直线的一般式方程和点的对称问题教师版
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
高中数学点线对称问题(精选.)
对称问题专题【知识要点】1•点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.设尸（xo, yo ）,对称中心为A （a, b ）,则尸关于A 的对称点为P' （2”一沏，2〃一四）. 2•点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” .利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （xo,州）关于直线产入+〃的对称点为P'（『，>，'）,则有可求出丁、y特殊地，点尸（Xo, yo ）关于直线4〃的对称点为P' （2（1—Xo,并）；点尸（物 和）关于直线冲。
的 对称点为P' （AO ,劝一和）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可 选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线/ （x, y ） =0关于已知点A （a, b ）的对称曲线的方程是/ （2a 一大2b —y ） =0.（2）曲线/（x, >1） =0关于直线户丘+b 的对称曲线的求法：设曲线/（x, y ） =0上任意一点为尸（xo, yo ）, P 点关于直线尸H+A 的对称点为P' （x, >,）,则由（2） 知，P 与尸’的坐标满足从中解出出、yo,代入已知曲线/（x, y ） =0,应有/（加 第）=0.利用坐标代换法就可求出曲线/G, y ） =0关于直线."云+〃 的对称曲线方程.4•两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： 【典型例题】【例11求直线az 2x+y-4=0关于直线/： 3.v+4y —1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线〃、％关于直线/对称，它们具有下列几何性质：（1）若“、〃相交, 则/是〃、〃交角的平分线；（2）若点A 在直线”上，那么A 关于直线/的对称点8一定在直线〃上，这时 AB_L/,并且A3的中点。
第六节 空间直线及其方程8-6
例 3
求 过 点 (3, 2, 5) 且 与 两 平 面 x 4 z 3 和
2 x y 5 z 1的 交 线 平行 的 直线 方 程 .
解
设所求直线的方向向量为 s { m , n , p },
根据题意知 取
s n1 ,
s n2 ,
s n 1 n 2 { 4 , 3 , 1 },
2
, L2 :
x x2 m2
2
y y2 n2
2 2
z z2 p2
,
cos( L^L ,
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2
m 2 n2 p2
——两直线的夹角公式。 两直线的位置关系：
(1 ) (2) L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , m1 n1 p1 , L 1 // L 2 m2 n2 p2
得参数式方程 :
x x0 m t y y0 n t z z0 p t
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 y 3z 6
,得 y 0 , z 2
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 s . 交已知直线的两平面的法向量为
所求直线：
( x 2 ) 2( y 1) ( z 3 ) 0
3( x 2 ) 2( y 1) ( z 3 ) 0
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
L1 :
x x1 m1
直线的两点式与一般式方程
k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y=kx+b
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
k存在 k存在
k存在,k≠0 k存在,k≠0 不过原点
特殊形式 y y x x 过点（x0 , y0）与x 轴垂直的直线可表示成
0，
过点（x0
,
y
）
0
不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
练习 课本P97 2,3
补充练习
1.下 列 四 个 命 题 中 的真 命 题 是 (B )
A.经 过 定 点0P(x0,y0 )的 直 线 都 可 以 用
方 程 y y0 k(x x0 )表 示 ;
B.经 过 任 意 两 个 不 同P1(x1,y1),P2(x2,y2 )的 点 的 直 线
固 2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3 方程;并求经过点P且与L3垂直的直线
L4方程? l3:y=-x+1 l4:y=x-1
例程1．.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方
解：设直线方程为：y=kx+b.
由已知得： 3kb 42 k b
解方程组得： k1 b2
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都 为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.
若 a 2，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
有 a - 2 a - 2 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. a 1
∴ l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
直线的一般式方程 课件
思考题 3 (1)直线 Ax＋By＋C＝0，当 A>0，B<0，C>0
时，直线必经过的象限是( )
A．一、二、三
B．一、二、四
C．二、三、四
D．一、三、四
(2)直线 y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像是( )
(3)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示与两条坐标轴都相交的直线，
【解析】 设 l 与 l1，l2 的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ∵(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，∴xy22＝＝－－xy11.， 又∵43x（1＋－yx11＋）6－＝50（，－y1）－6＝0，∴x1＝－3263，y1＝263. 由两点式得方程2y63＝－x3263，即 x＋6y＝0.
若 AC<0，BC<0，知 A、C 异号，B、C 异号． ∴A、B 同号，即 AB>0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除 B. 故 A、B、C 同号． 【答案】 A
探究 3 (1)该题主要考查二元一次方程与直线的位置关系， 充分体现了数形结合思想的重要性．方法一是常用方法，其通过 分析斜率与截距的符号，来刻画直线的特征；方法二是解决选择 题的常用方法，即排除法，分析过程中要注意特殊值的巧妙应用．
探究 5 方法一用的是代入法，代入法是求曲线方程、函数 解析式经常采用的方法，代入法往往跟对称联系在一起．
思考题 5 (1)求直线 2x＋3y－6＝0 关于点 A(1，－1)对称 的直线方程．
【思路分析】 利用所求直线上任意一点 P 关于点 A 的对称点 P′在已知直线上的关系求解．
【解析】 设 P(x，y)为所求直线上任一点，则 P 关于 A(1， －1)的对称点 P′(x0，y0)在已知直线 2x＋3y－6＝0 上．
直线的对称式方程怎么化成一般方程
直线的对称式方程怎么化成一般方程直线是平面几何中简单而重要的图形，经常会涉及到求其方程的问题。
直线的方程有多种形式，其中包括对称式方程和一般式方程。
在实际应用中，往往需要将对称式方程转化为一般式方程，以简化后续的计算和分析。
下面就介绍一下如何将直线的对称式方程化成一般式方程。
一、直线的对称式方程是什么对称式方程是直线的一种常见的方程形式。
一般来说，对称式方程的形式为：$\frac{x-x_0}{\cos \theta}=\frac{y-y_0}{\sin \theta}=\pm r$其中，$(x_0,y_0)$ 表示直线上任一一点的坐标，$\theta$ 表示直线与$x$ 轴的夹角，$r$ 表示直线到原点的距离。
符号 $\pm$ 取决于直线的方向，正号表示直线与 $x$ 轴的夹角在 $0$ 到 $180$ 度之间，负号则表示直线的方向在 $180$ 度到 $360$ 度之间。
二、如何将对称式方程化为一般式方程通常情况下，对称式方程的形式并不便于进行运算和分析，需要将其转化为一般式方程。
下面介绍两种方法。
方法一：将对称式方程按照 $r$ 的正负取不同的符号分别讨论。
当 $r>0$ 时，对称式方程可以表示为：$\begin{cases} x=x_0+r\cos \theta\\ y=y_0+r\sin \theta \end{cases}$ 对两式同时平方并相加可以得到：$x^2+y^2-2xx_0-2yy_0+r^2=x_0^2+y_0^2$这就是直线的一般式方程。
当 $r<0$ 时，对称式方程可以表示为：$\begin{cases} x=x_0-r\cos \theta\\ y=y_0-r\sin \theta \end{cases}$同理，对两式同时平方并相加可以得到：$x^2+y^2-2xx_0-2yy_0+r^2=x_0^2+y_0^2$此时方程中的 $r$ 为负数，但仍然可以使用一般式方程表示直线。
【高中数学】秒杀秘诀--对称问题
对称问题对称问题1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求出x ′、y ′特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0（2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩从中解出x 0、y 0，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）（6）点（x ，y ）关于直线x －y+c =0的对称点为（y －c ，x+c ）；（7）点（x ，y ）关于直线x +y+c =0的对称点为（－c －y ，－c －x ）；例1：求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.例2：求圆例3：自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=例4：已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小.例6：圆对称的圆的方程.对称的重要定理/C （或直线）的方1.已知点A （1，3）、B （5，2），在x 轴上找一点P ，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P 点的坐标为____________.2.已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为（）A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ）D .（－b ，－a ）3.已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5D .m 1=－n1且p =－54.点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为____________.5.设直线x +4y －5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y －3=0对称的直线的倾斜角是____________.6.已知圆C 与圆（x －1）2+y 2=1关于直线y =－x 对称，则圆C 的方程为A.（x +1）2+y 2=1B.x 2+y 2=1C.x 2+（y +1）2=1D .x 2+（y －1）2=17.与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为A.2x －y －5=0B.x +2y －3=0C.x +2y +3=0D .2x －y －1=08.两直线y =33x 和x =1关于直线l 对称，直线l 的方程是____________.9.直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是____________.10.已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y +1=0，l 2：x +y +1=0，求边BC 所在直线的方程.11.求函数y =92+x +4182+-x x 的最小值.12.直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.13.已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P .（1）使|PA |+|PB |最小；（2）使|PA |－|PB |最大.1.41（517，0）2.解析：N （a ，－b ），P （－a ，－b ），则Q （b ，a ）．答案：B ；3.解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为（－x ）+my +5=0，即x －my －5=0，与l 2比较，∴m =－n 且p =－5.反之亦验证成立.答案：C4.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3x －y +3=05.解析：数形结合.答案：π－θ6.解析：由M （x ，y ）关于y =－x 的对称点为（－y ，－x ），即得x 2+（y +1）2=1.答案：C7.解析：将x +2y －1=0中的x 、y 分别代以2－x ，－2－y ，得（2－x ）+2（－2－y ）－1=0，即x +2y +3=0.故选C.答案：C8.解析：l 上的点为到两直线y =33x 与x =1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|+-y x =｜x －1｜，化简得x +3y －2=0或3x －3y －2=0.答案：x +3y －2=0或3x －3y －2=09.解析：易知A （4，－1）、B （3，4）在直线l ：2x －y －4=0的两侧.作A 关于直线l 的对称点A 1（0，1），当A 1、B 、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）10.解：设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有()⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+--=-⋅++030124211114222222y x y x x y 即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程.11.解：因为y =22)30()0(-+-x +22)50()4(-+-x ，所以函数y 是x 轴上的点P （x ，0）与两定点A （0，3）、B （4，3）距离之和.y 的最小值就是|PA |+|PB |的最小值.由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ′（0，－3），则|PA |+|PB |的最小值等于|A ′B |，即22)35()04(++-=45.所以y min =45.12.解：由题意，点A 关于直线y =2x 的对称点A ′在BC 所在直线上，设A ′点坐标为（x 1，y 1），则x 1、y 1满足4211+-x y =－21，即x 1=－2y 1.①221+y =2·241-x ，即2x 1－y 1－10=0.②解①②两式组成的方程组，得⎩⎨⎧-==2411y x ∴BC 所在直线方程为121---y =343--x ，即3x +y －10=0.解方程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==-+4220103y x x y y x ∴所求C 点坐标为（2，4）.由题意|AB |2=50，|AC |2=40，|BC |2=10，∴△ABC 为直角三角形.13.解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=-+⋅-+5952121230223222111111y x x y y x 由两点式求得直线A 1B 的方程为y =117（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556，－253）.由平面几何知识可知|PA |+|PB |最小.（2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0.直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|PA |－|PB |最大.。
高三数学总复习 直线的方程课件 文 新人教版
1 得 A(2－k，0)，B(0,1－2k)．
由|PA|·|PB|＝
(4＋4k2)(1＋k12)
＝
8＋4(k2＋k12)≥4.
当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值．
又 k＜0，∴k＝－1，这时 l 的方程是 x＋y－3＝0.
方法二：设∠BAO＝θ(0＜θ＜π2 )，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
6
6
＝5＋(a－3)＋a－3≥5＋2 (a－3)·a－3
＝5＋2 6，
当且仅当 a－3＝a－6 3，即 a＝3＋ 6时，a＋b 取得最小值 5＋2 6，
此时 b＝2＋ 6，直线 l 的方程为 x ＋ y ＝1， 3＋ 6 2＋ 6
即(2＋ 6)x＋(3＋ 6)y－12－5 6＝0.
1．(2008 年全国Ⅰ高考)若直线ax＋yb＝1 通过点 M(cos α，sin α)，
方程的形式 y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
已知条件
局限性
(x1，y1)为直线上一定 点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
k为斜率，b是直线在y
轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式 截距式 一般式
(x1≠x2且y1≠y2)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2，y2)是 不包括垂直于x轴和y轴
【方法点评】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或
记为：
(A2、B2、C2不为0)．
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(3)l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.2.3 直线的一般式方程
2.2.3 直线的一般式方程课标解读 课标要求素养要求1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能用直线的一般式方程解决有关问题.1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系.2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化.自主学习·必备知识教材研习教材原句定义：关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y 的二元一次方程 Ax +By +C =0 （其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 . 自主思考当A =0 或B =0 或C =0 时，方程Ax +By +C =0 分别表示什么样的直线？提示 若A =0 ，则y =−CB，表示与y 轴垂直的一条直线；若B =0 ，则x =−CA，表示与x 轴垂直的一条直线；若C =0 ，则Ax +By =0 ，表示过原点的一条直线.名师点睛1.直线的一般式方程的结构特征 （1）方程是关于x,y 的二元一次方程.（2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ，常数的顺序排列. （3）x 的系数一般不为分数和负数.（4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程.2.直线的一般式方程与特殊形式的互化3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l 1 ：A 1x +B 1y +C 1=0 （A 1,B 1 不同时为0），直线l 2 ：A 2x +B 2y +C 2=0 （A 2,B 2 不同时为0）.（1）若l1∥l2⇔A1B2−A2B1=0且B1C2−B2C1≠0（或A1C2−A2C1≠0）.（2）若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.4.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法（1）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）平行的直线的方程可设为Ax+By+m= 0(m≠C).（2）与直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）垂直的直线的方程可设为Bx−Ay+n= 0.互动探究·关键能力探究点一求简单的一般式方程精讲精练例根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.（1）斜率是√3，且经过点A(5,3)；（2）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（4）经过A(−1,5)、B(2,−1)两点；（5）在x、y轴上的截距分别是-3、-1.思路分析根据已知条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程.答案：（1）由点斜式方程得y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0.（2）由斜截式方程得y=4x−2，即4x−y−2=0.（3）由题意得y=3，即y−3=0.（4）由两点式方程得y−5−1−5=x−(−1)2−(−1)，即2x+y−3=0.（5）由截距式方程得x−3+y−1=1，即x+3y+3=0.解题感悟在求直线方程时，直接求一般式方程有时并不简单，常用的还是先根据给定条件选用特殊形式求方程，然后转化为一般式.提醒：在利用直线方程的特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.迁移应用分别写出符合下列条件的直线方程，并且化成一般式.（1）经过点(2,-4)，且与直线3x−4y+5=0平行；（2）经过点(3,2)，且与直线6x−8y+3=0垂直.答案：（1）设与直线3x−4y+5=0平行的直线的方程为3x−4y+c=0(c≠5)，将点(2,-4)代入得6+16+c=0，所以c=−22.故所求直线的一般式为3x−4y−22=0. （2）设与直线6x−8y+3=0垂直的直线的方程为8x+6y+m=0，将点(3,2)代入得24+12+m=0，解得m=−36.故所求直线的一般式为4x+3y−18=0.探究点二 含参数的一般式方程精讲精练例设直线l 的方程为(a +1)x +y +2−a =0(a ∈R) . （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.答案：（1）当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，显然相等， 则(a +1)×0+0+2−a =0 ， ∴a =2 ，即l 的方程为3x +y =0 ；当直线l 不过原点，即a ≠2 时，其方程可化为x a−2a+1+ya−2=1 ，由l 在两坐标轴上的截距相等得a−2a+1=a −2 ，即a +1=1 ，∴a =0 ，即l 的方程为x +y +2=0 . 综上，l 的方程为3x +y =0 或x +y +2=0 . （2）将l 的方程化为y =−(a +1)x +a −2 ，∴ 欲使l 不经过第二象限，当且仅当{−(a +1)＞0,a −2≤0 或{−(a +1)=0,a −2≤0,∴a ≤−1 .综上可知，a 的取值范围是a ≤−1 .变式 本例条件不变，试问：直线l 恒过哪个定点？答案：由(a +1)x +y +2−a =0 整理得a(x −1)+x +y +2=0 ，因为∀a ∈R,a(x −1)+x +y +2=0 恒成立，所以{x −1=0, x +y +2=0, 解得{x =1,y =−3,所以直线l 恒过定点(1,-3). 解题感悟（1）在已知条件中出现“截距相等”“截距互为相反数”或“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考虑，不要漏掉过原点的情况.（2）由直线的一般式方程Ax +By +C =0 （A 、B 不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x =0 ，得纵截距；令y =0 ，得横截距.由两截距的位置可知直线的位置. 迁移应用设直线l 的方程为2x +(k −3)y −2k +6=0(k ≠3) ，根据下列条件分别确定k 的值. （1）直线l 的斜率为-1；（2）直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0.答案：（1）∵ 直线l 的斜率存在，∴ 直线l 的方程可化为y =−2k−3x +2 . 由题意得−2k−3=−1 ，解得k =5 .（2）直线l 的方程可化为xk−3+y2=1 ，由题意得k −3+2=0 ，解得k =1 .探究点三用一般式方程解决两直线平行或垂直问题精讲精练例已知直线l1：(k−3)x+(4−k)y+1=0与l2：2(k−3)x−2y+3=0.（1）若这两条直线垂直，求k的值；（2）若这两条直线平行，求k的值.答案：（1）根据题意得(k−3)×2(k−3)+(4−k)×(−2)=0，解得k=5±√52，∴若这两条直线垂直，则k=5±√52.（2）根据题意得(k−3)×(−2)−(4−k)×2(k−3)=0，解得k=3或k=5.经检验，均符合题意，∴若这两条直线平行，则k=3或k=5.迁移应用1.（2021山东济宁高二期末）已知直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，则实数a的值为( )A.−323B.323C.6D.-6答案：D解析：因为直线3x−4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，所以3×8−(−4)a=0，解得a=−6.2.当直线l1：(a+2)x+(1−a)y−1=0与直线l2：(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时，a= .答案：±1解析：由题意知直线l1⊥l2,∴(a+2)(a−1)+(1−a)(2a+3)=0，解得a=±1，将a=±1代入方程，均满足题意.故当a=1或a=−1时，l1⊥l2.评价检测·素养提升课堂检测1.如果ax+by+c=0表示的直线是y轴，那么系数a，b，c应满足的条件是( )A.bc=0B.a≠0C.bc=0且a≠0D.a≠0且b=c=0答案：D解析：易知y轴用方程表示为x=0，所以a,b,c应满足的条件为b=c=0,a≠0.2.（2021湖北武汉华科附联考体高二期中）直线x−√3y+a=0,a∈R的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2 π3D.5 π6答案：A解析：x−√3y+a=0化为斜截式方程为y=√33x+√33a，可知该直线的斜率k=√33，因为k=tanα=√33(α∈[0,π))，所以α=π6.3.直线x−3y+4=0与直线mx+4y−1=0互相垂直，则实数m的值为.答案：12解析：∵两条直线互相垂直，∴1×m−3×4=0，解得m=12.4.（2021山西太原高二期中）已知直线l1经过点M(2,1)，在两坐标轴上的截距相等且不为0.（1）求直线l1的方程（写成一般式）；（2）若直线l2⊥l1，且l2过点M，求直线l2的方程（写成一般式）.答案：（1）设直线l1的方程为xa +ya=1,a≠0，代入点M(2,1)得2a+1a=1，解得a=3，所以直线l1的方程为x3+y3=1，即x+y−3=0.（2）由（1）知直线l1的斜率为-1，由l2⊥l1得直线l2的斜率k=1.又直线l2过点M(2,1)，则直线l2的方程y−1=x−2，即x−y−1=0.素养演练直观想象、数学运算——在直线方程中的应用（2021辽宁抚顺高二期末）已知直线m的方向向量为v=(1,2).（1）求过点A(0,−3)且倾斜角是直线m的倾斜角的2倍的直线l1的斜截式方程；（2）求过点B(2,3)且与直线m垂直的直线l2的一般式方程.答案：（1）因为直线m的方向向量为v=(1,2)，所以直线m的斜率为2.设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，设直线l1的斜率为k，则k=tan 2α=2 tanα1−tan2α=−43.因为直线l1过点A(0,−3)，所以直线l1的斜截式方程为y=−43x−3.（2）因为直线l2⊥m，所以直线l2的斜率为−12，因为直线l2过点B(2,3)，所以直线l2的方程为y−3=−12(x−2)，即x+2y−8=0，所以直线l2的一般式方程为x+2y−8=0.素养探究：（1）由直线m的方向向量为v=(1,2)可得直线m的斜率为2，渗透了直观想象的素养；设直线m的倾斜角为α，则tanα=2，然后利用二倍角的正切公式可求出直线l1的斜率，从而可求出直线l1的斜截式方程，渗透了数学运算的素养.（2）由题意可得直线l2的斜率为−12，从而可求出直线l2的方程，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知△ABC中，点A的坐标为(1,2).（1）若过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，平行于AB边的中位线所在直线的方程为2x+y−9=0，求点C的坐标及过点C且与AB边平行的直线的方程；（2）若平行于BC边的中位线所在直线的方向向量为v=(1,−2)，求过点A且与该中位线垂直的直线l的方程.答案：（1）因为过点C的中线所在直线的方程为2x−y−2=0，所以可设C(m,2m−2)，,m)，又该中点在直线2x+y−9=0上，因为A(1,2)，所以AC的中点的坐标为(m+12所以m+1+m−9=0，解得m=4，即C的坐标为(4,6)，所以过点C且与AB边平行的直线的方程为y−6=−2(x−4)，即2x+y−14=0. （2）由已知得中位线所在直线的斜率为-2，所以直线l的斜率为1，2又该直线过点A，(x−1)，所以直线l的方程为y−2=12即x−2y+3=0.课时评价作业基础达标练1.直线mx−y+2m+1=0恒过一定点，则此定点为( )A.(-2,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,1)答案：A2.（2021四川内江资中二中高二月考）已知直线l：ax−y+2−a=0的横截距与纵截距相等，则a的值为( )A.1B.-1C.-1或2D.2答案：C3.（2021山东济南回民中学高二期中）斜率为-3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )A.3x+y+6=0B.3x−y+2=0C.3x+y−6=0D.3x−y−2=0答案：C4.（多选题）（2021山东临沂高二期中）下列说法正确的是( )A.直线y=ax−2a+1必过定点(2,1)B.直线3x−2y+4=0在y轴上的截距为-2C.直线√3x+y+1=0的倾斜角为120∘D.若将直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线l的斜率为23答案：A; C; D5.（2021贵州遵义航天中学高二月考）过点P(1,3)，且垂直于直线x−2y+3=0的直线的方程为( )A.2x+y−1=0B.2x+y−5=0C.x+2y−5=0D.x+2y+7=0答案：B6.（2021北京育英学校高二期末）已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，则m=( )A.1B.2C.3D.4答案：D解析：因为直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，所以21=m2，解得m=4，满足题意，故m=4.7.（2020浙江6月学业水平适应性考试）过点A(1,−2)，且与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为( )A.2x−y−4=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x+2y+3=0答案：A8.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知直线kx−y−k+√3=0过定点A，直线2kx−y−8k=0过定点B，则直线AB的倾斜角为( )A.5 π6B.2 π3C.π3D.π6答案：A9.已知直线(2t−3)x+y+6=0，则该直线过定点；若该直线不经过第一象限，则t的取值范围是.答案：(0,-6); [32,+∞)10.（2021上海金山中学高二期中）设直线l：ax+3y−2=0，其倾斜角为α，若α∈(π6,π2)∪(π2,34π)，则a的取值范围为.答案：a＜−√3或a＞3素养提升练11.已知直线l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0与两坐标轴交于A，B两点，且点M(−1,−2)是线段AB的中点，则实数m的值为( )A.−13B.0C.13D.2答案：B解析：设A(x 0,0),B(0,y 0) ，将直线l 的方程(2+m)x +(1−2m)y +4−3m =0 化为2x +y +4+m(x −2y −3)=0 ，由{2x +y +4=0,x −2y −3=0 得{x =−1,y =−2, ∴ 直线l 过定点(-1,-2)，即点M(−1,−2) 在直线l 上，、又M 为线段AB 的中点，∴ 由中点坐标公式可得x 0=−2,y 0=−4 ， 将点A(−2,0) 代入直线l 的方程得−4−2m +4−3m =0 ，∴m =0 .12.设a ∈R ，则“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：C解析：当a =3 时，两条直线的方程分别是3x +2y +9=0 和3x +2y +4=0 ，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有a2=3a−1 且3a2≠7−aa−1 ，即a =3 或a =−2 （舍去），故a =3 ，所以“a =3 ”是“直线ax +2y +3a =0 和直线3x +(a −1)y =a −7 平行”的充要条件.13.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，若直线PA 的方程为x −y +1=0 ，则直线PB 的方程是( ) A.2y −x −4=0 B.2x −y −1=0 C.x +y −5=0 D.2x +y −7=0 答案：C解析：由x −y +1=0 得A(−1,0) ，又P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，∴P 为线段AB 中垂线上的点，故B(5,0) .又直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角互补，∴ 两直线的斜率互为相反数，故直线PB 的斜率k PB =−1 ，∴ 直线PB 的方程为y =−(x −5) ，即x +y −5=0 .14.设直线l 的方程为(m 2−2m −3)x +(2 m 2+m −1)y =2m −6 ，根据下列条件分别求m 的值.（1）直线l 在x 轴上的截距为1； （2）直线l 的斜率为1.答案：（1）易知直线l过点(1,0),∴m2−2m−3=2m−6，解得m=3或m=1. ∵m=3时，直线l的方程为y=0，不符合题意，∴m=1.（2）由斜率为1得{−m2−2m−32m2+m−1=1,2m2+m−1≠0,解得m=43.15.（2021福建厦门一中高二月考）已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(−1,3),C(3,4). （1）求过点A且与BC垂直的直线l1的方程；（2）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程.答案：（1）因为k BC=4−33+1=14，且直线l1与BC垂直，所以直线l1的斜率k=−1k BC=−4，所以直线l1的方程是y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0.（2）因为直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.当直线l2与AB平行时，因为k AB=3−1−1−1=−1，所以直线l2的方程是y−4=−(x−3)，即x+y−7=0.当直线l2过AB的中点M时，因为AB的中点M的坐标为(0,2)，所以k CM=4−23−0=23，所以直线l2的方程是y−4=23(x−3)，即2x−3y+6=0.综上，直线l2的方程是x+y−7=0或2x−3y+6=0 .创新拓展练16.（2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中）已知直线l：kx−y+1+2k=0,k∈R，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点为O.（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程；（3）直接写出△AOB的面积S(S＞0)在不同取值范围下的直线l的条数.命题分析本题考查了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.答题要领（1）把l的方程化为k(x+2)+(1−y)=0，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线l在x轴和y轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据S 的表达式，将待求问题转化为直线y =S(S ＞0) 与曲线y =f(k)=|2k +12k+2|的交点个数问题，利用图象求解.详细解析 （1）证明：直线l 的方程可变形为k (x +2)+(1−y )=0 ，由{x +2=0,1−y =0 得{x =−2,y =1,∴ 直线l 过定点(-2,1).（2）当x =0 时，y =1+2k ；当y =0 时，x =−1+2k k，∴A(−1+2k k,0),B(0,1+2k) ，由题意知{−1+2k k＜0,1+2k ＞0,解得k ＞0 ，则S =12×|OA|×|OB|=12×1+2k k ×(1+2k)=12(4k +1k+4)≥12×(2×√4k ⋅1k+4)=4 ，当且仅当4 k =1k ，即k =12 时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x −2y +4=0 . （3）由（2）可知S =12×|OA|×|OB|=12×|1+2k k|×|1+2k|=|2k +12k+2| ，令f(k)=|2k +12k +2| ，则直线l 的条数等价于曲线y =f(k) 与直线y =S(S ＞0) 的交点个数， 画出函数图象，由图可知，当0＜S ＜4 时，直线l 有2条； 当S =4 时，直线l 有3条； 当S ＞4 时，直线l 有4条.解题感悟 （1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.。
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直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( ) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 答案 D 解析 要使Ax＋By＋C＝0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确． 2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案 D
解析 由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去). 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( ) A．－12 B．－2 C．0 D．10 答案 A 解析 由两直线垂直得2m－20＝0，m＝10，将(1，p)代入10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得2＋10＋n＝0，n＝－12. 4．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( ) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 答案 D 解析 ∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋ By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D. 知识点三 直线一般式方程的应用 5.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距是－3； (2)斜率是1.
解 (1)由题意，得 m2－2m－3≠0， ①2m－6m2－2m－3＝－3， ② 由①式，得m≠3且m≠－1. 由②式，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－53.∴m＝－53. (2)由题意，得 2m2＋m－1≠0， ③m2－2m－32m2＋m－1＝－1， ④由③式，得m≠－1且m≠12. 由④式，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝43.∴m＝43. 6．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程； (1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A(1,0)，B(m,1)； (3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
解 (1)设直线l的方程为y＝34x＋b.令x＝0，得y＝b.
令y＝0，得x＝－43b，∴12b·－43b＝6，解得b＝±3. ∴直线l的方程为y＝34x±3， 化为一般式为3x－4y±12＝0. (2)当m≠1时，直线l的方程是y－01－0＝x－1m－1，
即y＝1m－1·(x－1)； 当m＝1时，直线l的方程是x＝1. 综上，所求直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0或x－1＝0. (3)设l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为xa＋yb＝1.
∵直线过(4，－3)，∴4a－3b＝1.
又∵|a|＝|b|，∴ 4a－3b＝1，a＝±b.解得 a＝1，b＝1或 a＝7，b＝－7. 当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－34x. 综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 课堂练习： 7．直线2x＋6y＋1＝0的倾斜角是( ) A．150° B．30° C．60° D．120° 答案 A
解析 直线的斜率k＝－26＝－33，故其倾斜角为150°. 8．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有( ) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 答案 B
解析 直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程x2＋y－5＝1，所以a＝2，b＝－5. 9．两直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
答案 B 解析 化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.
10．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为13，则m、n的值分别为( ) A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3 答案 C
解析 由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－mnx－1n.由－mn＝－43，－1n＝13，得m＝－4，n＝－3. 11．已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3ax－y＋2＝0垂直，则实数a的值是( )
A．0 B．－43
C．0或－43 D．－12或23 答案 C 解析 当a＝0时，两直线分别为2x－1＝0，－y＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a≠0时，
两直线的斜率分别为－a＋22a，3a，所以－a＋22a·3a＝－1，解得a＝－43.故选C. 二、填空题 12．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________．
答案 43解析 由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，则直线l，m与y轴
围成的三角形的面积为12×4×23＝43.
13．如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是________． 答案 (－1,2)解析 解法一：取k＝－3，方程为7y－14＝0，y＝2；取k＝0.5，方程为3.5x＋3.5＝0，x＝－1.所以点A的坐标是(－1,2)；将点A的坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过点A. 解法二：将k当作未知数，则方程可写成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0.因为对于任意k值，等式成立，所以x－2y＋5＝0,3x＋y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，所以点A的坐标是(－1,2)． 14．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
答案 3x＋4y±24＝0解析 设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0得x＝－m3；令x＝0得y
＝－m4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴12×－m3×－m4＝24， ∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0. 三、解答题 15．求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
解 (1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－38x＋18，
所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－38， 则所求直线的斜率k＝2×－38＝－34. 又直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线的方程为y＋3＝－34(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (2)设直线与x轴的交点为(a,0)， 因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋a2＋42＋|a|＝12，解得a＝±3，
所以所求直线的方程为x3＋y4＝1或x－3＋y4＝1， 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 16．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需2m＝m＋13≠4－2. 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a＋21－a，k2＝－a－12a＋3. 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1， 即－a＋21－a·－a－12a＋3＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 对称问题 点关于点对称 17.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 答案 B 解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)． 18．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( ) A．4 B.13 C.15 D.17
答案 D 解析 由题意知 1＝x－22，y＝5－32，解得 x＝4，y＝1.∴d＝42＋12＝17. 点关于线对称 19．点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是( ) A．(5,2) B．(2，－5) C．(－5，－2) D．(－2，－5) 答案 C解析 解法一：设P(2,5)和Q(m，n)关于直线y＝－x对称，则PQ的中点
Rm＋22，n＋52在直线y＝－x上，且kPQ×(－1)＝－1.
∴ m＋22＋n＋52＝0，n－5m－2×－1＝－1，解得 m＝－5，n＝－2.∴对称点Q的坐标是(－5，－2)． 20.求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标． 解 解法一：设点P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组