极限的两个重要极限公式
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
极限存在准则 两个重要极限
y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y
1
1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn
a xn
a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)
1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn
lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1
1 2 ( xn
a xn
)(
n
1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第四节 两个重要极限
e3
(2) lim(1 3 x) lim[1 ( 3x )]
x 0 x 0 x
1 x
1 ( 3 ) 3 x
lim{[1 (3x)] }3
e3
1 3 x
15
1 4 x 3 例7 求 lim(1 ) x 2x 1 4 x 3 ) 解：lim(1 x 2x 1 4x 1 3 lim(1 ) (1 ) x 2x 2x 1 2x 2 1 3 lim[(1 ) ] lim(1 ) x x 2x 2x
18
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1 1 x lim (1 ) e . x x
12
练习2.求下列极限:
[ A] 1、 (1 3 x ) lim
x 0
1 x
1 x
lim(1 3x) lim[(1 3x) ] e 3
x 0 x 0
1 3x 3
2 2、 (1 ) x lim x x
2 x 2 2 2 lim(1 ) lim{[(1 )] } e 2 x x x x
sin x tan x cos x lim sin x 2、 lim lim x0 x cos x x0 x0 x x sin x 1 1 1 1 lim lim x 0 x x0 cos x
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
两个重要极限课件
解答
解答二
$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1$
解
当$x$趋向于无穷大时，$x^2$趋向于无穷 大，而$1$和$-1$相对于$x^2$来说是微小 的。
解答
解答三
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$是正确的。
解
根据三角函数的性质和极限的运算法则，当 $x$趋向于零时，$sin x$与$x$等价无穷小，
两个重要极限的应 用
在求极限中的应用
第一个重要极限
当x趋向于0时，sin(x)/x的极限是1。 这个极限在求某些复杂函数的极限时 非常有用，例如当x趋向于0时， (1+x)^(1/x)的极限就是e。
第二个重要极限
当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限是e。这个极限在求某些复杂函数 的极限时也非常有用，例如当n趋向 于无穷大时，n*(1-1/n)^n的极限就 是1/e。
学习目标
掌握两个重要极限的公式和证明过程，理解其数学意义。
01
02
能够运用极限理论解决实际问题，培养数的兴趣和热爱，提高数学素养和数学审美能力。
03
01
两个重要极限的介 绍
第一个重要极限
总结词
第一个重要极限是当x趋近于0时，sinx/x的极限值。
详细描述
01
03 02
回顾
01 第一个重要极限：lim x->0+ sin(x)/x = 1
02 =第二e 个重要极限：lim x->0+ (1+x)^(1/x)
03
两个重要极限的证明方法和思路
04
两应个用重和要实极例限在微积分、概率论等领域的
3-4 两个重要的极限
sin 5 x sin 5 x = 5 lim =5 lim x →0 x →0 x 5x
例4 . 求极限:
lim
sin 3 x x →0 sin 2 x
sin 3x sin 3x 3 ⋅ lim ⋅ 3x sin 3 x x →0 3x 3x = 解： lim = lim sin 2 x x →0 sin 2 x x →0 sin 2 x 2 ⋅ lim ⋅ 2x x →0 2x 2x
3 ⋅1 3 = = 2 ⋅1 2
求极限: 例5. 求极限
3 解 : lim x sin x →∞ x3
= lim (
x → ∞
3 lim x sin x→∞ x
3 sin x = 3 lim x →∞ 3 x
sin
3 x
x ⋅3)
= 3 ⋅1 =3
2
1 x lim(1 + ) = e x→ ∞ x
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
sin x sinx ∴lim = 1. x→0 x
注
此结论可推广到
sinϕ( x) lim =1 x→a ϕ( x)
条件是x → a时,ϕ( x) → 0，其中a可为 有限值， 有限值，也可为∞
sinα(x) sin x =1 lim =1(α(x)→0). , lim x→0 x α(x) 例1 求lim tan x . x→0 x 解 lim tan x =lim sin x ⋅ 1 = lim sin x ⋅lim 1 =1. x→0 x x→0 x cosx x→0 x x→0 cosx 例2 求lim 1−cosx . x→0 x2 x x 2 2 2sin sin 1 1−cosx 2 = lim 2 解 lim = lim x→0 x2 x→0 x2 2 x→0 x 2 ( ) 2 x 2 1 sin 2 1 2 1 = lim x = 2⋅1 = 2 . 2 x→0 2
高等数学中的两个重要极限
1 x lim (1 ) ? x x
1000 10000 100000 …
2.717 2.718
-1000 -10000
2.71827
-100000 …
X
x
-10
-100
1 2.868 2.732 (1 ) x
2.720 2.7183
2.71828
1 x lim (1 ) e x x
sin t 所以 , 原式 5lim 5 1 5 t 0 t
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin 5 x sin 5 x lim 5lim 5 1 5 x 0 x 0 5x x
推广： 设 为某过程中的无穷小量 ,
某过程
lim
sin
1
练习1. 求下列极限:
x 0 u0
u0
2 x
2 u
1 u 2
lim[(1 u) ]
[lim(1 u) ]
u0 1 u 2
e 2
方法二 掌握熟练后可不设新变量
lim 1 x lim[(1 x ) ]2
x 0 x 0 1 x 2 2 x
1 x
[lim(1 x )
O x B
C D A
sin x lim 1. ＋ x 0 x
tan x 例 1 求 lim x0 x tan x sin x 1 解 lim lim( ) x 0 x 0 cos x x x sin x 1 lim( ) x 0 x cos x sin x 1 lim lim x 0 x 0 cos x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
第四次课 两个重要极限 无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x ) 0 ， 且 lim
x
f (x) A，
问：能否保证有 A 0的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
例 f (x)
lim
1 x
x 0,
1 x A 0.
有 f (x)
1 x
0
x
f ( x ) lim
x
但 y ( x k ) 2 k sin 2 k 0 M .
不是无穷大．
例
证明 lim
1 x 1
x1
.
y 1 x 1
定义 : 如果 lim
x x0
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
性质：
x
x 0
1 2x
1.6 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1.无穷小量定义
定义1。 若
定义2。 若
n
(极限为零的变量)
lim x n 0 , 则 称 { x n } 为 无 穷 小 量
lim f ( x ) 0 , 则 称 f ( x ) 在 x a 的 过 程 中 为 无 穷 小 量
(3)lim x
2
x 0
0 , 故 当 x 0时 , 3 x 2 是 比 x高 阶 的 无 穷 小 量 ,
2
x 2
x2
1, 故 当 x 2 时 , x 2 与 x 2 是 等 价 无 穷 小 .
即 x x 2, ( x 2 ).
性质(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
两个重要的极限
1
lim sin x 1 x0 x
例 2 求 lim sin 3x . x0 x
解 lim (sin 3x 3)
x0 (3x )
3.
lim sin x 1 x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
,
则
lim
xa
1
1 (x)
(x)
lim
( x)
1
1 (x)
(
x)
Hale Waihona Puke e;或若lim
xa
(
x)
0
a
可以是有限数x0
,
或),
则
1
1
lim[1 (x)](x) lim [1 (x)](x) e.
xa
(x)0
这是两个重要的推广形式.
例6 求 lim(1 2 )x .
x
x
x
解 原式 lim[(1 2)( 2 ) ]( 2 )
x
…
由上表可以看出，当 x 0 时，sin x 1 可以证明
x
这个极限在形式上具有以下特点: (1) 它的极限呈现 0 型, 不能应用求极限商的运算法则;
0
(2) 在分式中同时出现三角函数和 x的幂.
若
lim
xa
(
x)
0
a
可以是在限数x0
,
或
,
则得到
推广的结果 :
sin[ ( x)]
sin[ ( x)]
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极限的两个重要极限公式
极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。
在微积分中，极限是一个基础概念，它被广泛应用于求导、积分和微分方程等数学领域。
在本文中，我们将介绍两个极限公式，它们是极限理论中的重要公式。
一、夹逼定理
夹逼定理是极限理论中的一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
更具体地说，夹逼定理可以用以下公式表示：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]上有定义，且对于该区间内的任意x，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果lim g(x) = lim h(x) = L，那么lim f(x) = L。
这个定理的证明比较简单，我们可以通过使用不等式来证明。
具体来说，我们可以使用以下不等式：
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以当x趋近于某一点时，g(x)和h(x)都会趋近于L。
因此，我们可以把上述不等式两侧同时取极限，得到：
lim g(x) ≤ lim f(x) ≤ lim h(x)
由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以
L ≤ lim f(x) ≤ L
这意味着当x趋近于某一点时，f(x)的极限将趋近于L。
因此，
我们可以得出结论：当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
二、洛必达法则
洛必达法则是极限理论中的另一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。
更具体地说，洛必达法则可以用以下公式表示：设函数f(x)和g(x)在某一点x0的某个去心邻域内有定义，且在该点上f(x0) = g(x0) = 0。
如果lim f'(x)/g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)在点x处的导数），那么lim f(x)/g(x)也存在，且lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。
洛必达法则的证明比较复杂，需要使用一些微积分知识。
具体来说，我们可以通过对函数f(x)和g(x)在点x0处进行泰勒展开，然后对展开后的式子进行求导，最后再取极限来证明该法则。
由于篇幅有限，这里不再详细介绍证明过程。
需要注意的是，洛必达法则只适用于某些特定情况下。
具体来说，该法则只适用于以下两种情况：
1. 当g(x)在点x0的某个去心邻域内不为0时，洛必达法则不适用。
2. 当lim f'(x)/g'(x)不存在时，洛必达法则不适用。
总结：
极限理论是微积分中的一个基础概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。
夹逼定理和洛必达法则是极限理论中的两个重要公
式，它们分别描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限，以及当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。
这两个公式在微积分的学习中非常重要，希望读者能够掌握它们的应用。