n元有序组及笛卡儿乘积
粗糙集理论优质获奖课件
若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0
对M2中1所 在位置,M 中相应位置 都是1
假如两 假如顶
点之
点xi
间有边, 到xj有边,
一定
xj
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4、等价关系
等价关系旳定义：设R是非空集合A上旳关系，假如满足 ⑴ R是自反旳; ⑵ R是对称旳; ⑶ R是传递旳; 则称R是A上旳等价关系。
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内容提要
一、概述 二、知识分类 三、知识旳约简 四、决策表旳约简 五、粗糙集旳扩展模型 六、粗糙集旳试验系统 七、粒度计算简介
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一、 概述
现实生活中有许多模糊现象并不能简朴地 用真、假值来表达﹐怎样表达和处理这些现 象就成为一种研究领域。早在1923年谓词逻 辑旳创始人G.Frege就提出了模糊(Vague)一 词，他把它归结到边界线上，也就是说在全 域上存在某些个体既不能在其某个子集上分 类，也不能在该子集旳补集上分类。
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
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关系性质旳三种等价条件
体 现 式
关系 矩阵
关系图
自反性 IAR
主对角 线元素 全是1
每个顶 点都有 环
反自反性 R∩IA=
主对角线 元素全是 0
每个顶点 都没有环
对称性 R=R1
反对称性 R∩R1 IA
传递性 RRR
矩阵是对称 矩阵
假如 两个 顶
定义 假如一种集合满足下列条件之一： （1）集合非空, 且它旳元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一种二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；假如<x,y>R, 则记作xRy
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面旳记法，能够写1R2, aRb, aSb等.
离散数学第七章 关系-集合的笛卡尔积集
（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
笛卡尔积和卷积
笛卡尔积和卷积是在数学和计算中常见的概念。
1. 笛卡尔积（Cartesian Product）：给定两个集合A和B，它们的笛卡尔积是一个新集合，其中的元素是由A和B的所有可能有序对组成的。
如果集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么它们的笛卡尔积将包含m*n个元素。
符号表示为A × B。
例如，如果A = {1, 2}，B = {a, b, c}，那么A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}。
2. 卷积（Convolution）：在信号处理和数学中，卷积是一种数学运算，用来描述两个函数之间的关系。
给定两个函数f和g，它们的卷积定义为通过将其中一个函数进行翻转并滑动另一个函数在其上进行加权平均得到的新函数。
它在时域上表示为(f * g)(t)。
卷积在信号处理、图像处理、神经网络等领域具有广泛的应用。
虽然笛卡尔积和卷积都是基础的数学概念，但在不同的领域和应用中有着不同的含义和用法。
集合论--第3讲笛卡尔积
离散数学笛卡尔积第3讲定义3.1有序对由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶)，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
有序对：1.当x≠y时，<x,y>≠<y,x>。
2.两个有序对相等，即<x,y>＝<u,v>⇔是x＝u且y＝v。
注意：有序对<x,y>与2元集{x,y}的区别。
定义3.2笛卡尔积设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。
所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。
符号化表示为：A×B＝{<x,y>|x∈A∧y∈B}。
若<x,y>∈A ×B ，则有x∈A ∧y∈B 。
若<x,y>∉A ×B ，则有x ∉A ∨y ∉B 。
如果A 中有m 个元素,B 中有n 个元素，则A ×B 和B ×A 中都有多少个元素?mn 个1若A,B中有一个空集,则：∅⨯B＝A×∅＝∅2当A≠B且A,B都不是空集时,有：A×B≠B×A即笛卡儿积运算不适合交换律。
3当A,B,C都不是空集时,有：(A×B)×C≠A×(B×C)即笛卡儿积运算不适合结合律。
笛卡儿积运算对∪,∩或-运算满足分配律，即4①A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；②(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；③A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；④(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)；⑤A×(B-C)＝(A×B)-(A×C)；⑥(B-C)×A＝(B×A)-(C×A)。
第七章二元关系ppt课件
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例：A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
MR
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1 0 0
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§7.3 关系的运算
举法表示R。 解：R={<2,1><3,1><4,2>}
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2. 关系矩阵
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R是 从A到B的一个二元关系，称矩阵MR = [ rij ] nm 为关系R的关系矩阵，其中：
1， < ai, bj> R
rij =
(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)
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注意： 1. 不是任意两个关系都求复合的， FA×B , GB×C , F∘G 才有意义；
2. 若F A×B , G B×A , F∘G、G∘F
都有意义；若F、G是A上的关系，则
F∘G、G∘F都有意义； 3. 即使F∘G、G∘F都有意义，也不能保
证F∘G=G∘F ；
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例： A={0,1,2,3} , A上的关系F，G定义如下，
R↾{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4}
R↾=
注意：R ↾ AR, R[A] ranR
R[{1,2}]={2,3,4}
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运算顺序
本节所定义的关系运算中逆运算优先于 其他运算，而所有的关系运算都优先于集合 运算，对于没有规定优先权的运算以括号决 定运算顺序。
离散数学-关系-4.1-2
E=ranR∪domS={1, 2, 3, 4}
① 把R看作A到E的关系，即相当于关系矩阵上在多出来 的列上加 0
② 把S 看作E到 D的关系，即相当于关系矩阵上加几行 0
③ 矩阵相乘
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4.2.1 关系的基本运算
求关系的合成（续）
R: A→E, S: E→D A={1, 2}; E={1, 2, 3, 4}; D=ranS={1, 2, 3}; ������ ������ ������ ������ MR = ������ ������ ������ ������ ������ MS= ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
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4.1.1 有序对与笛卡尔集
笛卡儿积的性质
(1) 若A= 或 B=，则 AB=. 即 A=B= (2) 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn (3) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (4) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (5) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M R MS = = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 故：R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} 求： S∘R？
第七章 二元关系
例2,设A={1,2},求P(A)×A？
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如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素?
mn个 若<x,y>A×B,则有
x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有
xA或者y B。
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笛卡儿积运算的性质
有限集合A上的关系R的幂序列是一个周期性变化的序列。 利用它的周期性可以将R的高次幂化为R的低次幂。
定理7.5 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面 的等式成立。
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7.4 关系的性质
设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种：
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
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关系R的五种性质
R在A上是自反的 x(x ∈ A→<x,x> ∈ R)=1 R在A上是反自反的 x(x ∈ A→<x,x> R)=1
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7.2 二元关系Relation
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相 关性。
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两 个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个 结果可以记作
{<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它 表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关 系。
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关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则有
定理7.2 设F,G,H是任意的关系, 则有 (3) (F◦G) ◦H＝F◦ (G◦H) (4)
定理7.3 设R是A上的关系,则有 R◦IA＝IA◦R=R
笛卡尔积的计数
笛卡尔积的计数
设a,b为集合，用a中元素为第一元素，b中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做a与b的笛卡尔积，记作a x b.笛卡尔积的符号化为:a×b={(x,y)|x∈a∧y∈b}。
笛卡尔乘积是一个数学概念：笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合 X 和 Y 的笛卡尔积，又称直积。
表示为 X × Y，第一个对象是 X 的成员而第二个对象是 Y 的所有可能有序对的其中一个成员。
笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。
笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。
在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。
离散数学第四章课件
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
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A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
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关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
三个集合的笛卡尔积运算
三个集合的笛卡尔积运算笛卡尔积是数学中的一个概念，它用于描述两个或多个集合之间所有可能的有序对组成的集合。
在本文中，我将讨论三个集合的笛卡尔积运算。
设有三个集合A、B和C，它们分别包含元素a、b和c。
则三个集合的笛卡尔积定义为{(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}。
首先，我们来讨论定义中提到的有序对。
有序对是指由两个元素按照一定的顺序排列而成的对。
例如，有序对(a, b)表示首元素是a，次元素是b。
对于三个集合A、B和C的笛卡尔积运算，我们可以简单地将各个集合之间的元素逐个组合起来。
假设集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，集合C中有p个元素，那么它们的笛卡尔积中一共会有m × n × p个有序对。
下面，让我们通过一个例子来具体理解三个集合的笛卡尔积运算。
假设集合A = {1, 2}，集合B = {a, b}，集合C = {x, y}，我们求它们的笛卡尔积。
根据定义，我们需要从A、B和C中分别选取一个元素来组成有序对。
所以，笛卡尔积运算的结果应该是{(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (1, b, y), (2, a, x), (2, a, y), (2, b, x), (2, b, y)}。
可以看出，结果中一共有2 × 2 × 2 = 8个有序对，每个有序对由三个元素组成。
另外，还可以通过一个简单的图形来直观地表示三个集合的笛卡尔积。
假设我们将集合A、B和C的元素分别代表成一个坐标轴上的点，那么它们的笛卡尔积中的每个有序对可以看作是在该坐标轴上随机选取的一个点。
通过连接这些点，我们可以绘制出一个三维立体图形，该图形就表示了三个集合的笛卡尔积。
总结起来，三个集合的笛卡尔积运算可以理解为从每个集合中依次选取一个元素组成的有序对集合。
这个运算常常在数学、计算机科学、逻辑学等领域中有广泛的应用。
通过计算笛卡尔积，我们可以得到所有可能的组合情况，从而帮助我们解决各种问题。