C ．a ≤e
D ．a ≥e
4.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的
（ ） A.),3[]3,(+∞--∞Y B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞Y D. )3,3(-
5、函数ax x x f -=3)(在[1，+∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是
____________.
6、已知函数53
123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . 若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
7、已知函数f （x ）=2ax －21x
,x ∈（0,1］，若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，则a 的取值范围是 ；
8、如果函数y=
2
12x +lnx-ax 在定义域为增函数，则a 的取值范围是 9.如果函数f(x)=x+
x a 在（2，∞）上是增函数，则a 的取值范围是
10、若函数1
4)(2+=x x x f 在区间)1,(+m m 上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为 .
11、已知向量x f t x x x ?=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，则t 的取值范围是 .
13.已知函数x x x f 12)(3
-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是_________________
14. 若函数y ＝－43
x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．
15. 已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)．若f (x )的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，则k 的值是 ．
16、已知函数()0ln )(2>--=a x ax x x f
（1）若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程；
（2）若)(x f y =是单调函数，求a 的取值范围。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一?已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 ?参数放在函数表达式上 例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R ? ⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值. ⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围 二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上 2 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值 3 (1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间. (2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立，求c的取值范围. 2 3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2 类型2.参数放在区间上 例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围. 分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9 ' 2 (2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3) 由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 9 3 3 当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 0 3 所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立 所以m的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________________________________ .
利用导数求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？
小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。
导数求参数范围典型题
类型1．参数放在函数表达式上 例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 基础训练： .)().2(; )().1(1 ,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--= 类型2．参数放在区间边界上 例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角. (1) 求)(x f 的表达式 (2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围. 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.
基础训练： .,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练： __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=
(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． （2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立 在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-
用导数求函数的单调性
用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x
解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->--'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 作业：课本第98页 习题3.3A 组1、(3) (4) 2、(3) (4)
导数中的求参数取值范围问题
帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围； （2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立 令2 ()(2)g x x a x a =-++， Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立， 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数 例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切
导数求参数取值范围
一、已知单调性求参数取值范围 1.已知3 2 ()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围 小结：若函数()f x （不含参数）在区间是(,)a b （含参数）上单调递增（递减）， 则可解出函数()f x 的单调区间是(,)c d ，则(,)(,)a b c d ? 2.已知3 21()53 f x x x ax = ++-， （１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围 （２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围 小结：一个重要结论：设函数()f x 在(,)a b 内可导.若函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减），则有' ' ()0(()0)f x f x ≥≤. 方法1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数()g x （可将有意义的端点改为闭）→求()g x 的最值→得参数的范围。 3.函数c bx ax x x f +++=2 3 )(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为 .13+=x y . （1）若)(x f y =在2=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围. 4.（2015重庆）设函数()()23x x ax f x a R e +=∈ （I ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点 ()()1,1f 处的切线方程； （II ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。 5.(2014江西）已知函数. (1) 当时，求的极值； (2) 若 在区间 上单调递增，求b 的取值范围. 方法2：如参数不方便分离，而' ()f x 是二次函数，用根的分布： ①若' ()0f x =的两根容易求，则求根，考虑根的位置
利用导数判断函数的单调性
高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； （2）.如果在),(b a 内，0)(/【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解．
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。
利用导数判断单调性例题精讲
利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞
函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞
利用导数求参数取值范围的几种类型(1)
利用导数求参数取值范围的几种类型 学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围 （2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯 学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数 学习过程： 类型1. 与函数单调性有关的类型 例1. 已知0a >，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。 (1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由； (2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。 解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。 （2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤ 规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ?≥，递减'()f x ?0≤在此基础上再 研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。 类型2. 与不等式有关的类型 例2. 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间； （2） 已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围 解：（1）'22ln 1()x f x +=-，'1()0,f x x ==若则，列表如下：
(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)
利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--=
2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈
3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.
利用导数求参数的取值范围方法归纳(可编辑修改word版)
1 ' 利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型 1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数 f (x ) = 2x 3 - 3(a + 1)x 2 + 6ax + 8其中a ∈ R ． (1) 若f (x )在x = 3处得极值, 求常数a 的值. (2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数, 求a 的取值范围 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例 3.已知 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在x = - 2 与x = 1时都取得极值 3 （1） 求ａ、ｂ的值及函数 f (x ) 的单调区间． （2） 若对 x ∈[-1,2],不等式f (x ) < c 2 恒成立，求ｃ的取值范围． 3. 已知函数f (x ) = x 3 - x 2 - 2x + 5, 若对任意x ∈[-1,2]都有f (x ) > m 则实数m 的取值范围是 类型 2．参数放在区间上 例４．已知三次函数 f (x ) = ax 3 - 5x 2 + cx + d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f (x ) 在 x=3 处有极值. （1）求 f (x ) 的解析式.（2）当 x ∈ (0, m ) 时, 分析:(1) f (x ) = x 3 - 5x 2 + 3x + 9 (2). f ' (x ) = 3x 2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3) f (x ) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 由f ‘ (x ) = 0得x = 1 , x 3 2 = 3当x ∈ (0, )时f (x ) > 0, f (x )单调递增， 所以f (x ) > 3 f (0) = 9 当x ∈ (1 ,3)时f ' (x ) < 0, f (x )单调递减, 所以f (x ) > 3 f (3) = 0 所以当m > 3时f (x ) > 0在(0, m )内不恒成立， 当且仅当m ∈ (0,3]时f (x ) > 0在(0, m )内恒成立 所以m 的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x 4 - 4x 3 ≥ 2 - a 对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是 . 1 2
导数中参数的取值范围
导数中参数范围问题 例１.已知32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围 例２.已知321()53 f x x x ax =++-， （１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围 （２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围 变式１.若函数32 ()31,f x x ax x =+++在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 例3．若函数3223 ()(0)f x x tx t x t t =--+>在[2,2]-上单调递减，求t 的取值范围. 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，
那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ?f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()() lim x f x l g x →∞'='， 那么 () () lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○ 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.(2010年全国新课标理)设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围
导数中求参数的取值范围
导数中求参数的取值范围 求参数取值范围的方法 1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数 ()-x f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数() f x 的单调性； （Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数() f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-． 当0a ≤时， ()0f x '>，∴ () f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =， 当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当 () ln ,x a ∈+∞时， ()0 f x '>，∴函数 () f x 在( ) ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时， ()()()2x x g x x m e x e x x =---++， ∵ () g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成 立，即 1 1x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分 令 ()11x x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()() 2 2 21x x x x e xe e h x e --'== -() () 2 21x x x e e x e ---， 令()2x L x e x =--， ()10 x L x e '=->在( ) 2,+∞上恒成立， 即 ()2 x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->， ∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴ ()()22 21 21e h x h e +>=-， ∴2 2 211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是 2 221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分
专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.
导数求参数范围
导数求参数范围 1．已知函数g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx （1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围； （2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当b=0时，设F（x）= (),1 (),1 f x x g x x -< ? ? ≥ ? ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否 存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
2．已知函数2 ()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。
3．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式; (2)若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n N +=∈，求1232013 1111 S a a a a =+++???+ 的整数部分.
4．设函数()ln f x x ax =-.错误！未找到引用源。 （1）当0a >错误！未找到引用源。时，求函数()f x 错误！未找到引用源。在区间[]1,e 错误！未找到引用源。内的最大值； （2）当1a =-错误！未找到引用源。时，方程()22mf x x =错误！未找到引用源。有唯一实数解，求正数m 的值.
(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+-
导数中参数的取值范围问题
题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0 ) ('= x f得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（) ( ) (x g x f>恒成立 ) ( ) ( ) (> - = ?x g x f x h恒成立）； 单参数放到不等式上 设函数 1 () (1)ln(1) f x x x = ++ （1 x≠，且0 x≠） （1）求函数的单调区间；（2）求() f x的取值围； （3）已知 1 1(1) 2m x x +>+对任意(1,0) x∈-恒成立，数m的取值围。
2.已知函数ln ()1a x b f x x x = ++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求,a b 的值； （2）如果当0x >,且1x ≠时，ln ()1x k f x x x =+-，求k 的取值围. 3.已知函数4 4 ()ln (0)f x a x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c 为常数. （1）试确定,a b 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间； （3）若对任意0x >，不等式2 ()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值围。
4.已知函数2 ()21f x ax x = ++，()a g x x = ，其中0,0a x >≠ （1）对任意的[1,2]x ∈，都有()()f x g x >恒成立，数a 的取值围； （2）对任意的1 2 [1,2],[2,4]x x ∈∈，2 1 )()(f g x x >恒成立，数a 的取值围 5.已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >．若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为 自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，数a 的取值围
导数求参数的取值范围习题
一． 已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小 判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成 立问题. 基础训练： .)().2(; )().1(1 ,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--= 类型2．参数放在区间边界上 例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点 ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为 钝角. (1) 求)(x f 的表达式 (2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.
.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练： __________)(]2,1[,522 )(.32 3的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 )(x f 在x=3处有极值. （１） 求)(x f 的解析式. （２） 当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.
