三角函数的发展历史
正弦余弦正切函数
正切函数的图像没有水平渐近线，但在x=0处有垂直渐近线。
正切函数在x=0处取得极小值，无极大值。
图像形状
渐近线
极值点
应用领域
三种函数的比较
04
一个角的正弦等于它的对边与斜边的比。
定义的比较
正弦函数
一个角的余弦等于它的邻边与斜边的比。
余弦函数
一个角的正切等于它的对边与邻边的比。
正切函数
以原点为对称中心，左右对称，周期为2π，在区间[0,2π]上反复出现。
三角函数的起源与早期发展
现代发展
随着微积分和现代数学的发展，三角函数被广泛应用于各个领域，包括工程、物理、金融等。
应用领域
三角函数在求解振动问题、波动问题、电磁场问题等方面发挥了重要作用，同时也是处理信号和图像处理的重要工具之一。
三角函数的现代发展与应用
随着科技的不断进步，三角函数在大数据分析、人工智能、机器学习等领域的应用将更加广泛。
性质
图像特征与性质
物理
01
余弦函数在物理学中有广泛的应用，例如振动的描述、电磁波的传播、声音的波动等。
应用领域
工程
02
余弦函数也被广泛应用于工程领域，例如机械振动、结构设计、信号处理等。
数学
03
余弦函数是解决各种数学问题的基本工具之一，例如求解方程、优化问题、概率统计等。
正切函数
03
定义
周期性
正弦函数图像
以原点为对称中心，左右对称，周期为2π，在区间[0,2π]上反复出现。
余弦函数图像
在第一象限和第三象限以原点为对称中心，左右对称，周期为π，在区间[0,π/2]和[π/2,π]上反复出现。
正切函数图像
图像的比较
三角函数的开发变化历史
三角学的起源与发展三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
数学史话之三角学发展简史
数学史话之三角学发展简史三角学是数学中的一个重要分支，它研究三角形及其相关性质和应用。
三角学的发展可以追溯到古代文明，其历史可以追溯到公元前2000年左右的古代埃及和美索不达米亚，这些文明开始研究土地测量和天文观测中出现的角度和三角形。
在古代埃及，人们开始使用简单的三角形来测量和标记土地。
他们观察到当太阳在天空中升起和落下时，影子的长度会发生变化。
通过使用简单的测量工具，如半影棒等，他们用一根竖直的杆子和影子的长度来创造出直角三角形。
这种观察和实践的尝试是三角学发展的一个重要起点。
在古代美索不达米亚，人们开始用勾股定理来解决实际问题。
勾股定理是三角学中一个重要的原理，它在埃及和美索不达米亚独立地被发现和使用。
这个定理认为，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于两个其他边平方的和。
这一定理为三角学的发展奠定了坚实的基础。
随着时间的推移，古希腊数学家开始全面发展三角学。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学中最早研究三角学的学派之一、毕达哥拉斯定理是该学派的代表作，它指出在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边平方的和。
这个定理被用来解决各种与测量和计算有关的问题。
在古希腊的经典时代，欧几里得对三角学进行了系统的研究和整理。
他的著作《几何原本》中包含了关于三角学的大量内容，尤其是保持了勾股定理和其他基本性质的证明。
这个著作对欧洲和中东的数学发展起到了至关重要的作用，并且在许多世纪里成为欧洲数学教育的基础。
在印度，数学家阿耶尔比则开创了一种关于三角学的新的研究方法。
他发展了一种被称为三角函数的概念，这是今天三角学的核心之一、三角函数是一种描述角度和边长之间关系的数学函数。
阿耶尔比的研究成果对印度和伊斯兰数学的发展产生了深远影响。
到了十六世纪，三角学开始成为天文学研究的重要工具。
尼科洛·达·科内利是十六世纪意大利的一位数学家和天文学家，他开创了三角学在天文学中的应用。
他发现了一种称为科内利定理的三角函数关系，它描述了一个三角形的余弦与正弦之间的关系。
反三角函数的历史和发展
锐角三角函数的历史发展总结锐角三角函数是数学中的一类重要函数，起源于古希腊数学。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
以下是锐角三角函数的历史发展总结：古希腊时期在公元前6世纪的古希腊，数学家们开始研究三角学的基本原理和概念。
当时，被称为呼罗珊（chord）的概念成为了计算三角形边长和角度的基础。
印度数学在公元5至6世纪的印度，数学家们进一步发展了三角学。
他们引入了正弦（sine）和余弦（cosine）函数的概念，并开始利用这些函数解决三角学问题。
十七世纪的欧洲在十七世纪的欧洲，数学家们对三角函数进行了系统化的研究。
特别是英国数学家威廉·奥特雷德（William Oughtred）和德国数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）的贡献不可忽视。
威廉·奥特雷德发明了直尺和尺规的方法来构造三角函数表，这在当时是一项重大的成就。
约翰尼斯·开普勒则使用三角函数描述了行星运动的规律，为日心说提供了坚实的数学基础。
解析几何和泰勒级数随着解析几何和泰勒级数的发展，锐角三角函数的研究进入了一个新的阶段。
数学家们开始用无穷级数的形式表示三角函数，这使得三角函数的计算和应用更加方便和灵活。
计算机时代随着计算机的发展，锐角三角函数的计算也取得了巨大的进步。
计算机可以通过近似算法和数值方法高效地计算三角函数的值，使得复杂的三角学问题可以快速求解。
现代应用在现代科学和工程领域，锐角三角函数仍然发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于建筑、航空航天、导航、图像处理等领域，为实际问题的求解提供了有效的数学工具。
总结起来，在古希腊时期的概念形成，印度的发展，欧洲数学家的系统研究以及现代科技的应用，都使得锐角三角函数得以不断发展和完善。
它们对于数学的发展和实际应用都具有重要意义。
基本初等函数的形成与发展
基本初等函数的形成与发展函数是数学中一个重要的概念,它描述了两个变量之间的对应关系。
在数学发展的漫长历程中,基本初等函数逐步形成并不断发展,为后来更复杂函数的建立奠定了坚实基础。
1. 代数函数的形成代数函数是最早出现的一类基本函数。
多项式函数和有理函数都属于代数函数的范畴。
早在古希腊时期,数学家们就开始研究代数方程的解法,从而引入了多项式函数。
而有理函数的出现则与分数计算的发展密切相关。
2. 三角函数的诞生三角函数的起源可以追溯到古巴比伦时期,当时人们需要测量地面距离和天体运行轨迹,从而发现了周期性函数。
但是,三角函数的系统理论是在17世纪由英国数学家约翰·沃利斯建立的。
他将三角函数定义为圆的某些线段的比值,奠定了三角函数的基础。
3. 指数函数和对数函数的产生指数函数和对数函数的出现与复利计算和对数的发明密切相关。
17世纪,数学家们发现连续复利增长可以用指数函数来描述。
而对数的发明则为求解指数方程提供了有力工具,从而引入了对数函数。
4. 反三角函数的引入随着三角函数的广泛应用,人们逐渐意识到反三角函数的重要性。
17世纪,约翰·沃利斯和詹姆斯·格里高利分别研究了反正弦函数和反正切函数,为反三角函数的发展奠定了基础。
5. 其他基本初等函数除了上述几类基本初等函数外,还有一些其他重要的初等函数,如双曲函数、分段函数等。
这些函数的引入丰富了函数的种类,为更复杂函数的研究做好了准备。
基本初等函数的形成和发展是一个漫长的历史过程,它们的产生源于人类解决实际问题的需求,并随着数学理论的发展而不断完善。
这些基本初等函数为后来更高级的数学分支奠定了坚实的基础,成为数学发展的重要里程碑。
三角学的发展历史
三角学的发展历史
三角学是一个古老的学科，起源可以追溯到古代的埃及、巴比伦和印度。
在古代，三角学主要用于测量和计算土地的大小和形状，是一种实用的学科。
随着时间的推移，三角学逐渐发展成为一门独立的数学学科。
在公元前6世纪，希腊数学家泰勒斯提出了用三角形面积比来计算高度和距离的方法，这被认为是三角学的开端。
公元前3世纪的欧多克索斯和希帕索斯是最早研究三角函数的数学家，他们提出了正弦、余弦和正切等概念。
后来，在印度的数学家阿耶巴塔和阿里·伊本·伊斯哈克等人的努力下，三角学的发展又取得了重大进展。
在中世纪，阿拉伯数学家穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花腔提出了正割、余割等新的三角函数，其著作《裴利查和斯汀》对欧洲的数学家产生了很大的影响。
到了16世纪，德国数学家约翰内斯·开普勒的工作使得三角学的应用得到了广泛的发展。
在18世纪，欧拉等数学家通过对三角函数的研究，进一步完善了三角学的理论体系。
同时，三角学的应用领域也继续扩大，如在物理学、工程学和天文学中的应用迅速增多。
到了现代，随着计算机技术和数值方法的发展，三角学的应用范围更加广泛和深入，成为计算机图形学、计算机视觉以及三维建模和游戏开发等领域必不可少的基础知识。
三角函数中正弦的历史由来故事
三角函数中正弦的历史由来故事
正弦是三角函数中的一种，其历史由来与三角学的发展密切相关。
在古代，人们就已经开始研究三角学，但最初的研究主要集中在直角三角形中。
古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）发现，对于直角三角形，当直角边长度为1时，斜边长度为√5，而另一条直角边长度为√5 - 1。
这个发现启发了毕达哥拉斯对三角形的深入研究。
随着时间的推移，三角学逐渐发展成为一门独立的学科。
在欧洲文艺复兴时期，意大利数学家雷吉奥蒙蒂（Rafael Bombelli）开始研究复数的三角形式，并引入了正弦、余弦等概念。
正弦函数就是在这个时期被引入的。
正弦函数的定义最早出现在荷兰数学家威特曼（Hendrik A. A. Witte）的《三角形的比例和它的应用》一书中。
在这本书中，威特曼将正弦定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
这个定义一直沿用至今。
正弦函数在三角学中有着广泛的应用，它不仅可以描述直角三角形中的边长关系，还可以用于解决各种实际问题，如测量、航海、工程等领域。
随着计算机技术的发展，正弦函数在数值计算、信号处理、图像处理等领域也得到了广泛应用。
三角函数
[编辑本段]起源历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰²贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W²威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．”在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 表示出，其中富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分． 1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：f（x）= 1 （x为有理数），0 （x为无理数）．在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数．狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，即 ρ（x）＝ 0，x≠0，∞,x=0．且δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即 P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X³Y为X³Y=｛（x,y）｜x↔X,y↔Y｝．积集X³Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）↔R，则称x与y 有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系，即fX³Y，如果（x,y），（x,z）↔f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
余弦定理的发展史
余弦定理的发展史
余弦定理是数学中的一个重要定理，用于计算三角形中的角和边之间的关系。
它的发展历史可以追溯到古代，以下是余弦定理发展历史的概述：
1. 古希腊时期：古希腊数学家毕达哥拉斯首先提出了三角形内角和等于 180 度的定理，这个定理是余弦定理的基础。
2. 中世纪时期：中世纪数学家开始研究三角形的性质，其中包括余弦定理。
法国数学家奥雷姆在他的著作《几何原本》中提出了余弦定理的公式，但他并没有给出证明。
3. 文艺复兴时期：意大利数学家达芬奇在他的著作《几何原本》中给出了余弦定理的证明，他使用了平面几何的方法。
4. 16 世纪：法国数学家笛卡尔提出了一种使用解析几何的方法来证明余弦定理，这种方法更加简洁和通用。
5. 17 世纪：数学家们开始使用三角函数来表示三角形中的角和边之间的关系。
德国数学家约翰内斯·开普勒提出了用三角函数表示余弦定理的公式。
6. 18 世纪：数学家们开始使用向量和矩阵来表示和计算三角形中的角和边之间的关系。
这使得余弦定理的应用更加广泛和方便。
余弦定理是数学中的一个重要定理，它的发展历史可以追溯到古代，经过数学家们的不断研究和证明，它在数学、物理、工程等领域中得到了广泛的应用。
三角学的起源及发展
三角学的起源及发展三角学是数学的一个分支，研究与三角形及其相关的几何形状和函数的关系。
它起源于古代文明，并在欧洲文艺复兴时期得到了重大发展。
本文将详细介绍三角学的起源和发展历程。
1. 古代文明中的三角学三角学最早可以追溯到古代文明，特别是古埃及和古希腊。
在古埃及，人们使用三角形来测量土地面积和建造物的高度。
古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，将三角形的边长和角度联系起来。
这些发现为后来的三角学奠定了基础。
2. 欧洲文艺复兴时期的发展在欧洲文艺复兴时期，三角学得到了重大发展。
数学家和天文学家开始使用三角函数来解决实际问题，例如测量地球的大小和距离。
尼科洛·塔尔西亚尼是这一时期最重要的三角学家之一，他发现了正弦、余弦和正切函数的性质，并提出了三角函数的基本公式。
3. 三角学的应用随着三角学的发展，它的应用范围也越来越广泛。
三角学在测量、建造、航海、天文学等领域都有重要的应用。
例如，在建造中，三角学可以匡助工程师计算建造物的高度和角度，确保结构的稳定性。
在航海中，三角学可以匡助船员确定船只的位置和航向。
在天文学中，三角学可以匡助天文学家测量星体的距离和角度。
4. 现代三角学的发展随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用。
计算机科学、物理学、工程学等领域都离不开三角学的应用。
例如，在计算机图形学中，三角学可以匡助计算机生成三维模型和动画。
在物理学中，三角学可以匡助解决力学和波动等问题。
5. 三角学的未来发展随着科技的不断进步，三角学在未来将继续发展。
随着人工智能和大数据的兴起，三角学的应用将更加广泛和深入。
例如，在机器学习中，三角学可以匡助处理复杂的数据集和模式识别问题。
在无人驾驶技术中，三角学可以匡助车辆确定位置和行驶路径。
总结：三角学起源于古代文明，经过欧洲文艺复兴时期的发展，逐渐成为数学的一个重要分支。
它的应用范围广泛，涉及测量、建造、航海、天文学等领域。
随着科学技术的进步，三角学在现代得到了更广泛的应用，并将在未来继续发展。
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三角学的起源与发展三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。
同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。
1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。
1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。
|贰、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。
在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。
如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。
因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB 为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。
…到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
正弦、余弦在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有称此定理为正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与証明的。
中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个証明。
也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。
他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。
这是区别球面三角与平面三角的重要标志。
至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。
托勒密（Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：它给出一个圆从（21）°到180°每隔半度的所有圆心DCBAP角所对的弦的长度。
圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。
这样，以符号 crd a 表示圆心角ａ所对的弦长， 例如 crd 36°= 37p 4'55"，意思是：36° 圆心角的弦等于半径的6037（或37个小部分），加上一个小部分的604，再加上一个小部分的360055，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为1202O sin ααcrd AB OA AB ===的直徑圓公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为，得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'早的弧度制概念。
他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。
印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分|数式。
2.正切、余切著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。
为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent ﹞函数 。
而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。
他的正弦表精确到小数9位。
他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。
在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割A正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入。
sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。
正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。
欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。
于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。
当时还没有对数，更没有计算机。
全靠笔算，任务十分繁重。
利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。
后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。
.4.三角函数符号毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号，但当时并无函数概念，于是只称作三角线（trigonometric lines）。
他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示余弦。
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。
他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan. ”, “sec. ”,“sin.com”,“tan. com”,“sec. com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。
后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。
余割备注使用者年代正弦余弦正切余切—正割罗格蒙格斯1622.T. (Tang)T. c pl Sec（吉拉尔1626tan sec.~ 杰克1696s.cos.t.cot.sec.cosec.|1753sin.cos.tag(tg).cot.sec.cosec 欧拉sin.cos.tan.cot.Ⅰ谢格内/1767cos.tan.cot.sec cosecⅠ巴洛1814)sin施泰纳1827[tgⅡ 皮尔斯 1861 sin cos. ;tan. cotallsec cosec 奥莱沃尔 1881 sin cos tan 'cot seccsc Ⅰ 申弗利斯 1886 tg ctg[Ⅱ 万特沃斯 1897 sin cos tan cot sec $csc Ⅰ舍费尔斯1921sincostgctgseccsc`Ⅱ注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。
1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS 表示反正弦。
1736年欧拉以At表示反正切，一年后又以Asin c b表示 于单位圆上正弦值相等于bc 的弧。
1772年，C ．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以α+11sin .arc 表示反正弦函数。
1776年，兰伯特则以arc. sin 表示同样意思。
1794年，鲍利以表示反正弦函数。
其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x ，arc cos x 等。
于三角函数前加arc 表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc ，以表示反三角函数之主值。
另一较常用之反三角函数符号如sin -1x ，tan -1x 等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。
三、三角函数的和差化积公式 下列公式称为三角函数的和差化积公式。
法国著名数学家韦达﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式:—【后记】三角函数名称的由来和补充想知道为何三角函数要叫做sin，cos 这些名字吗经过了多方的查取资料，找到了下图：上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。