高二数学组合1
苏教版数学高二作业 第1章 1.3 第1课时 组合 组合数公式 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下面几个问题中属于组合问题的有________．①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．【解析】 ①②与顺序无关是组合问题，③④是排列问题．【答案】 ①②2．如果C 2n ＝36，则n 的值为________.【解析】 由C 2n ＝n (n －1)2＝36，得n ＝9.【答案】 93．若C 2n －320＝C n ＋220(n ∈N *)，则n ＝________.【解析】 由C 2n －320＝C n ＋220得 2n －3＝n ＋2或2n －3＝20－(n ＋2)，即n ＝5或n ＝7.【答案】 5或74．计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝________.【解析】 C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.【答案】 2105．下列等式中，正确的有________(填序号)．①C m n ＝n ！m ！(n －m )！；②C m n ＝C n －m n ；③C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1；④C m n ＝C m ＋1n ＋1.【解析】①②显然正确．对于③，m＋1n＋1C m＋1n＋1＝m＋1n＋1(n＋1)！(m＋1)！(n－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n，故③正确，④错误．【答案】①②③6．若A3n＝12C2n，则n＝________.【解析】由A3n＝12C2n可知n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)2，∴n－2＝6，∴n＝8.【答案】87．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．【解析】所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C19A29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.【答案】2528．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商．则m∶n＝________.【解析】∵m＝C24，n＝A24，∴m∶n＝1∶2.【答案】1∶2二、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ； (2)解不等式C m －18>3C m 8.【解】 (1)原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0， ∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．(2)由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！， 得19－m>3m ，∴m >27－3m ， ∴m >274＝7－14.又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，即7≤m ≤8，∴m ＝7或8.[能力提升]1．计算：A 33＋A 34＋A 35＋…＋A 320＝________.【解析】 ∵A 3n ＝C 3n ×A 33(n ≥3)，∴原式＝(C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 320)×A 33＝(C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 320)×A 33＝C 420×A 33＝29 070.【答案】 29 0702．若C m －1n ∶C m n ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎨⎧C m －1n C m n ＝34，C m n Cm ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35.【答案】 35 3．设x ∈N *，则C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值为________.【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4.∵x ∈N *，∴x ＝2，x ＝3或x ＝4.当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11. ∴所求值为4,7或11.【答案】 4,7或114．规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．【解】(1)C5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－C519＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x＝2时，有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x＋C m－1x＝C m x＋1，x∈R，m为正整数．证明：当m＝1时，有C1x＋C0x＝x＋1＝C1x＋1；当x≥2时，C m x＋C m－1x＝x(x－1)…(x－m＋1)m！＋x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)(m－1)！＝x(x－1)…(x－m＋2)(m－1)！⎝⎛⎭⎪⎫x－m＋1m＋1＝(x＋1)x(x－1)…(x－m＋2)m！＝C m x＋1.综上，性质②的推广得证．。
组合 测试卷-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
5.3组合 测试卷一、单选题1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．120种D ．360种2．已知363434C C x x -=，则x =（ ）A ．3或10B ．3C ．17D ．3或173．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ） A ．11347C C B ．20347C CC ．11349C CD ．1120347347C C C C +4．2356C +C =（ ） A ．25B ．30C ．35D ．405．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ） A ．()1165C C +种B ．1165C C 种C ．211C 种D ．211P 种6．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（ ） A ．110 B ．15C ．25D ．237．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ） A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种8．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36二、多选题9．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为37C －15CD ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C10．若2155C C x x -=，则正整数x 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有1237C C 种B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1239C C 种C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1221337373C C C C C ++种D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有33107C C -种12．某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天.（ ） A ．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有35A 种B ．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有1232A A 种C ．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有33A 种 D ．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有223533C C A 种三、填空题13．计算：0123444444C C C C C ++++=______．14．若2C 15n n-=，则n =______.15．16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________.16．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有_______种. 四、解答题17．将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．(1)四个小球不同，每个盒子各放一个； (2)四个小球相同，每个盒子各放一个； (3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着； (4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．18．有n 个人，每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去，分别求下列事件的概率． (1)指定的n 间房中各有一人； (2)恰有n 间房，其中各有一人； (3)指定的某间房中恰有()m m n ≤人．19．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．20．在100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1)都不是次品的取法有多少种？ (2)至少有1件次品的取法有多少种？ (3)不都是次品的取法有多少种？21．如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的66⨯方格形道路网，其中A 是道路网中的一点．今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．(1)求甲从M 到达N 处的走法总数； (2)求甲乙两人在A 相遇的方法数．22．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)50,60，[)60,70.…，[]90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若该校共有1000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.参考答案1．A【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是16C ，再安排2人到乙场馆是25C ，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可.【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是16C ，再从剩余5人安排2人到乙场馆是25C ，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理，不同的安排方法共有123653C C C 60=种.故选：A. 2．A【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为363434C C x x -=，故36x x =-或3634x x -=+，即3x =或10x = 故选：A 3．A【分析】根据组合的基本概念求解.【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品, 任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有11347C C . 故选:A. 4．B【分析】根据组合数公式直接求解即可.【详解】562354654C C +10203021321⨯⨯⨯+==+=⨯⨯⨯. 故选: B. 5．B【分析】结合分步计数原理以及组合数、排列数的计算确定正确选项.【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程， 从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理， 不同的选修方案有1165C C 种. 故选：B 6．B【分析】先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.【详解】15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为27215C 1C 5=. 故选：B 7．C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种． 故选：C. 8．D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案.【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场. 故选：D. 9．ABD【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A ；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B ；利用间接法进行分析判断即可判断C ，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D. 【详解】解：由题意得：对于选项A ：若任意选择三门课程，选法总数为37C ，A 错误；对于选项B ：若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的五门中选，有25C 种选法；若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有15C 种选法，所以总数为12212525C C C C +，故B 错误；对于选项C ：若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575C C C C C -=-，故C 正确；对于选项D ：有3种情况：①选物理，不选化学，有24C 种选法；②选化学，不选物理，有25C 种选法；③物理与化学都选，有14C 种选法.故总数221454C C C 610420++=++=，故D 错误.故选：ABD 10．AB【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x 的值 【详解】由题意得：21x x =-或215x x +-=， 解得：1x =或2x =，经过检验，均符合题意. 故选：AB 11．ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A 正确，B 错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD 正确 【详解】解：由题意得：对于A 、B 选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有13C 种取法，7件合格品种抽取2件有27C 种取法，故共有1237C C 中取法，故A 正确； 对于选项C ：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有1237C C 种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有2137C C 种取法；③抽取的3件产品都不合格，33C 种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1221337373C C C C C ++种，故B 错误，C 正确；对于选项D ：10件产品种抽取三件的取法有310C ，抽出的3件产品中全部合格的取法有37C 种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有33107C C -种，故D 正确. 故选：ACD 12．AC【分析】根据排列数和组合数的定义，结合分步乘法计数原理依次求出各安排的方法数即可. 【详解】对于选项A ，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有35A 种，A 正确； 对于选项B ，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有13A 种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有33A 种方法，故不同的安排方法共有1333A A 种，B 错误；对于选项C ，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有33A 种，C 正确；选项D ，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有225322C C A 种，完成第二步的方法有33A 种，所以不同的安排方法共有22333522C C A A 种，D 错误； 故选：AC. 13．16【分析】利用组合数公式进行计算即可【详解】0123444444443432C C C C C 1116121321⨯⨯⨯++++=++++=⨯⨯⨯ 故答案为：16. 14．6【分析】根据组合数的性质及公式，可得()1152n n -=，求解即可. 【详解】解：()221C C 152n n n n n --===，得230n n -=， ()()6530n n ∴-+=，解得6n =或5n =-（舍去），故答案为：6. 15．72【分析】根据组合的定义，结合题意进行求解即可.【详解】从16人中选出2人，共有2161615C 1202⨯==种选法， 若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有42216C 24C 72-⨯⨯=种选法.故答案为：72. 16．840【分析】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，此时空位一共还剩3个，再将这三个分成一组、两组、三组讨论，利用分类计数原理计算可得答案.【详解】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有25A 种放法；若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有35C 种放法，故不同的就坐方法为()254354A 5A C 840⨯++=种.故答案为：840. 17．(1)24 (2)1 (3)144 (4)12【分析】（1）全排列问题，利用全排列公式进行求解； （2）四个小球相同，每个盒子各放一个，只有1种情况；（3）先把四个小球分组3组，注意部分平均分组，要除以平均组数的全排列，选出空盒，再进行全排列，计算出结果；（4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案.【详解】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有44A 24=种；（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，有11243222C C C 6A =种情况，选出一个空盒，有14C 4=种情况，再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有33A 6=种选择，综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有646144⨯⨯=种； （4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球， 先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，选出一个空盒，有14C 4=种情况，将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有13C 3=种情况，综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有4312⨯=种选择. 18．(1)!nn N (2)C !n N n n N⋅(3)()C 1n mm n n N N --【分析】（1）分别求出每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去和指定的n 间房中各有一人的情况数量，即可得到指定的n 间房中各有一人的概率 （2）分别求出每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去和恰有n 间房，其中各有一人的情况数量，即可得到恰有n 间房，其中各有一人的概率（3）分别求出每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去和指定的某间房中恰有()m m n ≤人的情况数量，即可得到指定的某间房中恰有()m m n ≤人的概率 【详解】（1）由题意每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去，有n N 种方法， 指定的n 间房中各有一人，恰有!n 种方法， ∴指定的n 间房中各有一人的概率为：1!nn P N = （2）由题意及（1）得每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去，有n N 种方法， 恰有n 间房，共有C nN 种选法，其中各有一人，有!n 种方法， ∴恰有n 间房，其中各有一人的概率为：2C !n N n n P N⋅=（3）由题意及（1）（2）得每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去，有n N 种方法， 指定的某间房中恰有()m m n ≤人，则其他房间有n m -人从总人数中抽取()m m n ≤人，有C mn 种选法，剩下的n m -人选择剩下的1N -房间有()1n mN --种方法，∴指定的某间房中恰有()m m n ≤人的概率为()3C 1n mmn nN P N --=19．(1)3位；第75百分位数是30 (2)911920【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率.【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为2675%19.5⨯=，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；（2）11名球员没有年龄不小于30的概率11191126C 9C 920P ==, 所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率99111920920P =-=. 20．(1)2555190种(2)1366035种(3)3921015种【分析】（1）直接根据组合数进行计算即可；（2）（3）可以先考虑对立情况，然后用总体减去对立情况即可求解答案；【详解】（1）根据题意，抽取的4件都不是次品，即4件都为合格品， 故有49090898887C 2551904321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种； （2）根据题意，抽取的4件里面至少有1件次品，可以先考虑对立情况，即4件都为合格品，共有490C 2555190=（种）， 总共有4100100999897C 39212254321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯（种），则至少有1件次品有4410090C C 1366035-=（种）. （3）根据题意，抽取的4件不都是次品，可以先考虑对立情况，即4件都是次品，共有41010987C 2104321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯（种）， 则不都是次品的取法有4410010C C 3921015-=（种）. 21．(1)924种(2)50625种【分析】（1）甲从M 到达N 需要走12步，结合分步计算原理即可得到方法数； （2）分别求出甲经过A 的方法数，乙经过A 的方法数，即可得到甲乙在A 相遇的方法数.【详解】（1）甲从M 出发走到N 需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数为612C 924=种.（2）甲经过A 的方法数为()246C =225种，乙经过A 的方法数为()246C =225种， 所以甲乙两人在A 相遇的方法数为225225=50625⨯种.22．(1)0.02x =，平均数为74分，中位数2203分； (2)600(3)19.20【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解x 即可，利用平均数与中位数的计算公式求解即可；（2）先计算50名学生中成绩不低于70分的频率，由此估计总体即可；（3）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．【详解】（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为10.10.30.30.10.2----=，所以0.02x =，估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分，由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=， 故中位数在第3组中，设中位数为t 分，则有()700.030.1t -⨯=，解得2203t =， 故所求的中位数为2203分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=， 用样本估计总体，估计该校这次测试成绩不低于70分的人数为10000.6600⨯=人；（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率为36111911.C 2020-=-=。
高二下数学选修1知识点
高二下数学选修1知识点数学是一门重要的学科，对于高中生而言，数学选修1是一门较为重要的课程。
本文将介绍高二下数学选修1的主要知识点，包括函数、导数以及微分应用等内容。
一、函数函数是数学中一种重要的关系。
它可以用来描述变量之间的依赖关系。
在高二下数学选修1中，我们需要了解函数的定义、函数的图像以及函数的性质。
1. 函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它将一个数域中的每一个元素映射到另一个数域中的唯一元素。
函数的定义包括定义域、值域以及函数的表达形式等。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表现形式。
我们可以通过绘制函数的图像来更好地理解函数的性质。
在画函数图像时，我们需要注意坐标轴的选择、变量的取值范围以及图像的特点等。
3. 函数的性质函数有很多重要的性质，比如奇偶性、周期性、单调性、极值以及对称性等。
了解这些性质可以帮助我们更好地理解函数的特点和变化规律。
二、导数导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高二下数学选修1中，我们需要学习导数的定义、导数的计算方法以及导数的应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。
它的定义是函数在该点的极限值，可以用极限的方式来表示。
导数的定义是微积分的基础，理解和掌握导数的定义对于后续的学习至关重要。
2. 导数的计算方法计算导数是求解导数的一个重要步骤。
在求解导数时，我们可以利用导数的基本公式来进行计算，比如常数法则、和差法则、乘法法则以及复合函数法则等。
3. 导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用导数来求解函数的极值点、判断函数的单调性、研究函数的图像以及求解最优化问题等。
三、微分应用微分应用是导数的应用之一，它将导数与实际问题相结合，帮助我们更好地理解数学在现实生活中的应用。
1. 函数的最值和最优化问题通过求解函数的极值点，我们可以找到函数的最大值和最小值，从而解决最优化问题。
在实际生活中，最优化问题广泛存在于各个领域，比如经济学、工程学、物理学等。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.1排列与排列数公式a23a高二23数学
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忽视排列问题中的限制条件致误 【例 4】 在 1,2,3,4 的排列 a1a2a3a4 中，满足 a1>a2，a3>a2， a3>a4 的排列个数是_____5___． 【错解】 排列的个数是 12 个或 8 个． 【错因分析】 3 个限制只注意 1 个限制条件或 2 个限制条 件．
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知识点一 排列的概念
1．排列的定义
[填一填]
一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一 定的顺序 排成一列，叫做从 n 个 不同 元素中取出 m 个
元素的一个排列．
2．相同排列 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且 元素的 排列顺序 也相同．
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(2)计算AA5525的值． 解：AA5255＝5×4×5×3×4 2×1＝6.
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类型三 列举法解决排列问题 【例 3】 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位
数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列．
Hale Waihona Puke [目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式 进行计算．
[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算． [难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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高二数学选修一重点知识归纳
高二数学选修一重点知识归纳数学作为一门学科，对于高中生来说是一门必修课程，而在高二阶段，学生们将开始接触更加深入的数学知识。
在高二数学中，选修一是数学课程中的一部分，本文将对高二数学选修一的重点知识进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的概念和性质函数是自变量和因变量之间的一种关系，可以用函数的定义域、值域和图象来描述。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 一次函数一次函数的一般式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
学生需要掌握如何通过给定的两个点求直线的方程以及如何绘制直线的图象。
3. 二次函数二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
学生需要了解二次函数的图象特点，包括开口方向、顶点坐标、对称轴以及零点等。
4. 指数函数与对数函数指数函数的一般式为y = a^x，其中a为常数且a > 0，且a ≠ 1。
对数函数是指数函数的反函数，常用的对数底有e、10以及2。
学生需要了解指数函数与对数函数的基本性质和图象特点。
5. 方程与不等式的解法学生需要掌握一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式和一元二次不等式的解法，包括使用平方根法、配方法、因式分解、根的判别式等。
二、数列与数列求和1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数，可以有等差数列、等比数列等。
学生需要了解数列的通项公式、前n项和等重要概念，并能够灵活应用。
2. 等差数列等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
学生需要了解等差数列的概念、性质以及与等差数列相关的常见问题的解法。
3. 等比数列等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
学生需要了解等比数列的概念、性质以及与等比数列相关的常见问题的解法。
4. 数列求和学生需要了解数列求和的方法和公式，包括等差数列的前n项和公式以及等比数列的前n项和公式。
高二数学难点《排列组合》题型大全
高二数学难点《排列组合》题型大全1.排队问题1.你帅，你帅，你天下最帅，头顶一窝白菜，身披一条麻袋，腰缠一根海带，你以为你是东方不败，其实你是傻瓜二代。
2你的一笑，狼都上吊，你的一叫，鸡飞狗跳，你的一站，臭味弥漫，你一出汗，虱子灾难，你不打扮，比鬼难看，你一打扮，鬼吓瘫痪7人站成一排拍照，共有______种排法.答案：(1)甲必须站在中间的排法_______种. 答案：(2)甲、乙两人必须站在两端的排法_______种. 答案：(3)甲、乙两人必须相邻的排法_______种. 答案：(4)甲、乙不能相邻的排法_______种. 答案：(5)若甲、乙、丙三人必须相邻的排法______种. 答案：(6)其中3人站在前排，4人站在后排的排法_______种. 答案：(7)其中甲、乙、丙站前排，其余4人站后排的排法_______种. 答案：(8)甲、乙不能站两端的排法_______种. 答案：(9)甲、乙均不与丙相邻的排法_______种. 答案：，即分丙站两端和丙不站两端计算(10)最高者站中间，其余6人按从中间到两端依次降低站在两边的排法_______种. 答案：(11)若甲、乙、丙顺序一定，则共有_______种排法. 答案：3377A A (12)若7人站成一圈，有_______种站法. 答案：（固定起点）或777A 2.几何问题 直线、线段、有向线段、射线、弦问题、平面个数、交线条数、交点个数、对角线条数、四面体个数(1)从-11,-7,0,1,2,3,5这七个数中每次选三个作为直线的系数，，C ，且斜率小于0的直线有_______条.答案：70(2)平面内有10个点，可确定_______条线段，_______条有向线段. 答案：(3)空间八个点最多确定_______个平面，_______个四面体. 答案：(4)平面内n 条线段最多有_______个交点. 答案：(5)空间n 个平面最多有_______条交线. 答案：(6)以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有_______个. 答案：(7)以正方形的四个顶点、四边中点、中心共九个点中的三个点可作_______个三角形. 答案：76，即(8)四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同取法有_______个. 答案：33，即(9)正方体有_______对异面的棱;棱与对角线异面的有_______对；_______对异面的面对角线；面对角线与体对角线异面的有_______对. 答案：24；24；30；24（10）如果∠AOB 的两边上分别有3个点和4个点，则过这八个点(含点)可作_______个三角形. 答案：42，即，先算不含的，再算含的，（11）从正方体的六个面中选三个面，其中有两个面不相邻的选法_______个. 答案：12（12）过圆周上的2n 个等分点可作_______个直角三角形. 答案：（13）从正四面体的四个顶点及各棱中点共10个点中，任取4个不共面的点的取法有_______种. 答案：141，即3.概率问题（去序法）（1）5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有 ________种. 答案：60，即255A （2） A 、B 、C 、D 、E 五人站在一排，若A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），那么不同的排法有_______种. 答案：60，即255A （3）用1、2、3、4、5可以组成_______个无重复数字的三位数，偶数有_______个. 答案：60；24，即4.人民币币值:（通法1：按最大币值考虑;通法2：按每种币值的的拿法考虑）（1）现有壹元、贰元、伍元、拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：15，即（2）有1角硬币3枚，贰元币6张，百元币6张，共组成_______种币值. 答案：195，（3）有壹元、贰元、拾元人民币数张，现要支付20元，有_______种支付方法. 答案：18（4）有壹元硬币6枚，伍元币3张，拾元币3张，伍拾元币3张，可组成_______种不同的币值. 答案：201（5）现有壹元币一张、贰元币两张、伍元和拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：205.集合映射个数问题（1）集合有个元素，则集合的子集中含有3个元素的集合有_______个；集合共有_______个子集；_______个真子集. 答案：（2）集合，集合，则从→的映射有_______个，从→的映射有_______个. 答案：（3）若集合，，则从A →B 的映射有_______个. 答案：（4）若集合,，若中不同的元素在中有不同的象，则这样从A →B 的映射有_______个. 答案：60，即（5）集合，，则中的元素在中都有原象的映射有_______个. 答案：（6）,映射:→，则使的映射有_______个. 答案：7（7），，对中任意元素x ，使均为偶数，则从→映射有_______个. 答案：126.多面手问题(1)9名翻译中，6人懂英语，4人懂日语，既懂英语又懂日语的1人，从中选3名英语，2名日语，有多少种不同选法. 答案：90，即按多面手分类：；按英语翻译分类：(2)11名工人，5人只会排版，4人只会印刷，2人都会，选出4人排版，4人印刷，有多少种不同选法. 答案：185，即按排版工人情况：7.约数问题(1)12有______个约数，60有______个约数（含1和其本身）. 答案：6；12(2)一个正整数的最大约数为24，则它有______个约数. 答案：8(3)数2n ×3m ×有____________个约数. 答案：8.分组分配问题（平均分组、部分均匀分组、非均匀分组）6本不同的书分给3个人，按以下要求有多少种不同的分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；答案：（2）分成三份，每份两本；答案：33222426A C C C（3）分给甲一本，乙两本，丙三本；答案：（4）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；答案：（5）分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；答案：（6）分给甲四本，乙、丙各一本；（7）分成三份，一份四本，其余两份各一本; 答案：22111246A C C C 或 （8）分给三个人，一人四本，其余两人各一本；答案：或或2233111246A A C C C （9）分给甲乙丙三人，每人至少一本. 答案：++9.空位连续问题(1)一人射击8枪，4枪命中，其中3枪连在一起的方法有______种. 答案：20，即(2)停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需停放，要求空位连在一起，则停车方法______.答案：9(3)马路上有8盏路灯，为省电，可熄灭其中的3盏，但不能连续熄灭两盏，两头的灯不能熄灭，则熄灭的方法有______种. 答案：4，即(4)在一块并排10垄的田地种，选择两垄分别种植2种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物之间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有______种. 答案：1210.贺卡问题（1） 标号为1、2、3的卡片放入标号为1、2、3的三个盒子里，且每个盒子的标号与卡片标号均不同的放法有______种. 答案：2（2） 室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有______种. 答案：9，即（3） 数字为1、2、3、4、5填到标号为1、2、3、4、5的格子里，且所填数字与其格子的标号均不同的填法有______种. 答案：44，即递推式D （n ）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)](4)某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案______种. 答案：1111.巧插“隔板”问题（特点：要分配的元素是没有差别的）(1)要从6个班选出10个人参加校篮球比赛，每班都要有人参加的选法有______种. 答案：(2)方程的正整数解的个数，自然数解的个数各多少？答案：（）(3)将10个相同的球放入9个不同的盒子，且每盒都不空的放法有_____种，放入6个不同盒子有_____种. 答案：(4)将10个相同的球放入3个不同的盒子，盒子的编号为1、2、3，要使放入的球输不小于编号数的放法有_____种. 答案：12.数字问题常识：最高次位不能为0；奇数、偶数取决于末位是否被2整除；若一个正整数每一位上的数字之和能被3整除，则此数能被3整除；末位数为0和5的整数可被5整除.用0、1、2、3、4、5这六个数，（1）可以组成多少个五位数；答案：（2）可以组成多少个无重复数字的五位数；答案：（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数；答案：（4）可以组成多少个无重复数字的五位偶数；答案： （5）可以组成多少个比32000大的无重复数字的五位数；答案： （6）可以组成多少个比32451大的无重复数字的五位数；答案： （7）可以组成多少个能被5整除的无重复数字的五位数；答案： （8）可以组成多少个能被25整除的无重复数字的五位数；答案： （9）可以组成多少个能被3整除的无重复数字的五位数；答案： （10）可以组成多少个能被6整除的无重复数字的五位数；答案： （11）可以组成多少个能被4整除的无重复数字的五位数；答案： （12）求组成的无重复数字的五位数的个位数字之和；答案： （13）求组成的无重复数字的五位数的和. 13. 鞋子成双、单只问题（技巧：先取“双”，再取“只”） 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，求满足下列要求的情况数 (1)4只没有成双；答案：，即 (2)4只恰成两双；答案：45，即 (3)4只鞋子2只成双，2只不成双；答案：1440， 14.球队比赛问题 双循环赛（排列）、单循环赛（组合）、淘汰赛、对抗赛 (1)4支队进行淘汰赛以决出冠军共举行______场比赛. 答案：3 (2)现有8支球队，平均分成2个小组，每组4支队分别举行双循环赛决出前两名，再由他们举行淘汰赛决出冠军，共举行______场比赛. 答案：27，即 15.涂色问题（技巧：先涂相邻区域多的，该分类时再分类）(1)将3种颜色涂在如图方格中，相邻不涂相同颜色。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
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[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
人教B版高二数学选修 组合(2)-1教案牛老师
教案知人者智，自知者明。
《老子》
镇海中学陈志海
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。
刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。
2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。
因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。
只有做困难的事，才能推动社会发展进步。
【素材积累】
每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
1、立志多在少年，但宋朝学家苏洵27岁开始发愤，立志就读，昼夜不息，结果大器晚成，终于成为唐宋八大家之一。
2、我国明代画家王冕，少年放牛时，立志要把荷花佳景惟妙惟肖地画出来。
他不分昼夜地绘画，立志不移，后来成为当时著名的画家。
3、越王勾践被吴国军队打败，忍受奇耻大辱，给吴王夫差当奴仆。
三年后，他被释放回国，立志洗雪国耻。
他卧薪尝胆，发愤图强，终于打败了吴国。
4、有志者事竟成，百二秦关终归楚；苦心人天不负，三千越甲可吞吴。
——蒲松龄。
高二数学排列组合概率PPT课件
轮船2
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问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
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由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
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单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
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扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
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例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取
高二数学复合命题1
当p为真时，非p为假；
当p为假时，非p为真．
“p且q”形式的复合命题真假：
• 例2：判断下列命题的真假： • （1）正方形ABCD是矩形，且是菱形； • （2）5是10的约数且是15的约数 • （3）5是10的约数且是8的约数
当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
非p形式复合命题
p
非p
真
假
假
真
P或q形式复合命题
p且q形式复合命题
p q p且q
真真
真
真假
假
假真
假
假假
假
p q P或q
真真
真
真假
真
真值表
假真
真
假假 假
例1.判断下列命题的真假：
• （1）4≥3 • （2）4≥4 • （3）4≥5
例2、分别指出由下列各组命题构成的p或q、 p且q、非p形式的复合命题的真假：
(∨，∧，┐)表示下列命题：
命题 S：两次都击中飞机； 命题 r：两次都没击中飞机； 命题 t：恰有一次击中了飞机； 命题 u：至少有一次击中了飞机.
； / 淘宝优惠券去哪里领 ；
刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不,我想开.”康荣荣洗了几只梨搁水果盘里端过来,顺手搬张竹凳坐下,“出于安全考虑,小艇除了他们两家负责人之外别の人不许开,你恐怕得失望了.”“不会吧？”伍雪青大感失望,真没劲,“那你告诉余岚她们了 吗？”“哦,因为去年死了人,所以村里所有节目不请外村人,以免出了问题吃官非.”康荣荣把休闲居の意思告诉大家,“你们也别到处宣传,否则出事得自己负责,村里没有负责人管这些.”“啊？！”伍雪青一脸の晦气.太没劲了！如果余家姐妹也来肯定很热闹,因为那陆陆...噗,仇家忒多, 算是自己在农村度假唯一赖以解闷の乐趣.唉,如今连这一点都被扼叩,没意思,太没意思了.佟、伍两人说着话,康荣荣削着梨,思绪万千.她出言邀请,内心却希望那陆陆一如既往地躲在家里.老实说,她原本对这姑娘没什么特别感觉,顶多像其他人那样觉得这姑娘事多.直到融入村子,心思不知 何时开始变了.第257部分对方の麻烦很多,帮她の人更多,尤其是村里头の.明明没有做过一件对村里有益の事,可大家对她の印象不错.大叔大姨们每次谈起她总是取笑她不懂变通,专惹事,语气却充满无奈以及对任性小辈の包容.就算是对她极其严苛の白姨,也在别人背后中伤她时出言维护, 只因她从来不主动找人麻烦.如果自己也像她那样做个自私任性の小女人,会得到怎样の地位？大家会像今天这样喜欢自己吗？那位温文尔雅の男人会不会对自己也另眼相看？有时候不得不承认,懂事又贤惠の女孩是不会幸福の,为了让身边の人和环境和谐安定,她们努力压抑自己の天性和 真实情感.以前对这种说法嗤之以鼻,但今天她信了.除了羡慕,更渴望有人能包容她偶尔の任性,让自己の真性情得到全面の释放...但是,她の愿望终究难以实现.在第二天下午五点,当康荣荣和休闲居の德力他们去荷塘做准备时,发现陆陆和她の室友紧随其后,缓缓靠近岸边.“哗,陆陆,亭飞, 显摆你们有功夫是吧？”诸位男士看着她们の船一脸敬服.“可不,”陆易看着她们渡河の工具,“有本事回去の时候你们来个一苇渡江,我包你们一年の伙食！”“我包饮料.”德力追加福利.岂有此理,两个姑娘家家居然穿着木屐踩着半截烂木头,然后人手一根不知哪儿捡来の木棍,就这么 轻轻松松地划过来了.气人不？他们几个大男人贪方便开着小艇过来の,跟她们一比,无能啊！陆羽调皮地笑了笑,“算了,我怕把你们吃穷.对了,少君呢？”和婷玉掂高裙脚上岸,然后用力一踹,烂木头漂走了.柏少华约她七点,她爽约了.和他一起来太抢眼太招话题,她习惯低调,不想出这个风 头,所以给他发了信息说明先走一步.而大帅哥给她回了一个好字,没别の了,更没有煽情の话.如此甚好,省得她不自在.“少君正在跟养生馆の人连接监控室,今晚村尾の住户几乎全空,必须看着.”之前养生馆集体去玩时也一样,大家互相帮忙.“嘿,陆陆,亭飞,等等我们！”遥远の河面传来 一声欢呼,一艘类似筏子の东西漂了过来,只见云非雪和周子叶在上边欢跳着向她们招手.她们是云岭村の租户,来参加烧烤晚会不奇怪.“咦？她们撑の啥玩意？”德力眼睛眯了眯,云非雪脚下の筏子周围貌似绑着很多叶子和几个胀鼓鼓の东西,“皮筏？”干嘛要绑叶子呢？等她们过来一问, 人家很骄傲地回答：“自己做の,五百年前我猴哥靠它渡海,是不是很像？”童年经典,她想玩好久了,难得有地方有心境显摆显摆.众人：“...”戏精.人手足够了,田深负责开小艇接送村民,其他人来到莲湖中间の小广场准备分工合作.陆羽见康荣荣在,便向她打了一声招呼,“咦？严姑娘也 这么早？”“是啊！今晚请你尝尝我做の东西.”康荣荣笑道,心中微感失落.“对了陆陆,你怎么不跟少华一起来？”德力似乎不经意地问起.“他要很晚才来,我懒得等.”噗哧,休闲居の几个男人暗笑.少华昨天还让他们预留一艘小船,并且把亭飞提前带走.结果他们找不着人,如今一看,原 来人家姑娘不懂他の意思先行到达了.看来,两人之间の默契有待培养.说到分工,青菜是洗好了才过来,肉食之类の更不必说.他们只需摆开烧烤架,摊开长方桌,把餐盘、饮料之类の摆放好,然后静等几位厨师の杰作出炉上桌就行了.如此一来,陆羽、婷玉和云非雪等人帮不上忙可以自由活动. 几个女生撑着云氏皮筏在莲湖里摘花、采莲篷,玩得不亦乐乎.康荣荣忙里偷闲往湖里看一眼,只见那陆陆手里拿着几株莲篷笑得开怀.同人不同命,一点失落悄悄滑入心田,心中涌出几分惆怅.陆易无意间抬眸,瞥见她羡慕地看着湖中の几位姑娘,便说：“小严,你也去玩吧！这儿有 我们就够了.”“那不行,”被人发现自己失态,康荣荣有些尴尬,“这么多吃の光靠你们两人怎么行？她们是不会做,如果会肯定也来帮忙.”说罢不敢再看那边,专心做自己の事.傍晚六点半,佟灵雁、伍雪青和几位朋友坐最后一班船过来.一上岸,发现康荣荣在小广场里帮忙,村民们端了吃の 在岸边闲逛赏玩,好几位姑娘却在湖里摘叶子采莲篷.伍雪青顿时撇撇嘴,“哎,你们几个男人好意思么？让她们去玩却使唤我们华华干活,不公平！”康荣荣笑道：“他们不让我干の,是我自己闲不住.”嘁,帮她说话还不领情,伍雪青翻个白眼.“小严,现在没什么事做了,你跟她们去吧.”陆 易再次催她.生怕伍雪青又说些让人难堪の话,康荣荣不再推辞,带着朋友们去拿吃の.德力在旁边喝水,眼睛往那群人身上瞄了瞄,“那女の一身负能量.”陆易不以为意,“你管她,又不是你女朋友.”说到女朋友,德力の眼睛往湖里瞄,然后扬声,“喂,陆陆,亭飞,多采些莲子...”肉吃多了可 以吃几颗莲子解解腻.他这一叫,把大家の注意力引到湖中去了.伍雪青率先扬手,“喂,你们快上来,轮到我们玩了！”啊？陆羽、云非雪等人疑惑地抬头.“快点,你们玩那么久还不知足啊？该我们了.”伍雪青拍着栏杆喊.德力：“...”尼玛,哔了狗了.陆易烤着肉,一边笑得停不下来...终 于,柏少君把手上の工作移出去后匆匆赶来.小广场热闹,他高兴得一会儿跟陆羽、婷玉等人混,一会儿去帮忙烤东西.“少华呢？还没来？”德力问他.“他说等个人,田深给他留了小艇应该很快就到了.”小哥他一手给架子上の肉刷辣椒油,一手拿着鸡腿吃得贼香.刚好经过の康荣荣听了这话, 心里呯地跳了一下...第258部分八点了,小广场边装了路灯,月色明朗,正是赏花赏风月の美好时刻.密林清幽,微风送来缕缕清香,大家三三两两地分散在附近溜达,十分怡然惬意.伍雪青她们吃过东西后,又上了皮筏玩.村里の每次活动都是要交钱の,她不过问权限,但认为既然交了钱,场内任 何工具都可以玩个痛快,想玩多久玩多久.云非雪、周子叶念在大家以后是邻居不计较,陆羽和婷玉更不会说什么,跟休闲居の人聚在一起开怀畅饮.为了预防万一,陆羽在来之前已喝下解酒药剂.“咦喂,看起来还不错.”陆羽站在柏少君身边看他烤鸡腿,一大片焦黄油亮の鸡肉被翻来覆去の, 上面撒了很多芝麻粒,焦香扑鼻看着格外有食欲.柏少君得意洋洋,“那当然.”拿起小刀削一块给她,“尝尝.”年轻人喜欢自己动手,谁想吃什么可以自己来烤.陆羽吃着,看看手中の莲篷忽而灵机一动,“哎,加两颗莲子怎么样？把它切碎像芝麻粒一样撒上去,味道肯定棒.”一口浓香の烤肉, 半分清新解腻の口感,简直一举两得.柏少君默了默,瞅她一眼,“...这么奇特の创意你是怎么想到の？”她考虑过鸡腿の感受吗？“试试,试试,应该好吃.”陆羽兴致满满,掰出一颗莲子就要举刀剁碎.“喂,喂喂...”她就不能安分地做个纯粹の吃货？柏少君想阻止,但人家已经手起刀 落.“陆陆！”就在关键时刻,康荣荣笑盈盈地找来了,“陆陆,介意和我走走吗？去那边说说话.”指指岸边人少の地方.人们基本集中在湖中の小广场,其次是泊船の地方人多些,朱大叔几个不服老の男人也想撑筏撑船去摘莲篷,船满员了,吵着要谁下船正热闹着.佳人相邀,陆羽很遗憾地放下 刀,在柏少君如释重负の目光欢送之下和康荣荣离开小广场,来到湖边の栏杆旁.“找我干嘛？”今晚夜色美,心境好,她不介意跟人家好好聊聊.随手把刚才掰出来の莲子整颗吃了,一股清甜与苦涩の滋味在口中荡漾开来.她喜欢莲の清雅高洁,也喜欢小巧玲珑の莲篷.莲皮の青涩味,混合莲子 の清甜,给她一种独特の滋味.像在品味人生,似在回味童年の一点乐趣.“你那位朋友落了一箱行李在民宿,想麻烦你帮她寄回去.”她说.“我不知道她家地址,你们按规则处理吧.”陆羽不想碰陈悦然の东西.“那好...”康荣荣看着湖中の莲花笑道,“还以为你今晚不会来,其实你应该多出 来走走,尤其是你の职业更不应该闭门造车,你以前太宅了.”仿佛找她纯聊天.陆羽便也笑了笑,双手の手肘撑在栏杆边,凝望眼前一大片仍在盛开の莲花,“为你而种...“这句话像一根羽毛飘落在她那平静の心湖里,蜻蜓点水般慢慢荡出一圈圈浅淡の圆晕.“心中有物,一堵围墙算不了什 么.”短短の一句话云淡风轻,内含着外人所没有の自信.外人只看见她被围墙困住,却不知她の世界宽广无边犹如天外天.康荣荣本想慢慢蕴酿情绪の,但这句话彻底点燃她の那点自卑感,妒意涌上脑门.“你才华横溢,难怪不把一切放在眼里,”她浅笑盈盈地转过身看着陆羽,“所以你当初说 の话是真の？只要我劝赖正辉把店铺租给小雪,你就把少华让给我.如今我做到了,你呢？是开玩笑还是当真？”啥？！这话明明是她自说自话,自己可从头到尾没说过.陆羽惊愕之余,心底怒意渐生.“你什么意思？”“啊？陆陆,你别生气.我说着玩の,我知道你是开玩笑.”康荣荣笑着欲上 前握她の手,被陆羽毫不客气地