2021年中考数学考点专题训练15尺规作图

热点15 图形的轴对称、平移和旋转

【命题趋势】

轴对称、平移和旋转是图形的三种基本运动方式或者说变换形式，这部分内容是十分重要的，中考必考内容，而且占的比例也比较大，原因在于图形的三种运动方式可以与很多内容结合在一起考查，例如，与平面直角坐标系一起考查点关于坐标轴对称后的坐标，或者关于某点旋转一定角度后的坐标；也可以与三角形或特殊四边形结合，例如关于矩形或菱形等四边形折叠的问题，这是中考数学中常考的一种问题，其实就是考查的轴对称的性质；甚至这三种图形的运动方式与抛物线或双曲线，直线结合形成压轴题，因此我们一定要对这部分内容掌握好。

【满分技巧】

一、重点从两个方面（相等线段+角相等），把握三种图形运动的性质

（1）轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

关于x轴、y轴对称的点的坐标

（1）关于x轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．

（2）关于y轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．

轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

（2）平移的性质

各组对应点的连线平行（或共线）且相等．

坐标与图形变化-平移

（1）平移变换与坐标变化

向右平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x+a，y）

向左平移a个单位，坐标P（x，y）?P（x﹣a，y）

向上平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y+b）

向下平移b个单位，坐标P（x，y）?P（x，y﹣b）

（3）旋转的性质

（1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等．

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

③旋转前、后的图形全等．

中心对称的性质

关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

坐标与图形变化-旋转

关于原点对称的点的坐标P（x，y）?P（﹣x，﹣y）

二、了解常考的几种基本题型

1．识别图形的对称、平移、旋转——小题（选择）；

2．图形的折叠（一般为矩形或菱形或正方形的折叠）——小题或大题（选择或填空或解答）；3．图形的旋转或平移——小题或大题（选择或填空或解答）

【限时检测】（建议用时：30分钟）

一．选择题（共15小题）

1．（2019秋?阳新县期末）下列图形中，有且只有三条对称轴的是()

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】A、有3条对称轴；

B、有1条对称轴；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形．

故选：A．

2．（2019秋?惠州期末）在平面直角坐标系中，点(3,1)

P-关于y轴对称点在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【解析】点(3,1)

P-关于y轴对称点坐标为：(3,1)，

则(3,1)在第一象限．

故选：A．

3．（2019秋?无为县期末）在44

?的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与ABC

?关于某条直线对称的格点三角形，最多能画()个．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】如图，最多能画出7个格点三角形与ABC

?成轴对称．

故选：C ．

4．（2019秋?瑶海区期末）如图，在ABC ?中，点D 、E 在BC 边上，点F 在AC 边上，将ABD ?沿着AD 翻折，使点B 和点E 重合，将CEF ?沿着EF 翻折，点C 恰与点A 重合．结论：①90BAC ∠=?，②DE EF =，③2B C ∠=∠，④AB EC =，正确的有( )

A ．①②③④

B ．③④

C ．①②④

D ．①②③

【答案】B

【解析】解：将ABD ?沿着AD 翻折，使点B 和点E 重合，

AB AE ∴=，B AEB ∠=∠，

将CEF ?沿着EF 翻折，点C 恰与点A 重合， AE CE ∴=，C CAE ∠=∠， AB EC ∴=，∴④正确； 2AEB C CAE C ∠=∠+∠=∠，

2B C ∴∠=∠，故③正确；

故选：B ．

5．（2019秋?石景山区期末）如图，已知O ∠，点P 为其内一定点，分别在O ∠的两边上找点A 、B ，使PAB ?周长最小的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】解：分别在O ∠的两边上找点A 、B ，使PAB ?周长最小的是D 选项， 故选：D ．

6．（2019秋?乐清市期末）如图，已知直线//a b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离3，试在直线a 上找一点C ，直线b 上找一点D ，满足CD a ⊥，AC CD DB ++的长度和最短，且8AC DB +=．则AB 长( )

A ．313

B ．330

C ．213

D ．230

【答案】D

【解析】解：如图，作AE a ⊥，使得线段4AE =，连接EB 交直线b 于点D ，作DC b ⊥交直线a 于点C ，连接AC ，作BF AE ⊥交AE 的延长线于点F ．

4CD AE ==，//CD AE ，

∴四边形AEDC 是平行四边形，

AC ED ∴=，

AC CD BD ED BD CD ∴++=++，此时AC CD DB ++的值最小，

由题意24345EF =++-=，8BE AC BD =+=，

22228539BF BE EF ∴=-=-=，

223981230AB BF AF ∴=+=+=， 故选：D ．

7．（2019秋?平房区期末）如图，将一边长AB 为4的矩形纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，若25EF =，则矩形的面积为( )

A ．32

B ．28

C ．30

D ．36

【答案】A

【解析】连接BD 交EF 于O ，如图所示： 折叠纸片使点D 与点B 重合，折痕为EF ， BD EF ∴⊥，BO DO =

，1

2

OE OF EF ===

四边形ABCD 是矩形， 4AB CD ∴==，90BCD ∠=?，

设BC x =，

BD =

BO ∴=

， 90BOF C ∠=∠=?，CBD OBF ∠=∠， BOF BCD ∴??∽，

∴

OB OF

BC CD

=

，

即：

2x =

， 解得：8x =， 8BC ∴=，

4832ABCD S AB BC ∴=?=?=矩形， 故选：A ．

8．（2019春?西湖区校级月考）如图三角形ABC 平移后得到三角形DEF ，若11AE =，5DB =，则平移的距离是( )

A ．6

B ．3

C ．5

D ．11

【答案】B

【解析】三角形ABC 平移后得到三角形DEF ，

AB DE ∴=， 11AE =，5DB =，

1

(115)32

AD BE ∴==-=，

∴平移的距离是3，

故选：B ．

9．（2019春?西湖区校级月考）如图，将ABC ?沿着某一方向平移一定的距离得到DEF ?，则下列结论： ①AD CF =；②//AC DF ；③ABC DFE ∠=∠；④DAE AEB ∠=∠． 正确的个数为( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】B

【解析】ABC ?沿着某一方向平移一定的距离得到DEF ?， ①AD CF =，正确； ②//AC DF ，正确；

③ABC DEF ∠=∠，故原命题错误； ④DAE AEB ∠=∠，正确． 所以，正确的有①②④． 故选：B ．

10．（2019春?西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B 到点C 的方向平移到DEF ?的位置，10AB =，4DH =，15BC =，平移距离为6，则阴影部分的面积( )

A ．40

B ．42

C ．45

D ．48

【答案】D

【解析】两个三角形大小一样，

∴阴影部分面积等于梯形ABEH 的面积，

由平移的性质得，DE AB =，6BE =， 10AB =，4DH =， 1046HE DE DH ∴=-=-=，

∴阴影部分的面积1

(610)6482

=

?+?=， 故选：D ．

11．（2019秋?潮南区期末）如图，将AOB ?绕点O 按逆时针方向旋转45?后得到COD ?，若15AOB ∠=?，则AOD ∠的度数是( )

A ．75?

B ．45?

C ．60?

D ．30?

【答案】C

【解析】如图，由题意及旋转变换的性质得：45AOC BOD ∠=∠=?， 15AOB ∠=?，

451560AOD ∴∠=?+?=?，

故选：C ．

12．（2019秋?资阳区期末）如图，在ABC ?中，45ACB ∠=?，1BC =，22AC =，将ABC ?绕点A 逆时针旋转得到△AB C ''，其中点B '与点B 是对应点，且点C 、B '、C '在同一条直线上；则B C '的长为( )

A ．3

B ．4

C ．2.5

D ．32

【答案】A

【解析】根据旋转的性质可知AC AC ='，45ACB AC B ∠=∠''=?，1BC B C =''=， 所以ACC ?'是等腰直角三角形，且90CAC ∠'=?，

所以22884CC AC AC '=+'=+=， 所以413B C '=-=． 故选：A ．

13．（2019秋?襄州区期中）如图是由三个边长分别是2，3和x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是( )

A ．1或4

B ．2或3

C ．3或4

D ．1或2

【答案】D 【解析】如图，

若直线AB 将它分成面积相等的两部分，

∴

11

(23)3(3)(23)32122

x x x x ++?--=?++?-?， 解得1x =或2x =，

故选：D ．

14．（2020?新宾县二模）如图，在平面直角坐标系中，将ABO ?绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将△11AB C 绕点1B 顺时针旋转到△12AB C 的位置，点2C 在x 轴

上，将△112A B C 绕点2C 顺时针旋转到△222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去??，

若点3(2

A ，0)，(0,2)

B ．则点2019B 的坐标是( )

A ．(6052,0)

B ．(6054,2)

C ．(6058,0)

D ．(6060,2)

【答案】C 【解析】

3

2

AO =

，2BO =， 222235

()222AB OA OB ∴=++，

1126OA AB B C ∴++=，

2B ∴的横坐标为：6，且222B C =，

4B ∴的横坐标为：2612?=，

∴点2018B 的横坐标为：2018266054÷?=．

∴点2018B 的纵坐标为：2．

∴点2018B 的坐标为：(6054,2)，

2019B ∴的横坐标为35

6054605822

+

+=，

∴点2017B 的坐标为(6058,0)，

故选：C ．

15．（2019秋?巴南区期中）如图，已知点A 在第一象限，点C 的坐标为(1,0)，AOC ?是等边三角形，现把AOC ?按如下规律进行旋转：第1次旋转，把AOC ?绕点C 按顺时针方向旋转120?后得到△11A O C ，点1A 、1O 分别是点A 、O 的对应点，第2次旋转，把△11A O C 绕着点1A 按顺时针方向旋转120?后得到△121AO C ，

点2O 、1C 分别是点1O 、C 的对应点，第3次旋转，把△121AO C 绕着点2O 按顺时针方向旋转120?后得到△222A O C ，点2A 、2C 分别是点1A 、1C 的对应点，??，依此规律，第6次旋转，把△343A O C 绕着点4O 按顺时针方向旋转120?后得到△444A O C ，点4A 、4C 分别是点3A 、3C 的对应点，则点4A 的坐标是( )

A ．13(2

3

B ．(6,0)

C ．15

(2

3

D ．(7,0)

【答案】A

【解析】由题意1(2,0)A ，27(2

A 3，43A ，413

(2A 3)，

故选：A ．

二．填空题（共5小题）

16．（2019秋?浦东新区期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 3 的格子内．

【答案】3

【解析】如图所示，

把阴影凃在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形， 故答案为：3．

17．（2019秋?南开区期末）如图，ABC ?中，AB AC =，5BC =，15ABC S ?=，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为 6 ．

【答案】6 【解析】

AB AC =，5BC =，15ABC S ?=，AD BC ⊥于点D ，

6AD ∴=，

EF 垂直平分AB ，

∴点P 到A ，B 两点的距离相等，

AD ∴的长度PB PD =+的最小值，

即PB PD +的最小值为6， 故答案为：6．

18．（2019秋?西城区校级期中）如图，用等腰直角三角板画45AOB ∠=?，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22?，则三角板的斜边与射线OA 的夹角为 22 ?．

【答案】22

【解析】根据题意，得

45AOB ∠=?，M 处三角板的45?角是AOB ∠的对应角，

根据三角形的外角的性质，可得 三角板的斜边与射线OA 的夹角为22?． 故答案为：22．

19．（2019?富顺县三模）如图，平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为 2 ．

【答案】2

【解析】根据题意：A 、B 两点的坐标分别为(2,0)A ，(0,1)B ，若1A 的坐标为(3,)b ，1(,2)B a 即线段AB 向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段11A B ； 则：011a =+=，011b =+=，

2a b +=．

故答案为：2．

20．（2020?顺城区一模）如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，将ABC ?绕顶点C 顺时针旋转得到△A B C ''，

M 是AC 的中点，N 是A B ''的中点，连接MN ，若4AC =，30ABC ∠=?，则线段MN 的最小值为 ．

【答案】2

【解析】如图，连接CN ． 在Rt ABC ?中，

4AC =，30B ∠=?，

28AB AC ∴==，343BC ==

1

22

CM MA AC ==

=，A N NB '='， 1

42

CN A B ∴=

''=， MN CN CM -， 42MN ∴-，即2MN ，

MN ∴的最小值为2．

三．解答题（共3小题）

21．（2019秋?辽阳期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4,5)-，(1,3)-． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）写出点B 的坐标；

（3）将ABC ?向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的图形△A B C '''； （4）计算△A B C '''的面积．

（5）在x 轴上存在一点P ，使PA PC +最小，直接写出点P 的坐标．

【解析】（1）如图，

（2）B点坐标为(2,1)

-；（3）如图，△A B C

'''为所作；

（4）△A B C

'''的面积

111 434212324

222

=?-??-??-??=；

（5）如图，作C点关于x轴的对称点D，则(1,3)

D--，连接AD交x轴于P点，此时PA PC

+的值最小，

设直线AD的解析式为y kx b

=+，

把(4,5)

A-，(1,3)

D--代入得

45

3

k b

k b

-+=

?

?

-+=-

?

，解得

8

3

17

3

k

b

?

=-

??

?

?=-

??

，

∴直线AD的解析式为

817

33

y x

=--，

当0

y=时，

817

33

x

--=，解得

17

8

x=-，

∴满足条件的P点坐标为

17

(

8

-，0)．

22．（2020?武汉模拟）如图，在88?的小正方形网格中，ABC ?三点的坐标分别为(2,3)A ，(2,1)B ，(5,1)C ，把ABC ?绕着点A 顺时针旋转90?得到AEF ?，点B 的对应点为E ，点C 的对应点为F ． （1）在图中画出AEF ?；

（2）点C 的运动路径长为

13

2

π ； （3）直接写出线段BC 所扫过的面积为 ．

【解析】（1）如图所示，AEF ?即为所求；