高中数学解析几何抛物线性质与定义(精)
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。
在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。
本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。
其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。
2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。
3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 它的图像关于对称轴对称。
二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。
1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。
3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。
三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。
1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。
四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。
抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。
抛物线知识点
抛物线知识点抛物线是数学中的一种曲线形式，由于其独特的形状和性质，被广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍抛物线的定义、性质和应用，并对其相关概念进行阐述。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一种曲线，可以由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
抛物线的图像呈现出对称、开口向上或向下的特征。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其顶点对称，即任意一点P在抛物线上，其关于顶点的对称点P'也在抛物线上。
2. 最值点：抛物线的最值点为其顶点，当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
3. 切线性质：抛物线上任意一点处的切线与该点处的斜率有关，斜率等于该点的横坐标对应的导数。
4. 焦点与准线：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的点，而准线是与抛物线上任意一点的距离相等的直线。
5. 弧长：抛物线的弧长可以通过定积分来计算。
三、抛物线的应用1. 物理学：抛物线的运动规律被广泛应用于物理学中的抛体运动和弹道问题，例如抛物线运动的轨迹、抛射物的飞行轨迹等。
2. 工程学：抛物线的形状在工程学中经常被用于设计桥梁、天桥、水利工程等，以保证结构的稳定性和均衡性。
3. 计算机图形学：抛物线的数学模型被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制、三维建模等领域，用于实现平滑曲线的绘制和物体的形状设计。
4. 照明学：抛物面反射器是一种常见的照明设备，其形状为抛物线，可以将光线聚焦到特定的区域，提高照明效果。
5. 天文学：抛物线的轨迹在天文学中被用于描述彗星或行星等天体的运动轨迹。
抛物线作为一种特殊的数学曲线，具有对称性、最值点、切线性质等特点，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
深入理解和掌握抛物线的定义、性质和应用，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题，并推动科学技术的发展。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中重要的曲线之一，它具有独特的性质和应用，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
下面是关于抛物线知识点的总结。
1. 抛物线的定义：平面上到一个定点F的距离与到一条固定直线L的距离相等的点的集合，称为抛物线，定点F称为焦点，直线L称为准线。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
该方程的图像是一个开口向上或向下的曲线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，它的横坐标是-x =b/2a，纵坐标是y = c - b^2/4a。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的直线，它的方程是x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于对称轴上，离顶点的距离是p，焦点的横坐标是-x = b/2a，纵坐标是y = c - p，其中p为焦距。
抛物线的准线也位于对称轴上，离顶点的距离也是p，准线的方程是y = c - p。
6. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
7. 抛物线的平移：抛物线y = ax^2 + bx + c关于x轴平移h个单位，得到y = a(x -h)^2 + b(x - h) + c；抛物线y = ax^2 + bx + c关于y轴平移k个单位，得到y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c。
8. 抛物线的对称性：抛物线关于对称轴对称。
9. 抛物线的焦点和准线的性质：焦点到顶点的距离等于焦距的两倍，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
10. 抛物线的切线：抛物线上任意一点的切线斜率等于该点的导数。
11. 抛物线和直线的交点：抛物线和直线的交点是求解方程组y = ax^2 + bx + c和y = mx + n的解。
若有两个交点，直线与抛物线相交；若有一个交点，直线与抛物线相切；若没有交点，直线与抛物线相离。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
数学选修课件第章抛物线的几何性质
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。
本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。
一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。
2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。
- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。
- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。
- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。
二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。
3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。
三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。
2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。
3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。
五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。
2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。
3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。
六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。
2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。
高中数学 抛物线
高中数学抛物线抛物线是数学中的一种曲线，它的特点是呈现出对称性和开口朝上或朝下的形状。
在高中数学中，我们经常会遇到抛物线的相关知识，包括抛物线的标准方程、顶点坐标、焦点坐标等等。
本文将围绕抛物线展开讨论，介绍一些与抛物线相关的基本概念和性质。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线可以用数学形式表示为二次函数的图像。
一般来说，抛物线可以分为开口朝上和开口朝下两种情况。
对于开口朝上的抛物线，其标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0；而对于开口朝下的抛物线，其标准方程为y = -ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的对称轴与抛物线的交点。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)表示函数y = ax^2 + bx + c。
二、抛物线的焦点和准线抛物线还有两个重要的特殊点，即焦点和准线。
对于开口朝上的抛物线，焦点位于抛物线的顶点上方，对称轴与焦点之间的距离称为焦距；而对于开口朝下的抛物线，焦点位于抛物线的顶点下方。
焦点的坐标可以通过公式((-b/2a), (1-4ac-b^2)/4a)求得。
准线是与对称轴平行且与焦点相切的直线，其方程为y = (1+4ac-b^2)/4a。
三、抛物线的图像和应用抛物线的图像具有很多特点和应用。
首先，抛物线是对称的，对称轴是抛物线的一条重要特征，它将抛物线分为两个完全对称的部分。
这种对称性质使得抛物线在几何中有广泛的应用，例如建筑物的设计、桥梁的结构等。
抛物线还具有最值性质。
对于开口朝上的抛物线，最低点就是顶点，也是抛物线的最小值；而对于开口朝下的抛物线，最高点就是顶点，也是抛物线的最大值。
这一性质在实际问题中有着广泛的应用，例如求解最优化问题、确定物体的最佳轨迹等。
抛物线还与抛物运动密切相关。
抛物线可以用来描述抛出物体在无阻力情况下的运动轨迹，例如抛出的物体在空中飞行的轨迹、水平抛出的物体在竖直方向上的运动等。
高三抛物线的基本知识点
高三抛物线的基本知识点在高三数学学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅是高考重点，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、特点、方程和性质等方面。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中一种重要的曲线，它是一个二次曲线。
抛物线由一个定点（焦点）F和一条定直线（准线）l组成。
准线l 与焦点F之间的距离等于点P到焦点F的距离，即PF = PM。
其中P是抛物线上任意一点，M是准线上的垂足。
二、抛物线的特点抛物线具有以下特点：1. 对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上任意一点P关于准线l有相应的对称点P'。
对称轴是准线l，焦点F在对称轴上。
2. 焦点和准线的关系：焦点F到抛物线上任意一点的距离等于焦距，焦距等于焦点到准线的垂直距离。
在抛物线上，焦点F距离准线的距离相等，且等于焦距的一半。
3. 宽度和高度：抛物线的宽度取决于焦点到准线的距离，高度取决于焦点到顶点的距离。
三、抛物线的方程抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据a的正负可以确定抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过已知条件可以确定抛物线方程的具体形式。
例如，已知抛物线过定点P(x1, y1)，则可以将这个点带入标准方程，得到一个方程组。
通过解方程组可以求得a、b、c的值，从而确定抛物线方程。
四、抛物线的性质抛物线具有以下性质：1. 切线和法线：抛物线上任意一点处的切线方向与过此点的准线方向垂直。
法线方向与切线方向相互垂直。
2. 定点关系：抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于焦点到准线的距离，即PF = PM。
3. 对称性：抛物线是关于准线对称的。
对称轴是准线，焦点F 在对称轴上。
4. 最值问题：抛物线的顶点是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。
除了以上介绍的基本知识点外，抛物线还与其他数学概念和定理密切相关，例如二次函数、平移变换、焦半径定理等。
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抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。
F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。
如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。
(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°例 3. 设 P 是抛物线 x y 42=上的一个动点。
(1求点 P 到点 A (-1, 1的距离与点P 到直线的距离之和的最小值;(2若 B (3, 2,求 PF PB +的最小值。
解:(1如图 3,易知抛物线的焦点为 F (1, 0,准线是由抛物线的定义知:点 P 到直线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。
于是,问题转化为:在曲线上求一点 P ,使点 P 到点 A (-1, 1的距离与点 P 到 F (1, 0的距离之和最小。
显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求最小值为 AF ,即为 5。
(2如图 4,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点 P 1,则F P Q P 11=,则有BQ Q P B P PF PB =+≥+11=4即 PF PB +的最小值为 4同类型拷贝题:(2008辽宁卷 10已知点 P 是抛物线 22y x =上的一个动点,则点 P 到点 (0,2 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为解析:运用抛物线的定义,将 P 到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离,如右图,当点A (0,2 与 P以及 F三点共线时,距离之和最小,即为 2AF =图 4图3同类型拷贝题:已知 A (3, 1 ,抛物线 42xy =上一点 P (x,y ,则 |PA|+y的最小值为。
解析:抛物线 42xy =的准线为:y= -1,焦点 F (0, 1 ,记 P 在直线 y= -1上的射影为 Q ,则 y=|PQ|-1=|PF|-1, |PA|+y=|PA|+|PF|-1,问题转化为:求 |PA|+|PF|的最小值,易见: |PA|+|PF|≥ |AF|=3,当且既当 F 、 P 、 A 共线时等号成立,故:|PA|+y的最小值为 2。
例 4. 求证:以抛物线 px y 22=过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。
证明:如图 5,设抛物线的准线为 ,过 A 、 B 两点分别作 AC 、 BD 垂直于 ,垂足分别为C 、 D 。
取线段 AB 中点 M ,作 MH 垂直于 H 。
图 5由抛物线的定义有:BF BD AF AC ==∵ ABDC 是直角梯形即 MH 为圆的半径,而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直,故本题得证。
例 5、 (2008四川卷 12 已知抛物线 2:8C y x =的焦点为 F , 准线与 x 轴的交点为 K , 点 A 在 C上且 AK =,则AFK ∆的面积为解析:如图,过点 A 作 A M 垂直于准线于点 M ,由抛物线定义得 AM AF =,又 AK =则 AK =,在R t A M K ∆中, AM M K =即 AF M K =,此时 A F 垂直于 x 轴, AFK ∆为等腰直角三角形,故面积为22114822K F=⨯=例 6 设抛物线 y 2=2px(p>0的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴 . 。
证明:直线 AC 经过原点O,∵抛物线的焦点为 F (2p , 0 ,∴经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+2p ,代入抛物线方程,得 y 2-2pmy-p 2=0.设 A(x1,y 1 、 B(x2,y 2 ,则 y 1、 y 2是该方程的两根,∴ y 1y 2=-p2. ∵ BC ∥ x 轴,且点 C 在准线 x=-2p 上,∴点 C 的坐标为(-2p , y 2 .∴直线 OC 的斜率为 k=111222x y y p p y ==-,即 k 也是直线 OA 的斜率 .∴直线 AC 经过原点 O.例 7、 A 、 B 是抛物线 y 2=2px(p>0上的两点,满足 OA ⊥ OB (O 为坐标原点 . 求证: (1 A 、 B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值; (2直线 AB 经过一个定点 .证明(1设 A(x1,y 1 、 B(x2,y 2 ,则 y 12=2px1、 y 22=2px2. ∴ OA ⊥ OB, ∴ x 1x 2+y1y 2=0, y 12y 22=4p2x 1x 2=4p2·(-y1y 2. ∴ y 1y 2=-4p2,从而 x 1x 2=4p2也为定值 . (2∵ y 12-y 22=2p(x1-x 2 2121212y y p x x y y +=--.由两点式可得:((112121121211x y y x x y y x x x y y x x y y +---=⇒--=--令 y=0。
可得直线 AB 与 x 轴的焦点坐标((((p py y x py y y x py y y x y y x x y x 222221121211211112121=-=+--=++-=+---=∴直线 AB 经过定点(2p , 0 . 同类型拷贝题:高考链接:过定点 Q (2p,0 的直线与 y 2 = 2px (p >0交于相异两点 A 、 B ,以线段 AB 为直径作圆 H(H为圆心 ,试证明抛物线顶点在圆 H 上。
变式 1: 若直线 l 过定点 (2p,0且与抛物线 y 2 = 2px (p>0交于 A 、 B 两点,求证:OA ⊥ OB. 例 8:若椭圆12222=+by ax (a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、 F 2,线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2bx 的焦点分成 5∶ 3的两段,则此椭圆的离心率为 : (A1617(B17(C455解析:抛物线 y 2=2bx 的焦点为 F (2b, 0 ,∵ F 将线段 F 1F 2分成 5∶ 3的两段,∴(2b +c :(c -2b =5∶ 3⇒c=2b⇒e=5, 选 D 。
例 9:斜率为 1的直线 l 经过抛物线 y 2=4x 的焦点, 与抛物线相交于点 A 、 B ,求线段 A 、 B 的长.分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长 AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和.解:如图 8-3-1, y 2=4x 的焦点为 F (1, 0 ,则 l的方程为 y=x－1．由消去 y 得 x2－6x+1=0．设 A (x1，y1，B (x2，y2 则 x1+x2=6．又 A、B 两点到准线的距离为，，则例 10：椭圆 C1：的左准线为 l ，左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线的准线也为 l ，焦点为 F2，记 C1 与 C2 的一个交点为 P，则 A． 1 2 = （ B ） | B．1 C．2 D．与 a,b 的取值有关例 11：如图，设抛物线 C : y的焦点为 F，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.则△APB 的重心 G 的轨迹方程为 . 解析：设切点 A 、 B 坐标分别为 2 2 y ( x 0 , x 0 和0 ，∵y/=2x，∴两切线斜率分别为：2x0 和 2x1, 于是：切线 AP 的方程为： 2 x 0切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为： x P 所以△的重心的坐标为，∴ xG 2 ，结合x p = x G 代入点 P 所在在直线方程，得到重心 G 的轨迹方程为：即注：上述求轨迹的方法称为“参数法” ，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。
例 12：过椭圆 x 2 y A B Cx F1 O F2 的右焦点 F2 并垂直于 x 轴 25 9的直线与椭圆的一个交点为 B，椭圆上不同的两点 A(x1,y1,C(x2,y2满足条件：|F2A|、|F2B|、 |F2C|成等差数列，则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是。