一阶线性偏微分方程求解例题
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一阶线性偏微分方程求解例题
CH1典型方程和定解条件
【内容提要】
方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程) 主要方法:微元法;
泛定方程:
波动方程(双曲型):
弦振动方程:
传输线方程:
电磁场方程:
热传导方程/扩散方程(抛物型):
导热杆(无热源),
导热片(无热源)
稳恒方程(椭圆型):
Poisson方程:
Laplace方程:
2.定解条件:初始条件及边界条件
边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):
(2)第二类边界条件(Neumann条件):
(3)第三类边界条件(Robin条件):
3.定解问题的提法:
4.线性偏微分方程的基本性质
(1).线性迭加原理
(2.)齐次化原理(冲量原理)
Duhamel原理:设是方程的解,
(是方程的解。
【典型习题】
1:长为的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另一端有恒定热流进入(即单位时间内通过单位截面积流入的热量为),杆的初始温度分布是,试写出相应的定解问题
解:初始条件:,杆的初始温度分布是,
边界条件:由杆的一端温度为零
,杆的另一端有恒定热流q,)(Fourier实验定律
故定解问题为:
该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题
3:长为的弦两端固定,开始时在受冲量的作用,试写出相应的定解问题
解:设弦的两端为:,由题意有
弦的振动方程为
边界条件为:
初始条件为:
在点,取小段(是无穷小量),
由冲量定理有,(冲量=动量改变量);
∴
于是,
故定解问题为
该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。