宁夏银川一中高考数学四模试卷理(含解析)【含答案】

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宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考理科数学试题(解析版)

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

宁夏银川市2019-2020学年高考数学四模试卷含解析

宁夏银川市2019-2020学年高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2,0()0x x f x x -⎧⎪=>„，若()02f x <，则0x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞【答案】B 【解析】【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>„，由()02f x <得00220x x -⎧<⎪⎨⎪⎩„或02x <>⎪⎩ 解得010-<x „. 故选:B. 【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----，max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---，令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 3．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】D 【解析】【分析】先将函数()cos 2321f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q ()cos 2321f x x x =++可得13()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确；对于B ，由1sin 21x π⎛⎫-≤+≤，可得1()3f x -≤≤，故B 正确；对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈，当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误；故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-r u r u u r，且a =r λ=（）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－1【答案】D 【解析】【分析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数λ的值. 【详解】由于a =r 23a =r ，即()2123e e λ-=u r u u r ，2222112222cos6013e e e e λλλλ-⋅+=-⋅+=o u r u r u u r u u r ，即220λλ--=，解得2λ=或1λ=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.5．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．8【答案】C 【解析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))2212y x x =-=---，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.6．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.7．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 9．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（）A B ．1C ．2D 【答案】A 【解析】【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ．【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，10．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ．【详解】据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．11．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++，易知()f x 在R 上为增函数.故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 12．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（） A ．93 B ．123 C ．163 D ．183【答案】B 【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

宁夏回族自治区银川一中2020届高三第四次模拟考试数学(理)试题

20．已知函数，在处的切线与直线垂直，函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．
21．已知椭圆方程为．
（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；
（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．
22．在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是 .
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设点 .若直与曲线相交于两点 ,求的值.
23．已知 .
（1）求使得的的取值集合；
5．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（）
A．3B．4C．5D．6
6．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
A．23B．21C．35D．32
A．24B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知函数为奇函数，若，则．
14．已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．
15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是____________.
评卷人
得分
三、双空题
16．设数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数，①求 _______；②则 ___________.

【数学】宁夏银川一中2019届高三第四次模拟考试题数学(理)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第四次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则A B =I A ．{}1,1- B ．{}1,0,1- C ．{}1 D ．{}0,1 2. 复数满足(13)|13|z i i +=+，则等于 A ．13i -B ．1C ．1322i -D ．3122i -3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<= A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -= A ．2 B ．4 C ．6 D ．85. 某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为 A ．20，2 B ．24，4 C ．25，2 D ．25，46．已知向量(1,1)m λ=+r ，(2,2)n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r，则λ=A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．643π B ．8316+3ππ C ．28π D ． 216+3ππ 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为 A ．4 B ．5 C ．6D ．79．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，2PB PC PA O ++=u u u r u u u r u u u r u r，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是 A ．14 B ．13 C ．23 D ．1210．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，222()x f x x e-=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为 A ．310x y ++= B ． 10x y +-=C ．460x y -+=D ．420x y ++=11．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的周期为πB ．函数()y f x π=-为偶函数C ．函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 12．菱形ABCD 的边长为2，现将ACD ∆沿对角线AC 折起使平面⊥ACD 平面ACB ，求此时所成空间四面体体积的最大值 A 163 B 53 C ．1 D 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年宁夏银川一中高考数学四模试卷(理科)

已知函数＝为奇函数，若＝，则＝________．
若，满足则＝的最大值为________．
某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是________．
设数列满足＝，＝，且＝，若表示不超过的最大整数，
（1）求＝________；
（2）则 ________．
如图，考虑点，，，（，），从这个图出发．
（1）推导公式：＝；
（2）利用（1）的结果证明：，并计算的值．
为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为，鱼苗乙、丙的自然成活率均为，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
5.按照程序框图（如图所示）执行，第个输出的数是（）
A. B. C. D.
6.总体由编号为，，…，，的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表（如右表）第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（）
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利元，不成活则亏损元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？

宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学(理)试题

一、单选题1. 已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，且，则（）A ．5B ．4C ．3D ．02. 某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：A ．2.438B ．19.9C ．22.3D ．24.33. 直线被圆截得的弦长为2，则半径（）A．B．C ．2D．4. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB ），是基准声压为，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（）A ．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.B ．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C ．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.D ．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.5. 如图，在中，，则（）A．B．C．D．6. 如图，在长方体中，若E ，F ，G ，H 分别是棱，，，上的动点，且，则必有（）A．B．宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（理）试题宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（理）试题二、多选题三、填空题C ．平面平面EFGH D ．平面平面EFGH 7. 已知向量，，，，，则（）A．B ．2C ．4D．8. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）A ．0B ．1C．D．9.如图，若为正六棱台，，，则下列说法正确的是（）A．B ．平面C ．平面D．侧棱与底面所成的角为10. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（）A．B．C．D．11. 已知定义域为R的偶函数有4个零点，，，，并且当时，，则下列说法中正确的是（）A ．实数a的取值范围是B．当时，C．D ．的取值范围是12. 由相关变量x ，y 之间的一组数据，得到y 关于x 的线性回归方程为，且，去除两个歧义点和后，得到y 关于x 的新线性回归方程的回归系数为1.5，则去除这两个除歧义点后，（）A ．的平均值变大B．的平均值不变C．新线性回归方程为D ．当x 增加1个单位时，y 增加1.5个单位13.函数的零点所在区间为，则的值为__________.14. 已知，，则行列式的值等于________.四、解答题15.已知函数，若，则________.16. 已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.(1)若与垂直，求的大小；(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.17. 设函数，.(1)当时，证明：在上无极值；(2)设，，证明：在上只有一个极大值点.18.已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果对任意，恒成立，求的取值范围.19.如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，M ，N 分别是的中点.且，平面平面.（1）证明：平面；（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.20.如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率．（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21. 问题：已知，数列的前n 项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。

2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)

因为与的等比中项是，
所以与的等比中项是 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等比数列通项的求法，考查等比中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】A
【解析】由于函数，因为，所以只需将函数的图象向右平移于A，垂直于同一直线的两条直线，位置关系可能是平行、相交或者异面，例如下图中均和垂直，但，因此选项A不正确；
对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的，例如下图中，因此选项B不正确；
对于C，如下图，平面平面，直线平面，直线平面，而与异面，因此选项C不正确；
二、填空题
13．已知函数为奇函数，若，则．
【答案】1
【详解】
双曲线的渐近线为
由渐近线与圆相切
所以可得
两边平方：，又
所以，则
所以，
由，所以
故选：B
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，还考查了双曲线的渐近线，关键在于利用几何法得到关系式子，细心计算，注意角度变换，属基础题.
11．若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（）
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．若集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出集合，再求 .
【详解】
由得或 .
所以，又
所以
故选：C
【点睛】
本题考查解二次方程和集合的交集，属于基础题.

宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(理)参考答案

数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：1n =时，113a S λ==+2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S λλ---=-=+-+=⋅因为{}n a 是等比数列，1a 适合n a ，所以0323λ+=⨯，1λ=-，选B .5.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C6.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.7.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．8.解析：因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，所以点M 的坐标为()323±，，所以△MOF 的面积为11123322MOF y ⋅=⨯⨯=，选A ．9.解析：由已知得：()0f x =时有两个实数根，只有()f x a =-有三个实数根，由图可知：a 的取值范围是104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，选B.10.解析：如图设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是132232⨯⨯⨯=，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=-，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，选B ．11.解析：由题意可得，如图，平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1AD EF ，2EF =，122AD =，等腰梯形1AD EF 的高为2，所以132+2292==2EFAD S 四边形（）.选D . 12.解析:由题意可知1212224PF PF F A F A OA a -=-===，2OA =,延长2F B 交1PF M 于PI 是角平分线，2PI F B ⊥,所以三角形△2PMF 为等腰三角形，2PM PF =,所以B 为2MF 的中点，12124PF PF MF a -===，所以1122OB MF ==，所以1OB OA =，选A . 二、填空题13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 14.解析：由1323n n n a a a +=+，得11123n n a a +=+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+，所以 715a =.15.解析：直接法，1女3男，又分为含女医生甲和不含女医生甲两种情况：有31342524C C C +=，2女2男，有2212252422C C C C +=，3女1男，144C =，根据分类计数原理可得，共有22+244=50+16.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以21323242b b b -≤-≥≤，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以178b ≥三、解答题（一）必考题17.解：（1）由21cos ADC ∠=27sin ADC ∠ 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ 273211212==………6分（2）在△ABD 中，sin sin AB ADADB B =∠，所以21AD =在△ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠21214221213=+-= 所以13AC18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ，故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥，又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ，因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解：连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，因为AG ∥平面BMD ，且平面BMD ∩平面ACG MN =，所以AG ∥MN ，所以12CM CN MG NA ==，所以2MG =，所以3CG =，由（1）知；AC CB ⊥，CG ⊥平面ABC ，故以向量CA u u u r ，CB u u u r，CG u u u r 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()A ，()0,4,0B ,()0,0,1M,()2,3H -,所以()AB =-u u u r，()2,3AH =--u u u u r，()0,4,1BM =-u u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面AHB 的一个法向量，则23040n AH y z n AB y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r可取)n =r，设直线BM 与平面AHB 所成角为θ，所以||,sin |cos |BM n BM n BM n θ⋅=〈〉==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为………12分 19. 解析：（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，、，，则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，，因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分① 、③联立得22122249493434k k x x k k -+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k-+-⋅=⨯=+++，254k k ==，所以直线l的方程为1)2y x =±-.………12分 20. 解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∵()()()()5131000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===∴相关系数()()5ii xx y y r --0.95==≈． ∵0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=（元）， ()1020000.250P Y ===，当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=（元）， ()4060000.850P Y ===，故Y 的分布列为∴20000.260000.85200EY =⨯+⨯=（元）．③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=（元），()1010000.250P Y ===，当5070X ≤≤时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=（元），()3550000.750P Y ===，当3050X <<时，3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=（元）， ()590000.150P Y ===，故Y 的分布列为∴10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=（元）．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．21. 解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立，故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减，故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =，故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =，又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()121228f x f x a x x a -<--，即证224e 028222aaa a a --<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证2222e8a aa --<-，即证222222e 842222a a a a a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，对任意4a <恒成立，构造函数()()2e 2x F x x x =-++，0x ≤，令()()()1e 1x g x F x x '==-+，则()e 0x g x x '=⋅≤，故()g x 在(],0-∞上单调递减，又()00g =，故()()0g x F x '=≥，故()F x 在(],0-∞上单调递增，又()00F =，故()0F x ≤，即()2e 20x x x -++≤对任意0x ≤恒成立，即2e 2x xx+>-对任意0x <恒成立，特别地，取202ax =-<，则有22222e 222a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2021届宁夏银川一中高三四模数学(理)试题解析

2021届宁夏银川一中高三四模数学（理）试题一、单选题1．集合1(,)|2xP x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2(,)2Q x y y x ==-+∣，则集合P ∩Q 的真子集个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D思路：画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和22y x =-+的函数图象，根据交点个数可判断.解：画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和22y x =-+的函数图象，由图可知两函数有两个交点，则集合P ∩Q 中有2个元素，则集合P ∩Q 的真子集有2213-=个. 故选：D.2．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C思路：求出z ，即可得出z ，求出虚部. 解：()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.3．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，满足4325a a =+，则9S =（） A ．35 B ．40C ．45D ．50答案：C思路：根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：∵4325a a =+， ∴()55225a d a d -=-+， ∴55a =， ∴()199********a a S a +===⨯=，故选：C ．4．设直线l 1：2x ﹣my ＝1，l 2：（m ﹣1）x ﹣y ＝1，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A思路：根据直线平行求得m 的值，即可判断. 解：若12l l //，则2111mm -=≠--，解得1m =-或2， “2m =”是“1m =-或2”的充分不必要条件，∴“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件.故选：A.5．已知(1,3)a =，||3b =，|2|42a b +=，记a 与b 夹角为θ，则cos 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（）A ．79-B ．C ．79D 答案：D思路：由|2|42a b +=平方可求得2a b ⋅=-，即可求得cos ,sin θθ，进而可化简求出. 解：(1,3).2a a =∴=，|2|42a b +=，222|2|4432a b a a b b +=+=∴⋅+，即444932a b +⋅+⨯=，则2a b ⋅=-21cos 233a b a bθ⋅-∴===-⨯⋅，则222sin 1cos 3θθ=-= 则22142cos 2sin 22sin cos 22339πθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-=-⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.6．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）A ．12B ．38C ．13D ．23答案：B思路：根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.解：依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为38P =．故选：B7．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin ）研究出了著名的Maclaurin 级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：2341ln(1)(1)234nn x x x x x x n-+=-+-++-+，试根据此公式估计下面代数式122424(2)2(1)(5)353nn n n-+-++-+≥的近似值为（）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23） A ．3.23 B ．2.881C ．1.881D ．1.23答案：B思路：利用赋值法求得所求表达式的值.解：依题意2341ln(1)(1)234nn x x x x x x n-+=-+-++-+，令2x =，则()()()122224428ln 122123456nn n-+=-+-+-++-⋅+，()()()1222424ln 12221353nn n-++=++-++-⋅+，()ln 122ln 2.4142 2.881++≈+=.故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3π8B ．π4C ．5π24D ．7π24答案：D思路：首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积的14，下方挖去半个球，根据尺寸计算即可.解：观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即14，下方挖去半个球，故几何体的体积为：22311114172224223224V ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D.点评：方法点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整. 9．若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）答案：D思路：f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()'f x >0在(1,+∞)上有解.因此结合()'f x 的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 解：f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()'f x >0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =, 故()'f x 在(1,+∞)上递减, 所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.点评：本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.10．设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．（0，1]∪[3，+∞）C ．（0，1]∪[9，+∞）D ．[9，+∞）答案：C思路：可得当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解. 解：若椭圆焦点在x 轴上，即03m <<时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即3m >时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥，则tan tan 603AMO ∠=≥=9m ≥；综上，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ 故选：C.点评：关键点睛：解决本题的关键是判断出当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠=，则此时120AMB ∠≥，则60AMO ∠≥. 11．关于函数f （x ）＝|cos x |+cos|2x |有下列四个结论： ①f （x ）的值域为[﹣1，2]； ②f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ③f （x ）的图象关于直线x ＝34π对称； ④f （x ）的最小正周期为π.上述结论中，不正确命题的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：A思路：化简可得2()2cos cos 1f x x x =+-，令cos t x =，结合221y t t =+-的性质依次讨论即可.解：22()|cos |cos |2|cos 2cos 12cos cos 1f x x x x x x x =+=+-=+-，令cos t x =，则[]0,1t ∈，221y t t =+-在[]0,1单调递增，min max 1,2y y ∴=-=，所以()f x 的值域为[]1,2-，故①正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos cos y x x ==单调递减，令cos t x =，则[]0,1t ∈，221y t t =+-在[]0,1单调递增，()f x ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确； ()|cos |cos |2|1222f πππ=+⨯=-，()|cos |cos |2|2f πππ=+=，即()2f f ππ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的图象不关于直线34x π=对称，故③错误； 2()2cos cos 1f x x x =+-，且cos y x =的最小正周期为π，()f x ∴的最小正周期为π，故④正确.故不正确的命题有1个. 故选：A.点评：关键点睛：解决本题的关键是将函数化简为2()2cos cos 1f x x x =+-.12．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数是（）A ．2B ．3C ．3或4D ．3或4或5答案：B思路：设12x x <，可得()1f x x =或()2f x x =，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出. 解：函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，则()232f x x ax b '=++，且12,x x 是方程2320x ax b ++=的两个根，不妨设12x x <，由23(())2()0f x af x b ++=可得()1f x x =或()2f x x =，易得当()()12,,,x x x ∈-∞+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()11f x x =，则可画出()f x 的大致图象如下：如图所示，满足()1f x x =或()2f x x =有3个交点，即关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根有3个. 故选：B.点评：关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足()1f x x =或()2f x x =的图象交点个数.二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件3043030x y x y x y --⎧⎪-+≥⎨⎪+-⎩，则2z x y =-的最大值为_____．答案：8思路：根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析画出直线x ﹣2y =0，通过平移直线求出目标函数的最大值.解：解：不等式组表示的区域如图所示，由2z x y =-得1122y x z =-，作出直线12y x =，向下平移直线12y x =经过点A 时，截距最小而z 最大，由30430x y x y --=⎧⎨-+=⎩得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以(2,5)A --，所以2z x y =-的最大值为22(5)8--⨯-= 故答案为：8点评：此题考查了线性规划的应用，利用了数形结合，通过图像平移求出目标函数的最值，属于基础题.14．由y ＝﹣x 2+2x +1，y ＝x ，x ＝1，x ＝0围成封闭图形的面积为___. 答案：76思路：画出图象，利用定积分计算出面积. 解：画出图象如下图所示，则封闭图形的面积为()()3211221000211|32x x x x x dx x x dx x ⎛⎫-++-=-++=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1171326=-++=.故答案为：7615．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝___. 答案：4思路：结合双曲线的定义以及三角形的中位线，求得MO .解：延长2F M 交1PF 于Q ，由于PM 是12F PF ∠的角平分线，2F M PM ⊥，所以三角形2QPF 是等腰三角形，所以2PQ PF =，且M 是2QF 的中点. 根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即12QF a =，由于O 是12F F 的中点，所以MO 是三角形12QF F 的中位线，所以1142MO QF a ===. 故答案为：416．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n 的式子表示）答案：12n -（19n ≤≤，n 为奇数）思路：可得n 为奇数时24n n a a -=，即数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.解：当n 为奇数时，1n -为偶数，2n -为奇数，则()1222222124n n n n a a a a ---=+=-+=，故数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，1112142n n n a +--∴=⨯=（19n ≤≤，n 为奇数），故解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为12n -（19n ≤≤，n 为奇数）. 故答案为：12n -（19n ≤≤，n 为奇数）.点评：关键点睛：解决本题的关键是判断出数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列. 三、解答题17．已知函数21()sin sin cos 6122f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22B f b ⎛⎫== ⎪⎝⎭a cos B ﹣b cos C 的取值范围.答案：（1）3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 思路：（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数()f x 的单调递减区间即可；（2）先根据2B f ⎛⎫=⎪⎝⎭求得3B π=，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将cos cos a B b C -化简为cos 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭，最后结合角A 的范围求解即可. 解：解：（1）由题意21()sin sin cos 6122f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos cos 22226x x x x π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)1cos 211sin 22sin 2444x x x x -=++1sin 22x =+令322222k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，解得344k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递减区间为3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）由（1）知1sin 22B f B ⎛⎫==⎪⎝⎭，解得sin B =，因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=．由正弦定理可知2sin sin sin a c bA C B====，则2sin a A =，2sin c C =，所以cos cos sin 23a a B b C C A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭3sin sin sin 32A A A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭1sin cos 26A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在锐角ABC 中，易知230202A C A C πππ⎧+=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得62A ππ<<，因此2363A πππ<+<，则11cos ,622A π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故cos cos a B b C -的取值范围为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭．点评：关键点点睛：本题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，在第（2）题中关键是利用正弦定理将所求式转化为cos 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合题中条件求出A 的范围，从而得解.18．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得一150分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（2）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理. 答案：（1）78；（2）分布列见解析，道理见解析. 思路：（1）根据对立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，根据()E X 分析道理.解：（1）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是317128⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）X 的可能取值为10,20,50,150-，()313131028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()323132028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()333115028P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()3031115028P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X 10 20 50 -150P383818 18()()33115102050150088884E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=-<，所以玩的盘数越多，分数没有增加反而减少接近54-.19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，M 是棱PB 中点.（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN ＝λDC ，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.答案：（1）证明见解析；（2）23思路：（1）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PCD 的法向量(2,1,1)n =-，根据0AM n ⋅=可得；（2）表示出MN ，求得平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，由sin cos ,MN m MN m MN mθ⋅=<>=⋅即可求得最大值.解：（1）PA ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝90°，则可以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C D P M ，(0,1,1),(1,0,2),(1,2,0)AM PD CD ∴==-=--，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z x y -=⎧⎨--=⎩，令2x =，则1,1y z =-=，即(2,1,1)n =-，0AM n ⋅=，AM n ∴⊥，且AM ⊄平面PCD ，∴//AM 平面PCD ；（2）可得()(1,2,0),2,0DN DC λλλλ===，(1,0,0)(,2,0)(1,2,0)AN AD DN λλλλ=+=+=+，()(1,2,0)(0,1,1)1,21,1MN AN AM λλλλ=-=+-=+--，易得平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设直线MN 与平面PAB 所成的角为θ，则2211sin cos ,52313710155MN m MN m MN mλθλλλ⋅+=<>===⋅-+⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，则当1315λ=+时，即23λ=时，sin θ最大，所以当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时23λ=.点评：思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20．已知函数()(ln 1),f x x x m m R =--∈.（1）若m ＝2，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（2）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）0x y e ++=；（2）281m e>-思路：（1）求出函数在x e =处导数，即切线斜率，求出()f e ，即可求得切线方程；（2）不等式可转化为(4)ln 1x x m x -+>对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，构造函数(4)ln ()x x g x x-=，求出导数，再构造函数()24ln 4,,x x x e e h x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，通过导数可得()0h x >，从而得出()g x 单调递增，求得()g x 最大值即可.解：（1）若2m =，则()(ln 3)f x x x =-，则()ln 2f x x '=-，则()ln 21f e e '=-=-，即切线斜率为1-，又()()ln 32f e e e e =-=-，则切线方程为()2y e x e +=--，即0x y e ++=；（2）由()4ln f x x <可得()ln 14ln 0x x m x ---<，即(4)ln 1x x m x -+>对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，则24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,,x x x e e h x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，则4()10h x x'=+>，所以()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递增，则()()0h x h e e ≥=>，则()0g x '>，所以()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦单调递增，()2max 28()2g x g e e =-∴=，所以2812m e +>-，即281m e >-.点评：关键点睛：解决本题的关键是分离参数并两次构造函数讨论单调性，从而求得函数的最大值. 21．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：（x ﹣2）2+y 2＝1外切，且圆P 与直线x ＝﹣1相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）设过定点S （﹣2，0）的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与A ，B 两点相异），当直线MA ，MB 的斜率存在时，直线MA ，MB 的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）28y x =；（2）点(2.4)M 或()2,4M -思路：（1）设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r1r =+以及1r x =+，联立消去r 即求出曲线C 的轨迹方程；（2）假设存在曲线C 上点()00,M x y 满足条件，设()()1122,,,A x y B x y ，可得MA MB k k +()()12021201282y y y m y y y y y y ++==+++，再联立直线:2l x ty =-与曲线C 的轨迹方程即可得到1212,y y y y +，代入上式即可得到()()200086416160my t my y m -+-+=，所以020864016160my my y m -=⎧⎨-+=⎩，方程组的解即为所求的点M 的坐标．解：（1）设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆22:(2)1Q x y -+=外切,所以1r =+①，又动圆P 与直线1x =-相切.所以1r x =+②，联立①②消去x ，可得28y x =．所以曲线C 的轨迹方程为28y x =.（2）假设存在曲线C 上点()00,M x y 满足条件，设()()1122,,,A x y B x y ,则2220011228,8,8y x y x y x ===，1020MB 1010202088,MA y y y y k k x x y y x x y y --====-+-+,所以102088MA MB k k y y y y +=+++()()120201201282y y y y y y y y y ++=+++③显然动直线l 的斜率存在且不等于零，设:2l x ty =-，所以由282y xx ty ⎧=⎨=-⎩，消去x ，得28160y ty -+=，由0∆>得1t >或1t <-，所以12128,16y y t y y +==, 且12y y ≠，代入③得()020*******MA MB t y k k y ty ++=++，令()0200882816t y m y ty +=++，m 为常数，整理得()()200086416160my t my y m -+-+=④因为④式对任意(,1)(1,)t ∈-∞-+∞恒成立. 所以0200864016160my my y m -=⎧⎨-+=⎩，所以024m y =⎧⎨=⎩ 或024m y =-⎧⎨=-⎩,即(2,4)M 或()2,4M -即曲线C 上存在点(2.4)M 或()2,4M -满足题意.点评：本题第一问求轨迹方程，直接法即可求出，第二问解题关键是根据曲线C 的形式，设:2l x ty =-，联立后得到1212,y y y y +的关系，设MA MB k k m +=进而整理成关于t 的方程，根据方程恒成立，得到方程组，即可求得点M 的坐标．22．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为2cos 12sin x a y a⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的倾斜角. 答案：（1）4sin()3πρθ=+；（2）直线l 的倾斜角为90ϕ=︒或150ϕ=︒．思路：（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）圆C 的参数方程为2cos (12sin x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为普通方程为：22((1)4x y +-=，即2220x y y +--=，进一步利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得到圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+；（2）设直线l 的方程为：(tan ,)2y kx k πϕϕ==≠或0()2x πϕ==，由圆C的圆心C ，2r，又弦长为2，∴圆心C 到l的距离d =，解得k =，所以直线的倾斜角为150︒，当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，故直线的倾斜角为90︒．l ∴的倾斜角90ϕ=︒或150ϕ=︒．点评：易错点睛：本题的第2问容易漏掉90ϕ=︒.解析几何中，涉及直线的方程问题时，要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论. 23．已知()11f x x a x =--+．（1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若不等式()1f x ≤无解，求实数a 的取值范围．答案：（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.思路：（1）用零点分段法去绝对值讨论，分段求解即可.（2）零点分段法去绝对值，根据系数的正负分类讨论，分别求最小值，判断是否大于1，求出参数的范围.解：解：（1）∵1a =，∴解不等式()1f x ≤就是解不等式111x x --+≤．当1x <-时，原不等式可化为111x x -++≤，∴x ∈∅．当11x -≤≤时，原不等式可化为111x x ---≤，∴112x -≤≤．当1x >时，原不等式可化为111x x ---≤，∴1x >．所以，原不等式解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）()11f x x a x =--+，∴(1)1,1,()(1)1,11,(1)1, 1.a x a x f x a x a x a x a x -++<-⎧⎪=---+-≤≤⎨⎪--->⎩当1a ≤-时，min ()(1)21f x f =-=>，∴原不等式无解成立．当11a -<<时，min ()(1)2f x f a ==-，要原不等式无解，∴21a ->，12a <-， ∴112a -<<-．当1a ≥时，(0)10f a =-≤，∴原不等式一定有解．综上，实数a的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．点评：思路点睛：解绝对值不等式，常用零点分段法，逐一去绝对值，分段求解，然后求并集.。

宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学(理)试题(含解析)

宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．137．已知()1,1A ，(5,1B ABCD 内随机取一点，则该点横坐标与纵坐标之和小于A ．12A ．43a ＋23b C ．23a 43-b10．已知函数()sin f x A =π55(1)当BF 多长时，AE CG ⊥，证明你的结论：(2)当AE CG ⊥时，求平面AEH 13．抛物线C ：()220y px p =>（不与O 重合）是抛物线C 上两个动点，且(1)求抛物线C 的标准方程；参考答案：其中PA ⊥平面ABC ，AB 1133P ABC ABC V S PA -∴=⋅= 棱锥表面积3ABC S S S =+ 四边形ABCD 构成的区域为设事件M 表示取的点横坐标与纵坐标之和小于其面积为193322M S =⨯⨯=故选：D.由题意可知底面ABCD 为正方形，则因为//BD 平面AEH ，//FG BD 又FG ⊂平面EFGH ，平面AEH 所以//FG EH .又2AB GH =，所以H 为GM 的中点，所以由（1）得()()(2,0,0,2,1,2,1,0,A E H 设平面AEH 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,0,1,22,,1,0,2m AE x y z y z m AH x y z x ⎧⋅=⋅=+⎪⎨⋅=⋅-=-+⎪⎩令1z =，则2,2x y ==-，由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由214y x k y x⎧=-⎪⎨⎪=，解得(24,4B k -。

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2015年宁夏银川一中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A． B． C． D．或5．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A． B． C． D．6．已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a 的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（）A．a2 B．a2 C． 3a2 D．a27．执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A． 12 B． 10 C． 8 D． 68．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A． B． C． D． 29．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A． 1 B． C． D．10．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A． [﹣1，0] B． [﹣1，∞] C． [0，3] D． [3，+∞]11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A． B． C． D．12．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A． sina=acosb B． sina=﹣acosb C． cosa=bsinb D． sinb=﹣bsina二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．dx= ．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x ﹣2）≥0的解集是．15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，令a n=f（），则a1+a2+a3+…+a2014= ．16．给出下列四个命题：①圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交；②总体的概率密度函数f（x）=e，x∈R的图象关于直线x=3对称；f （x）的最大值为．③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（，0）成中心对称．其中所有正确命题的序号为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．18．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．21．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．2015年宁夏银川一中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A． {1，3，4} B． {3，4} C． {3} D． {4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：∵1+i=，∴z===在复平面内，复数z所对应的点在第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出⊥的充要条件是x=±，从而得到答案．解答：解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x2=0⇒x=±，故x=±是⊥的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A． B． C． D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．解答：解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴a2﹣a1==﹣2，又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，∴==故选：B点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．5．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．解答：解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．点评：本题考查了古典概型的概率求法；关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式，利用公式解答．6．已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a 的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（）A．a2 B．a2 C． 3a2 D．a2考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用正视图与左视图的高相等，求得左视图的高，再利用俯视图与左视图的宽相等求得左视图三角形的底边长，代入三角形的面积公式计算．解答：解：由主视图是边长为2a的正三角形，得正六棱锥的高为a，∴左视图的高为a，∵俯视图是边长为a的正六边形，可得左视图三角形的底边长为2×a，∴几何体的左视图的面积S=×a×a=a2．故选：A．点评：本题考查了由几何体的正视图与俯视图求左视图的面积，根据正视图与左视图的高相等，俯视图与左视图的宽相等来求解．7．执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A． 12 B． 10 C． 8 D． 6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=208时，不满足条件S＜100，退出循环，输出P的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜100，S=4，k=2满足条件S＜100，S=16，k=3满足条件S＜100，S=48，k=4满足条件S＜100，S=208，k=5不满足条件S＜100，退出循环，得P=10，输出P的值为10．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A． B． C． D． 2考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：压轴题．分析：设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．解答：解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A． 1 B． C． D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作差可行域，由可行域得到使目标函数取得最小值的点，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到关于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．解答：解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得A（2，3）．由图可知，目标函数z=ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．当且仅当2a=3b=1，即时等号成立．故选：C．点评：本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A． [﹣1，0] B． [﹣1，∞] C． [0，3] D． [3，+∞]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．解答：解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A． B． C． D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．12．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（）A． sina=acosb B． sina=﹣acosb C． cosa=bsinb D． sinb=﹣bsina考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：化简方程=k有两不同的解a，b，画出两个函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．然后求出在B处的切线，通过O，A B三点共线，推出结果．解答：解：∵方程=k有两不同的解a，b，∴方程=k有两不同的解a，b，∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两交点，作出两个函数的图象，函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=﹣sinx，f′（x）=﹣cosx，∴在B处的切线为y﹣sinb=f′（b）（x﹣b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=﹣bcosb，∴=﹣cosb，∵O，A B三点共线，∴=，∴=﹣cosb，∴sina=﹣acosb．故选：B．点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，数形结合的应用，函数的切线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．dx= 6 ．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：直接利用定积分的运算法则求解即可．解答：解：dx=3lnx=6．故答案为：6．点评：本题考查定积分的求法，注意求解原函数是解题的关键．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x ﹣2）≥0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），进而可以将其转化为|x﹣2|≥1，解可得答案．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．点评：本题主要抽象函数的应用，涉及利用函数的奇偶性和单调性的运用以及绝对值不等式的解法，解题的关键是依据函数的性质将原不等式转化为|x﹣2|≥1．15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，令a n=f（），则a1+a2+a3+…+a2014= 0 ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；数列的求和．专题：算法和程序框图．分析：先根据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列a n 的各项，注意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+…+a2014的值．解答：解：由图象可知，T=，解得T=π，故有．函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）．a1=sin（2×+）=1a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1a8=sin（2×+）=…观察规律可知a n的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，所以有：a2014=sin（2×+）=﹣1．则a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+=0．故答案为：0．点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式和数列的求和，其中找出各项的取值规律是关键，属于中档题．16．给出下列四个命题：①圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交；②总体的概率密度函数f（x）=e，x∈R的图象关于直线x=3对称；f （x）的最大值为．③已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3；④若函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（，0）成中心对称．其中所有正确命题的序号为①②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列；直线与圆．分析：求出圆心距，并判断与半径和与半径差的关系，可判断①；分析函数函数f（x）=e，x∈R的图象和性质，可判断②；根据等差数列的性质可说明③正确；直接由函数图象的平移说明④错误．解答：解：圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的半径分别为2，3，故半径和为5，半径差为1，圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心距d==∈[1，5]，故圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，故①正确；函数f（x）=e，f（6﹣x）====f（x），故函数f（x）的图象关于直线x=3对称；由的最大值为0，故x=3时，f（x）的最大值为．故②正确；等差数列{a n}若S7＞S5，则2a1+11d＞0，则S9﹣S3=6a1+33d＞0，即S9＞S3，命题③正确；对于④，函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（﹣，0）成中心对称．命题④错误．故正确命题的序号为：①②③故答案为：①②③．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆的位置关系，函数图象和性质，等差数列，考查了函数图象的平移，是中档题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；同角三角函数基本关系的运用．分析：（1）根据二倍角公式和辅角公式先将函数f（x）化简成：f（x）=2sin（ωx+）﹣1+m，再由最小正周期T=（2π）÷ω=3π求出ω，又当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0可以得出m的值，进而得到函数f（x）的表达式．（2）将f（C）=1代入（1）中f（x）的表达式中求出C的值，再化简2sin2B=cosB+cos（A ﹣C）又根据三角形的内角和为π求出sinA的值．解答：解：（Ⅰ）．依题意：函数．所以．，所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．．（Ⅱ）∵，∴．．在Rt△ABC中，∵，∴．∵0＜sinA＜1，∴．点评：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．这里要注意A表示振幅，ω与周期、频率有关，φ表示初相，以及ωx+φ表示相位．18．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：综合题．分析：解法1（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．解答：解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…（2分）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…（4分）∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…（6分）又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…（7分）∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…（9分）取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…（12分）在△GMH中，，∴…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（2分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…（4分）∴，，…（6分）∴，…（7分）∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…（9分）设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…（12分）设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，两法并举，注意体会．19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．解答：解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，从而a=．由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=，直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（），由此入手结合已知条件能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为y=．因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．所以．所以a=．因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…（5分）直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…（6分）设=λ，则=．…（7分）因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0﹣c，y0）=λ（，）．解得，y0=．…（8分）因为点A（x0，y0）在椭圆上，所以+=1．即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），所以=﹣（2﹣e2+）+3≤=3﹣2=（）2．…（10分）所以当2﹣e2=，即e=时，λ取得最大值．故的最大值为．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．定义在R上的函数f（x）满足，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用赋值法，求出f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），得到f （0）=1．然后求解f′（1），即可求出函数的解析式（2）求出函数的导数g′（x）=e x+a，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可．（3）构造，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1≤x≤e时，当1≤x≤e时，推出|p（x）|＜|q（x）|，说明比e x﹣1+a 更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明比e x﹣1+a更靠近lnx．解答：解：（1）f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又，所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2﹣2x．（4分）（2）∵f（x）=e2x﹣2x+x2，∴，∴g′（x）=e x﹣a．（5分）①当a≤0时，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；（6分）②当a＞0时，由g′（x）=e x﹣a=0得x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（8分）（3）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x ∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．①当1≤x≤e时，，设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．②当x＞e时，，设n（x）=2lnx﹣e x﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．（12分）点评：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况．本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得，即可求AD•OC的值解答：（1）证明：连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC，又AB为直径，∴AD⊥DB，∴AD∥OC．（5分）（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，∴Rt△BAD∽Rt△COB，∴，∴AD•OC=AB•OB=8．（10分）点评：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．解答：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）点评：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式．分析：（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．解答：证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）∴a3+b3＞a2b+ab2 成立；（2）∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），∴≥abc．点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．。