2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第12讲 函数模型及其应用(人教B版)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用课后强化作业 新人教B版
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·某某调研)函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案]B[解析]解法1：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．解法2：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.(理)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1) D ．(1,2)[答案]B[解析]f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13 －(13)13 >0，f (12)＝(12)12 －(12)13<0，∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线， ∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案]C[解析]在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵lne ＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2013·某某统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10 [答案]A[解析]在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)．于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1，选A.3．(2013·某某月考)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1 [答案]A[解析]令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2013·某某师大附中月考)已知f (x )＝(13)x －log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c [答案]D[解析]∵f (x )单调递减，x 0是f (x )的一个零点，∴当x <x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x >0，当x >x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x <0，∵f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0<a <b <c ，所以x 0>c 不可能成立．5．(2013·某某模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x [答案]D[解析]根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案]B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．二、填空题7．(2012·某某)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案]9[解析]本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识． ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a 2)2. ∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．[答案]2[解析]由题意知g (x )有零点，∴a 在f (x )的值域内， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ， x <0，2， 0≤x ≤2，2x －2， x >2.∴f (x )≥2，∴a ≥2， ∴a 的最小值为2.9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析]设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.三、解答题10．(文)(2013·某某省内江市一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)满足y ＝－x ＋120.(1)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ (2)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的X 围． [解析](1)设该商场获得利润为W 元，则 W ＝(x －60)(－x ＋120)＝－x 2＋180x －7200， 由题意可知60≤x ≤87，∵函数W ＝－x 2＋180x －7200在区间[60,87]上是增函数， ∴当x ＝87时，W max ＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． (2)由W ≥500，得－x 2＋180x －7200≥500， ∴70≤x ≤110，又∵60≤x ≤87，∴70≤x ≤87，所以，销售单价x 的取值X 围是[70,87]．(理)(2013·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A 型零件与1个B 型零件配套组成，每个工人加工5个A 型零件与3个B 型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A 型零件的工人有x 人，在单位时间内每人加工A 型零件5k (k ∈N *)个，加工完A 型零件所需时间为g (x )，加工完B 型零件所需时间为h (x )．(1)试比较g (x )与h (x )大小，并写出完成总任务的时间f (x )的表达式； (2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？[解析](1)由题意知，A 型零件共需要4500个，B 型零件共需要1500个，加工B 型零件的工人有(214－x )人，单位时间内每人加工B 型零件3k 个，所以g (x )＝45005kx ＝900kx ，h (x )＝15003k (214－x )＝500k (214－x )，g (x )－h (x )＝900kx －500k (214－x )＝200k ·963－7xx (214－x )，∵0<x <214，且x ∈N *，∴当1≤x ≤137时，g (x )>h (x )，当138≤x ≤213时，g (x )<h (x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧900kx ，(1≤x ≤137，k ∈N *)，500k (214－x )，(138≤x ≤213，k ∈N *).(2)即求当x 为何值时，f (x )取最小值，又900kx (1≤x ≤137)为减函数，500k (214－x )(138≤x ≤213)为增函数，而f (137)f (138)＝900137k ·76k500<1，∴x ＝137时，f (x )取最小值． 即加工A 零件的工人137人，加工B 零件的工人77人时，完成任务所需时间最少.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 [答案]C[解析]由表知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，∴选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1)(x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]D[解析]令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 [答案]C[解析]观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．(文)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定 [答案]B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案]C[解析]当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1； 当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1. 14．(文)(2013·潍坊模拟)一X正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()[答案]A[解析]由条件知2xy＝20，∴xy＝10，，(2≤x≤10)，故选A.∴y＝10x(理)(2013·某某模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．给出以下说法：①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有正确说法的序号是( ) A ．①③B ．①④ C ．②③D ．②④ [答案]C[解析](2)图中直线AB 向上平移，当x ＝0时，y 值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB 绕A 点旋转，当x ＝0时，y 值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.二、解答题15．(文)(2013·某某诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)[解析](1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧648－x－4(0≤x ≤4)20－2x (4<x ≤10).则当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4；当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a4－x－a －4，因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(理)X 林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向X 林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向X 林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析](1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s， 当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值． 所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)． (2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s)2代入上式， 得v ＝10002s －2×10003s 4. 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5， 令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向X 林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．补充材料1．解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f (x )＝0；(3)数形结合．2．用二分法求方程近似解用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b .第二步：取区间(a 0，b 0)的中点x 0＝12(a 0＋b 0)． 第三步：计算f (x 0)的值，得到下列相关结论．(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是方程f (x )＝0的一个根，计算终止；(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；(3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.第四步：取区间(a 1，b 1)的中点x 1＝12(a 1＋b 1)，重复第二、第三步，……直到第n 次，方程f (x )＝0的一个根总在区间(a n ，b n )中．第五步：当|a n －b n |<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(a n ，b n )内的任何一个值精确到ε就是方程f (x )＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f (x )的变号零点．备选习题1．(2012·某某一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值X 围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案]B[解析]解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2(a －1)(b －1)＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b－1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2.(2013·某某)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( ) A ．{2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.3．(2013·某某模拟)若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值X 围为( )A ．[1,2＋2]B ．[－1,2]C ．[－1,2＋2]D ．[1,3][答案]A[解析]由题意知m ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＋1＝2＋2sin(2x ＋π4)．因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以m ∈[1,2＋2]，故选A. 4．(2013·某某调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2013]上的零点个数是________．[答案]604[解析]由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．∵x ∈(－1,4]时，x 2∈[0,16]，2x ∈(12，16]，∴x 2－2x <16，∴x ∈(－1,4]时，f (x )<16.∴当x ∈(4,9]时，x －5∈(－1,4]，∴f (x －5)<16，f (x )＝16－f (x ＋5)＝16－f (x －5)>0，∴f (x )在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.。
2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第二章函数的概念与基本初等函数I函数模型及综合问题
精品题库试题理数1. (2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+e x-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,) C. D.1.B1.设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x0<0)关于y轴的对称点B(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,则即+-=+ln(a-x0),得a=+x0.令φ(x)=+x(x<0),则a=φ(x)在(-∞,0)上有解.因为φ'(x)=·e x+1>0,故φ(x)在(-∞,0)上为增函数,则φ(x)<φ(0)=,从而有a<,故选B.2.(2012陕西,7,5分)设函数f(x)=xe x,则()A. x=1为f(x)的极大值点B. x=1为f(x)的极小值点C. x=-1为f(x)的极大值点D. x=-1为f(x)的极小值点2.D2.f '(x)=(x+1)e x,当x<-1时,f '(x)<0,当x>-1时f '(x)>0,所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D.3.(2012重庆,8,5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3. D3.①当x<-2时,1-x>0.∵(1-x)f '(x)>0,∴f '(x)>0,即f(x)在(-∞,-2)上是增函数.②当-2<x<1时,1-x>0.∵(1-x)f '(x)<0,∴f '(x)<0,即f(x)在(-2,1)上是减函数.③当1<x<2时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)>0,∴f '(x)<0,即f(x)在(1,2)上是减函数.④当x>2时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)<0,∴f '(x)>0,即f(x)在(2,+∞)上是增函数.综上:f(-2)为极大值, f(2)为极小值.4. (2013山东青岛高三三月质量检测，11,5分) 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则()A．B．C．D．4.C4.由=可知关于直线对称，由可知，即当时，，函数是增函数；当时，，函数是减函数，由，可知，，故可知.5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知, 有且仅有一个零点时，则的取值范围是.5. 或5. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.6.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时, 判断的单调性, 并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.6.查看解析6.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时,时最小值为2. ----------------------------------3分（2）时,时， 递增； 时，递减； --------------------5分为偶函数. 所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增；------------8分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有---10分①当时，在上单调递增，由得，从而；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；④当时，在上单调递减，由得，从而；综上，. ---------------------------------------14分7. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是, , 其中和分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即（Ⅰ）试用和表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(Ⅱ) 在两地价格差别满足的条件下，推算该企业可能获得的最大利润（取一位小数）7.查看解析7.（Ⅰ）设总利润为，那么利润函数将利润函数变形为，当，时，即（万元），（万元）企业获得最大利润52万元. （6分）(Ⅱ) 由得，令，，得，由实际意义知、、、都为正数得，又得即，化简得：，（8分）圆的圆心到的距离，所以，即，实际上取一位小数49.9(万元). （13分）(利用直线与椭圆相切同样可得分)8.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，18) 某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间. 上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌. 现有三种价格变化的模拟函数可选择：①；②；③，其中均为常数且（注：表示上式时间，表示价格，记表示4月1号，表示5月1号，，依次类推，）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数，若，，记，经过多年的统计发现，当函数取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？8.查看解析8. 解析（Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②，（4分）（Ⅱ）由，，代入得，解得，即，，（8分)，当且仅当即时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号.(12分）9.(2012陕西,21,14分)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f n(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈,有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,x n,…的增减性.9.(1)证明:b=1,c=-1,n≥2时,f n(x)=x n+x-1.∵f n·f n(1)=×1<0,∴f n(x)在内存在零点.又当x∈时,f n'(x)=nx n-1+1>0,∴f n(x)在上是单调递增的,∴f n(x)在内存在唯一零点.(2)当n=2时, f2(x)=x2+bx+c.对任意x1,x2∈都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下:(i)当>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.(ii)当-1≤-<0,即0<b≤2时,M=f2(1)-f2=≤4恒成立.(iii)当0≤-≤1,即-2≤b≤0时,M=f2(-1)-f2=≤4恒成立.综上可知,-2≤b≤2.注:(ii),(iii)也可合并证明如下:用max{a,b}表示a,b中的较大者.当-1≤-≤1,即-2≤b≤2时,M=max{f2(1), f2(-1)}-f2=+-f2=1+c+|b|-=≤4恒成立.(3)数列x2,x3,…,x n,…是增函数.理由如下:证法一:设x n是f n(x)在内的唯一零点(n≥2), f n (x n)=+x n-1=0, f n+1(x n+1)=+x n+1-1=0,x n+1∈.于是有f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1-1<+x n+1-1=f n(x n+1),又由(1)知f n(x)在上是递增的,故x n<x n+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,x n,…是增函数.证法二:设x n是f n(x)在内的唯一零点,f n+1(x n)f n+1(1)=(+x n-1)(1n+1+1-1)=+x n-1<+x n-1=0,则f n+1(x)的零点x n+1在(x n,1)内,故x n<x n+1(n≥2),所以,数列x2,x3,…,x n,…是增函数.9.10.(2012江苏,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3. 2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.10.(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3. 2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.10.11.(2012上海,21,14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0. 5时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?11.(1)t=0. 5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标y P=3. (2分)由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. (4分)由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. (6分)(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).由vt=,整理得v2=144+337. (10分)因为t2+≥2,当且仅当t=1时等号成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. (14分)11.12.(2012河南鹤壁二模,17,12分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数;(2)在这20天中哪一天销售收入最高?此时单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)12.(1)P=(x∈N*),Q=,x∈,x∈N*,∴y=100QP=100,x∈,x∈N*.(2)∵(x-10)2≤=2 500,∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±5时,y有最大值.∵x∈N*,∴当x=3或17时,y max=700≈4 999(元),此时,P=7(元).答:第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好.12.13.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.13.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g'(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+a2.令h'(x)=0,得x1=-,x2=-.a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:-∞,--,--,--+∞+ -所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为.当-≥-1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-a2.当-<-1,且-≥-1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增.又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h=1.13.14.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=ae x++b(a>0).(1)求f(x)在14.(1)f '(x)=ae x-,当f '(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增;当f '(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减.(i)当0<a<1时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在15.设温室的左侧边长为x m,则后侧边长为m.∴蔬菜种植面积y=(x-4)=808-2(4<X<400). span <>∵x+≥2=80,∴y≤808-2×80=648(m2).当且仅当x=,即x=40时,y有最大值.此时=20,y最大=648 m2.∴当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积最大,为648 m2.15.16. (2012北京海淀区高三11月月考，18,13分）如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米．为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上．（Ⅰ）设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形面积的最大值．16.（I）如图所示，作于，则.所以，………………2分在中，有，所以，………………4分整理得，定义域为. ………………6分(II) 设矩形的面积为，则有，………………9分所以当，函数是增函数，………………11分所以当米时，矩形面积取得最大值平方米. ………………13分16.17.（2013福建厦门高三一月质量检查,20,14分）某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为x l和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3≤x l≤5，3≤x2≤5．方案二：建设一个日处理污水量为x l+x2（单位：万m3/d）的污水厂．经调研知：（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P =40x2；（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？（Ⅱ）若x l +x2 =8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用17.（I）方案一的建设费用，方案二的建设费用，∵，∴，∴如果仅考虑建设费用，方案一更经济.………………………… 5分（Ⅱ）由题意得，运行年后，方案一的总费用为，方案二的总费用为，当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时，,∴,整理得，又x l +x2 =8，∴，∴，，又，∴，∴当或5时，，即经过3年，方案二的总费用等于方案一的总费用，当时，，即只需经过4年，方案二的总费用就小于方案一的总费用.…………… 14分17.。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.9函数模型及其应用
对点演练 (1)今有一组数据，如表所示： x 1 2 3 4 5
y 3 5 6.99 9.01 11 下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足规律的一个是 ( A．指数函数 C．一次函数 答案：C B．反比例函数 D．二次函数 )
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(2)一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v与时间t的关系图象如图， 则t＝2时，汽车已行驶的路程为________km.
快于 ax＞xn
• (2)对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0) • 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会 y ＝ xn 的 增 长速 度 ， 因 而 在 定 义 域 内 总 存 在 一 个 实 数 x0 ， 使 x ＞ x0 时 有 . 慢于 • 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速 度不同，且不在同一个档次上，因此在 (0 ，＋ ∞ )上，总会存在一个 x0， logax＜xn 使x＞x0时有 ．
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1．解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选 择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号 语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
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满分指导：实际应用问题的规范解答 【典例】 (满分 12 分 )(2013·重庆 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄
水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立 方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元 / 平方 米，底面的建造成本为 160 元 / 平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率)． • • (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2) 讨论函数 V(r) 的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最
2015届高考数学二轮专题训练：专题二 第2讲 函数的应用
第2讲 函数的应用 考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一 函数的零点 例1 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( ) A．(，1) B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e) (2)(2014·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为( ) A．[，]∪[，]B．[－，－]∪[，] C．[，]∪[，]D．[－，－]∪[，] 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A 解析 (1)因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－0，故零点在区间(e－1,2)内． (2)先画出y轴右边的图象，如图所示． ∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标． 令cos πx＝，∵x∈[0，]， ∴πx＝，∴x＝. 令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝. 根据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－. ∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足， ∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， ∴≤x≤或≤x≤. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x00 C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C. (2)∵f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－logx的零点，即f(a)＝0，∴当0<x010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①当00； 当x∈(9,10)时，W′10时， W＝98－≤98－2＝38， 当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38， 故当x＝时，W取最大值38. 综合①②知：当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 1．函数与方程 (1)函数f(x)有零点方程f(x)＝0有根函数f(x)的图象与x轴有交点． (2)函数f(x)的零点存在性定理 如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0. ①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点． 2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 真题感悟 1．(2014·重庆)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.∪B.∪C.∪D.∪ 答案 A 解析 作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)． 因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0<m≤，g(x)有两个不同的零点．当直线y＝m(x＋1)过点B 时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－<m≤－2，g(x)有两个不同的零点．综上，m的取值范围为(－，－2]∪(0，]，故选A. 2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 答案 B 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个． 答案 4 解析 当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x＝－3或x＝；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f(x)＋1]有四个不同的零点． 2．函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________． 答案 (－，0) 解析 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1， 则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0， f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f(x)有两个零点，则极小值f(－1)<0，即－e－1－a－，又x→－∞时，f(x)>0，则a0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元． (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( ) A．(0，) B．(，1) C．(1,2) D．(2,3) 答案 C 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数． f()＝log2－＝－1－2＝－3<0， f(1)＝log21－＝0－10， f(3)＝log23－>1－＝>0， 即f(1)·f(2)<0， ∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内． 2．函数f(x)＝＋ln，下列区间中，可能存在零点的是( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(1,2)与(2,3) 答案 B 解析 f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数， 当1<x<2时，ln(x－1)0，所以f(x)>0，故函数在(1,2)上没有零点； f(2)＝－ln 1＝1>0，f(3)＝－ln 2＝＝， 因为＝2≈2.828，所以>e，故ln e<ln ， 即1<ln 8，所以2<ln 8，即f(3)<0，f(4)＝－ln 3＝－ln 30时，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，所以要使函数f(x)＝m有三个不同的零点，则－<m<0，即m的取值范围为(－，0)． 5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点．设弧的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是( ) 答案 D 解析 如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N. 因为弧的长度为x，所以∠FOG＝x， 则AN＝OM＝cos ， 所以＝＝cos ， 则AE＝cos ， ∴EB＝－cos . ∴y＝EB＋BC＋CD＝－cos ＋ ＝－cos ＋2(0<x<π)． 6．已知定义在R上的函数f(x)满足： f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A．－5 B．－6 C．－7 D．－8 答案 C 解析 由题意知g(x)＝＝＝2＋，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的图象如图所示： 由图形可知函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的交点为A，B，C， 易知点B的横坐标为－3，若设C的横坐标为t(0<t0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x≤0时， 函数f(x)＝2x－a有一个零点， 令f(x)＝0得a＝2x， 因为0<2x≤20＝1，所以01 解析 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根． ∵＝m|x|＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：0<1. 10．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________. 答案 4 解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝ 在同一坐标系中画出“”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点． 三、解答题 11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根． ∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0a2－a<0，所以0，即1400， 即f(x)＝0有两个不相等的实数根， ∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0， ∴a≤－或a≥1. 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1. (2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－. 综上所述，a1.。
2015高考数学(苏教版,理)一轮学案12 函数模型及其应用
学案12函数模型及其应用导学目标：1.能够应用函数知识构造函数模型，解决简单的实际生活中的优化问题.2.能利用函数与方程、不等式之间的关系，解决一些简单问题．自主梳理1．几种常见函数模型（1）一次函数模型：y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：y＝错误!＋b（k、b为常数，k≠0)；(3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）,二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中是最为常见的;（4)指数函数模型：y＝ka x＋b(k、a、b为常数，k≠0，a〉0且a≠1)；(5）对数函数模型:y＝m log a x＋n（m、n、a为常数，m≠0,a〉0且a≠1)；（6）幂函数模型：y＝ax n＋b（a、b、n为常数,a≠0,n≠0)；(7）分式函数模型:y＝x＋错误!（k>0)；（8）分段函数模型．2．解应用题的方法和步骤用框图表示如下:自我检测1．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:①前三年中产量增长速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是________．（填上正确的序号)2．(2011·广州模拟）计算机的价格大约每3年下降错误!，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位:万元）分别为L1＝5。
06x－0。
15x2和L2＝2x,其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________．4．（2009·浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位:千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0。
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题1 第4讲 函数与方程、函数的应用
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
0 1 又 当 x>0 时 ， g′(x) ＝ － 1 ＋ x － x2 ＋ x2 ＋ „ － x2 0 1 3 0 1 3 －1 [ 1 · －－x2 ] －1＋x2 ＝ <0， ∴g(x)单 调 递 减 ， 1＋x 1＋x
＝
∴g(x)也只
有 一 个 零 点 ， 记 为
＋x4＋x5∈(π，10)．
专题一 第四讲
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(理) ( 2 0 1 4 ·
x2 x3 x4 百校联考 ) 已知 f(x) ＝ 1 ＋ x － 2 ＋ 3 － 4 ＋„＋ F(x)＝f(x＋
0 1 3 0 1 3 x2 x2 x3 x4 x2 设 函 数 2 0 1 3 ，g(x)＝1－x＋ 2 － 3 ＋ 4 －„－2 0 1 3 ，
0 1 f′(x)＝1－x＋x2－x3＋„＋x2 ，当 x≤0 时，f′(x) > 0 ，当 x>0 0 1 3 0 1 3 1－－x2 1＋x2 时， f ′( x ) ＝ ＝ >0， ∴f′(x) > 0 在 R 上恒成立， 1＋x 1＋x
∴f(x)在 R 上为增函数， 又 f(－1)f( 0 ) < 0 ，∴f(x)只有一个零点，
专题一 第四讲
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1 2 4 7 .5 x－2x －0 5 . 0≤x≤5， ∴y＝ 2 －0 2 .5 x x>5. 1 所 以 把 利 润 表 示 为 年 产 量 的 函 数 关 系 是 1 2 4 7 .5 x－2x －0 5 . 0≤x≤5， y ＝ 2 －0 2 .5 x x>5. 1
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练二 第2讲 函数的应用 理
第2讲 函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值X 围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点例1 (1)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．(2)(2014·某某)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维启迪 (1)根据零点存在性原理，进行判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)2 (2)A解析 (1)由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0， 故f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>0，由零点存在性定理知，存在c ∈(12，3)，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0. 热点二 函数的零点与参数的X 围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的X 围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数X 围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a <－12解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根，∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b3a－1×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1>1f－1<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值X 围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]， 即t 的取值X 围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 20<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x x >10.(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·某某)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值X 围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－1e，0)解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，∴a >－1e，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， 因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值X 围为(－14，0)． 5．(2013·某某)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值X 围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值X围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值X 围为________． 答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值X 围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大， 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。
2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第4讲 函数的概念及其表示(人教B版)
课时作业(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：30分钟 分值：80分)1．[2013·广东卷] 函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x ≥10），f [f （x ＋6）]（x <10），则f (5)的值为( ) A ．10 B ．11C ．12D ．133．[2013·珠海综合] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________．4．[2013·陕西渭南二模] 函数的定义域为________．5．如图K41，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形的面积为S ( )K426．若f (x )＝x －1x，则方程f (4x )＝x 的根是( ) A ．－2 B ．2C ．－12 D.127．已知f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x －2，则f [g (2)]与g [f (2)]的大小关系是( )A ．f [g (2)]>g [f (2)]B ．f [g (2)]＝g [f (2)]C ．f [g (2)]<g [f (2)]D ．无法确定的8．函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线y 2＝x 的图像绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y ＝x 2的图像．若把双曲线x 23－y 2＝1绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图像，则旋转角θ可以是( )A．30° B．45°C．60° D．90°(2x＋1)(1≤x≤3)的值域为________．9．[2013·河南中原名校二联] 函数y＝log1310．[2013·东北三校二模] 已知函数f(x)＝则f[f(2)]＝________．11．[2013·安徽卷] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．12．(13分)设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图K43所示)，要求满足条件AB ＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积y与腰长x的关系式，并求其定义域和值域．13．(12分)已知函数f(x)，g(x)同时满足：g(x－y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)，且f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，求g(0)，g(1)，g(2)的值．。
2015届高考数学(理)二轮复习方案测评手册：第1讲 集合及其运算(人教B版)
课时作业(一)A [第1讲 集合及其运算](时间：30分钟 分值：80分)1．[2013·广东惠州模拟] 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2}．若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．[2013·安徽蚌埠一检] 已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}的关系的Venn 图是( )图K113．[2013·厦门质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≥1}，那么∁U A 等于( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，1) C ．[－1，1] D ．(1，＋∞)4．[2013·大连模拟] 已知集合M ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，N ＝{x |lg(2－x )>0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |1<x <2}C ．∅D ．{x |2<x <3}5．[2013·安徽卷] 已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0，1}，则()∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1，0，1} D ．{0，1}6．[2013·江西卷] 若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或47．[2013·烟台模拟] 设集合U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4＜0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{0，1，2，3}B ．{5}C ．{1，2，4}D ．{0，4，5}8．[2013·牡丹江一联] 如图K12所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |{y |y ＝3x，x >0}，则A *B ＝( )A ．(2，＋∞)B ．[0，1)∪(2，＋∞)C ．[0，1]∪(2，＋∞)D ．[0，1]∪[2，＋∞)9．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <34.若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________．10．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅，且B ⊆A ，则m 的取值范围是________．11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪86－x ∈N ，则集合A 的所有子集是________________________________________________________________________．12．(13分)设全集U ＝R ，M ＝{m |方程mx 2－x －1＝0有实数根}，N ＝{n |方程x 2－x ＋n ＝0有实数根}，求(∁U M )∩N .13．(12分)对任意两个正整数m，n，定义某种运算(用表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都为正奇数时，m n＝m＋n(如46＝4＋6＝10，37＝3＋7＝10等)；当m，n中有一个是正奇数，另一个为正偶数时，m n＝mn(如34＝3×4＝12，43＝4×3＝12等)．在上述定义下，求集合M＝{(a，b)|a b＝36，a，b∈N*}中元素的个数．。
2015高考数学二轮复习学案：专题2 函数(2)
专题2 函数（2）一、填空题：例1 已知函数3()3()f x x ax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是 ．答：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭提示：∵2()33f x x a '=-，不等式()1f x '≠-对任意x 都成立，∴131,3a a ->-<． 例2 设曲线()1xy ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．答：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示：直线1l ，2l 的斜率分别为()0101xk ax a e =+-，()0202x k x e-=-．由题设得()()1200121k k ax a x =+--=-在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，∴()()000321x a x x -=-+．令0333,2t x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，则()()131,41425ta t t t t⎡⎤==∈⎢⎥++⎣⎦++． 例3 已知函数()y f x =上任一点()()00,x f x 处的切线斜率()()20031k x x =-+，则该函数的单调递减区间为 ．答：(),3-∞提示：由()()()2310f x x x '=-+<得3x <．例4 已知函数()()sin 2cos x f x bx b x =-∈+R 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，则b = ．答：0b =提示：()()22cos 12cos x f x b x +'=-+，由题设得203f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，∴0b =．经检验满足． 例5 已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ．答：()()1,00,-+∞提示：2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-．∵函数()f x 存在单调递减区间，∴()0f x '<在()0,+∞上有解．从而22111211a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1a >-．又0a ≠，∴10a -<<或0a >．例6 已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 ．答：88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦提示：()()2434f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥成立，即有29640a ∆=-≤．解得8833a -≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值． 例7 若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为 ． 答：(3)(1)(2)f f f <<提示：由()f x ＝()f x π-，得函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又当(,)22x ππ∈-时，()1cos 0f x x '=+>恒成立，∴()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数． ∵(2)(2)f f π=-，(3)(3)f f π=-，且03122πππ<-<<-<，∴(3)(1)(2)f f f ππ-<<-)，即(3)(1)(2)f f f <<．例8 若函数()()320f x ax ax a =++≠满足()()11,11f f -><，则方程()1f x =的实数解的个数为个．答：提示：设()()1g x f x =-，则由题设知()()110g g -<，∴()()1g x f x =-在()1,1-内至少有一个零点．又()()()223310g x ax a a x a '=+=+≠，易知0a >时，()g x 单调递增；0a <时，()g x 单调递减．∴()g x 仅有一个零点，即方程()1f x =仅有一根．例9 如图，从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点()10,1Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；…；n P ，n Q ，则1nk kk P Q==∑ ．答：11ne e e ---提示：设点1k P -的坐标是()1(,0)2k x k -≥， ∵x y e =，∴x y e '=，∴曲线在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-．令0y =，则11k k x x -=-（2k n ≤≤）． ∵10x =，∴(1)k x k =--，∴(1)kx k k k P Q e e --==．∴1nk kk P Q==∑12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-．例10 如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值是 ．答：233 提示：设2AD x =，则()()12221012S x x x =⋅+⋅=+<<． 记()()()()2241101f x x xx =+-<<，则()()()28112f x x x '=+-．令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．∴当12x =时，()f x 取最大值，即S=．例11 已知函数()3111,0,,36221,,1.12x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．答：14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦x提示：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()10,6f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()3224601x x f x x +'=>+，()f x 单调递增，∴()1,16f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，当[]0,1x ∈时，()[]0,1f x ∈．又当[]0,1x ∈时，0,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵0>a ，故)(x g 为单调增函数，∴]232,22[)(a a x g --∈． ∵存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，∴)(x f 的值域F 与)(x g 的值域G 满足FG ≠∅．若FG =∅，则0232<-a 或122>-a ，解得34>a 或21<a ，从而满足题意的实数a 的取值范围是14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例12 已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f ,若对一切的)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 答：(],4-∞提示：3ln 22-+-≥ax x x x ，则,3ln 2xx x a ++≤ 设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则0)('),1,0(,)1)(3()('2<∈-+=x h x xx x x h ，)(x h 单调递增；),1(+∞∈x ，0)('>x h ，)(x h 单调递减．∴4)1()(min ==h x h ．∵对一切),0(+∞∈x ，)()(2x g x f ≥恒成立，∴4)(min =≤x h a ．例13 ．若函数()1ln (0)f x x a x a =--<对任意12,(0,1]x x ∈，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，则实数a 的取值范围是 ．答：[3,0)-提示：当0a <时，函数()f x 在(]0,1上是增函数，又函数1y x=在(]0,1上是减函数，不妨设1201x x <≤≤，则122112121111|()()|()(),||f x f x f x f x x x x x -=--=-， 所以121211|()()|4||f x f x x x -≤-等价于211244()()f x f x x x -≤-， 即212144()()f x f x x x +≤+．设44()()1ln h x f x x a x x x =+=--+，则121211|()()|4||f x f x x x -≤-等价于函数()h x 在区间(]0,1上是减函数． ∵22244()1a x ax h x x x x--'=--=，∴240x ax --≤在(]0,1x ∈时恒成立， 即4a x x ≥-在(]0,1x ∈上恒成立，即a 不小于4y x x=-在区间(]0,1内的最大值． 而函数4y x x =-在区间(]0,1上是增函数，所以4y x x=-的最大值为3-．∴3a ≥-，又0a <，所以[3,0)a ∈-．例14 已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，),()()()(,0)(x g x f x g x f x g '>'≠)()(x g a x f x ⋅=（a >0且)1≠a ，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列)10,,2,1()()(⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n g n f 中，任意取正整数)101(≤≤k k ，则前k 项和大于1615的概率是 ． 答：53 提示：由题意知251=+-a a 得2a =或21=a ．又0)()(<'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f 知01a <<，∴21=a ，()1()()2n f n g n =．∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()(n g n f 的前k 项和为k211-，可求出4>k ．二、解答题例15 设函数()1ln xf x x ax-=+在[)1,+∞上是增函数． （1）求正实数a 的取值范围；（2）设0,1b a >>，求证：1ln a b a ba b b b++<<+． 解：（1）()210ax f x ax -'=≥对[)1,x ∈+∞恒成立，∴1a x ≥对[)1,x ∈+∞恒成立． 又11x≤，∴1a ≥． （2）由（1）知()1ln x f x x ax -=+在[)1,+∞上是增函数，∵1,0a b >>，∴1a bb +>，∴()10a b f f b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭．∴1ln 0a b a b b a b b a b+-++>+⋅，即1ln a b b a b +>+． 设函数()()ln 1G x x x x =->，()()11101x G x x x x-'=-=>>，∴()G x 在[)1,+∞上是增函数，又()110G =>，∴当1x >时，()()10G x G >>．∴ln x x >，即lna b a bb b ++>． 综上所述，1ln a b a ba b b b++<<+．例16 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求； （2）现有两个奖励函数模型：①2150xy =+；②4lg 3y x =-.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 解：（1）设奖励函数模型为y ＝f (x )，则公司对函数模型的基本要求是： 当[]10,1000x ∈时，①()f x 是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立. （2）①对于函数模型()2150xf x =+： 当[]10,1000x ∈时，()f x 是增函数，则()()max 10002010002291503f x f ==+=+<. ∴()9f x ≤恒成立. ∵函数()12150f x x x =+在[]10,1000上是减函数，所以()max11115055f x x ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦． ∴()5xf x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. ②对于函数模型()4lg 3f x x =-：当[]10,1000x ∈时，()f x 是增函数，则()()max 10004lg100039f x f ==-=. ∴()9f x ≤恒成立. 设()4lg 35x g x x =--，则()4lg 15e g x x '=-. 当10x ≥时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以()g x 在[]10,1000上是减函数，从而()()1010g x g ≤=-<.∴4lg 305x x --<，即4lg 35x x -<，∴()5xf x <恒成立.故该函数模型符合公司要求.例17 已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'． （1）求()f x ； （2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）2()2f x x bx c '=++，)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=， 即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-．则321()33f x x x x =-+-． （2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ 其图像如图所示．当214x x -=时，x =（ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当12m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当m >时，()g x 最大值为2m m -． （3）2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-，(1)2ln h x t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+，当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立．由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立． 当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<． 又当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，∴实数的取值范围是10t -<<．例18 已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （1）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由． 解：（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 列表如下：由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =．（2）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x-≤-． 令()[]()22,1,ln x xt x x e x x -=-，求导得，()()()()212ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥， ∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． （3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t f t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=， 此方程无解；②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．专题2 函数（2）一、填空题：例19 已知函数3()3()f x x ax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是 ．设曲线()1xy ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．例20 已知函数()y f x =上任一点()()00,x f x 处的切线斜率()()20031k x x =-+，则该函数的单调递减区间为 ．例21 已知函数()()sin 2cos x f x bx b x =-∈+R 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，则b = ． 例22 已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ．． 例23 已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 。
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课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用]
(时间：30分钟 分值：80分)
1．某种细胞每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4096个需经过( )
A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时
2．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，
则该沙漠地区在该时段的最大温差是( )
A．54℃ B．58℃ C．64℃ D．68℃
3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
A．800米 B．900米
C．1000米 D．1200米
4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在
B
地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)
的函数表达式是________．
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，
x
∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)
的最低产量为( )
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
6．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若此商品销售单
价每个再涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．15元
7．某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已
知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，
放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( )
A．3人洗澡 B．4人洗澡
C．5人洗澡 D．6人洗澡
8．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲
线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a8，则
m
的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
9．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000
元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书
共纳税420元，则这个人的稿费为________元．
10．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需
要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；
当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万
元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得
年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
11．[2013·北京房山区一模] 某商品在最近100天内的销售单价f(t)与时间t的函数
关系是
f(t
)＝t4＋22（0≤t<40，t∈N），－t2＋52（40≤t≤100，t∈N），
日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t3＋1093(0≤t≤100，t∈N)，则这种商品
的日销售额的最大值为________．
12．(13分)[2013·蚌埠一检] 经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万
件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的
年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每多生产1万件该
产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品
成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
13．(12分)[2013·东莞一调] 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水
平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P(万件)与日产量x(万件)之间
满足关系：P＝x26（1≤x<4），x＋3x－2512（x≥4）.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，每生产
1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当工厂将这种仪器元件的日产量x定为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少？