立体几何轨迹与截面问题.
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。而到点 P 与到点N 的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分面线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系 5．D 【解析】试题分析：因为 EH∥ A1D1 ， A1D1 ∥ B1C1 ，所以 EH∥ B1C1 ，又 EH?平面 BCC1B1 ，平面EFGH ∩平面 BCC1B1 =FG，所以 EH∥平面 BCC1B1 ，又EH?平面 EFGH，平面EFGH∩平面 BCC1B1 =FG，所以 EH∥FG，故 EH∥FG∥B1C1 ，所以选项 A、C 正确；因为 A1D1 ⊥平面 ABB1 A 1 ，EH ∥ A1D1 ，所以EH⊥平面 ABB1 A 1，又 EF?平面 ABB1 A 1 ，故 EH⊥EF，所以选项 B 也正确考点：线面垂直的判定；线面平行的判定 6．D. 【解析】如下图所示，连结
PC1 ，过 P 作 PH BC 于 H ，∵ C1 D1 面 BB1C1C ， PC1 面 BB1C1C ，∴ PC1 C1D1 ，∴ PC 1 PH ，故点 P 的轨迹为以 C1 为焦点， BC 所在直线为准线的抛物线，故选 D. 【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 7．C 【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ，所有满足PBD1 PBX 的所有点 X 在以 BP 为轴线，以 BD1 所在直线为母线的圆锥面上，∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交线，而已知平行于圆锥面轴
线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点 Q 的轨迹是双曲线，故选 C. 【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 8．D 答案第 2 页，总 5 页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【解析】试题分析：根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案解：当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件；故截面图形可能是（1）（5），故选：D．考点：平面的基本性质及推论． 9．A 【解析】试题
分析：图中弧 EF 为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，
因为A1 AE BAF 6 ，所以EAF 6 ，由弧长公式知弧 EF 的长为 2 6 3 ，弧 FG 为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为 B ，因为球心到平面的距离 d 3 ，球半径 R 2 ，所以小圆半径 r R2 d 2 1 ，又GBF 2 ，所以弧 FG 的长为 1 2 2 ，两段弧长之和为 5，故选 A． 6 考点：1、球的截面性质；2、弧长公式． 10．A 【解析】试题分析：点 A1 在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上，过 A1 作
A1E⊥AB 于 E，求出 AE，连结 OE，则 OE⊥AB，∠EAO=45°，在 Rt△AEO，求出 OC，然后求解 A1O，即可求解 A1C．解：由已知可得点 A1 在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上，过 A1 作 A1E⊥AB 于 E，在 Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°∴，连结 OE，则 OE⊥AB，∠EAO=45°，，，∴，在 Rt△AEO 中，在在故选 A．考点：空间两点间的距离公式． 11．C 【解析】试题分析：画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解 MP+PQ 的最小值．解：由题意，要求 MP+PQ 的最小值，就是 P 到底面ABCD 的距离的最小值与 MP 的最小值之和，答案第 3 页，总 5 页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 Q 是 P 在底面上的射影距离最小，展开三角形 ACC1 与三角形 AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°， AM= = ．故选：C．，可知 MQ⊥AC 时，MP+PQ
的最小，最小值为：考点：点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题． 12．D 【解析】 D K AE ，试题分析：由题意得，所以 K 的轨迹是以 AD 为直径的一段圆弧 D K ，设 AD 的中点为 O ，因为长方形 ABCD中， AB 3, BC 1 ，所以D AC 60 ，所以
D OK 120 2 2 1 ，故选 D．，所以 K 所形成的轨迹的长度为 3 3 2 3 考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据AED 沿 A
E 翻折，使得 D 在平面 ABC 上的射影为 K 在直线 AE 上，利用 D K AE ，从而可得 K 所形成的轨迹是以 AD 为直径的一段圆弧D K ，求出圆心角D OK ，利用弧长公式求解弧长． 13．C 【解析】试题分析：作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为 PP，由余弦定理可得 cos P OP 则有 2r OP2 OP 2 PP 2 1 2，∴P OP ．设底面圆的半径为 r ， 3 2OP OP 2 2 4 4 ，∴ r ．故C 项正确． 3 3 答案第 4 页，总 5 页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。考点：圆锥的计算，平面展开——最值问题．【方法点晴】本题主要考查了圆锥的计算及有关圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个三角形，此扇形的弧长等于圆锥的面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．答案第 5 页，总 5 页
立体几何中的轨迹问题
例析空间中点的轨迹问题的转化 求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。 一．轨迹为点 例1已知平面βα||，直线α?l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( ) A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点 解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。 点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。 二． 轨迹为线段 例2． 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。 β α l M O Q P
A. 线段1B C B.线段1BC C. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段 D. BC 中点与11B C 中点连成的线段 解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥， 所以1BD ⊥面1ABC ，若P ∈1B C ，则AP ?平面1ABC ，于是1BD AP ⊥，因 此动点P 的轨迹是线段1B C 。 评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。 例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。形成的轨迹的长度为__________。 解析:在平面SAB 中，过M 作AM 的垂线交AB 于C ，在底面上，过C 作AB 的垂线分别交底面圆于D,E 两点，则AM ⊥面MDE,DE 即为点P 的轨迹，又AO=1,MO= 2 3,AM= 2 7,从而AC=47,OC=4 3,所以DE=()2 7 2 4 312=-.所以填上线段；2 7. 三． 轨迹为直线 例4 (北京高考题)如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，过点B 作直线l 与AB 垂直，则直线l 与平面α交点的轨迹是 ( ) α A B A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 解析: 由题意可知直线l 的轨迹应是过点B 且与AB 垂直的平面，该平面与平面α交点为一条直线，故答案选C.
立体几何动点问题
立体几何与平面解析几何的交汇问题 在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。 一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） ） 解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ， 且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。 二、几何体的截痕
例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。 解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率 ， 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点， 在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23． 四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别 此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（ ） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O
立体几何中的动点轨迹问题讲解
立体几何中的动点轨迹问题讲解 这类问题在高考中并不常见，或者说在高考中出现得并不明显，但在用空间向量求二面角时偶尔会遇到一种题目，即需要用到的点并不是一个确定的点，而是在一个面上的动点，且这个点还满足一些特定的值或平面几何关系，此时需要根据条件确定出动点所在的轨迹，在每年高考前的模拟题中也会遇到这种题目，若在选填中，则一般位于压轴或次压轴位置，求几何体中动点的轨迹或者与轨迹求值相关的问题，在解析几何中满足条件的动点都会有特定的轨迹，动点绝不是乱点，在几何体中依旧如此。 这种题目做法和平面几何求轨迹方程类似，因为点在面内(非平面)，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，这四种情况没有过于明显的界限，知道就好，下列题目中就不再分门别类的去叙述了。 立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。 题目中可以找到与AM垂直且包含OP的平面，这样动点P的轨迹就知道了，从O点向底面作垂线，垂足为O'，连接BO',可知AM⊥平面OO'B，即可得知P的轨迹。
但题目是在规则的正方体中，直线OP和AM为异面直线，两者成90°的特殊角度，根据射影法求异面直线的夹角方法，我们只需确定出OP在底面上的投影位置即可。 与上题类似，需要找到一个与BD1垂直且包含AP的平面，根据三垂线定理可知BD1⊥AC，BD1⊥AB1，所以BD1⊥平面ACB1，平面ACB1与有侧面的交线为B1C，所以点P的轨迹为线段B1C
考点81 空间几何体的截面问题
考点81 空间几何体的截面问题 1．（2018?新课标Ⅰ，理12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A B C D 【答案】A 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长 ，α截此正方体所得截面最大值为：26=，故选A ． 2．（2015?新课标Ⅱ，理19）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（1）交线围成的正方形EFGH 如图： （2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则：10EH EF BC ===，18EM AA ==， ∴6MH ，10AH ∴=。 以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)，∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-。 设(,,)n x y z =为平面EFGH 的法向量，则：100680n EF x n EH y z ?=-=??=-=?? ，取3z =，则(0,4,3)n =， 若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==，∴直线AF 与平面α ．
立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨 迹与CD 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为 锐角，显然也不满足PE ⊥AC ． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1． (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成 一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为23 3 的点 的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ． 1 A C C 1 A E C C 1 A A 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D D A ． B ． C ． D ． A
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D
分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2）
立体几何中的轨迹问题答案
立体几何中的轨迹问题 【判断轨迹】 一、点线面中的轨迹问题 1.平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 一条直线 解：设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面 内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． 2．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ） 在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是（除去两点的圆） 3．已知平面//α平面β，直线l α?，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为 2 9 的点的轨迹是四个点 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等 于 2 9 的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<= -，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ． 二、柱体中的轨迹问题 1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． 2.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能圆或圆的一部分 l A B C α
立体几何轨迹与截面问题
轨迹与截面（二） 1．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设 与底面所成的角分别为均不为.若，则动点的轨迹为（） A. 直线的一部分 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 2．正方体棱长为4，,分别是棱,的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为（） A. B. C. D. 3．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面 MN=（） 积分别为2π和π，则|| A．1 B3．2 D5 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的
轨迹为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，记长方体1111ABCD A B C D -被平行于棱11C B 的平面EFGH 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确．．． 的是（ ） A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是平行四边形 C ．Ω是棱柱 D ．Ω是棱台 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） 11 A 1 B 1 P D C A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面 11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ） A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①⑤ 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ） A ． 56π B ．23π C ．π D ．76 π 10．（2015秋?河南期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）
立体几何截面问题
立体几何中的截面问题剖析 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况. 以正方体为例：平面截正方体的截面图形 三角形： 四边形 五边形 六边形 类型一：与截面有关的求值问题 1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．98 2、 体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A. 2717 B ．2117 C ．1517 D ．1317
正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ） A ．425133+ B ．225133 + C ．2513+ D ．13252 + 反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ） A ．23 B ．26 C ．225 D ．3 2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A ．S 为定值,l 不为定值 B ．S 不为定值,l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值 类型二：与截面有关的最值问题 1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．433 B ．332 C ．423 D ．2 3
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题 高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。 一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。 例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。 解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。 针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。 由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。因此，我们在以下命题： 直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。 结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线； （3）若α≠90°，β≠90°，则 ①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。 用上面的观点我们来看下一例： 例2：已知平面α//平面β，直线L α，点P ∈L ，平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线L 的距离为9的点的轨迹是 （ ） （A ）一个圆 （B ）两条直线 （C ）四个点 （D ）两个点 解：空间中到直线的距离为定值的点的轨迹是一个圆柱，平面与圆柱的交线是两条直线。空间中到一点的距离为定值的点的轨迹是一个球，平面与球的交线是一个圆。在平面内两条直线与一个圆的公共点是四个点或两个点，再结合具体数据，可知，轨迹是四个点。 上面两例都是一个动点在运动，结合解析几何中经常出现的中点轨迹，在立体几何中也有类似的问题： 例3：空间两条异面直线m 、n ，动点P 在直线m 上运动，动点Q 在直线n 上运动，求PQ 中点的轨迹。 P A O B M P A B P 2 m n Q 2 Q 1 P 1 R 1 R 4 R 2 R 3 P m n B Q A P 1 Q 1 R 例4图 O
立体几何中点的轨迹问题
2011.NO35 1 点的轨迹问题是平面解析几何中的一个重要内容，对于大多数学生来讲都是很难解决的，如果把问题与立体几何结合即探求空间某点的轨迹，可以说是难上加难！在此本文仅以几个例子说明空间点的轨迹问题的解决方法，以期能抛砖引玉，给广大学生一些启示。 一、动点在几何体的某个面上 如果动点在几何体的某个面上，则它的轨迹就与平面解析几何中的轨迹问题相同，就可能是直线和圆锥曲线等，不过往往是其中的一部分而已。 例1．动点P在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的ABB 1A 1面上，且PB=PB 1，则P点的轨迹是线段BB 1的垂直平分线。 例2．如图A B C D 为直角梯形，∠ABC=90°，AD⊥面PAB，AD=4，BC=8，∠APD=∠ BPC，求P点的轨迹。 例3．如图正方体中，点P在面A 1B上，满足P到A 1D 1和P到BB 1的距离相等。求点P 的轨迹。 解析:P到A 1D 1的距离就是P到点A 1到距离，在平面A 1B 上，动点P到定点A 1的距离等于它到定直线BB 1的距离，由抛物线的定义知P点的轨迹是抛物线的一部分。 例4．如图所示，正三棱锥V—ABC中，点P在侧面VAB上，且点到底面ABC 的距离等于它到顶点V的距离，求P点轨迹。 解析:作PG⊥AB于G， PF⊥于ABC于F，连接FG，则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角，由题设知VP=PF， 而sin∠PGF是一个小于1的正常数，即动点P到定点V和到定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数，所以P点的轨迹是椭圆的一部分。 二、动点为空间中的动点 动点为空间的点，它的轨迹就可能是直线、平面或曲面，在中学最大的可能是球面，例如到正方体相连三个面的距离都相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱面;当然，到一定点距离为定值的点构成一个球面，等等。 例5．在正方体ABCD—EFGH中，棱长为2，M在DH上，N在面ABCD上，MN=2，P点为MN的中点，求P点的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积。 解析:连结D N ，则三角形M D N 为直角三角形，于 是 ，即点P到定点D的距离为定值1，所以P点的轨 迹是一个球，此球面与正方体围成的部分只有球的，所以所 求体积 。 小结: 空间中点的轨迹问题的解决，需要我们对解析几何中的轨迹问题有很牢固的基础，同时还考查了学生的观察能力和空间想象能力，需要学生仔细寻找动点与定点或定直线之间的关系。考试中题目一般出现在选择或填空题之中，不是很难解决，但由于它综合了解几和立几两部分的内容，大家应该引起注意，多多关注一下！ (作者单位:重庆市涪陵区第七中学校) 立体几何中点的轨迹问题 ◇ 杜永明 数学教研
立体几何中的最值
立体几何最值问题 姓名 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ） A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。 三、展成平面求最值 例 3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的 最小值为_______。