2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用课件文新人教版

b a ＝5＋2(a＋b)≥5＋4＝9. 1 当且仅当a＝b＝ 时，取等号. 2
1 1 2.已知 a>0，b>0，a＋b＝4，求 a＋b 的最小值.
解答
1 1 1 1 由a＋b＝4，得4a＋4b＝1.
1 1 1 b a 1 ∴a＋b＝(4a＋4b)(a＋b)＝2＋4a＋4b≥2＋2 b a · ＝ 1. 4a 4b
§7.4 基本不等式及其应用
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
a＋ b 1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
解析
∵x>0，y>0，
x＋y ∴ 2 ≥ xy，
x＋y 2 即 xy≤( 2 ) ＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
a 2.(教材改编)已知 x>0，a>0，当 y＝x＋x取最小值时，x 的值为 A.1 B.a C. a D.2 a
答案 解析
a y＝x＋ x ≥2 a， a 当且仅当 x＝ x 即 x＝ a时， a y＝x＋ x 有最小值 2 a.
3.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 1 1 1 1 A.ab≤4 B.a＋b≤1
C. ab≥2 D.a2＋b2≥8
答案
解析
4＝a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时，等号成立)， 1 1 即 ab≤2，ab≤4，ab≥4，选项 A，C 不成立； 1 1 a＋b 4 ＋ ＝ ＝ ≥ 1 ，选项 B 不成立； a b ab ab
量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条
件灵活变形，利用常数 “1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然
后利用基本不等式求解最值.
跟踪训练 1 5 ________.
(1) 若正数 x ， y 满足 x ＋ 3y ＝ 5xy ，则 3x ＋ 4y 的最小值是
答案 解析
1 y x － 3 (2)已知x，y∈(0，＋∞)，2 ＝( ) ，若
不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y有最 小 值 2 p .(简记：
积定和最小)
p2 (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 大 值 4 .(简记：
思维升华
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式 (或式子 ) 变形， 然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式 求解. (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立 条件，从而得参数的值或范围.
a (1)(2016· 福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋ ＋2的值域 x 几何画板展示 为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是 答案 解析
跟踪训练3
1 A.2 3 B.2 C.1 D.2
由题意可得a>0，
a ①当 x>0 时，f(x)＝x＋ x＋2≥2 a＋2，当且仅当 x＝ a时取等号； a ②当 x<0 时，f(x)＝x＋ x＋2≤－2 a＋2，
16 9 n·n ＋1)＝2，
当且仅当n＝4时取等号.
Sn＋8 9 ∴ a 的最小值是2.
n
命题点2 求参数值或取值范围
例5 为 A.9 3 1 m (1)已知 a>0，b>0，若不等式a＋b≥ 恒成立，则 m 的最大值 a＋3b
答案 解析
B.12
C.18
D.24
x2＋ax＋11 (2)已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3 恒成 x＋1 8 [－3，＋∞) 立，则 a 的取值范围是____________. 答案 解析
思维升华
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函
数的最值.
(3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 ( 使实际问题有意义的自变量
的取值范围)内求解.
批的生产准备费用为800 x 元.若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费 8 用为 1 元 . 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，
1 当且仅当 a＝b＝2时取等号.
1 1 3.将条件改为 a＋2b＝3，求a＋b的最小值.
解答
∵a＋2b＝3，
1 2 ∴3a＋3b＝1，
1 1 1 1 1 2 1 2 a 2b ∴a＋b＝(a＋b)(3a＋3b)＝3＋3＋3b＋3a≥1＋2
2 2 a 2b · ＝ 1 ＋ . 3b 3a 3
当且仅当 a＝ 2b 时，取等号.
80 件. 每批应生产产品_______
答案
解析
设每件产品的平均费用为y元，由题意得
800 x y＝ x ＋8≥2
800 x x · 8＝20.
800 x 当且仅当 x ＝8(x>0)，即 x＝80 时“＝”成立.
(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可
获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2
b a (2)a＋b≥ 2 (a，b 同号).
a＋b2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R).
a ＋b (4) 2 ≥
2 2
a＋b2 2 (a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.算术平均数与几何平均数
a＋b 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab ，基本
(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解答
16 ∵m≥0 时， ＋(m＋1)≥2 16＝8， m＋1
∴y≤－8＋29＝21，
16 当且仅当 ＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元). m＋1
故该厂家 2016 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21万元.
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
2 2 答案 4.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______.
解析
因为 x2＋2y2≥2 x2· 2y2＝2 2xy＝2 2，
当且仅当 x＝ 2y 时取等号，所以 x ＋2y 的最小值为 2 2.
2 2
5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的
解析
x2＋2 x2－2x＋1＋2x－2＋3 y＝ ＝ x－1 x－1
x－12＋2x－1＋3 ＝ x－1 3 ＝(x－1)＋ ＋2≥2 3＋2. x－1
3 当且仅当(x－1)＝ ，即 x＝ 3＋1 时，等号成立. x－1
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
例2
1 1 4 答案 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为___. a b
答案
解析
5 因为x< ，所以5－4x>0， 4 1 1 则 f(x)＝4x－2＋ ＝－(5－4x＋ )＋3≤－2＋3＝1. 4x－5 5－4x 1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立. 5－4x 1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1. 4x－5
x2＋2 2 3＋2 答案 (3)函数 y＝ (x>1)的最小值为________. x－1
1 (4)若 a>0，则 a ＋a2的最小值为 2 a.( × )
3
a＋b (5)不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab有相同的成立条件.( × )
2 2
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
考点自测
1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 答案 A.80 B.77 C.81 D.82
和定积最大)
知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D 上恒成立⇔ f(x)min>A(x∈D) ；若 f(x) 在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)<B在区间D上恒成立⇔ f(x)max<B(x∈D) .
(2) 能成立问题：若f(x) 在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数 x 使不等式f(x)>A成立⇔ f(x)max>A(x∈D) ；若 f(x) 在区间 D 上存在最小 值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔ f(x)min<B(x∈D)
＋ 18x － 25(x∈N*) ，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是
8 万元. ___
答案 解析
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 (1)(2016· 菏泽一模)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋ 4 1 2 y －2y－5＝0的圆心，则 ＋ 的最小值是 答案 解析 b c A.9 B.8 C.4 D.2
(2)(2016· 山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前 9 S ＋8 答案 解析 n项和是Sn，若a1＝d＝1，则 n 的最小值是________. 2 an
n1＋n an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝ 2 ，
n1＋n ＋ 8 Sn＋8 2 1 16 1 ∴ a ＝ ＝2(n＋ n ＋1)≥2(2 n n
例1