高等数学(B)(1)作业2

高等数学(B)(1)作业2

导 数

一、名词解释(21分)

导数：设函数)(x f y =在点0x 的某个领域内有定义，给x 以改变量x ?，则函数的相应改变量为)()(00x f x x f y -?+=?。如果当0→?x 时，两个改变量比的极限：

x x f x x f y x

x x ?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，则称这个极限值为函数)(x f 在点0x 的极限，并称函数)(x f 在点0x 可导，也称为)(x f 在点0x 可微或有微商。

平均变化率：称

x

x f x x f x y ?-?+=??)

()(00为平均变化率。 导函数：设对于区间（a ，b ）中的每一点x ,函数)(x f y =都有导数，那么对应于区间（a ，b ）中的每一点x 就有一个导数值，这样由导数值构成的函数，叫做函数)(x f 的导函数，记作

)(x f '，y '，

dx df 或dx

dy ， 高阶导数：如果函数)(x f 的一阶导函数)(x f '仍是可导函数，对其继续求导，得到函数)(x f 的二阶导函数)(x f ''，依次继续下去，可得到函数)(x f 的三阶导数、四阶导数…

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

驻点：使)(x f '等于零的点称为函数)(x f 的稳定点或驻点。

极值：设函数)(x f y =在0x x =及其邻域内有定义，且在0x x =的邻域内

)()(0x f x f ≤恒成立，则称0x x =为极大值点，称)(0x f 为极大值。同理可定义极小值。

极大值与极小值统称为函数的极值。

二、填空题(5分)

1．导数的物理意义是瞬时速度。

2．导数的几何意义是曲线在一点的切线斜率。

3．导数的第三种解释是变化率。

4．导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。 5．可导的函数是连续的，但连续函数不一定可导。

三、回答题(27分) 1．什么是费马定理?

答：设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义并且在点0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有)()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥）

，那么，0)(0='x f

2．什么是罗尔定理?

答：如果函数)(x f 在闭区间［a ，b ］上连续，在开区间内（a ，b ）内可导，并且满足条件)()(b f a f =，那么至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 0)(='ξf

3．什么是拉格朗日中值定理，它的辅助函数甲(1)是怎样构造的?

答：拉格朗日中值定理是这样叙述的：如果函数)(x f 在闭区间［a ，b ］上连续，在开区间内（a ，b ）内可导，那么至少存在一点),(b a ∈ξ，使得 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ

辅助函数为：)()

()()()(a x a

b a f b f x f x ----

=?

4．函数的性质有哪些?

答：函数的性质主要有奇偶性、单调性、有界性、周期性。

5．导数的绝对值大小告诉我们什么?它反映在函数曲线上情况又怎样?

答：导数的绝对值告诉我们变化率的大小，因此，我们可以从一个函数的导数情况判断出函数的性态。当f '绝对值较大时，函数曲线就陡峭；f '绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。

6．什么是极大值(或极小值)?

答：设函数)(x f 在点0x 的某邻域),(00δδ+-x x 内有定义，若对任意的

),(00δδ+-∈x x x ，

)()(0x f x f ≤（或)()(0x f x f ≥）

则称)(0x f 为函数)(x f 的极大值（或极小值），称0x 为函数的一个极大值点（或极小值点）。

7．请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。

答：函数3)(x x f =的导数23)(x x f ='，0=x 是这个函数的稳定点，但不是极值点。所以，函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

8．最大值与极大值是一回事吗?

答：不是。最大值是指函数在给定区间的全部函数值中最大值，而极值描述的只是在极值点附近的局部变化情况。在一个闭区间上连续的函数有且只有一个最大值，而极大可能有几个。极大值不一定是最大值。

9．解决最大或最小值问题通常要用哪几个步骤? 答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出此区间端点处的函数值；

（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。

（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。

四、计算题(30分)

1．求函数2x y =在点x=3处的导数(用定义做此题)。 解：当x=3时，y=9。当x x ?+=3时，2)3(x y ?+= 故 2

2

)(69)3(x x x y ?+?=-?+=?

因此 x x

x x x y ?+=??+?=??6)(62

所以 6)6(l i m l i m 0

03

=?+=??=→?→?=x x y

dx

dy x x x

2．求函数24

4

+-+=x x

x y 的导数 解：

)2()()4

()(4'+'-'+'='x x

x y

x

x x 214423

--

= 3．求x x y sin 2

=的导数 解：)(sin sin )(2

2'+'='x x x x y x x x x cos sin 22

+=

4．求x y n log =的导数 解：n

x y ln 1

=

' 5．求)sin(cos 3x y =的导数 解：令z y sin = v z cos =，3

x v =

2

sin cos 3x v z v z y y x v z ??-='?'?'='

332sin )cos(cos 3x x x ?-=

6．求x y cos ln =的导数 解：x x

x

y tan cos sin -=-=

' 7．求x y ln =的导数

解：当0>x 时，x

x y 1)(ln =

'=' 当0

'-=' 综上所述，x

x 1

)(ln =' 8．求32

)32(1x e

y x

x ++=的导数

解：31

3232ln )32(1-

++-='x e

y x x

9．求)1ln(2

x y +=的二阶导数 解：2

12x

x y +=

' 2

22

222)1(22)1(22)1(2x x x x x x y +-=

+-+='' 10．求x y sin =的n 阶导数 解：)2

sin(

cos x x y +=='π

)22s i n (s i n x x

y +=-=''π

)2

3s i n (c o s x x

y +=-='''π

……………..

)2

s i n ()

(x n y

n +=π

五、应用题(17分)

1、气球充气时，半径R 以1cm/s 的速率增大，设充气过程中气球保持球形，求当半径R=10cm 时体积V 的速率。(5分)

解：333434t V t R R V ππ=∴==

，， 2

2433

4t t V ππ=='， 当10=R 时， 10=t ，π400='V ，

答：体积V 增加的速率为400πcm/s.

2、把长为1的线段分成两段，使得以这两段分别作为长与宽所得的矩形面积最大。(5分)

解：设一边长为x,则另一边长为1-x,

矩形面积S=x(1-x)=2

x x -, x S 21-=', 令0='S ，解得2

1=

x 。 答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。

3、某工厂需要围建一个面积为5122

m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最少？(7分)

解：设宽为x 米，则长为

x 512米，围墙长度为x

x L 512

2+=。 2

22512

25122x

x x L -=-='，令0='L ， 即051222

=-x ，解得16±=x

x

舍掉16-=x ，

512/x

答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。

微分

一、名词解释(12分)

微分: 设函数)(x f y =在点0x 处可导，则x x f ?')(称为函数)(x f y =在点0x 处的微分，记作dy ，即x x f dy ?'=)(。

函数的一阶微分形式的不变性：设函数)(x u ?=在点x 处可微，)(u f y =在对应点u 处可微，则复合函数)]([x f y ?=在点x 处可微。且du u f dy )('=

其中dx x du )(?=

微分的线性化：借助微分使非线性函数在局部转化为线性函数，使自理问题时达到简单、方便、高效的目的。

二、填空题(16分)

1、微分有双重意义，一是表示一个微小的量，二是表示与求导密切相关的运算。

2、微分学包含两个系统：概念系统和运算系统。

3、导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近局部性质。

4、微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁。

三、回答题(15分)

1、微分学基本问题是什么？

答：微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题。 2、微分学的基本运算是什么？

答：求导运算与微分运算是微分学的基本运算. 3、微分的线性化有什么应用？ 答：可进行近似计算等。 四、计算题(40分) 1、求下列函数的微分 ①2

21

x y =

(5分) 解：因为3

x y -=' 所以dx x dy 3

-= ②x

x

y 4=

(5分) 解：因为，x

x x x x x y 44

ln 144ln 442-=-='

所以dx x x dy x

4ln 1-=

③x y 2

sin =(5分)

解：因为x x x y 2sin cos sin 2=='

所以xdx dy 2sin = ④x x y sin ?=(5分) 解：因为x x x y cos sin +=' 所以dx x x x dy )cos (sin +=

2、半径为8cm 的金属球加热以后，其半径伸长30.04cm ，问它的体积增大了多少?(10分)

解：)804.38(3

4

33-=

?πV cm 3、计算303.1近似值。(10分)

解：设03.01)(03=?==x x x x f ，，取 则x x f x f x x f ??'+≈?+)()()(000，

01.101.0103.013

11)1()1(03.132

3

3

=+=?=+=?'+≈∴-x x x f f

五、证明题(17分) 当x 很小时，x e x

+≈1。

证明：令x x x e x f x =?==，，取0)(0，

则x x x e e x f f x f x f x f e x

x +=?=+=?'+≈?+=?==10

)0()0()0()()(0，

x e x +≈∴1，证毕。