优越性.特别强调的是,在建立动点轨迹的参数方程时,对于怎样去找参数,往往难以把握.其实在空间解析几何中,虽然通常使用的参数很多,如复参数、斜率参数、时间参数、有向距离参数、点参数以及比值参数等,[2]怎样找参数,选用怎样的参数,其主要依据就是考察动点的运动可由哪些几何量所制约.一般来说,凡能制约动点运动的几何量均可以选作参数.3 利用解一般方程寻找参数方程例2 已知一般经为a 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面,如果圆柱面通过球心,那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼(Viviani )曲线,试建立维维安尼曲线的参数方程式.[3]由于直接求解维维安尼曲线的参数方程式比容易确定曲线的参数,而已知条件中明确告诉我们维维安尼曲线是球面与圆柱面的交线,因此我们利用已知条件先求解曲线的一般方程.解 取球心为坐标原点,通过球心的圆柱面的一天母线为z 轴,过球心的圆柱面的直径为x 轴建立右手直角坐标系,那么球面与圆柱面的方程分别为x 2+y 2+z 2=a 2,与x 2+y 2-ax =0.因此维维安尼曲线一般方程为x 2+y 2+z 2=a 2,x 2+y 2-ax =0.为了要求得维维安尼曲线方程的参数方程,可以像把平面曲线的普通方程化为参数方程那样由上式得到.先把上式中的圆柱面方程x 2+y 2-ax =0,利用平面上圆的参数方程改写为x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,代入球面方程x 2+y 2+z 2=a 2得z =?a sin H .因此我们有x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <P z =a sin H , 与x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <P z =-a sin H ..但如果令t =H +P ,即H =t -P ,代入上式,那么上式就变成x =a cos 2t,y =a cos t H sin t,P F t <2P .z =a sin t.所以维维安尼曲线的参数方程为x =a cos 2H ,y =a cos H sin H ,0F H <2P z =a sin H ..因此,化普通方程为参数方程,选取参数十分重要,选择恰当的参数,方程将有比较简单的形式.#16#4参数方程和普通方程互化中应该注意的问题空间曲线的普通方程与其参数方程的互化,以及空间曲线的一般方程与其参数方程的互化,必须注意两种方程的/等价性0,因为普通方程系数中的参变数,影响着曲线的形状和位置,参数的不同取值确定着不同的曲线;在曲线方程的系数参数问题中,较突出地反映了解析几何数和形的对立统一思想,要特别注意变量允许值的范围,在互化前后要保持一致.关于化参数方程为普通方程,吴光磊等编的5解析几何6有这样的叙述/如果从参数方程中消去参数t,得到联系x,y与z的方程F(x,y,z)=0,而且这方程的每一组解(x,y,z)都可从t的某值通过x=x(t)y=y(t)z=z(t)得出,那么F(x,y,z)=0就是这曲线的方程.0这就是说,对仅仅消去了参数t得到的F(x,y,z)=0来讲,并不一定正好是曲线对应的普通方程,它有可能具有不能从t的某值通过上式得出的解,从而给原曲线增加了新的点只有当F(x,y,z)=0还满足它的/每一组解(x,y,z)都可从t的某值通过上式得出0[4]这一条件后才是曲线的普通方程.另外,在把参数方程化成普通方程时,要特别注意方程的同解性是否被破坏,有时由于参数方程中的参数取值有范围的限制,因而图像只表示曲线的一部分,而在消去参数后,得到普通方程的图像却是曲线的整体.这样,普通方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了.因此,在转化过程中,必须注意原来方程中的参数所受的限制在所化的普通方程中的图像予以反映出来.在把参数方程化为普通方程时,要特别注意保持方程的等价性和同解性,使其解答完整正确.[参考文献][1]张荣锋.空间解析几何[M].哈尔滨:东北林业大学出版社,2008.[2]高瑞芳.解析几何中有关参数范围问题的求解策略[J].山西煤炭管理干部学院学报,2006(3).[3]吕林根.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2005.[4]坎着洁.解析几何中参数范围求解途径分析[J].数理化解题研究:高中版,2009(3).The Mutual Transformation of General Equations and the Parameter Equation of Space CurvesZ HANG Rong-feng(Qiqihar Teachers College,Qiqihar161005,China)Abstract:The primary problem of space analytic geometry is the solution problem of space curve equation.There are many methods to establish locus equation by curves,but any kind of solution method is not suitable for all equations.Therefore,the mutual transformation of space curve equa tions becomes a fundamental issue.The role of the mutual transformation between the parameter equations of space curve and general equations,as well as some issues need attention are discussed with two e xamples in this paper.Key words:parameter equation;general equation;mutual transformation#17#。
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空间曲线参数方程
空间曲线参数方程：x = cos(t), y = sin(t), z = t
空间曲线是三维空间中的一条曲线，可以用参数方程来表示。
在这个参数方程中，x和y分别是t的余弦和正弦，z是t本身。
这个曲线的形状是一个螺旋形，它在x-y平面上绕着原点旋转，同时沿着z 轴方向上升。
这个曲线的形状非常有趣，它可以用来描述很多物理现象。
例如，我们可以用这个曲线来描述一个螺旋形的弹簧，当弹簧被拉伸或压缩时，它的形状就会变成这个曲线。
此外，这个曲线还可以用来描述一些天文现象，例如螺旋星系的形状。
在数学上，这个曲线也有很多有趣的性质。
例如，它是一条无限长的曲线，因为当t趋近于正无穷或负无穷时，曲线会无限延伸。
此外，这个曲线还是一条光滑的曲线，因为它的导数在整个定义域内都存在。
这个曲线还有一个有趣的性质，就是它的曲率是不断增加的。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，它的大小与曲线的弯曲程度成正比。
在这个曲线中，曲率随着t的增加而增加，这意味着曲线的弯曲程度也在不断增加。
空间曲线参数方程x = cos(t), y = sin(t), z = t是一个非常有趣的曲线，它可以用来描述很多物理现象和天文现象。
此外，它还有很多有趣
的数学性质，例如无限长、光滑和曲率不断增加等。