九年级数学培优教程整理篇(全)
第1讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏板
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A.
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A.
A ．①,②
B ．③,④
C ．①,③
D ．①,④
【例２】(黔东南)方程480x -，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）
A ．0＜m ＜1
B ．m ≥2
C ．m ＜2
D ．m ≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数x 、y 2
(0y =，则xy 的值是__________.
3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－ 1
B ．1
C ．2
D ．3
4．（鄂州）使代数式4
x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3
B ．x ≥3
C ．x ＞4
D ．x ≥3且x ≠4
5.（怀化）2
2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.
【例３是同类二次根式的是（ ）
A B
C
D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一
样. A = B 不能化简；=D ==.故本题应选D.
【变式题组】
6
a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A
B
C
D
8
．已知最简二次根式b
a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（）
A
=B
4
=
C
=D
．(11
+=
【解法指导】正确运用二次根式的性质
①2(0)
a a
=≥；
②
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
?
?
===
?
?-
?
＞
＜
；③
0,0)
a b
=≥≥；
0,0)
b a
=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项
不能合并
.D. 2
(111
+-=-=-.故本题应选C.
【变式题组】
9. （聊城）下列计算正确的是（）
A
．=B
=
C
3
=D
3
=-
10
．计算：20072007
4)(4
?=_____________
11
．22
-=_____________
12．(济宁)已知a
）
A．a B．－a C．－1 D．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝
的值为（）
A
．
2
B．2 C
D．
1
2
【例５】已知xy＞0
，化简二次根式的正确结果为（）
A
B
C
．D
．
【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0.
故原式=.选D.
【变式题组】
14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.
15
===中找出规律，并利用这一规律计算：
1)
2006++
?=_________.
16．已知，则0＜x ＜1=_________.
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：
11()
b
a b b a a b ++++，其中a =b =
⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.
【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，1
2
b =时，ab ＝1，a ＋b ,
⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 101
99=-. 【变式题组】
17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.
18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22
224
()()442a a a a a a a a a
+-+?-+++的值为________.
【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为
（ ）
A ．－2008
B ．2008
C ．－1
D ．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.
解:∵(2008x y =，
∴(x =
y =
(y =
x =，由以上两式可得x ＝y .
∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－
2007＝1，故选D.
【变式题组】
19．若a ＞0，b ＞0=的值.
演练巩固·反馈提高
01．若4m =
，则估计m 的值所在的范围是（ ）
A ．1＜m ＜2
B ．2＜m ＜3
C ．3＜m ＜4
D ．4＜m ＜5
02．n 的最大值为（ ）
A ．12
B ．11
C ．8
D ．3
03．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）
A.
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =
11
()2
d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A ．c ＜a ＜d ＜b
B ．b ＜d ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜d ＜b
D ．b ＜c ＜a ＜d
07．（十堰）下列运算正确的是（ ）
A =
B =
C ．2
1)31=-
D 53=-
08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A ．
B C ．
D ．
09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≤1
B ．x ≥2
C ．1≤x ≤2
D ．x ＞0
10．（怀化）函数
y =
中自变量的取值范围是________.
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝
32
=-那么12※4＝________.
12．（荆州）先化简，再求值：2232
11
21a a a a a a
-+÷-+-，其中a =
13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中1
2
a =. 培优升级·奥赛检测
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.
02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.
03．（全国竞赛）设a =，则54323
22
a a a a a a a
+---+=-________. 04．（全国竞赛）设
x =
a 是x 的小数部分,
b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.
05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.
06．（全国竞赛）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）
A 3
B ．3
C 3
D
08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
09．（全国竞赛） ）
A ．5-
B ．1
C ．5
D ．1
10．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）
A ．
13 B ．
12
C ．
23 D ．3
4
11．已知1
52
a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.
12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.
第2讲 二次根式的化简与求值
考点·方法·破译
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.
经典·考题·赏板
【例１】2
=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1
x x
+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x +
+=，1
2x x
+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，
29111x x x ++=，∴原式【变式题组】
1．若14a
a +
=（0＜a ＜1）
=________
2
=
- ） A ．1a a -
B ．
1a a
-
C ．1a a
+
D ．不能确定
【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
0=，
∴0=
0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，
∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】
3．若a ＞0，b ＞0=
的值.
【例３】
1)a =<<，求代数式
22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x
=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.
解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221
442x x a a
-+=++， 2
2
21
42x x a a
-=+
-，
∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---
+ ＝2211
()
1()211()a a a a a a a a a
a a
+
+-+-=++--
【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+
，求代数式35
(2)242x x x
x -÷----的值.
5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =-且2
2
(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A
．－5
B ．5
C ．－9
D ．9
【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x x
=
>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB
、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.
【解法指导
】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设
OE=a
，BF=b ，则a ，CF
，所以，点A 、C
的坐标为（a
）、
（2a
＋b ）
，所以
2
(2)a b =+=
a b ?=??=-??
因此，点D 的坐标为（,0）
【变式题组】
6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
1
32
3235+，
，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
33
53
33535=
??=； （一） 36333232=??=； （二） (
)
(
)(
)
131
3131
32132-=-+-?=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，1
32
+还可以用以下方法化简：
()(
)()
131
31
31313131
31
31322
-=+-+=+-=+-=+； （四）
（1）请你用不同的方法化简352
+；
①参照（三）试得：352
+=_____________________________；（要有简化过程）
②参照（四）试得：352
+=_____________________________；（要有简化过程）
（2
2n ++++
【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a
＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，
.
【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.
解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝
b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF
＝
，EF
＝，
BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S
长方形
ABCD ＋
S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋
12(d －c )(b －a )－1
2
bd ＝1
2
(bc －ad )
【变式题组】
7．(北京竞赛)
已知a 、b 均为正数，且
a ＋
b ＝2，求U
演练巩固·反馈提高
01
．已知x =
，
y =
值为__________ 02．设1a =
，则32312612a a a +--＝（ ）
A ． 24
B ．25
C ．10
D ．12
03．（天津）计算2001
200019991)
1)1)2001--+=__________
04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 1
()2
x y z =
++，则2()x yz -=__________
05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-=
=__________
06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -+++-的值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
07．已知实数a 满足2000a a -=，那么2
2000a -的值是（ ） A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．2002
08．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
09．已知1x =
培优升级·奥赛检测
01．（信利杯竞赛）已知1x =+2111
242
x x x +-=+--__________
025==__________
03
．（
江
苏
竞
赛
）
已
知
(2002
x y =，则
2234x xy y --665
x y --+
=__________
04．7x =，则x ＝__________
05．(T 1杯联赛) 已知
x =
，y =，那么22y x x y +=__________
06．（武汉选拔赛）如果a b +=a b -=
，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值
为（ ）
A ．
B ．2001
C ．1
D ．0
07．（绍兴竞赛）当12
x +=
时，代数式32003
(420052001)x x --的值是（ ）
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．20032-
08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．不能确定
09．计算：
（1
（2
（3
4947+++
（4
10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11
()(1)a b a b
---，将结果表示成不含b 的形式.
11．已知21(0)a x a a +=>
12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x、y、z0
=，求x＋y＋z的值.
第3讲一元二次方程的解法
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；
2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；
3．会应用一元二次方程解实际应用题。
经典·考题·赏析
【例１】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）
A.(m-2)x2-2x-1=0
B.k2x+5k+3=0
C2
1
20
3
x
--=D.2
2
340
x
x
+-=
【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.
【变式题组】
1．（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是___________.
【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=___________.
【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.
解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，∴原式=2010.
【变式题组】
2．（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=___________.
3．（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【例3】关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为___________.
【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.
解：依题意m2-9=0，∴m=±3，根据方程是一元二次方程得m≠3，综合知m=-3.
【变式题组】
4．（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=___________.
5．（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.
【解法指导】解：
解法一：∵a=1，b=4,c=-1，∴x=.即x=-2±.∴原方程的根为
1222x x =-=-
解法二：配方，得(x +2)2
=5，直接开平方，得2x -=∴原方程的根为1222x x =-=-.
【变式题组】
6．（清远）方程x 2
=16的解是（ ）
A ．x =±4
B ．x =4
C ．x =-4
D ．x =16 7.（南充）方程(x -3)(x +1)=x -3的解是（ ）
A .x =0
B .x =3
C .x =3或x =-1
D .x =3或x =0 8.（咸宁）方程3x (x +1)=3x +3的解为（ ）
A ．x =1
B ．x =-1
C ．x 1=0，x 2=-1
D ．x 1=1，x 2=-1
9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程. ①x 2-3x +1=0；②(x -1)2=3；③x 2-3x =0；④x 2
-2x =4.
【例5】（山西）解方程：6x 2
-x -12=0 【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x 2
-1
6
x =2，配方得x 2
-16x +(-112)2=2+(-112)2,(x -112)2=289144=(1712
)2，即x -112=±1712，∴x 1=32,x 2=43-.
【变式题组】
10．（仙桃）解方程：x 2
+4x +2=0.
11．（武汉）解方程：x 2
-3x -1=0.
12．（山西）解方程：x 2
-2x -3=0.
演练巩固·反馈提高
01．（宁德）方程x 2
-4x =0的解是___________. 02．（十堰）方程(x +2)(x -1)=0的解为___________. 03．（大兴安岭）方程(x -5)(x -6)=x -5的解是（ ）
A ．x =5
B ．x =或x =6
C ．x =7
D ．x =5或x =7
04．（太原）用配方法解方程x 2
-2x -5=0时，原方程应变形为（ ）
A ．(x +1)2=6
B ．(x -1)2=6
C ．(x +2)2=9
D ．(x -2)2
=9
05．（云南）一元二次方程5x 2
-2x =0的解是（ ）
A ．1220,5x x ==
B ．125
0,2x x ==- C ．1250,2x x == D ．122
0,5
x x ==-
06．（黄石）已知a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2
+nx -1=0的两实数根，则式子
b a
a b
+的值是（ ） A ．n 2
+2 B ．-n 2
+2 C ．n 2
-2 D ．-n 2-2 07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A ．8人
B ．9人
C ．10人
D ．11人
08．（台州）用配方法解一元二次方程x 2
-4x =5的过程中，配方正确的是（ ）
A ．(x +2)2=1
B ．(x -2)2=1
C ．(x +2)2=9
D ．(x -2)2
=9
09．（义乌）解方程x 2
-2x -2=0.
10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x 2
+1=3x .
11．（新疆）解方程：(x -3)2
+4x (x -3)=0.
12．（梧州）解方程：(x -3)2
+2x (x -3)=0.
13．（长春）解方程：x 2-6x +9=(5-2x )2
.
14．（上海）解方程：2
1220y x x xy -=???--=??①
②
培优升级·奥赛检测
01．（鄂州）已知α、β为方程x 2
+4x +2=0的两个实根，则α3
+14β+50=___________. 02．已知x 是一元二次方程x 2
+3x -1=0的实数根，那么代数式
235
(2)362
x x x x x -÷+---的值为___________.
03．（苏州）若x 2
-x -2=0
2
的值等于（ ）.
A
．
3 B
．3 C
D
3
04．（全国联赛）已知三个关于x 的一元二次方程ax 2
+bx +c =0，bx 2
+cx +a =0，cx 2
+ax +b =0，恰有一个公共实数根，
则222a b c bc ca ab
++的值为（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 05．（全国联赛）已知实数x 、y 满足：
42
423x x
-=，y 4+y 2
=3，则444y x +的值为（ ）. A ．7 B
．
12+ C
．72
D ．5 06．（全国联赛）已知m
，n
，且(7m 2
-14m +a )(3n 2
-6n -7)=8，则a 的值等于（ ）. A ．-5 B ．5 C ．-9 D ．9
07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x 2
-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________. 08．（滨州）观察下列方程及其解的特征： ⑴12x x +
=的解为x 1=x 2=1；⑵152x x +=的解为x 1=2，x 2=12；⑶1103
x x +=的解为x 1=3，x 2=1
3；……
解答下列问题：
⑴请猜想：方程
126
5
x
x
+=的解为________；⑵请猜想：关于x的方程
1
x
x
+=________的解为x1=a，x2=
1
a
（a
≠0）；⑶下面以解方程
126
5
x
x
+=为例，验证⑴中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
09．（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）在函数
4
y
x
=（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，
△P3A2A3，…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、…A n-1A n都在x轴上.
⑴求P1的坐标；
⑵求y1+y2+y3+…+y10的值.
第4讲根的判别式及根与系数的关系
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；
2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.
经典·考题·赏板
【例１】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k>-1 B. C.k<1 D.
【解法指导】由题意得
【变式题组】
1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）
A． B. C. D.
2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）
A．6 B.7 C.8 D.9
【例２】（荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2
【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，①该
方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，,解得a=2.故选D.
【变式题组】
3．(成都)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.
4．(南通)设是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______ 【例３】（包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则
的值是（）
A．1 B.12 C.13 D.25
【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：
又∵
,
而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.
,故选C.
【变式题组】
5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是
（）
A．8 B.-7 C.6 D.5
6．（鄂州）设是关于x 的一元二次方程的两实根，当a 为何值时，有
最小值？最小值是多少？
【例４】 （兰州）已知关于x 的一元二次方程
.
(1) 如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； (2) 如果此方程的两个实数根为
,且满足
,求a 的值.
【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，
.(2)由题意得：
【变式题组】
7．(绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【例５】 （中山）已知关于x 的方程
.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根.
（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式. （1）证明:因为△=)12(4)2(2
--+m m =4)2(2
+-m 所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得
2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x
【变式题组】
8．(中山)已知一元二次方程
.
(1)若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为，且+
,求m 的值.
【例６】 设实数s ,t 分别满足,并且st ≠1，
求的值.
【解法指导】 本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.
解：∵s ≠0，∴第一个等式可以变形为：
,又∵st ≠1，
∴t 是一元二次方程x 2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有
,即st + 1 =－99s ，t = 19s ．
∴
演练巩固·反馈提高
01．(东营)若n （n ≠0）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为
A.1
B.2
C.-1
D.-2
02．(株洲)定义：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A ．a c =
B ．a b =
C ．b c =
D ． a b c ==
03．（崇左）一元二次方程
的一个根为-1，则另一个根为 ．
04．(贺州)已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．
05．（上海）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．
1、 06．（泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2
2=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围
是 .
07．（淄博）已知关于x 的方程014)3(22
2=--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；
（3）若以方程014)3(22
2=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x
m
y =的图象上，求满足条件的m 的最小值．
08．已知关于x 的一元二次方程
(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.
09．（孝感）已知关于x 的一元二次方程22
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；
（2）当22
120x x -=时，求m 的值．
10．（鄂州）关于x 的方程04
)2(2=+++k
x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
11．（北京）已知：关于x 的一元二次方程2
(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．
12．（淄博）已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=- (1)求12,x x 及a 的值； (2)求32111232x x x x -++的值．
培优升级·奥赛检测
01．（全国联赛）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式
2
211
a b
+的值为 （ ） A 5. B7. C 9. D.11.
02．（延边预赛）已知m 是方程
的一个根，则代数式
的值等于
（ ）
A ．2016 B.2017 C.2018 D.2019
03．如果a 、b 都是质数，且
,那么
的值为（ ）
A． B. C.D或2
04．（全国竞赛）已知实数，且满足的
值为（）
A．23 B.-23 C.-2 D.-13
05.(全国竞赛)设是关于x的方程的两个实数根，则的最大值为
___________
06．已知是方程的两个实数根，则
07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作
,则__
08．已知关于x的方程：.
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.
09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；
（2）求的最大值.
【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)
每天进步一点点！ 坚持就是胜利！ 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏析 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） A.
九年级数学培优材料10
B A B E D A M N 九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式2x-3有意义，x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图，在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°，∠D=50°，则∠AOD 的度数是（ ） A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图，已知AB 为⊙O 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM ：OB=3：5，则CD 的长为（ ） A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a 个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为（ ） A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上一点，将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ，若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1
初三九年级上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
初三九年级上册数学压轴题（培优篇）（Word版含解析）一、压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l： 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C， 且与直线2l： 1 2 y x =交于点A. （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且COD △的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”． （1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）； （3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．3．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相
切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由． 4．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/ cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/ cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2 26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形． （1）求证△AEF∽△BCE； （2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围； （3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于 点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3 4 ，CF=8 3 ． （1）求⊙O的半径OD； （2）求证：AC是⊙O的切线；（3）求图中两阴影部分面积的和．
九年级数学培优材料10.docx
九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试 一、选择题 1、二次根式越有意义，x的取值范围为（） 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是（） A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（） A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图，在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是（） A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图，已知AB 为（DO 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM： 0B=3：5, 则CD的长为（） A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是（） A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 2 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为（） A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图，正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点，将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的（DO相切，则折痕CE=（） A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图，MN是00的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30° , B为弧AN的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是（） A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形，AB是的直径，E是00 ±一点，过点E作EF丄DC于
人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程 1．一元二次方程 预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ． 例题讲解 【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数． 基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版 1．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结 论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b 2a ＞0．其中正确的结论有( ) A ．只有① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第 二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。 3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ 4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有 正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = . (2题)
5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负， 平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ， d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}． （2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量” {1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形. （3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程． 6.如图，已知抛物线42 12 ++- =x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为 （第5题） 图1
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
九年级数学上培优提高试卷一
九年级数学培优提高试卷一 一、选择题 1、Rt△ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，则cos A =（ ） A 、 45 B 、 34 C 、 35 D 、 43 2、下列各组数中，成比例的是（ ） A 、-6，-8，3，4 B 、-7，-5，14，5 C 、3，5，9，12 D 、2，3，6，12 3、下列结论正确的是 （ ） A 、所有直角三角形都相似； B 、所有边长相等的菱形都相似； C 、同弧所对的圆周角相等； D 、当2 40b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴只有一个交点. 4、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <， 则21y y -的值 ( ) A 、小于0 B 、等于0 C 、大于0 D 、不能确定 5、如图，以平行四边形ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，若⊙O 过点 C ，且∠AOC =80°，则∠BA D 等于（ ） A 、160° B 、145° C 、140° D 、135° 6、一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（ ） A 、20o B 、40o C 、100o D 、120o 7、将24y x =的图象先向左平移 12个单位，再向下平移3 4 个单位，则所得图象的函数解析式是（ ） A 、2134()24y x =++ B 、 2134()24y x =-- C 、 213(4)24y x =+- D 、 213 4()24 y x =+- D
A B P 第8题 8、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件能保证△ACP∽△ABC的有（） ①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③ AC AP AB AC =④ AB AC BC PC = A、①② B、①②③④ C、①②④ D、①②③ 9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F 在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形， 则AE的长是（） A．2 B．3 C．5 D．6 10．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交 PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB 的值是（） A．B．C．D． 二、填空题 11、在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半 径OA= . 12、根据下面物体的三视图，填出该几何体的名称：__ __． 13、如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为 直线x=-1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3) 是直线l上的点，且-1 等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 初三数学 图，直角坐标系中，直线L与x 轴、y 轴分别交于点A（4，0）和点B（0，3），点P沿直线L 由B 点向A点匀速运动，同时点Q沿x 轴由 A 点向坐标原点O匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t 秒，它们到达图中所示的位置，连结P Q。 （1）当t 为多少时，? PAQ为直角三角形？ （2）当t 为多少时，? PAQ的面积最大？ （3）求（2）中? PAQ三个顶点P、A、Q确定的抛物线的函数表达式。 y B 0, 3 P A 4, 0 x O Q L 图，直角坐标系中，以P（1，1）为圆心， 5 为半径的⊙P 交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C、D两点。 （1）直接写出A、B、C、D 四点的坐标（演算在草稿进行）； （2）分别过A、C两点作⊙P 的切线 a 和b，求a、b 的函数表达式（写出切线 a 的表达式的求解过程，切线 b 的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。） （3）第（2）问中的a、b 两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。 y b C P(1，1) O A D B x a 图，直线AB与x 轴交于A（4，0），与y 轴交于B（0，2）；直线CD与x 轴交于C（2，0），与y 轴交于D（0，4）。 （1））求直线AB的函数表达式（要有过程）；写出直线CD的函数表达式（过程在草稿纸做）。（2））设AB与CD相交于点P，连结AD，求△ PAD的面积。 2 y 4 D B 2 P C A x O 2 4 如图， 二次函数 y = ax + bx + c 的 图 象与 x 轴 交于点 A （ 6，0）和点 B （2，0），与 y 轴交 于点 C （0， 2 3 ）；⊙P 经过 A 、B 、C 三点. （1） ）求二次函数的表达式； （2） ）求圆心 P 的坐标； （3） ）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点 Q ，使得以 P 、Q 、A 、B 四点为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出点 Q 的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。 y C ·P 2 3 2 3 O 2 B A x 2 6 图，以△ ABC 的边 AB 为直径的⊙ O 经过 BC 的中点 D ，过 D 作 DE ⊥AC 于 E 。（ 1）求证：AB=AC （ 2 分） A E O （2） 求证： DE 是⊙ O 的切线（ 3 分） （3） 若⊙ O 的半径为 3，切线长 DE= 2 B D C 2 ，求 cos ∠C 的值。（4 分） 图，在平面直角坐标系中有矩形 OABC ，O 是坐标系的原点， A 在 x 轴上，C 在 y 轴上，OA=6， 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏板 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） 次根式是（） A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④ 【例２】(黔东南)方程 x-=，当y＞0 480 时，m的取值范围是（） A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x、y 2 y-=，则xy (0 的值是__________. 3．（荆门）若 2 =+，则x－y的值为 x y () （） A．－ 1 B．1C．2 D．3 有意义的x的取值范围是4．（鄂州）使代数式 4 x- （） A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠4 5.（怀化） 2 --=，则a－b－c＝ a c 2(4)0 ________. 【例３】下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A ． =； B ．不能化简； C.=；D = =.故本题应选 D. 【变式题组】 6 ．如果最简二次根式 与是同类二次根式，则a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A ． 8 ．已知最简二次根式b 和 是同类二次根 式，则a ＝_______，b ＝______. 【例４】下列计算正确的是（ ） A = 4= C = D ．(11+= 【解法指导】正确运用二次根式的性质 ①2(0)a a =≥； ②(0)0(0) (0)a a a a a a ??===??-?＞＜；③ 九上考点复习专题 1、 如图，△ABC 的高CF 、BG 相交于点H ，分别延长CF 、BG 与△ABC 外接圆交于D 、 E 两点，则下列结论：①AD=AE ；②AH=AE ；③若DE 为△ABC 的外接圆的直径，则BC=AE.其中正确的是（ ） A 、① B 、①② C 、②③ D 、①②③ 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为___________. 3、如图，已知点E 在Rt △ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D 。 （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BD=2BE=4，求AC 。 4、如图，已知AB=4为⊙O 的直径，弦C D ⊥AB 且CD 过AO 的中点。 （1）如图1，求线段CD 的长度； （2）如图2，P 为优弧CD 上一动点，Q 为△ACP 的内心，当Q 点恰好在线段CD 上时，求DQ 的长度； （3）如图3，点M 与点O 关于直线AC 对称，当点P 在优弧AC 上运动时，试求 2 2 2PM PC PA 的值。 A H C B C 1 B 1 A 1 O 1 A B C D E H F G A B C D O E B C D O A B C D O A B C D O A P Q M P 5、如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，PO 交⊙O 于D ，AC∥OP。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。 （2）过D 点作DE⊥AB，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4 （3）在（2）下，求半径。 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F 为BE 的中点。 （1）如图1，当边AD 与边AB 重合时，连接DF ，求证：DF ⊥CF ； （2）如图2，若∠BAE=135°，求CF 的长； （3）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长。 7、在直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为AB 延长线上一点（不含B 点），连接PC 交⊙M 于Q 点，连接DQ ，若A （-1,0） ，C （0，3）。 （1） 如图，求圆心M 的坐标； （2） 如图，过B 点作B H ⊥DQ 于H 点，当P 点运动时，线段CQ 、QH 、DH 有何数量关系， 证明你的结论； （3） 如图，R 为⊙M 的直径DF 延长线上一个动点（不包括F 点），过B 、F 、R 三点作 ⊙N ，CF 交⊙N 于T ，当R 点在DF 的延长线上运动时，FT-FR 的值是否变化？请 说明理由。 D C B A F E D C B A F E 2016年初二升初三 暑 期 培 优 教 材 （数学） 第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、 c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数 是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二 次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①04 2 =-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 一元二次方程 概念、解法、根的判别式（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程 的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要 解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________； 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）； 当__________时，方程没有实数根（无根或无解）． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________． 九年级数学培优计划 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 培优目标： 1、在学期初找他们谈话，要他们戒骄戒躁，要更加努力学习，使成绩更上一层楼，从思想上积极起来。 2、平时在课堂上提问他们比较深的问题，从而锻炼他们的思维能力。 3、在作业上对他们要求更严格。 4、培养他们良好的学习习惯，以及有效的学习方法。 5、对优等生，多提问一些有针对性、启发性的问题 我打算制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，指定他们对其他学生进行辅导，使他们的知识扩大到更大的领域，技能、技巧达到更高的水平，使他们永远好学上进，聪明才智得到更好地发挥。 6、课堂教学中，鼓励优等学生自主探索、自我尝试，使他们的创造思维能力得到不断增强。 培优措施：在平时多设计有梯度，形式多样的练习。在课堂上培养学生积极探索、认真思考、刻苦钻研的精神，提高观察、想象、理解、分析、判断、推理、概括、记忆、创造等各种数学能力。在应用题教学中，教给学生思考的方法，进行科学训练，提高解题能力，适当加强对比和变式练习。重视思考题教学，引导学生多角度思考问题，展开思维过程，培养创新精神和创新能力，全面开发各个层次学生的智力。 1、要对的优秀生进行思想教育，培养学生热爱科学，渴求知识的兴趣和愿望。 2、首先抓住课堂教学，调动积极思维，既发挥他们的榜样作用，带动其他同学，又在面向全体的同时给他们吃偏饭，要有详实的辅导记录。 3、一学期对培训的学生进行一次考试和问卷，及时了解培训情况及学生的反映。 4、培优期间，要把对优秀生的辅导与学科竞赛结合起来，注意培养优秀生的自学意识和探究能力。 1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1 2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2 3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3 4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 4 5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5 九年级数学上册全册期末复习试卷培优测试卷 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ） A ．43 B ．42 C ．6 D ．4 2．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ） A ．3 B ．31+ C ．31- D ．23 3．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D ．圆的对称中心是它的圆心 4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这 组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 5．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．10x =，23x =- D ．10x =，23x = 6．在六张卡片上分别写有 1 3 ，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56 7．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ） A ．∠AED=∠ B B ．∠ADE=∠ C C ． AD DE AB BC = D ． AD AE AC AB = 8．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球 C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大 9．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若 70 ADB? ∠=，则ABC ∠的度数是（） A．20?B．70?C．30?D．90? 11．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（） A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72 13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（） A．（20 3 ，10 3 ）B．（16 3 ，45 3 ）C．（20 3 ，45 3 ）D．（16 3 ，3 14．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134… 培优班数学试卷 一．选择题 1．下列四个数中最小的是（） A．3.3 B．C．﹣2 D．0 2．如图所示的几何体的主视图是（） A．B．C．D． 3．下列运算正确的是（） A．m3?m3=2m3B．5m2n﹣4mn2=mn C．（m+1）（m﹣1）=m2﹣1 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2 4．已知一直角三角形的周长是斜边上的中线长是2,则这个三角形的面积是（） A．5 B． C．D．1 5．点P（3，﹣4）关于y轴对称点P′的坐标是（） A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3） 6．下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表： 星期一二三四五跳绳个数160 160 180 200 170 则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（） A．180，160 B．170，160 C．170，180 D．160，200 7．一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是（） A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2 8．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（） A．30°B．35°C．45°D．70° 9．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（） A．B．4 C．4.5 D．5 二．填空题（） 10．因式分解：m2n﹣4mn+4n=． 11. 正八边形的每个外角的度数为． 12．如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是． 一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .八年级数学培优教程含答案
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