2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积学案苏教版选修2-2

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2017-2018学期高中数学第一章导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分新人教B版选修2-2

解答
引申探究
1.将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求
ʃ
1 0
1－x2dx.
解
ʃ
1 0
1－x2dx 表示的是图④中阴影部分所示半径为 1 的圆
的14的面积，其值为π4，
∴ʃ
1 0
1－x2dx＝π4.
解答
2.将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求
ʃ
1 0
1－x－12dx.
解
ʃ
1 0
1－x－12dx 表示的是图⑤中阴影部分所示半径
由例
3(3)知
ʃ
1 －1
1－x2dx＝π2.
∴ʃ 1－1(x＋ 1－x2)dx＝π2.
解答
反思与感悟
利用定积分所表示的几何意义求ʃba f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝ f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.
为 1 的圆的14的面积，其值为π4，
∴ʃ
1 0
1－x－12dx＝π4.
解答
3.将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求 ʃ 1－1(x＋ 1－x2)dx. 解由定积分的性质，得 ʃ 1－1(x＋ 1－x2)dx
＝ʃ
1－1xdx＋ʃ
1 －1
1－x2dx.
∵y＝x 是奇函数，∴ʃ 1－1xdx＝0.
解答
反思与感悟
(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 ʃba f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，如图，定积分ʃba f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.

高中数学第一章导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积

第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念
课时1 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
①了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的方作业
法．②了解“以直代曲”“以不变代变”的思想目标
方法．
作业设计
限时：40分钟满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分． 1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值 () A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正确
n
D.lim n→∞i＝1
1＋1ni 2·n
解析：将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝
2 n
，第i个
小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2,3，…，n)，则由求曲边梯形的面积
的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为
n
lim
n→∞i＝1
1＋12ni2·2n.
答案：55
9．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________ km.
解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为
s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
答案：66
三、解答题：每小题15分，共45分． 10．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．
解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为 ai－n 1，ani (i＝

全国通用版版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案新人

1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √ )类型一求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)．考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 B解析区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32 考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 1.02解析将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 C解析将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 A解析每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 D解析将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 C解析用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 C解析将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n，因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4 考点求曲边梯形的面积问题题点由曲边梯形的面积求参数答案 C解析将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n，作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2 ＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4 解析在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n . 考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 3解析因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案 43解析由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

高中数学第1章导数及其应用 1.5 定积分 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积定积分讲义(

1．曲边梯形的面积定积分[对应学生用书P24]曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能．问题2：若把区间[1,2]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以．把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解．问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点x i对应的函数值f(x i)作为小矩形一边的长．于是，可用f(x i)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx ＋f(x2)Δx＋…＋f(x n)Δx表示了曲边梯形面积的近似值．2．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割以直代曲作和逼近定积分设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx ⎝⎛⎭⎪⎫Δx ＝b －a n ，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，作和S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx .如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．记为S ＝∫b a f (x )d x .其中，f (x )称为被积函数，[a ，b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．定积分的几何意义问题1：试利用定积分的定义计算⎠⎛01x d x 的值．提示：将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，第i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝i n ·1n，所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝i ＝1ni n ·1n ＝1n2(1＋2＋3＋…＋n ) ＝1n 2·n (n ＋1)2＝12＋12n，当n →＋∞时，S n →12，所以⎠⎛01x d x ＝12.问题2：直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和函数f (x )＝x 围成的图形的面积是多少？提示：如图，S ＝12×1×1＝12.问题3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样．问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分⎠⎛a bf (x )d x (f (x )≥0)的值等于直线x ＝a ，x ＝b ，(a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的面积．一般地，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．)1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确．当n 越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．2．定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如⎠⎛a b x 2d x ＝⎠⎛a bt 2d t .[对应学生用书P26]利用定积分的定义求曲边梯形的面积[例1] 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3围成的图形的面积． [思路点拨]依据求曲边梯形面积的步骤求解． [精解详析](1)分割如图，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n把区间[1,2]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋(n －1)n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n ，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用ξ3i 为一边长，以小区间长Δx ＝1n为其邻边长的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 的面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n.①(4)逼近当分割无限变细，即Δx →0时，和式①的值→S . 因为i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n ＝1n 4i ＝1n (n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]，当n →∞时，S ＝i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 31n＝1＋32＋1＋14＝154. [一点通]四边形面积的求解(1)规则四边形：利用四边形的面积公式． (2)曲边梯形 ①思想：以直代曲；②步骤：分割→以直代曲→作和→逼近； ③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．1．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为ΔS i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ，i ＝1,2，…，n .所以S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，n →＋∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n→S . 则当n →∞时，－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n →23. 由此可知，S ＝23.所以这段时间行驶的路程为23km.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1)⎠⎛3－39－x 2d x ； (2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .[思路点拨]⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和．[精解详析](1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛3－39－x 2d x ＝92π.(2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积(如图(2)所示)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.[一点通](1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定．(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：①由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛a bf (x )d x (如图(1)所示)．②由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf (x )d x ＝－⎠⎛a bf (x )d x (如图(2)所示)．2．利用定积分的几何意义求⎠⎛1－14－x 2d x . 解：由y ＝4－x 2可得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形面积CDE 与矩形ABCD 的面积之和．∵S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. 3．利用定积分的几何意义求∫π2－π2sin x d x .解：∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴∫π2－π2sin x d x ＝0.4．利用定积分的几何意义求∫101－(x －1)2d x . 解：令y ＝1－(x －1)2，则(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．因此∫101－(x －1)2d x 表示以(1,0)为圆心，1为半径的14圆的面积．∫101－(x －1)2d x ＝π4.利用定积分表示平面图形的面积[例3] 利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2；(2)y ＝x －2，x ＝y 2. [思路点拨]画出图形，利用定积分的几何意义表示．[精解详析](1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛02x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S ＝A 1＋A 2，A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； A 2由y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成．所以A 1＝2⎠⎛01x d x ，A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x ，所以S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .[一点通]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据定积分的几何意义写出结果．5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是________．解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．答案：2π6．画出曲线y ＝log 12x ，y ＝0，x ＝12，x ＝3所围成的平面区域并用定积分表示其面积．解：曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S .则S ＝⎠⎛112log 12x d x －⎠⎛13log 12x d x .1．当函数f (x )≥0时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．2．当函数f (x )≤0时，曲边梯形位于x 轴的下方，此时⎠⎛a bf (x )d x 等于曲边梯形面积S 的相反数，即⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .3．当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．[对应课时跟踪训练(十)]一、填空题1．当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin (n －1)πn表示成定积分为________．解析：根据定积分的几何意义，当n →＋∞时，1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin (n －1)πn表示曲线y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围成图形的面积，所以表示成定积分为⎠⎛0πsinx d x .答案：⎠⎛0πsin x d x2.⎠⎛02x 2d x ＝________.解析：定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.答案：13．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛0－t x d x ＝________. 解析：⎠⎛0tx d x 表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝t ，y ＝0所围成图形的面积，而⎠⎛0－t表示直线y ＝x ，x ＝0，x ＝－t ，y ＝0所围成图形面积的相反数，所以⎠⎛0－t x d x ＝－2. 答案：－24．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积，等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：25．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S ＝__________(图(1))；(2)S ＝__________(图(2))；(3)S ＝__________(图(3))．答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)∫2－412x 2d x (3)∫94(x 12)d x二、解答题6．若⎠⎛0ax d x ＝1(a >0)，某某数a 的值．解：由定积分的几何意义知：⎠⎛0ax d x ＝12×a ×a ＝1(a >0)，则有a ＝ 2.7．计算定积分⎠⎛05(3x －6)d x .解：如图，计算可得A 的面积为272，B 的面积为6，从而⎠⎛05(3x －6)d x ＝272－word11 / 11 6＝152. 8．利用定积分的几何意义求：⎠⎛011－x 2d x .解：∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以∫101－x 2d x ＝π4×12＝π4.。

2017_2018版高中数学第1章导数及其应用1.5.2定积分学案苏教版选修2_2201803123

1.5.2定积分学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一定积分的概念思考回顾求曲边梯形面积和变速直线运动路程的求法，找一下它们的共同点．一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间b－a长度为Δx(Δx＝)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，x i，…，x n.作和n______________________________________，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，S n→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：S＝ʃb a f(x)d x，其中，f(x)称为__________，[a，b]称为__________，a称为________，b称为__________．知识点二定积分的几何意义思考定积分和曲边梯形的面积有何关系？从几何角度看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分ʃb a f(x)d x表示由____________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f(x)d x的几何意义．知识点三定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？1．ʃb a kf(x)d x＝(k为常数)．2．ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝. 3．ʃb a f(x)d x＝(其中a<c<b)．类型一定积分的概念例1用定积分的定义计算ʃ30x2d x.反思与感悟利用定义求定积分的步骤：跟踪训练1用定义计算ʃ21(1＋x)d x.类型二定积分的几何意义例2(1)如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为________(填写序号)．①ʃb a f(x)d x；②ʃc a f(x)d x－ʃb c f(x)d x；③－ʃc a f(x)d x－ʃb c f(x)d x；④－ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x.(2)利用定积分的几何意义计算ʃ204－x－22d x.反思与感悟(1)定积分的几何意义是在x轴上半部，计算的面积取正值，在x轴下半部计算的面积取负值．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)(3)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则ʃ－aa f(x)d x＝0.②若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则ʃ－aa f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃ－22 4－x2d x；(2)ʃ－31(3x＋1)d x；(3)ʃ－11(x3＋3x)d x.类型三定积分的性质例3计算ʃ－33( 9－x2－x3)d x的值．反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．1 15 7 56跟踪训练3已知ʃ10x3d x＝，ʃx3d x＝，ʃx2d x＝，ʃx2d x＝，2121244 4 3 3求：(1)ʃ203x3d x；(2)ʃ416x2d x；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x.1．关于定积分a＝ʃ－21(－2)d x的叙述正确的是________．(填序号)①被积函数为y＝2，a＝6；②被积函数为y＝－2，a＝6；③被积函数为y＝－2，a＝－6；④被积函数为y＝2，a＝－6.2．将曲线y＝e x，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为________．3．ʃ502(x－2)d x＝________.π4．计算：∫(2－5sin x)d x.nb－a∑1．定积分ʃb a f(x)d x是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．ni＝12．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．提醒：完成作业 1.5.25答案精析问题导学知识点一思考两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．S n＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(x i)Δx＋…＋f(x n)Δx被积函数积分区间积分下限积分上限知识点二思考(1)当函数f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(2)当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时ʃb a f(x)d x等于曲边梯形面积S的相反数，即ʃb a f(x)d x＝－S.(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)d x表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．f(x)≥0直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)知识点三思考直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.1．kʃb a f(x)d x2．ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x3．ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x题型探究例1解令f(x)＝x2.(1)分割3i在区间[0,3]上等间隔地插入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，其分点为x i＝(i＝1,2，…，n3n－1)，这样每个小区间[x i－1，x i]的长度Δx＝(i＝1,2，…，n)．n(2)以直代曲、作和3i令ξi＝x i＝(i＝1,2，…，n)，于是有和式：n n n3i 3 27 27 1 9 1 1 ∑∑∑f i(ξi)Δx＝( )2·＝2＝·n(n＋1)·(2n＋1)＝(1＋)(2＋)．n n n3 n3 6 2 n n i ＝1 i＝1 i＝1(3)逼近9 1 1n→＋∞时，(1＋)(2＋)→9.2 n n根据定积分的定义ʃ30x2d x＝9.跟踪训练1解(1)分割i－1 i将区间[1,2]等分成n个小区间[ n](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝1＋，1＋n1.n(2)以直代曲、作和i－1 i i－1在[ n ]上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，1＋，1＋n ni－1 i－1 于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，n nn n ni－1 1 2 i－1∑∑∑ 从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝i＝1( ＋n2 )fn n ni＝1 i＝12 1＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]n n21 n n－1n－1＝2＋·＝2＋.n2 2 2n(3)逼近n－1 5n→＋∞时，2＋→.2n 25因此ʃ21(1＋x)d x＝.2例2(1)④1＝×π×22＝π.4跟踪训练2解(1)在平面上y＝4－x2表示的几何图形为以原点为圆心以2为半径的上半圆，1其面积为S＝·π·22＝2π.2由定积分的几何意义知ʃ－22 4－x2d x＝2π.(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：7ʃ－31(3x＋1)d x表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，1 1 1 1 50 2∴ʃ－31(3x＋1)d x＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.2 3 2 3 3 3(3)∵y＝x3＋3x为奇函数，∴ʃ－11(x3＋3x)d x＝0.例3解如图，由定积分的几何意义得π× 32 9πʃ－33 9－x2d x＝＝，ʃx3d x＝0，－332 2由定积分性质得9πʃ－33( 9－x2－x3)d x＝ʃ－33 9－x2d x－ʃ－33x3d x＝.2跟踪训练3解(1)ʃ203x3d x＝3ʃ20x3d x＝3(ʃ10x3d x＋ʃ21x3d x)1 15＝3×(＋)＝12.4 4(2)ʃ416x2d x＝6ʃ41x2d x＝6(ʃ21x2d x＋ʃ42x2d x)7 56＝6×(＋)＝126；3 3(3)ʃ21(3x2－2x3)d x＝ʃ213x2d x－ʃ212x3d x7 15＝3ʃ21x2d x－2ʃ21x3d x＝3×－2×3 4达标检测1．③ 2.ʃ20e x d x 3.54．解由定积分的几何意义得π3ππ∫2d x＝( －)×2＝2π.2 2π由定积分的几何意义得∫sin x d x＝0.πππ∫2d x－5∫sin x d x＝2π.所以∫(2－5sin x)d x＝9。

2018版高中数学第一章导数及其应用 1.5.1-2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件新人教

i＝1
i＝1
12i－n 12·1n
＝0·1n＋12·1n2·1n＋12·2n2·1n＋…＋12·n－n 12·1n ＝21n3[12＋22＋…＋(n－1)2] ＝161－1n1－21n.
(4)取极限曲边梯形的面积为
S＝lin→m∞ 161－1n1－21n＝16.
答案：D
4．已知汽车在时间[0，t1]内以速度 v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是( )
A．当 v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程 s＝vt1 B．当 v＝at＋b(a，b 为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程 s＝bt1＋12at12 C．当 v＝at＋b(a≠0，a，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程 s＝bt1＋12at12 D．当 v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 为常数)时，汽车做变速直线
程．
在i－n 1t，int上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi 使 v(ξi) ＝gi－n 1t 近似代替第 i 个小区间上的速度，
因此 Δsi≈gi－n 1t·nt (i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝i＝n1Δsi＝i＝n1gi－n 1·t·nt
i＝1
④取极限：由③得 S＝lin→m∞Sn. (2)如果物体做变速直线运动，速度函数为 v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s.
|自我尝试|
1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) (2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值．( √ )
答案：D
2．直线 y＝2x＋1 与直线 x＝0，x＝m，y＝0 围成图形的面积为 6，则正数 m＝( )

2018高中数学第1章导数及其应用第5节定积分学案理苏教版选修2-2

第5节定积分一、学习目标： 1. 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；会利用定积分求由曲线围成的平面区域的面积。

2. 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

二、重点、难点重点：定积分的计算和简单应用。

难点：利用定积分求由曲线围成的平面区域的面积。

三、考点分析：定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分的基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中应用非常广泛，因此在高考试题中将呈现以下几个特点：1. 难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；2. 定积分的应用主要是计算面积，如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。

一、定积分概念定积分定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i a x x x x -=<<<<<i n x x b <<=，将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每一个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和1()()ni i i b af xi f n ξξ=-∆=∑，当n →∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，这里a 、b 分别叫做积分的下限与上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。

二、定积分性质1.()()bb a akf x dx k f x dx =⎰⎰；2. 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 3. ()()()()cb b ac a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰三、定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）（f （x ）≥0）围成的曲边梯形的面积⎰=badx x f S )(。

全国通用高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路

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1．5。

1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2。

会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积?答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形"有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法（1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示）．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图②所示)．(3）求曲边梯形面积的步骤：①分割;②近似代替;③求和；④取极限．知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动,速度函数为v ＝v （t ）,那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程．（ × ）2．当n 很大时，函数f (x ）＝x 2在区间错误!上的值，只能用错误!2近似代替．（ × ) 3．利用求和符号计算错误!(i ＋1）＝40.（ √ )类型一求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．［］参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n n ＋12n ＋1考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解令f (x )＝x 2＋1。

高中数学第1章导数及其应用 1.5.2 定积分温故知新苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数

word1 / 1 1.5.2 定积分温故知新新知预习1.设函数f(x)在区间［a ，b ］上有定义，将区间［a ，b ］等分成几个小区间，每个小区间的长度为Δx (Δx=na b -)，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ,…,x n .作和S n =f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x i )Δx+…+f(x n )Δx，如果Δx 无限趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时，S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数f(x)在区间［a ，b ］上的_________________，记为S=______________，其中f(x)称为________________，［a ，b ］称为______________，a 称为______________，b 称为______________.2.定积分的性质(1)⎰b a kf(x)dx=____________________⎰b a f(x)dx. (2)⎰b a ［f 1(x)±f 2(x)］dx=⎰b a f 1(x)dx__________________.(3)⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+______________(a ＜c ＜b).知识回顾求曲边梯形面积的思想方法.曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间［a ，b ］上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间上的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限缩小，因此如果把区间［a ，b ］分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高，再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形面积的近似值，可以想象，如果区间［a ，b ］分的越细，所求出的面积值越接近于精确值.也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法就可求出曲边梯形的面积.。

2017_2018版高中数学第1章导数及其应用1.5.2定积分课件苏教版选修2_2201803123117

3.将本例(3)改为利用定积分的几何意义求 ʃ －1(x＋ 1－x )dx.
1 2
解
由定积分的性质，得
2 ʃ1 ( x ＋ 1 － x )dx －1
1 2 ＝ʃ 1 x d x ＋ ʃ 1 － x dx. －1 －1
∵y＝x 是奇函数，∴ʃ 1 －1xdx＝0.
π 由例 2(3)知，ʃ －1 1－x dx＝2. π 1 2 ∴ʃ －1(x＋ 1－x )dx＝2.
(1)ʃ 1 02dx；
解 ʃ1 02dx 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个
1 ʃ 02dx＝2.
长方形的面积为 2，所以
解答
(2)ʃ 2 1xdx；
解 ʃ2 由于这个梯形的 1xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，
3 3 2 面积为2，所以 ʃ 1xdx＝2.
解答
2 (3)ʃ 1 1 － x dx. －1
解析
由定积分的性质可得①②④正确，故填③.
1
2
3
4
5
解析
答案
5 4.ʃ 5 02(x－2)dx＝___.
解析
1 1 5 5 2 2 ʃ 0(x－2)dx＝S2－S1＝ ×3 － ×2 ＝，故 ʃ 5 02(x－2)dx＝5. 2 2 2
1
2
3
4
5
解析
答案
5.计算：解

3 2 2
(2－5sin x)dx.
解
在平面上 y＝ 9－x 表示的几何图形为以原点为圆心，以 3 为半径
2
的上半圆，如图(1)所示，
1 9 2 其面积 S＝2·π·3 ＝2π.
由定积分的几何意义知，ʃ －3
3

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1．5.1 曲边梯形的面积
学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽
车行驶的路程．

知识点一曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？

思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与
我们熟悉的“直边图形”有什么区别？

1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如
图①所示)．
2．求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多__________，对每个
__________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边
梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．

3．求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③__________，④__________.
知识点二求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用______、________、______、
________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

类型一求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．

反思与感悟求曲边梯形的面积：
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近．
(3)关键：以直代曲．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．

类型二求变速运动的路程
例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，
那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直
代曲”、“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变
速直线运动的时间区间．
跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(
t
的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单
位：km)．

1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为___________．
2．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为________．

3．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,1])与x轴所围成的曲边梯形面积和式正确的
是________(填序号)．

①n→＋∞时，i＝1n 11＋in2·2n；

②n→＋∞时，i＝1n 11＋in2·1n；
③n→＋∞时，i＝1n 11＋i2·1n；
④n→＋∞时，i＝1n 11＋in2·n.
4．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，
则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．

1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]；

(3)作和：i＝1nf(ξi)·b－an；

(4)逼近：n→＋∞时，i＝1nf(ξi)·b－an→S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯
形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题．
提醒：完成作业 1.5.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ①直接利用梯形面积公式求解．
②转化为三角形和梯形求解．
思考2 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形
的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
1．y＝f(x)
2．小曲边梯形小曲边梯形小矩形
小曲边梯形近似值求和近似值
3．①分割 ②以直代曲 ③作和 ④逼近
知识点二
分割近似代替作和逼近
题型探究
例1 解 (1)分割

将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间：

[0，1n]，[1n，2n]，…，[i－1n，in]，…，[n－1n，nn]，简写作[i－1n，in](i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边
梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[i－1n，in]上任取一点ξi(i＝1,2，…，

n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξ
i
)＝－(i－1n)·(

i
－1

－1)为其一边长，以小区间长度Δx＝1n为邻边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲
边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－(i－1n)(i－1n－1)·1n(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
曲边梯形的面积近似值为S＝i＝1nΔSi≈－i＝1nf(ξi)Δx
＝i＝1n[－(i－1n)(i－1n－1)]·1n
＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－1n3·16n(n－1)(2n－1)＋1n2·nn－12
＝－－n2＋16n2＝－16(1n2－1)．
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，n→＋∞，此时－16(1n2－1)→S.

从而有S＝16.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为16.
跟踪训练1 解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物
线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．

由 y＝x2x≥0，y＝4，
得交点为(2,4)，

如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n等分，

则Δx＝2n，取ξi＝2i－1n.
(2)以直代曲、作和

S
n
＝i＝1n[2i－1n]2·2n
＝8n3[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝83(1－1n)(1－12n)．
(3)逼近
n
→＋∞时，83(1－1n)(1－12n)→83.

∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.
∴2S阴影＝323，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积为323.
例2 解 (1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为

[2i－1n，2in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝2in－2i－1n＝2n.每个时间段上行驶
的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，

则显然有s＝i＝1nΔsi.
(2)以直代曲
取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是

Δsi≈Δs′i＝v(2in)·Δt＝[3(2in)2＋2]·2n＝24i2n3＋4n(i＝1,2，…，n)．
(3)作和

sn＝i＝1nΔs′i＝i＝1n (24i2n3＋4n)＝24n3(12＋22＋…＋n
2
)＋4

＝24n3·nn＋12n＋16＋4
＝8(1＋1n)(1＋12n)＋4.
(4)逼近
当n→＋∞时，8(1＋1n)(1＋12n)＋4→12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
跟踪训练2 解 ①分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间
为[2i－1n，2in](i＝1,2，…，n)，Δt＝2in－2i－1n＝2n，把汽车在时间段[0，2n]，

[2n，4n]，…，[2n－1n，2]上行驶的路程分别记为Δs1，Δs2，…，Δsn，则有sn＝i＝1nΔsi.
②以直代曲
取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，

Δsi≈v(ξi)·Δt＝[－(2in)2＋5]·2n＝－4i2n2·2n＋10n(i＝1,2，…，n)．
③作和

sn＝i＝1nΔs
i
≈i＝1n[－4i2n2·2n＋10n]

＝－4×12n2·2n－4×22n2·2n－…－4×n2n2·2n＋10
＝－8n3[12＋22＋…＋n2]＋10
＝－8n3·nn＋12n＋16＋10
＝－8·13(1＋1n)(1＋12n)＋10.
④逼近
当n→＋∞时，sn→223.

因此，行驶的路程为223 km.
达标检测
1.2n 2.0.36 J 3.② 4.1.02