一阶非齐次微分方程例题

以下是一个一阶非齐次微分方程的例题及其解法：

例题：解一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x

解法：

首先，对于一阶非齐次线性微分方程，我们可以使用待定系数法来求解。步骤如下：

1. 找到对应齐次方程的通解：对于方程 y' + 2y = 0，这是一个一阶线性齐次微分方程。它的特征根为 r = -2。因此，齐次方程的通解为 y_h = C*e^(-2x)，其中 C 是常数。

2. 设非齐次方程的特解为 y_p。为了找到特解，我们通常需要对非齐次项进行试探或猜测。由于非齐次项是 e^x，我们可以猜测特解的形式为 y_p = Ax^m * e^x，其中 A 和 m 是待定系数。

将 y_p = Ax^m * e^x 代入原方程，得：

(Ax^m * e^x)' + 2(Ax^m * e^x) = e^x

=> A(x^m * e^x)' + 2Ax^m * e^x = e^x

=> Amx^(m-1) * e^x + 2Ax^m * e^x = e^x

比较等式两边的指数和系数，我们可以得到：

Am(m-1)x^(m-1) + 2Amx^m = 1

令 m = 1，可以简化上述方程。于是，我们得到 A = 1/3。

所以，特解为 y_p = (1/3)x * e^x。

3. 最后，原方程的通解为 y = y_h + y_p = C*e^(-2x) + (1/3)x * e^x。

这就是一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x 的解。