高考数学总复习(讲+练+测)： 专题2.5 二次函数与幂函数(讲)

第05节 二次函数与幂函数 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测

二次函数与幂函数

1.了解幂函数的概念．掌握幂函数2,yxyx 31,yxyx，

121

,yyxx的图象和

性质. 2.了解幂函数的变化特征.

2013•浙江文7； 2014•浙江文15；理15； 2015•浙江文20；理18； 2016•浙江理18； 2017•浙江5.

1.与二次函数相关的单调性、最值问题； 2.幂函数的图象与性质的应用. 备考重点： 1.“三个二次”的结合问题； 2.幂函数图象和性质.

【知识清单】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R， 且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋ ∞) {y|y∈R， 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 对点练习 【2017山东济南诊断】已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于( )

A.12 B.1 C.32 D.2 【答案】32 【解析】由幂函数的定义知1k.又12()22f，所以12()22，解得12a，从而32k.

2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 4ac－b24a，＋∞ 

－∞，4ac－b2

4a

单调性 在－∞，－b2a上单调递减； 在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增； 在－b2a，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－b2a对称

对点练习 【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知函数2,,fxaxbxcabcR若存在实 数1,2a，对任意1,2x，都有1fx，则75bc的最大值是__________． 【答案】-6 【解析】因为1,2x，所以21axbxc等价于21bxcax，题意为存在1,2a，使得不等式21bxcax成立，所以211bxcx，即210xbxc对1,2x成立，

所以110{4210bcbc，即0{23bcbc，所以753226bcbcbc，即75bc的最大值为－6．

【考点深度剖析】 从近几年的高考试题来看，二次函数图象和性质的应用、最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 【重点难点突破】 考点1 二次函数的解析式 【1-1】【2017湖北武汉模拟】若函数()(2)fxxabxa＝＋＋ (常数a，b∈R)是偶函数，且

它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式fx＝________. 【答案】224x－＋ 【解析】由fx是偶函数知fx图象关于y轴对称， ∴2b＝－，∴2222fxxa＝－＋，又fx的值域为(－∞，4]， ∴224a，故224fxx＝－＋.

【1-2】已知：抛物线与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【答案】2142yxx 【解析】设二次函数解析式为12yaxxxx，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设24yaxx，∴9 12142a， ∴12a． ∴ 所求函数解析式为：1242yxx, 2142yxx． 【领悟技法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【触类旁通】 【变式一】已知二次函数()fx的图象经过点4,3，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有()2)2(fxfx－＝＋，求f(x)的解析式．

【答案】243fxxx＝－＋ 【解析】∵()2)2(fxfx－＝＋对xR恒成立，∴()fx的对称轴为2x＝. 又∵()fx图象被x轴截得的线段长为2，∴()0fx的两根为1和3. 设()fx的解析式为()()30(1)fxaxxa＝－－． 又∵()fx的图象过点4,3， ∴331aa＝，＝.∴所求()fx的解析式为fx＝(x-1)(x-3)，即243fxxx＝－＋. 【变式二】已知二次函数f(x)同时满足以下条件： (1)()1)1(fxfx＋＝－； (2)fx的最大值为15； (3)fx＝0的两根的立方和等于17. 求fx的解析式．

【答案】26129fxxx＝－＋＋ 【解析】依条件，设2()1150fxaxa＝－＋，即2215fxaxaxa＝－＋＋.

令fx＝0，即22150axaxa－＋＋，则1212152,1xxxxa. 而33312121212()3()xxxxxxxx333121590232(1)2xxaa． 即90217a，则6a＝－.故26129fxxx＝－＋＋. 考点2 二次函数的图象和性质 【2-1】设二次函数22fxaxaxc＝－＋在区间0,1上单调递减，且0fmf，则实数m的取值范围是 （ ）

( ) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 【答案】 D 【解析】 二次函数22fxaxaxc＝－＋在区间0,1上单调递减，则0a，(1)20fxax＝－，所以0a，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x＝．所以f(0)

＝f(2)，则当0fmf时，有02m． 【2-2】【2017浙江，5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

【答案】B

【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24aafbfabfb中取，所以最值之差一定与b无关，选B． 【2-3】已知函数2fxxxc＝＋＋，若000ffp＞，＜，则必有( ) A．1()0fp＋＞ B．1()0fp＋< C．1()0fp＋= D．()1fp＋的符号不能确定 【答案】A

【解析】函数2fxxxc＝＋＋的对称轴为12x，又因为000ffp＞，＜，故10p－＜＜，10p＋＞，所以1()0fp＋＞.

【领悟技法】 （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区 间的关系进行分类讨论； （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【触类旁通】 【变式一】【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( ) A. （0,4] B. （0,8） C. （2,5） D. 【答案】B 【解析】当 时，显然不成立

当 时，若=≥0，即 时结论显然成立；

若=＜0，时只要 即可，即 则 ,选B 【变式二】若关于x的不等式2420xxa在区间1,4内有解，则实数a的取值范围是（ ） A. 2a B. 2a C. 6a D. 6a 【答案】A 【解析】试题分析：不等式2420xxa在区间1,4内有解等价于2

max42axx

，

令242gxxx， 1,4x，所以42gxg，所以2a. 考点3 二次函数的综合应用 【3-1】【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹

函数222fxxx，在21,23mm上取三个不同的点,afa， ,bfb，