分式方程增根经典例题
八下第10章分式10-5分式方程3分式方程的增根习题新版苏科版
【点拨】 分式方程的增根是最简公分母的值为零时，未知
数的解．
【答案】D
7 若关于 x 的分式方程mx－＋34＝x3－x3＋2 有增根，则 m 的值
为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】 方程两边同时乘(x－3)，得 m＋4＝3x＋2(x－3)，
解得 x＝15m＋2.∵原分式方程有增根，∴x－3＝0，解 得 x＝3.∴15m＋2＝3，解得 m＝5.
【答案】D
8 [2022·遂宁]若关于 x 的方程2x＝2xm＋1无解，则 m 的值为 () A．0 B．4 或 6 C．6 D．0 或 4
5 关于 x 的分式方程5x＝x－a 2有解，则字母 a 的取值范围是
()
A．a＝5 或 a＝0 B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5 且 a≠0
【点拨】 先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依
据“关于 x 的分式方程5x＝x－a 2有解”，即 x≠0 且 x≠2 建 立不等式组即可求出 a 的取值范围．
然后根据x的取值讨论a的范围即可作出判断．本题 在判断方程的解是负数时，容易忽视a≠0这一条件．
【答案】B
3 [2023·牡丹江]若分式方程x＋a 2＝1－x＋3 2的解为负数，则 a 的取值范围是( ) A．a<－1 且 a≠－2 B．a<0 且 a≠－2 C．a<－2 且 a≠－3 D．a<－1 且 a≠－3
当 x＝2 时，(x－2)(x＋2)＝0，方程无解， 即23m－－m1＝2，解得 m＝1； 当 x＝－2 时，(x－2)(x＋2)＝0，方程无解， 即23m－－m1＝－2，解得 m＝－13.
分式方程增根与无解专题
分式方程的增根和无解专题课本题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须磨练.例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一.解分式方程 （每题5分共50分）（1）223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ; （3）30120021200=--x x（4）255522-++x x x =1(5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--（7）11322x x x -+=---(8)512552x x x =---(9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程双方同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不合适原分式方程的根,这种根平日称为增根.例2. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为. 例3．若关于x 的方程313292-=++-x x x m 有增根, 则增根是若干?产生增根的m 值又是若干?评注：由以上几例可知,解答此类问题的根本思绪是：（1）将所给方程化为整式方程;（2）由所给方程肯定增根（使最简公分母为零的未知数的值或标题给出）（3）将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值.专演习二：3323-+=-x x x 有增根,则增根为.2. 使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ）A. 2B. －2C. ±2D. 与a 无关3.若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是（ ）A. －1或－2B. －1或2C. 1或2D. 1或－24.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?5.关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根,求k 的值.6.当k 为何值时,解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1.7.当a 取何值时,解关于x 的方程：()()x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值.1、已知关于x 的方程mx m x =-+3无解,求m 的值.2.的值。
分式方程增根例析
分式方程增根例析解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.【例1】解方程x x 415-+＝0.解：方程两边同乘x （x+1），得 5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0. 解得x=4.检验：当x=4时，x （x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴ x=4是原方程的解.【例2】解方程114112=---+x x x解：原方程可化为1)1)(1(411=-+--+x x x x ，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得 x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【点评】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】 解方程51614171-+-=-+-x x x x .解：原方程可变形为41615171---=---x x x x .解得x=211.检验：当x=211时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=211是原方程的解.【点评】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】 若关于x 的方程x x k x x x k +-=----2225111有增根x=-1，求k 的值.解：原方程可化为)1(5)1(1)1)(1(1+-=---+-x x k x x x x k .方程两边同乘x （x+1）（x-1）得x （k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k ，∴k=9.【点评】 因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式 方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．解分式方程误区点拨一、漏乘公分母【例1】解方程23132--=--x x x .错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验. 正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.二、去分母时漏添括号【例2】解方程011132=+--x x .错解：方程化为11)1)(1(3+--+x x x ＝0，方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x ＋1）（x －1），得3-（x －1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.。
七下提练第12招巧解分式方程的增根问题习题新版浙教版
(1)已知m＝4，求方程的解；
【解】原方程当 m＝4 时， 分式方程为x－2 1＋(x－14)x(x＋2)＝x＋1 2， 去分母，得 2(x＋2)＋4x＝x－1，解得 x＝－1， 经检验：x＝－1 是原方程的根．
(2)若该分式方程无解，试求m的值． 【解】原方程去分母得2(x＋2)＋mx＝x－1， 整理得(m＋1)x＝－5, ∵分式方程无解，∴m＋1＝0或(x＋2)(x－1)＝0. 当m＋1＝0时，m＝－1； 当(x＋2)(x－1)＝0时，x＝－2或x＝1.
当 x＝－2 时，－2(m＋1)＝－5， 解得 m＝32； 当 x＝1 时，m＋1＝－5，解得 m＝－6. ∴m＝－1 或－6 或32.
6.当 a 为何值时，关于 x 的分式方程xx－－a1－3x＝1 无解． 【解】原方程化为整式方程为x(x－a)－3(x－1)＝ x(x－1)，整理，得(a＋2)x＝3. 当a＝－2时，方程无解，原分式方程无解； 当x＝0时，方程无解；当x＝1时，原分式方程有 增根，此时a＝1.综上，a的值为1或－2.
7.已知关于 x 的分式方程xx(x2＋－42)－x－x 2＝ax无解，求 a 的值． 【解】原方程化为整式方程为x2＋4－x2＝a(x－2)， 整理，得ax＝4＋2a. 当a＝0时，分式方程无解； 当x＝0时，原分式方程有增根，此时a＝－2； 当x＝2时，方程无解．综上，a的值为0或－2.
8. [2023·绍兴月考]已知关于 x 的分式方程x－2 1＋ (x－1m)(xx＋2)＝x＋1 2.
4.若关于 x 的分式方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1 无解，求 m 的值．
【解】原方程去分母，得3x－2＝2(x＋1)＋m，整理， 得x＝m＋4，由分式方程无解，得x＋1＝0， 所以x＝－1. 将x＝－1代入x＝m＋4，得－1＝m＋4， 解得m＝－5.
分式方程增根分类举例
与分式方程根有关的问题分类举例1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
1.使关于x的方程产生增根的a的值是（）A. 2B. －2C.D. 与a无关解：去分母并整理，得：因为原方程的增根为x=2，把x=2代入<1>，得a2=4所以故应选C。
2.若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. －1或－2B. －1或2C. 1或2D. 1或－23.若关于x的方程有增根，则m的值为__________。
4. 当k为何值时，解关于x的方程：只有增根x=1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程无解，求字母系数的值1. 解方程． 2 ．解方程例1（2007湖北荆门）若方程=无解，则m=——————．解：原方程可化为=－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例2、若分式方程无解，则m的取值是（）例3.当a为何值时，关于x的方程无解？例4、若关于x的分式方程无解，求m的值．分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．3. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围例1. 已知关于x的方程的根大于0，求a的取值范围。
解：原方程可化为：所以由题意，得：且所以且例2. 已知关于x的方程的根小于0，求k的取值范围。
分式方程增根的例题
分式方程增根的例题
在解析分式方程增根的例题的过程中，我们可以清楚地看到分式方程增根的具体步骤和方法。
首先，假设我们有一个分式方程：x/2 + 1 = 0。
那么，我们可以首
先将方程重写为：x/2 = -1，然后乘以2得到：x = -2。
这就是增根后的结果。
再来看一个更复杂一些的例子，假设我们有一个分式方程：2/(x-3) + 1 = 0。
首先，我们可以将这个方程重写为：2/(x-3) = -1，然后两边同时乘以x-3，得到：2 = -(x-3)。
最后，解开括号，将方程重写为：2 = -x + 3。
解这个方程，我们可以得到：x = 1。
这就是增根后的结果。
以上只是两个简单的例子，分式方程的增根需要逐步推理和运算，并不是一蹴而就的。
在遇到复杂的分式方程时，可能需要更多的步骤进行处理。
但无论如何，分式方程增根的基本原理都是相同的，那就是通过一系列数学操作，将分母消除，从而使得x变量的次数降低，以便于求解。
分式方程的根与增根
2014年10月·下EDUCATION EDUCATION实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x 的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。
即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。
例题2：使关于x 的方程xa x x a −=−+−2224222产生增根的a 的值是多少呢？要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。
解：去分母并整理，得：（a 2-2）x-4=0因为原方程的增根为x=2，把x=2代入（a 2-2）x-4=0，得a 2=4所以a=±2说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。
其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。
由此可知，增根并不是分式方程特有的。
解分式方程如何避免增根以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：2183193x x −=−+(3)(3)183(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x +−−−=+−+−+−(3)(3)183(3)0(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x +−−−−=+−+−+−2318(3)(3)x x x x −−=+−()()()()36033x x x x +−=+−对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为()()36=−−x x ，即（x-6）=0，得x=6。
分式方程的增根专题练习
x=_ 、选择题（共10小题）1 •若分式方程 有增根，则增根可能是（ ）卜一 1 X 2 -1B . - 1C . 1 或—1D . 0C . ±13 .若关于x 的方程一“ 产生增根，则 m 是( )x _ 2 M _ 2A . 1B . 2C . 3D . 4□ - V m4.若关于x 的方程 有增根，则m 的值是( )K - 5 5 -葢A . - 2B . 2C . 5D . 3 5 .若方程 ----- —-—=7有增根，则 k=( )K " 6 6 _ K A . - 1 B . 0 C . 1 D . 6V- 3 E6.解关于x 的方程产生增根，则常数 m 的值等于（ ）X - 1 X _ 1 A . - 1 B . - 2 C . 1 D . 27.右分式方程 ? ：L有增根，则K _ 1 Z _ 1 m 的值为（ )A . 1B . - 1C . 3D . - 39. (2005?宿迁)若关于x 的方程 - —— 有增根，则 m 的值是(X _ 1 X _ 1 A . 3 B . 2 C . 1 D . - 1 10 -若分式方程 :有增根，则m 的值是（ A . - 1 或 1 B . - 1 或 2 C . 1 或 2 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11 .使分式方程 一’ 一产生增根，m 的值为 _ 一 . x _ J x - J 分式方程的增根专题练习 2.如果方程 一:有增根，那么k 的值（A . m= - 1 C . m=-2 D . m=2)D . 1或- 2B . m=1 &若关于x 的方程 71门产生增根，则m 的值是（K _ 112 .分式方程「.+1= 「有增根，贝U m= _ _ . 13 .若分式方程 -,+3= 有增根，则增根为X 一d K _J X _6 i _ K若去分母解方程」一=2 -」一时，岀现增根，则增根为 .K- 3 3-X解关于x 的方程产生增根，则常数 m 的值等于K-l X-1若一1 —:— •.有增根，则增根为 X-4 q-葢 若关于x 的方程 一一-1=0有增根，则a 的值为 fx-7! ------------------ 若方程一J =2+ ----- 有增根，则增根为 x= ___________ .x - 4 2 ~ 4若关于x 的分式方程- H 有增根，则m 的值为 K — 3 x — 3 解答填空题（共 10小题）（除非特别说明，请填准确值） 卜 T — M 有增根，则k= K _ 3 3 _ xL-y — i 若关于x 的方程一—:-一有增根，则 k= _____________________ K _ 33 - K a= 时，方程」一=2+ ----------- 会产生增根. ------------------ =—3 z-3当m=1 - z分式方程 1'||+3= 有增根.（1）这个增根是x _ J / 一 X14. 15. 16. 17.18. 19.20. 三、 21 . 22. 23.24. 25. 26. 27.28.29. 30.当m=-^-=2 -'会产生增根 x- 3 乂― 3时，方程 _____________ 时，关于x 的方程 会产生增根.若关于x 的方程 x - 4 有增根，那么关于 J _ K y 的不等式5 （y - 2） < 28+k+2y 的解集是 已知关于 「有增根, x+l D 若解关于 x 的分式方程 会产生增根，则 m=若分式方程有增根，则k=已知关于x 的方程 _ _ ; (2) m 的值为 ___________ 时，去分母解方程 —丄丄会产生增根. 2 一 K。
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分式方程增根经典例题
引言
分式方程是数学中常见的一类方程，但在解题过程中，有时会遇到一些特殊情况，即分式方程增根。
本文将介绍一些经典的例题，帮助读者理解和掌握分式方程增根的解题方法。
例题一
已知方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} = 1$，求方程的所有解。
解：根据分式方程的定义，我们可以将方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} =
1$ 化简为2y+3x=xy。
为了求解该方程，我们可以先将其转化为一般形式：
xy−3x−2y=0。
接下来，我们尝试观察方程的特点。
可以发现，方程的左侧可以因式分解得到(x−2)(y−3)=6。
因此，我们可以将方程转化为(x−2)(y−3)=6。
为了求解方程，我们需要找到所有满足(x−2)(y−3)=6的整数解。
根据因
式分解的特性，我们可以列举出所有可能的因子组合： 1. (x−2)=1,(y−3)=6，解为x=3,y=9； 2. (x−2)=2,(y−3)=3，解为x=4,y=6； 3. (x−2)=
3,(y−3)=2，解为x=5,y=5； 4. (x−2)=6,(y−3)=1，解为x=8,y=4。
综上所述，方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} = 1$ 的所有解为(x,y)=
(3,9),(4,6),(5,5),(8,4)。
例题二
已知方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{1}{x+1} = \\frac{3}{x-1}$，求方程的所有解。
解：将方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{1}{x+1} = \\frac{3}{x-1}$ 进行通分，得到$\\frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \\frac{3x}{x(x-1)}$。
化简后可
得2(x+1)(x−1)+(x−1)(x+1)=3x2。
接下来，我们将方程转化为一般形式：2(x2−1)+(x2−1)=3x2，即2x2−
2+x2−1=3x2，化简得到x2−2x−3=0。
为了求解方程，我们可以尝试使用因式分解法或者求根公式来寻找解的集合。
经计算可得，方程的两个实数解分别为x=−1和x=3。
综上所述，方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{1}{x+1} = \\frac{3}{x-1}$ 的所有解为
x=−1和x=3。
总结
本文介绍了两个经典的分式方程增根例题，并详细讲解了解题思路和求解过程。
对于分式方程增根的解题方法，我们可以通过观察特征、因式分解以及求根公式等方式进行求解。
希望读者通过学习本文，能够掌握分式方程增根的解题思路，提高解题能力。