初中数学九年级上册 特殊平行四边形

九年级上第一章特殊平行四边形

培优讲义

矩形菱形正方形的性质和判定

矩形菱形正方形

性

质

边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等

角四个角都是直角对角相等四个角都是直角

对

角

线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对

角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平

分一组对角

判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且

有一个角是直角;

·是平行四边形且

两条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组

邻边相等；

·是平行四边形且两条对

角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形

一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

2

1

AC=

2

1

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．叫做正方形．

．．．．．．．的平行四边形

．．．．．．并且有一个角是直角

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

?(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

?(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

注意：1、正方形概念的三个要点：

（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

1．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）

A．5B．10C．20D．24

【解答】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，∴菱形的边长为：＝5，

∴菱形的周长为：4×5＝20，故选：C．

2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD 的面积是（）

A．18B．18C．9D．6

【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AD＝DB＝AB，∴△ABD为等边三角形．

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，

Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OB＝，∴BD＝2OB＝2，

∴菱形ABCD的面积＝＝＝6，故选：D．

3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，

在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，∵BD×AC＝AB×DH，∴DH＝cm，

在Rt△DHB中，BH＝＝cm，则AH＝AB﹣BH＝cm，

∴GH＝＝＝cm．故选：B．

4．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是其对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①②③④C．②③④D．①③④

【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，

则AD＝AB，∠1＝∠2，∠1＝∠4，则∠2＝∠4，∴AD＝DC，同理可得：AB＝AD＝BC＝DC，所以四边形ABCD是菱形．

根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；

③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中

∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故正确的结论是：①②③④．故选：B．

5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90°D．BE平分∠DBC

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，

∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，

A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE为矩形，故本选项错误；

B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；

C、∵∠ABE＝90°，∴BD＝DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；

D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．故选：A．

6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（）

A．1B．2C．2D．4

【解答】解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，

∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，

∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，

解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，

BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，

则菱形的面积是：AE?BC＝2．故选：C．

7．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件在，能判定四边形ABCD是矩形的是（）

A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC

C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD

【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；

B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；

C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；

D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；故选：D．

8．下列说法正确的有（）个

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形

是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确，可以证明两组对角分别相等．

②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；错误；

③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；正确；

④两条对角线相等的四边形是矩形．错误，应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形；故选：B．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）

A．2.5B．2.4C．2D．3

【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，

∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，

∴EF，AP的交点就是M点，

∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．

∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，

∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝，故选：B．

10．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）

A．B．C．D．

【解答】解：作EF⊥BC于F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，

∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，

∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，

∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，

∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，

在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．

11．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°

∵△AEF是等边三角形∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°

∵AD＝AB，AF＝AE∴△ABF≌△ADE∴BF＝DE

∴BC﹣BF＝CD﹣DE

∴CE＝CF故①正确

∵CE＝CF，∠C＝90°∴EF＝CE，∠CEF＝45°∴AF＝CE，

∵∠AED＝180°﹣∠CEF﹣∠AEF∴∠AED＝75°故②③正确

∵AE＝AF，CE＝CF∴AC垂直平分EF故④正确故选：D．

12．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（）

A．对角线互相垂直平分B．内角和为360°

C．对角线相等D．对角线平分内角

【解答】解：A、对角线互相垂直平分，正方形与菱形都具有，故本选项错误；

B、内角和为360°，正方形与菱形都具有，故本选项错误；

C、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项正确；

D、对角线平分内角，正方形与菱形都具有，故本选项错误．故选：C．

13．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形

D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形

【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．

B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．

C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，

∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．

D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．

故选：D．

14．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC

C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD

【解答】解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．

15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）

A．+3B．2﹣2C．2﹣D．2+3

【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，

∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，

∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），

∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，

∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB

∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；

∵△EIB是直角三角形，∴OI＝BE，

∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，

∵OD﹣OI≤DI，∴当O、D、I共线时，DI有最小值，

∵IO＝BE＝2，∴OD＝＝2，

∴ID＝2﹣2，即DI的最小值为2﹣2，故选：B．

16．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）

A．5B．7C．7D．

【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．

由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，

∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，

∴当AM的值最大时，AD的值最大，

∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为，故选：D．

17．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）

A．B．C．2D．1

【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，

∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°

∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，

∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，

∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，

故选：D．

18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝90度．

【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，

∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，

∵AD是△ABC的角平分线，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴?AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．

故答案为：90．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是18．

【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CDB＝∠DAE，

∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，

∵D为AC中点，∴AD＝CD，

在△ADE和△DCB中

∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE＝BC＝4，

在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：DC＝3，∴AD＝DC＝3，

∵ED＝BC，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD＝BE＝3，

∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18，故答案为：18．

20．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB ＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是①②③⑤（填写序号）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；

∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，

又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，②正确；

∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，

又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，③正确；

④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；

∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴四边形ABCD是矩形，

又∵OB⊥OC，

∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．

21．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．

其中，正确的有①②③④（只填写序号）

【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；

∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形，故②正确；

∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；

∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，∴若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．

故答案为：①②③④．

22．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，

∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，

∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，

在△ADP和△CDE中，

，∴△ADP≌△CDE（AAS），

∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，

∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．

故答案为：3．

23．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB+45°，BC＝AB+，若AC＝CD，则边AD的长为．

【解答】解：作∠DCH＝∠ACB，并过D作DH⊥CH于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示：设∠DCH＝∠ACB＝x，

∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝x+45°，∴∠ACD＝180°﹣2（x+45°）＝90°﹣2x，

∴∠BCH＝90°，

在△ABC和△DHC中，

，∴△ABC≌△DHC（AAS），∴BC＝HC，AB＝DH，

∴四边形BCKH是正方形，∴∠K＝90°，BK＝HK，∴AK＝DK＝BC﹣AB＝，

∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD＝＝．故答案为：．

24．如图，在平行四边形BFEC中，连接FC，并延长至点D，延长CF至点A，使DC＝AF，连接AB、DE．

（1）求证：AB∥DE．

（2）若平行四边形BFEC是菱形，且∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，则CF＝ 3.6．

【解答】（1）证明：∵四边形BFEC为平行四边形，∴BF∥CE，BF＝CE，

∴∠BFC＝∠ECF，∴∠BF A＝∠ECD，

在△AFB与△DCE中，，∴△AFB≌△DCE，（SAS），

∴∠A＝∠D，∴AB∥DE；

（2）解：过点B作BM⊥CF于点M，

在Rt△ABC中，AC＝＝5，∵S△ABC＝AB?BC＝AC?BM，

∴BM＝＝2.4，又∵四边形BFEC为菱形，∴BF＝BC＝3，CF＝2FM，

在Rt△BFM中，FM＝＝1.8，∴CF＝2×1.8＝3.6．故答案为：3.6．

25．如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，

在△ADE和△CBF中，

∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝DC，BE＝AB，

又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴△DBC为直角三角形，

又∵F为边DC的中点，∴BF＝DC＝DF，又∵四边形DEBF为平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．

26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，且CE∥BF，连接BE，CF．

（1）求证：四边形EBFC是菱形；

（2）若BD＝4，BE＝5，求四边形EBFC的面积．

【解答】（1）证明：∵D是BC边的中点，∴BD＝CD，

∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠ECD，

在△BDF和△CDE中，

，∴△BDF≌△CDE（ASA），∴CE＝BF，

又∵CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，

又∵四边形BFCE是平行四边形，∴四边形BFCE是菱形．

（2）解：在Rt△BDE中，BE＝5，BD＝4，∴DE＝＝3，

∵四边形BECF是菱形，∴EF＝2DE＝6，BC＝2BD＝8，

∴菱形BECF的面积＝×6×8＝24．

27．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；

（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

即∠DOC＝90°，

∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DECO是平行四边形，

∴四边形DECO是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，

∵四边形DECO是矩形，∴DE＝OC，

∵DE＝2，∴DE＝AO＝2，

∵DE∥AC，∴∠OAF＝∠DEF，

在△AFO和△EFD中

∴△AFO≌△EFD（AAS），∴OF＝DF，

在Rt△ADO中，tan∠ADB＝，∴＝，∴DO＝2，∴FO＝，

∴AF＝＝＝．

28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．

【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，

∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°，∵CD＝AD＝6，∴CE＝CD＝3，

∵四边形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3．

29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD连接CE，DE．

（1）求证：四边形CDBE是矩形；

（2）若AC＝2，∠ABC＝30°，求DE的长．

【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，

∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，

∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4，由勾股定理得：BC＝＝2，

∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝2．

30．如图，在四边形ABDE中，AD与BE相交于点O，OA＝OB＝OE＝OD，AB＝BD．（1）求证：四边形ABDE是正方形；

（2）若∠ACB＝90°，连接OC，OC＝6，AC＝5，求BC的长．

【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OE＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AD＝BE，

∴四边形ABDE是矩形，又∵AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形．

（2）如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，

又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，

在△AOM和△BOF中，

，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，

又∵∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，∴四边形ACFM为矩形，

∴AM＝CF，AC＝MF＝5，∴OF＝AM＝CF，∴△OCF为等腰直角三角形，

∵OC＝6，根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，解得：CF＝OF＝6，

∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，

∴BC＝CF+BF＝6+1＝7．

31．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA＝∠BCA，

∴EQ＝EP，

∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，

∴∠QEF＝∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD，

∴EF＝ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，

∵EC＝，

∴AE＝CE，

∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．

（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，

②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°

综上所述，∠EFC＝120°或30°．