2 2 4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 北师大版九年级数学下册课时作业(含答案)
九年级下2二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2的图象与性质习题新版北师大版
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
提示：点击 进入习题
1
y轴；原点；向上； 向下；越小
2D
3B 4C 5D
答案显示
6 见习题
7
(1)增大；减小；小 (2)减小；增大；大
8B
9C
10 D
11 A 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
8．【2021·常州】已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y
随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
9．【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)， B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( C ) A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【点拨】∵抛物线y＝ax2(a＞0)，∴A(－2，
答案显示
1．二次函数y＝ax2的图象是抛物线，对称轴是___y_轴____，顶点 是__原__点____．当a>0时，抛物线的开口__向__上____，顶点是抛 物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口_向__下_____，顶点是 抛物线的最高点．|a|越大，抛物线的开口___越__小___．
2．二次函数y＝2x2的图象的顶点坐标是( D )
1 2
OC·|－2|＝
1 2
×2×2＝2，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝1＋2＝3.
15．如图①，这是某段河床横断面的示意图．
查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据： x/m 5 10 20 30 40 50 y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件1-九年级下册数学北师大版
一、 温故而知新
（1）把点P(1,2)向右平移2个单位，得点 (3,2) .
（2）把点P(1,2)向上平移3个单位，得点(1,5) .
（3）把点P(1,2)向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，得点 (3,5) . （4）点P(-1,4)关于x轴对称的点为(-1,-4). 关于y轴对称的点为(1,4) 关于原点对称的点 为 (1,-4) .
将该抛物线关于x轴对称，所得抛物线的解 析式为 y=（x+1）2-4
练习3：已知抛物线 y=-（x+1）2+4.
将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线 的解析式为 y=（x+1）2+4
变式1：将该抛物线绕原点旋转180°，所得 抛物线的解析式为 y=（x-1）2-4
四、回顾与提升
1.知识小结
抛物线的变换
y
旋转变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
y =-2(x+2)2 -1
P1 (2, 1)
抛物线的旋转
转 化 x 点的旋转
y =-2(x-2)2 +1
练习1：已知抛物线 y=x2-2x+3.
将该抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单 位，所得抛物线的解析式为y=（x-3）2+5 练习2：已知抛物线y=-（x+1）2+4.
谢谢指导！
二、
y
向右平移5个单位 平移变换
y =2(x+2)2 -1
P (-2,-1)
抛物线的平移
y =2(x-3)2 -1
转
化
x 点的平移
(3,-1)
y
轴对称变换
数学：2.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象》学案(1)(北师大版九年级下)
数学：2.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象》学案（1）（北师大版九年级下）学习目标:1．会用描点法画出二次函数与的图象；2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;学习重点:画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.学习难点:理解函数、与及其图象间的相互关系学习方法:探索研究法。
学习过程:一、复习引入提问：1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？二、新课复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.例1 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.由图象思考下列问题：（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？继续回答：①抛物线的形状相同具体是指什么？②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？⑤你认为是什么决定了会这样平移？例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．三、本节小结本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：表一：抛物线开口方向对称轴顶点坐标表二：抛物线开口方向对称轴顶点坐标作业：教后记：。
九年级数学下册 第2章 二次函数 2.2 二次函数y=ax2+bx
12．(2015·兰州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，点C在y轴的 正半轴上，且OA＝OC，则( ) A A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．以上都不对 13．已知抛物线y＝2x2＋mx－6的顶点坐标为(4，－38)，则m的值 是____－__1_6_． 14．某飞机着陆滑行的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为：s＝60t－ 1.5t2，那么飞机着陆后滑行_____6_0_0_米才能停止．
大值，即当 x＝－2ba时，y 最大值＝4ac4－a b2，且当 x>－2ba时，y 随 x 的增
大而__减__小__，当 x<－2ba时，y 随 x 的增大而__增__大___.
知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 的相互转化
1．(2015·舟山)把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋ k的形式是__y_＝__(_x_－__6_)_2－__3_6___．
9．沙坪坝火车站将改造成一个集高铁、轻轨、公交、停车场、 商业于一体的地下七层建筑，地面上欲建造一个圆形喷水池，如图， O 点表示喷水池的水面中心，OA 表示喷水柱子，水流从 A 点喷出， 按如图所示的直角坐标系，每一股水流在空中的路线可以用 y＝－12x2 ＋32x＋78来描述，那么水池的半径至少要__3_._5__米，才能使喷出的水 流不致落到池外．
2．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的表达式为( ) B
A．y＝－x2＋2x＋2 B．y＝－x2－2x＋2 C．y＝－x2＋2x－4 D．y＝－x2－2x－4
3．(2015·乐山)二次函数y＝－x2＋2x＋4的最大值() C A．3 B．4 C．5 D．6 4．(2015·泰安)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象时，列出了下面的表格：
九年级数学下册《2.4 二次函数y=ax^2 bx c的图象》学案1 北师大版
《二次函数c bx ax y ++=2的图象》学习目标:1．用描点法画出二次函数与 的图像； 2．理解二次函数、与的图象之间的关系，理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响作用3．说出抛物线与的对称轴、顶点坐标 、最值和y 随x 值的变化情况； 学习重点： 画出形如，的二次函数的图像，掌握它们与函数2y ax =的区别与联系，理解a 、h 、k 对函数图象的影响作用。
学习难点:抛物线与抛物线2y ax =的区别与联系，理解a 、h 、k 对函数图象的影响作用。
一、复习内容：1、写出下列函数的图象开口方向，对称轴及顶点坐标：（1）23y x = （2）23y x =+2； （3）23y x =-2 ，问（2）（3）的图象与二次函数23y x =的图象有什么关系？2、说出函数2y ax c =+的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。
3．想一想：二次函数2365y x x =++的图像是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象，如23y x =有什么关系呢？二、自主探究：1、问题：你能把函数2365y x x =++通过配方法变成2()y k x h c =-+的形式吗？2、由于函数2365y x x =++= 23(1)2x -+ 。
因此，我们先研究函数23(1)y x =-的图象3、在同一坐标系中作出函数=2y 3x 和()=-2y 3x 1的图象． ⑴完成下表,并比较23x 和23(1)x -的值,它们之间有什么关系? x -3 -2 -1 0 1 2 3 4（2）在同一坐标系中作出函数23y x =和23(1)y x =-的图象。
（3）观察、比较，函数23(1)y x =-的图象与函数23y x =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？（4）x 取哪些值时，函数23(1)y x =-的值随x 的值的增大而增大？x 取哪些值时，函数23(1)y x =-的值随x 的值的增大而减小？4、想一想，函数23(1)y x =+的图象又是什么样的呢？它的顶点坐标、对称轴又是什么呢？与函数23y x =的图象有什么关系？5、猜一猜，函数23(1)y x =--，23(1)y x =-+的图象与性质又是什么样的呢？6．函数23(1)2y x =-+的图象有什么特点？（1） 在先前的表格下继续列表；（2） 在先前的坐标系中画出图象；（3） 说出该抛物线的形状大小、对称轴、顶点坐标、最值、y 随x 变化规律；（4） 观察，说出该抛物线与抛物线23y x =、23(1)y x =-的关系。
北师版九年级数学下册_2.2.2二次函数y=ax2,y=ax2+c 的图象与性质
感悟新知
知1－练
2-1.(易错题)已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称
轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则a 的值为( C )
A.4
B.±4
C. －4
D.0
2-2.[中考·常州] 已知二次函数y=(a－1)x2，当x ＞ 0 时，y
随x 的增大而增大，则实数a的取值范围是( B )
＜ 0)平移|c| 个单位长度，即可得到二次函数y=ax2+c 的 图象.
感悟新知
知2－练
例 3 画出函数y=－x2+1 与y=－x2－1 的图象，并根据图象 回答下列问题. 解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+c 与抛物线 y=ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
感悟新知
知2－练
解：列表如下：
x
感悟新知
知识点 2 二次函数y=ax2+c的图象
知2－讲
1. 二次函数y=ax2+c 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不 同，二次函数y=ax2+c 的图象可由二次函数y=ax2 的图 象上下平移|c| 个单位长度得到.
感悟新知
平移规律口诀
A.a ＞ 0 B.a ＞ 1
C.a ≠ 1
D.a ＜ 1
感悟新知
知1－练
2-3.(易错题)关于二次函数y=ax2(a ≠ 0)的说法： ① x>0 时， y 随x 的增大而增大；② a 越大，图象开口越小；③图 象的对称轴是y 轴； ④ 当a>0 时，A(x1，y1)，B(x2， y2)是抛物线上的两点，且满足x1<x2<0， 则 y1>y2>0． 其中正确的是 _____③__④_____(填序号).
九年级数学下册 第二章 2.2 的图像与性质 2.2.4 y=ax2+bx+c的图象与性质同步练习
唐玲 学 习 资 料 专 题 课时作业(十二) [第二章 2 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质]
一、选择题 1．2018·浦东新区一模如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是( ) A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
2．2017·宁波镇海区期末点(－1，y1)，(1，y2)，(4，y3)都在抛物线y＝－x2＋4x＋m上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
3．已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( ) A．(1，－5) B．(3，－13)
C．(2，－8) D．(4，－20)
4．一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的图象如图K－12－1所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为( )
图K－12－1 图K－12－2 5．2017·天津红桥区期末已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在点(0，2)的下方，则下列结论：①a＜b＜c；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0.其中正确结论的个数为( ) 链接听课例2归纳总结 A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题 6．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为________． 7．某市政府大楼前广场上有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图K－12－3所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2唐玲
＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是________米． 图K－12－3 8．如图K－12－4，已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________．
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2.2 二次函数的图象与性质第5课时 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与性质1．掌握把y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方写成y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标；(重点)2.掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．(难点)一、情境导入在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？二、合作探究探究点：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质二次函数y＝ax 2＋bx ＋c 的图象的性质若点A (2，y 1)，B (－3，y 2)，C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2解析：∵二次函数y ＝x 2－4x －m 中a ＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x ＝－b 2a＝ 2.∵A (2，y 1)中x ＝2，∴y 1最小．又∵B (－3，y 2)，C (－1，y 3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，故y 2＞y 3，∴y 2＞y 3＞y 1.故选C.方法总结：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题二次函数y＝ax 2＋bx ＋c 的图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－b2a＞0；④abc ＞0.其中正确的结论是________(填序号)．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a ＜0，抛物线与y 轴的正半轴相交，可得出c ＞0，对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，b ＞0，∴abc ＜0；因为对称轴在y 轴右侧，∴对称轴为－b2a ＞0；由图象可知：当x ＝1时，y ＞0，∴a ＋b ＋c ＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③.方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题二次函数y＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )解析：若函数y ＝mx ＋m 中的m ＜0时，函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m ＞0，则对称轴应在y 轴右侧，故A 、B 选项错误，D 选项正确；若函数y ＝mx ＋m 中的m ＞0时，函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝上，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，故C 选项错误．故选D.方法总结：熟记一次函数y ＝ax ＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二次函数y＝ax 2＋bx ＋c 与几何图形的综合已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB 的面积S △MCB .解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物线的解析式先求出点M 和点B 的坐标，可将S △MCB 化为其他图形面积的和差来解．解：(1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)令y ＝0，得(x －5)(x ＋1)＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1，∴点B 的坐标为(5，0)．由y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，得点M 的坐标为(2，9)．作ME ⊥y 轴于点E ，可得S△MCB＝S梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15.方法总结：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的实际应用跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E .以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD 之间且离点O 的距离为t 米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t 的取值范围．解析：(1)已知抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋0.9，选定抛物线上两点E (1，1.4)，B (6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a 、b 的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y ＝1.575时，对应的x 的两个值，从而可确定t 的取值范围．解：(1)由题意得点E 的坐标为(1，1.4)，点B 的坐标为(6，0.9)，代入y ＝ax 2＋bx ＋0.9，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋0.9＝1.4，36a ＋6b ＋0.9＝0.9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.1，b ＝0.6.故所求的抛物线的解析式为y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9；(2)157.5cm ＝1.575m ，当y ＝1.575时，－0.1x 2＋0.6x ＋0.9＝1.575，解得x 1＝32，x 2＝92，则t 的取值范围为32＜t ＜92. 方法总结：解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．三、板书设计二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的应用总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为学生提供展示自己的机会，这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.。
北师大版九年级数学下册二次函数的图形与性质(2)y=ax2图像与性质
–12
–13
当x < 0时，y随x 增大而增大；
当x > 0时，y随x 增大而减小.
–14
–15
–16
y=
1 2
x
2
2 y= x
–17
y= 2x2
–18
1
2
3
4
5
6 x
4. 二次函数y = ax2 的性质
表达式
开口方向
开口大小
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
y = ax2 (a>0)
y = ax2 (a<0)
1
2
3
4
5x
2（1）在右图中画出 =
1 2
的图像.
2
1
y= x2
2
1 2
、
2
（2）观察右图中二次函数 =
=
2 和 = 2 2 的图像，它们有什么不同？你
能得出什么结论？
a>0时，|a|越大，曲线越陡，开口越小.
1 2
、
2
（3）观察右图中二次函数 =
=
2 和 = 2 2 的图像，它们有相同？你能得
b＋1，直线向上平移1个单位；
b－1，直线向下平移1个单位.
x
O
y = x+2
y
3
y = x +1
y=x
2
y=x 1
4
1
–3 –2 –1O
–1
–2
–3
–4
1
2
3
x
y
新知探究
= 2
下面接着讨论形如 =
2 的二次函数的图形与性质.
1. 画二次函数 = 2 2 的图形.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、选择题
1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()
A.y=(x-4)2+7
B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7
D.y=(x+4)2-25
2.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是()
A.直线x=2
B.直线x=-2
C.直线x=1
D.直线x=-1
3.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
4.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方,那么下列判断正确的是()
A.a<0,b<0
B.a>0,b<0
C.a<0,c>0
D.a<0,c<0
5.若点(-1,y1),(1,y2),(4,y3)都在抛物线y=-x2+4x+m上,则y1,y2,y3的大小关系是()
A.y1<y2<y3
B.y3<y2<y1
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
6.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()
A.-2
B.-4
C.2
D.4
7.一次函数y=ax+b和反比例函数y=c
在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示,则二次函
x
数y=ax2+bx+c的图象大致为()
图1
图2
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示,有如下结论:
①abc>0;①2a+b=0;①3b-2c<0;①am2+bm≥a+b(m为实数).其中正确结论的个数是()
图3
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
9.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时,x的值为.
10.某市政府大楼前的广场上有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.若以水平地面为x轴,建立如图4所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,则水喷出的最大高度是米.
图4
11.将抛物线y=x2-2x向下平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式是.
12.如图5,在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴上的点,C,D为抛物线y=-x2+2x+3上的两点(点C在点D的右侧),且四边形ABCD是正方形,则正方形ABCD的面积是.
图5
三、解答题
13.已知二次函数y=-2x2+4x+6.
(1)求出该函数图象的顶点坐标、对称轴及图象与x轴、y轴的交点坐标,并在如图6所示的网格中画出这个函数的大致图象.
(2)利用函数图象回答:
①当x在什么范围内时,y随x的增大而增大?当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?
①当x在什么范围内时,y>0?
图6
14.已知抛物线y=x(x-2)+2.
(1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出它的顶点坐标;
(2)将抛物线y=x(x-2)+2上下平移,使顶点移到x轴上,求新抛物线的表达式.
15.如图7,一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮,球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=ax2+x+2.25.球在空中达到最大高度后,准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面的距离为3.05 m.
(1)当球运行的水平距离为多少时达到最大高度?最大高度为多少?
(2)若该运动员身高1.8 m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25 m处出手,则球出手时,他跳离地面多高?
图7
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.D
6.B
7.C
8.D
9.-2.
10.411.y=x2-10x+21
12.24-8√5
13.解:(1)①a=-2,b=4,c=6,
①-b
2a =-4
2×(-2)
=1,
4ac-b2 4a =4×(-2)×6−16
4×(−2)
=8,
①该函数图象的顶点坐标为(1,8),对称轴为直线x=1.
当y=0时,-2x2+4x+6=0,
解得x1=3,x2=-1;
当x=0时,y=6,
①函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,6).画图略.
(2)①当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小.
①当-1<x<3时,y>0.
14.解:(1)y=x(x-2)+2=x2-2x+2=(x-1)2+1,则它的顶点坐标为(1,1).
(2)由(1)知抛物线y=x(x-2)+2的顶点坐标为(1,1),将抛物线向下平移1个单位长度,所得抛物线的顶点坐标为(1,0),在x轴上,
此时新抛物线的表达式为y=(x-1)2.
15.解:(1)依题意,知抛物线y=ax2+x+2.25经过点(4,3.05),
①16a+4+2.25=3.05,解得a=-0.2.
①y=-0.2x2+x+2.25=-0.2(x-2.5)2+3.5.
①当球运行的水平距离为2.5 m时达到最大高度,最大高度为3.5 m.
(2)①当x=0时,y=2.25,
①2.25-0.25-1.8=0.2(m),
即球出手时,他跳离地面0.2 m.。