极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
极限的定义与计算
极限的定义与计算在数学中，极限是一种重要的概念，它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将讨论极限的定义和计算方法，以及应用极限的一些例子。
一、极限的定义在数学中，极限用来描述函数在某个点附近的行为。
通常情况下，我们用“lim”符号表示极限。
对于一个函数f(x)，当自变量x逼近某个特定的值a时，函数f(x)的极限可以用以下定义来表达：lim (x→a) f(x) = L这里，lim表示取极限的操作，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x点处的取值，L表示极限的结果。
二、极限的计算计算极限的方法有很多种，下面我们介绍几种常见的方法。
1. 代入法当给定函数的极限时，最简单的方法就是直接将x的值代入函数中，然后计算函数的值。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x趋向于2时，我们可以通过代入来计算极限：lim (x→2) x^2 = 2^2 = 42. 因式分解法当函数存在因式分解的形式时，我们可以尝试进行因式分解，然后利用分解后的形式来计算极限。
例如，对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1)，当x趋向于1时，我们可以进行因式分解：f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1) = x+2然后将因式分解后的形式代入极限的定义，计算极限：lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x+2) = 33. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，它基于一个重要的性质：如果一个函数f(x)在某个点附近被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，并且这两个函数的极限相等，那么函数f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例如，对于函数f(x) = sin(x)/x，当x趋向于0时，我们可以使用夹逼定理计算极限：-1 ≤ sin(x)/x ≤ 1由于-l ≤ sin(x)/x ≤ 1，根据夹逼定理，我们可以得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = 1三、极限的应用极限在数学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的例子。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
极限思想与极限求解方法
极限思想与极限求解方法摘要】极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.极限是高等数学中最根本的、最重要的概念，极限思想贯穿方法进行汇总.【关键词】无穷；极限；微积分；函数一、无穷小和悖论古希腊有一个哲学家叫芝诺，他提出了“两段法〞来否认人能从一个点到达另一点，理由是正在行走的人从A地出发走到B地，首先他必须通过标有中心的C点，这刚好是AB的中心点.然后，他又得经过路程的34的D点，这是BC的中心点.接着，从D点出发，在到B之前他仍要经过一个中心点，即路程78的E点.从E点出发，他仍然得经过EB的中心点F……由此类推下去，无论距离路程终点B有多么接近，他都得先经过剩下路的中心点.但是，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距離，也总还有一个地方是这段距离的中心点，正因为中心点是走不完的，所以行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点.他还提出了“阿里斯基和乌龟赛跑〞悖论.阿里斯基是古希腊的半神英雄，是古希腊的第一勇士，以善跑著称.芝诺指出：让阿里斯基和乌龟赛跑，乌龟在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是乌龟速度的100倍，当比赛开始后，假设阿里斯基跑了1000米，用了t时间，此时，乌龟又已经跑了10米，当阿里斯基跑完下一个10米时，用的时间为t100，此时，乌龟仍然领先领先他，以此类推，阿里斯基只能无限接近而不能追上乌龟.这本来是荒谬的，但芝诺提出的理由又是那样的正当，以至于长久以来没有人能驳倒他.纵观历史，数学家和哲学家们也一直对无穷这一概念纠缠不清，希腊人也一次一次表现出对无穷及无穷小数的恐惧.特别是在微积分的定义中更是如此.【1】二、极限与微积分极限思想是近代数学的一种重要思想，是社会实践的产物.数学分析就是以极限为根底、极限理论为工具来研究函数性质的.在我国古代，数学家刘徽于公元263年建立了“割圆术〞，就是借助于在圆内的一串内接正多边形的周长数列来定义圆的周长【2】.同样在古代其他国家，很多哲学家和数学家也在实践过程中应用了极限思想.进入17世纪，数学家对曲线的长度问题、面积问题、几何体的体积问题的解决产生了需求，虽然当时对阿基米德的穷竭法已熟悉，但是对于希腊严格的标准失去耐心，一种粗糙的计算方法开始使用.如开普勒在计算求圆的面积时，把圆看成无数个小三角形，这种情况下圆周上的短弧成了三角形的底，半径是三角形的高，但实际上需要做到这一点时三角形要缩成一条线才可以，所以当时的方法粗糙不严谨.到17世纪中叶，牛顿提出使用时间无穷小瞬为计算根底的流数，从而发现并应用了微积分根本定理，?流数简论?标志着微积分算法的诞生，但是这个无限小增量“瞬〞被看成了静止的无穷小量，当略去带0的项时相当于直截了当地令其为零了，这种观点在概念上是模糊的，在逻辑上也是不严谨的.此后，以贝克莱为首的很多人对流数的表达“模糊不清〞进行了指责，最终导致了数学史上的第二次数学危机.【3】从18世纪开始，法国数学家达朗贝尔就提出把极限理论作为分析的根底，经过了一个多世纪，通过达朗贝尔、拉格朗日、卡诺、泰勒、贝努利家族、欧拉等几代科学家的努力，微积分获得了飞速开展，在18世纪到达了空前灿烂的程度.数学分析与代数、几何并列成为数学的三大学科，18世纪也被称为“分析时代〞.到了19世纪，波尔查诺、柯西和维尔斯特拉斯等数学家在极限根底上建立了严格的数学分析体系，通过澄清极限、函数、连续、导数等概念，彻底排除了在微积分过程中涌现出的各种争议，使分析到达了完美的程度.从此，建立在牢固的极限根底之上的微积分理论使第二次数学危机宣告解决.三、极限的求解方法极限思想贯穿了数学分析的整个过程，本文就极限的重要求解方法进行汇总举例.〔一〕利用函数极限的运算法那么对于大局部函数的极限，一般情况下首先想到的是，是否可用函数极限的运算法那么来计算，法那么本身简单易懂，而在使用的时候可以对原函数进行通分、分解、替换等方式进行恒等变换或化简，以使得新函数可以采用极限运算法那么进行计算.在数学分析求导的过程当中，我们主要对幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数依据导数的定义来求导，而这几类函数大局部都是使用这两个重要极限来帮助计算的，尤其在推导三角函数和指数函数的导数过程当中起到了至关重要的作用，利用这些结果可通过函数运算法那么、复合函数的求导法那么来求出全部初等函数的导数.而积分又是微分的逆运算，依靠这些导数可以推出大量函数的积分.因此，这两个极限是微积分的根底，在整个微积分中起到了桥梁般的作用，所以解题过程中很多函数的极限可以用此方式来求解.洛必达法那么的好处就是在同一算式的计算当中，如果满足洛必达法那么的使用条件，那么在极限的求解过程中可屡次使用，同时在使用过程中要慎重考虑法那么条件中导数的存在性.在实际应用当中该法那么的使用频率也较高，是函数求极限的重要工具，上文中所讲的两个重要极限的求解也可以由该法那么来推导得出.四、小结方法，在解题过程中还有其他的方法可以使用，在此不再一一列举.而在函数的求解过程当中，解题的方法可能不止一个，我们可以选择适当的方式来处理极限的求解.在学习的过程中我们不能机械地照搬，需要不断地进行总结、分析，不断地完善知识的理论与结构，才能在解题的过程中有所发现，有所创新.【参考文献】【1】理查德·曼凯维奇，著.数学的故事[M].冯速，译.海口：海南出版社，2021：196.【2】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2000：34.【3】韩雪涛.数学悖论和三次数学危机[M].长沙：湖南科学技术出版社，2021：154.。
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法
极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法极限理论是数学分析的核心内容之一，是研究数列、函数序列的发展趋势的重要工具。
极限理论的发展为数学分析提供了有力的工具和方法，广泛应用于微积分、实分析、复分析等领域，并在物理学、工程学等应用科学中有重要的应用。
一、确定函数的发散趋势：极限理论可以帮助我们确定函数在一些特定点或趋向于一些特定值的发散趋势。
通过分析一个函数在其中一点或趋向于其中一点时的极限，可以判断函数在这一点的连续性、可导性等性质。
二、求函数的极限值：极限理论提供了一种有效的方法来求函数的极限值。
通过计算函数在其中一点或趋向于其中一点的极限，可以确定函数在这一点的极值，从而求得函数的最大值和最小值。
三、研究无穷小量与无穷大量：极限理论可以帮助我们研究无穷小量和无穷大量的性质。
在极限理论中，我们可以将无穷小量和无穷大量看作极限过程中的一种特殊情况，通过对它们的极限值的研究，可以得到它们的性质与特点。
四、构建数学分析的基础：极限理论是数学分析的基础，它使我们能够建立数学分析的一系列重要定理和方法。
在实分析中，极限理论被广泛应用于证明微积分的基本定理，如函数的连续性、可导性、积分等性质。
求极限的方法可以分为以下几种：一、直接代入法：对于一些简单的极限问题，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算，得到函数在该点的极限值。
例如，对于函数f(x)=x^2，当x趋向于3时，可以直接将x=3代入函数中计算得到f(3)=9，即lim(x→3)f(x)=9二、夹逼定理：夹逼定理是极限理论中一个常用的方法。
当一个函数夹在另外两个函数之间，并且这两个函数的极限值相等时，可以利用夹逼定理求出被夹函数的极限。
例如，对于函数f(x)=x^2和g(x)=x+1，当x 趋向于0时，可以发现f(x)≤x^2+1≤g(x)，且lim(x→0)f(x)=lim(x→0)g(x)=1，根据夹逼定理可得lim(x→0)x^2+1=1三、分子分母去零法：对于一些函数极限存在形如0/0或∞/∞的情况时，可以利用分子分母去零法计算极限。
极限及几种求极限重要方法的探究
极限及几种求极限重要方法的探究王龙科西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。
高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。
本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。
关键词：极限；高等数学；求极限的方法一、引言极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。
极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。
极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。
极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。
本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论1、数列极限定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N⁺，则称f: N⁺→R 或f(n),n∈N⁺为数列.因为正整数集N⁺的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作a1，a2，…，a n…，或简单地记作{a n}，其中a n称为该数列的通项。
定义2设a n为数列，a为定数。
若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有︱a n-a︱<ε,则称数列{a n}收敛于定数a，定数a称为数列{a n}的极限，并记作lim n→∞a n=a，或a n→a(a→∞)。
若数列{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列。
定理1若数列{a n}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有︱a n︱≤M。
定理3若lim n→∞a n=a>0，则对任何a´∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有a n> a ´。
极限思想在数学导数中的应用
极限思想在数学导数中的应用极限思想在数学导数中占据着重要的地位，它能够消除坐标系变量而将极限带入计算，使数学计算变得更加有效和统一，为研究和定理的归纳提供了巨大的好处。
极限思想在计算数学导数方面是比较重要的，当一个变量不断接近某个数，我们就说这个变量接近极限。
这个空间的连续的概念就是极限，它是一种概念，可以构成我们熟悉的连续体。
极限可以帮助我们判断函数是否存在，函数是否连续，求函数的局部最大最小值，以及其它运算表达式的极限等等。
在极限和导数方面，数学家们利用变量接近极限的概念来计算函数的导数，这就是定义求导法则的出发点，也就是使用变量x慢慢接近d，而dx则会快速收敛接近0，此时df/dx就会逐步收敛到函数f的导数的值。
因此极限的概念正是进一步定义函数f函数的导数的基础。
另外，极限思想在用于求导数的特殊方法中也扮演着核心作用。
例如，我们在求取已知函数y = f（x）的某一特定值点x0处的梯度时，借助极限思想，我们可以可以将x0作为h到有限小的极限，这样我们就可以求出f（x0）的导数，并且可以获得一个更准确的梯度求解，从而更准确地得出对对应函数的曲线的分析结果。
极限思想为计算函数有效性和定义各项数学公式提供了基础。
在微积分中，极限思想也为开发和应用各项函数提供了指导思想。
在我们定义函数走势时，尤其是复杂函数，利用极限思想与定义将变量慢慢收缩到极限，从而制定函数走势，就成为了一种常用的技术。
极限思想的出现为若干的问题的研究和分析以及定义提供了基础和方法，使数学变得更加完整，有效，统一和严谨，它是构成现代数学的重要部分，广泛并无处不在地应用于从中学到研究阶段的诸多数学方面。
总而言之，极限思想在数学导数中占据着重要的地位，在构建数学理论与求解问题中都有重要作用，充分显示了极限思想与不确定性问题解决有着重要的作用。
只有利用极限思想和极限现象，才能获得更准确和更可靠的数学计算结果。
求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。
同时，极限的计算本身也是一个重要内容。
关键词 极限；计算方法初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。
极限方法就是研究变量的一种基本方法。
极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →-解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim41--→x x x解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 323+-∞→x x x x解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 解 2221212112111lim 121lim 11lim ex x x x x x x xx xx =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。
极限思想在高中数学中的应用
n n
x cos x − sin x ≤0 x2
在
π x ∈ 0, 2
n
∑
i =2
n
n
图1 证 明： 如 图 1， 在 单 位 圆 圆 O 中， 设 = OD = cos x ，则 ∠AOB = x ， CB = sin x ， OC
ni
∑ i! ∏
i =2
其中每一项均为正值，当 n 增加时，不 但对应的项数增多，而且括号内的数值也增
1 + k > 2 时， 大，所以数列 n 单调递增。又当 k −1 1 1 1 1 1 1− <1 < 1 + < 2 + ∑ = 2 + 1 − < 3 ，所以 ， ，所以 n 2 k! 2 n 2 1 1 + 有 n 上界。 记 1 n 。
lim
0
n =0 n →∞ 2 n
，从而 sin x sin x cos 2 x = 1 ，所以 lim = 1。 cos x < < 1 ，又因为 lim x → 0 x x 基 于 这 个 证 明， 我 们 可 以 知 道， 尽 管 sin x f ( x) = x 在 x = 0 处没有定义，但在非常接近 0 sin x 的位置， x → 1 。 π f ( x) = x cos x − sin x, x ∈ 0, 例 4。已知函数 2 。 （1）求证： f ( x) ≤ 0 。 sin x π （2）若 a < x < b 在 x ∈ 0, 2 上恒成立，求的 a 最大值与 b 的最小值。 解：（1） 由 f ( x) = x cos x − sin x 得： π 0, f ' ( x) = − x sin x < 0 ，所以 f ( x) 在 2 上单调递减， 从而 f ( x) ≤ f (0) = 0 。 sin x （2）当 x > 0 时， a < x < b ⇔ sin x > ax且 sin x < bx 。 ( x) sin x − cx ， 则 g ' ( x) = cos x − c ， 故 令 g= 当 c ≤ 0 时， g ( x) > 0 对任意 x ∈ 0, π 2 恒成立。 π 当 c ≥ 1 时， 因 为 对 任 意 x ∈ 0, 2 ， π ' 0, 上单调递 g ( x) = cos x − c < 0 ，所以 g ( x) 在区间 2 减，从而 g ( x) ≤ g (0) = 0 对任意 x ∈ 0, π2 恒成立。 π 0, ， 当 0 < c < 1 时， 存 在 唯 一 的 x ∈ 2 ' g ( x0 ) = cos x0 −' c = 0 。 x) 0, π2 上的情况如下： g ( x) 与 g (在区间
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高等数学解题方法探究极限——极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1. 建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2. 解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。
这就是运用了极限的思想方法。
二、极限理论在数学分析中的作用1. 导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数 )(x f y =的改变量y ∆与自变量的改变量x ∆的比值当0→∆x 时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。
下面是`刘玉琏编著的《数学分析》第四版上册所给的定义：设函数y = )(x f 在)(0x U 有定义，在0x 自变数x 的改变量是x ∆，相应函数的改变量是)()(00x f x x f y -∆+=∆。
若极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim 存在，称函数)(x f 在0x 处可导，此极限称为函数)(x f 在0x 的导数，若此极限不存在则称函数)(x f 在0x 不可导。
从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。
2. 定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成n 个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。
每个小矩形的面积是已知的，当n 不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当∞→n 时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。
同样，要计算物体非等速直线运动从时刻a 到时刻b 所经过的路程时，可以将这段时间分割成n 个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在n 段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻a 到b 的路程。
n 越大，这个路程之和就越精确。
当∞→n 时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程。
这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。
定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。
数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。
在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。
可以说，没有极限理论就没有微积分三、极限的定义和判别准则1、极限的定义在数学分析中极限有两个定义，一个是数列极限的定义另一个是函数极限的定义。
数列极限的定义是：设有数列{n a }，a 是常数。
若对任意ε＞0，总存在正数N ，对任意正数n ＞N ，有│a a n -│＜ε，则称数列{n a }的极限是a 。
用逻辑符号可表示如下：a na n =∞→lim ⇔∀ε＞0，+∈∃N N ，n ＞∀N ，有│aa n -│＜ε。
而函数极限的定义又要分两种情况：（1）当自变量∞→x 时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在区间（+∞,a ）有定义，b 是常数。
若∀ε＞0，0A ＞∃，x ∀＞A(＞a )，有│b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f （当+∞→x 时）的极限为b 。
（2）当自变量a x →时，函数)(x f 极限的定义为：设函数)(x f 在邻域U ︒（a ）有定义，b 是常数若∀ε＞0，∃δ＞0，x ∀：0＜│a x -│＜δ（x ∈U ︒（δ,a ）），有 │b x f -)(│＜ε，则称函数)(x f 当a x →时的极限是b 。
2、极限存在的判别法① 极限存在 <=>左右极限存在且相等; ② 夹逼定理;③ 连续性定理: 单调有界数列必有极限; ④ 柯西准则；四、有关极限的定理这里给出函数极限A x f x x =→)(lim 0的情形，至于数列的极限和其它形式的函数极限也都有类似的结果。
（1） 唯一性 如果)(x f 在点0x 有极限，则极限是唯一的。
（2） 有界性 如果)(x f 在点0x 有极限，则存在正数δ和M 。
使当0＜│0x x -│＜δ时，有│)(x f │＜M 。
（3）保号性 如果存在A x f x x =→)(lim 0，并且A ＞0（或A ＜0)，则存在δ＞0，使得对一切满足0＜│0x x -│＜δ的x ，都有)(x f ＞0（)(x f ＜0 ）。
（4）两边夹定理 如果存在δ＞0，使当0＜│0x x -│＜δ时，)(x h ≤)(x f ≤)(x g ，并且Ax h x x =→)(lim 0，A x g x x =→)(lim 0，则A x f x x =→)(lim 0。
（5）运算法则 设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，则B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0；B A x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0。
在B ≠0时，又有B Ax g x f x x =→)()(lim。
若0)(lim 0=→x f x x ，)(x g 在0x 的某个邻域内有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x 。
五、应用极限思想的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例5：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。
【解】2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→xx a x a x ，求a 。
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x-,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。