向量的线性组合和线性相关性
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
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给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
第二节 向量组的线性相关性
定理四 任意n+1个n维向量都是线性相关的.
[证]设n+1个n维向量为: 1=(a11,a12,,a1n) 2=(a21,a22,,a2n)
n=(an1,an2,,ann) n+1=(an+1,1,an+1,2,,an+1,n)
构造向量组: 1=(a11,a12,,a1n,0) 2=(a21,a22,,a2n,0)
故1,2,,n线性无关
例5 讨论向量组1=(1,1,1),2=(0,2,5), 3=(1,3,6)的线性相关性,若线性相关,试写
出其中一向量能由其余向量线性表示的表
达式.
解: 若有k1,k2,k3,使k11+k22+k33=0
即k1(1,1,1)+k2(0,2,5)+k3(1,3,6)=(0,0,0)
k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 即(k1+ k3)1+(k1+k2)2+(k2+ k3)3=0 由已知1,2,3线性无关,则
k1 k3 0 1 0 1
k1 k2 0 1 1 0 =2 0
k2 k3 0 0 1 1
齐次方程组只有零解: k1=k2=k3=0
1+2,2+3,3+1线性无关.
若r维向量组1,2,,m线性无关,则r+1维 向量组1,2,,m也线性无关.
[证]反证法
若1,2,,m线性相关
即有不全为零的数k1,k2,,km,使
k11+k22++kmm=0
即 k1(a11,a12,,a1r,a1,r+1)+ k2(a21,a22,,a2r,a2,r+1)+ +km(am1,am2,,amr,am,r+1)=(0,0,,0)
线性相关性
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
4.1 向量组的线性组合及线性相关性
黄凤英 信息科学与计算学院
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
一、n 维向量与向量组的定义
1. 向量的定义 定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , · · · , an 所组
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
3. 矩阵与向量组的关系
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
若令
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n , amn
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表
示的充要条件是
R(A) =R(A, b),
其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
进一步，R(A) =R(A, b) = m，则向量 b 能够由 向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表示，且表法唯一； 如果 R(A) =R(A, b) < m，则向量 b 能够由向量
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理的比较
本节的定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am
线性表示的充要条件是 R(A) =R(A, b), 其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
平面向量的线性组合与线性相关性
平面向量的线性组合与线性相关性平面向量是二维空间中的有向线段，具有大小和方向。
在向量运算中，线性组合是指将若干个向量乘以不同的实数，并将它们相加得到一个新的向量。
线性相关性则是指存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量。
本文将探讨平面向量的线性组合和线性相关性的概念、性质以及相关应用。
一、线性组合的概念和性质在二维平面中，假设有两个向量a和b，它们可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)。
那么它们的线性组合可以表示为c = ka + lb，其中k和l为任意实数。
1. 加法与数乘对于线性组合来说，加法和数乘是其两个基本运算。
加法满足交换律和结合律，即(a + b) = (b + a)和[(a + b) + c] = [a + (b + c)]。
数乘满足结合律和分配律，即k(la) = (kl)a和(k + l)a = ka + la。
加法和数乘的运算结果仍然是一个向量。
2. 零向量零向量是一个特殊的向量，它的所有分量都为零。
对于任意向量a，有a + 0 = a，其中0为零向量。
因此，零向量是线性组合的单位元素。
3. 线性组合的封闭性线性组合满足封闭性，即对于任意向量a和b以及实数k和l，其线性组合ka + lb仍然是一个向量。
二、线性相关性的概念和判定线性相关性是指存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量。
假设有n个向量a1, a2, ..., an，它们的线性组合为c = k1a1 + k2a2 + ... + knan。
若存在不全为零的系数k1, k2, ..., kn使得c = 0，则这些向量是线性相关的。
判定线性相关性的方法有几种：1. 行列式法通过构造行列式来判断向量组的线性相关性。
若行列式的值为零，则向量组线性相关；若行列式的值不为零，则向量组线性无关。
2. 向量方程法将向量组的线性组合表示成向量方程，然后考虑齐次线性方程组的解的情况。
若齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。
4.1向量组的线性组合和线性相关性
线性表示的充分必要条件是：
矩阵A=（
）的秩等于矩阵B=（
，b）的秩
2.向量组B:
能由向量组A：
线性表示充要条件是
矩阵A=（ （
）的秩等于矩阵（A,B）= ）
的秩，即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是： R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B：
能由向量组A：
R（
一定线性相关，特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A：
线性无关，而向量组B：
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且唯一表示
对于定理2.1：可以简单记为小的线性相关，大的才线性相关 大的线性无关，小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解：
可见R(
)=2，故向量组
）≤R（
）
线性表示，则：
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R（B）≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义：给定向量组A： 使：
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1：向量组A：
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=（
）的秩小于向量个数m；
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2：
1. 若向量组A：
线性相关，则向量组B：
空间向量的线性相关性与线性组合
空间向量的线性相关性与线性组合空间向量是线性代数中的重要概念，它们在多个领域中有着广泛的应用。
在学习空间向量时，了解线性相关性与线性组合是非常重要的概念。
本文将详细介绍空间向量的线性相关性以及线性组合，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、线性相关性线性相关性是指一组向量是否可以通过线性组合（即加法和数量乘法）等方式表示为零向量的形式。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}，如果存在不全为零的系数c₁, c₂, ..., cₙ，使得c₁v₁ + c₂v₂ + ... +cₙvₙ = 0，则向量组V是线性相关的。
例如，考虑以下向量组V = {(1, 2), (3, 4)}。
我们可以发现存在不全为零的系数c₁ = 2, c₂ = -1，使得2(1, 2) - (3, 4) = (0, 0)。
因此，向量组V是线性相关的。
线性相关性的判断可以通过求解向量组的线性方程组来实现。
将向量组的元素作为方程组的系数矩阵，并将其等于零向量作为方程组的常数向量。
如果该线性方程组存在非零解，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。
二、线性组合线性组合是指将一组向量按照一定的系数进行加权相加的操作。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}和系数c₁, c₂, ..., cₙ，v = c₁v₁ +c₂v₂ + ... + cₙvₙ即为线性组合。
线性组合的应用非常广泛，在几何学、物理学、经济学等领域中都有重要的作用。
例如，在几何学中，我们可以通过线性组合来表示向量之间的线性相关性，判断它们是否共线。
三、应用举例1. 几何学中的线性相关性与线性组合在几何学中，线性相关性与线性组合的概念可以帮助我们判断向量之间的关系。
如果一组向量线性相关，则它们位于同一直线上或共面；如果一组向量线性无关，则它们可以构成一个向量空间。
举个例子，考虑三维空间中的向量组V = {(2, 1, 3), (4, 2, 6)}。
我们可以发现第二个向量是第一个向量的倍数，即第二个向量是第一个向量的线性组合。
向量的线性组合与线性相关性
向量的线性组合与线性相关性在线性代数中，向量的线性组合和线性相关性是两个重要的概念。
本文将通过对这两个概念的解释和实际应用来深入探讨它们的意义和特点，以及它们在解决实际问题中的应用。
一、线性组合的定义和意义1.1 定义向量的线性组合指的是将若干个向量按照一定的比例进行相加或相减所得到的向量。
若给定向量v1、v2、...、vn和对应的实数c1、c2、...、cn，则它们的线性组合为：c1v1 + c2v2 + ... + cnvn1.2 意义线性组合的概念在向量空间的理论中起着重要的作用。
它可以帮助我们描述向量之间的关系，以及在解决线性方程组、矩阵运算和几何空间中的变换等问题时的应用。
二、线性相关性的定义和判定2.1 定义向量的线性相关性是指存在不全为零的系数，使得线性组合等于零向量。
若给定向量v1、v2、...、vn和对应的实数c1、c2、...、cn，若存在不全为零的系数c1、c2、...、cn，使得：c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 02.2 判定针对线性相关性的判定，常使用向量间的线性关系和行列式的方法。
其中，若向量v1、v2、...、vn线性相关，意味着至少存在其中一向量可以表示为其它向量的线性组合；而若行列式的值为零，也可以说明这组向量线性相关。
三、线性组合与线性相关性的关系线性相关性是线性组合的一种特殊情况。
若一组向量线性无关，则它们不能相互表示为线性组合；而若一组向量线性相关，则至少存在一个向量能够表示为其它向量的线性组合。
四、线性组合与线性相关性的应用4.1 解决线性方程组线性组合的概念在解决线性方程组时起到重要作用。
通过线性组合，我们可以将一个复杂的线性方程组转化为矩阵运算，从而更加高效地求解未知数。
4.2 空间变换线性组合也广泛应用于空间变换的问题中。
例如，通过线性组合可以实现空间的旋转、投影、缩放等变换操作，从而方便地对空间中的对象进行处理和分析。
4.3 数据分析和机器学习线性组合和线性相关性在数据分析和机器学习领域也有广泛的应用。
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
初中数学知识点向量的线性组合与线性相关
初中数学知识点向量的线性组合与线性相关初中数学知识点：向量的线性组合与线性相关在初中数学学习中，向量是一个非常重要的概念，它是指具有大小和方向的量，常用在几何学和物理学中描述平移、力的大小和方向等。
而向量的线性组合与线性相关也是我们需要了解的重要概念。
本文将详细介绍向量的线性组合与线性相关的概念及其性质。
一、向量的线性组合在初中数学中，我们学习到，如果给定向量a和b，那么它们的线性组合可以表示为ka+lb，其中k和l是实数。
这个表达式的意思是将向量a乘以k，然后和向量b乘以l相加，这就构成了向量a和b的线性组合。
举个例子来说，如果给定向量a=[3,4]和b=[1,2]，那么它们的线性组合可以表示为ka+lb，其中k和l是任意实数。
比如，当k=2，l=1时，线性组合就变成了2a+1b=[2*3, 2*4]+[1*1, 1*2]=[7,10]。
同样地，我们可以选择其他的k和l的值，得到不同的线性组合。
在进行向量的线性组合时，我们需要注意以下几点：1. 线性组合是对向量进行乘法和加法运算，所得到的向量也是二维或三维空间中的一个向量。
2. 线性组合中的系数k和l可以是任意实数，也可以是零。
3. 同一个向量可以出现多次，也可以不出现，其对应的系数可以不同。
4. 线性组合的顺序可以任意调整，不影响结果。
二、线性相关和线性无关在进行向量的线性组合时，我们还需要了解线性相关和线性无关的概念。
如果给定n个向量a1, a2, ..., an，如果他们之间存在一组不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，那么我们称这些向量是线性相关的。
相反地，如果给定n个向量a1, a2, ..., an，如果他们之间不存在一组不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，那么我们称这些向量是线性无关的。
线性相关和线性无关的概念可以通过以下几点来理解：1. 如果一个向量能够表示成其他若干个向量的线性组合，那么它们就是线性相关的。
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向量的线性组合和线性相关性向量是数学中的一个重要概念，用来描述一些有方向又有大小的量。
掌握好向量的定义和特性，对于进行高等数学和线性代数的学习非常重要。
其中向量的线性组合和线性相关性是比较基础的概念，下面我们来探讨一下。
一、向量的线性组合
向量的线性组合指的是将若干个向量按着一定的比例相加的结果。
比如说，如果有两个向量a和b，我们可以将它们组合起来并且乘以一定的系数k1和k2，得出一个新的向量：
c = k1a + k2b
这里的c就是a和b的线性组合，k1和k2则分别是a和b的系数。
在这种情况下，a和b称为c的基底向量。
在实际应用中，向量的线性组合经常被用来描述一些复杂的物理或数学模型。
二、线性相关性和线性无关性
向量的线性相关性指的是在向量组中，是否存在一些向量可以
被其它向量的线性组合表示出来。
如果我们有两个向量a和b，那
么只有当它们的线性组合中，k1和k2都不为0时，a和b才是线
性相关的。
否则它们就是线性无关的。
在向量组中，如果存在某个向量可以被其它向量的线性组合表示，那么这个向量就是冗余的。
比如说，如果我们有一个三维向
量组{a, b, c}，如果c可以表示为a和b的线性组合，那么c就是
冗余的。
线性相关的向量有一些比较有趣的性质。
比如说，如果一个向
量组中有一个向量是线性相关的，那么整个向量组都是线性相关的。
同时，如果向量组中有足够多的向量是线性无关的，那么这
些向量就可以构成一个新的基底向量组。
这个基底向量组的维度，就是向量组中线性无关的向量的个数。
三、应用场景
向量的线性组合和线性相关性在实际应用中也有很多的用处。
比如说，在计算机图像处理中，我们可以用基于向量的方法来进
行图像的压缩和放大。
还有，在机器学习领域，我们经常用到向量计算来进行数据分析和预测。
同时，向量的线性相关性也被广泛应用于线性代数的教学和科研中。
在进行一些高等数学学科的学习时，也需要掌握好向量的线性组合和线性相关性，以便更好地理解一些高阶数学的概念。
结语
掌握好向量的线性组合和线性相关性的定义和特性，不仅可以帮助我们更好地学习数学和线性代数，也能够在实际应用中发挥出更强的实用价值。
因此，在进行相关的数学学科学习时，要认真学习和理解这两个概念的内涵和应用，以便更好地掌握这门学科。