反函数常见题型11-副本
反函数练习题
反函数练习题一、简答题1. 什么是反函数？答：反函数是指在给定函数的定义域上，通过互换函数的输入和输出得到的新函数。
对于给定函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，满足g(f(x)) = x，且 f(g(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。
2. 如何判断一个函数是否有反函数？答：要判断一个函数是否有反函数，需要满足两个条件：a) 函数必须是一个一对一函数，即对于不同的输入，函数的输出不能相同。
b) 函数必须是可逆的，即函数的定义域和值域都必须相等。
3. 如果一个函数有反函数，它们之间的关系是什么？答：如果一个函数有反函数，那么它们之间存在以下关系：a) 函数 f(x) 和其反函数 g(x) 是互逆的，即 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x 成立。
b) 函数 f(x) 和 g(x) 是对称的，即 f(x) 经过反函数后得到 g(x)，同样，g(x) 经过反函数后得到 f(x)。
4. 反函数与原函数的图像有何关系？答：反函数与原函数的图像关系如下：a) 反函数与原函数的图像是关于直线 y = x 对称的。
b) 反函数的图像可以通过将原函数的图像绕直线 y = x 旋转 180 度得到。
二、计算题1. 计算以下函数的反函数：(1) f(x) = 3x - 2解：首先将 f(x) 换成 y，则等式变为 y = 3x - 2。
接下来，交换 x 和y，得到 x = 3y - 2。
然后解方程，将 y 表示为 x 的函数：x = 3y - 2x + 2 = 3yy = (x + 2) / 3所以，f(x) 的反函数是 g(x) = (x + 2) / 3。
(2) f(x) = √x解：同样地，将 f(x) 换成 y，则等式变为y = √x。
交换 x 和 y，并解方程，得到反函数：x = √yx^2 = y所以，f(x) 的反函数是 g(x) = x^2。
2. 求反函数的定义域和值域：(1) f(x) = 2x - 5解：原函数 f(x) 是一次函数，定义域是全体实数集 R，值域也是全体实数集 R。
函数逆运算计算练习题求反函数
函数逆运算计算练习题求反函数在数学中，函数的逆运算是指找到原函数的倒数，即通过已知函数值求解输入值。
逆函数也被称为反函数，是一种特殊的函数，它可以将原函数的输出值作为输入，并计算出原函数的输入值。
本文将提供一些函数逆运算的计算练习题，并解答求反函数的方法。
一、简单线性函数的逆运算第一个练习题是针对一个简单的线性函数f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
问题1：给定一个线性函数f(x) = 2x + 3，求它的反函数。
解答1：要求出反函数f^{-1}(x)，首先将f(x)改写为等式y = 2x + 3，然后通过变换求解x。
我们将y作为新的自变量，x作为新的因变量，得到以下等式：x = (y - 3) / 2因此，反函数f^{-1}(x) = (x - 3) / 2。
问题2：给定一个线性函数f(x) = -4x - 5，求它的反函数。
解答2：同样地，将f(x)改写为等式y = -4x - 5，并通过变换求解x，得到以下等式：x = (y + 5) / (-4)因此，反函数f^{-1}(x) = (x + 5) / (-4)。
二、复合函数的逆运算第二个练习题是针对复合函数的逆运算。
问题3：给定函数f(x) = x^2和g(x) = \sqrt{x}，求f(g(x))的反函数。
解答3：首先求得复合函数f(g(x))：f(g(x)) = (g(x))^2 = (\sqrt{x})^2 = x因此，f(g(x))的反函数为f^{-1}(x) = x。
问题4：给定函数f(x) = 3x + 1和g(x) = \frac{1}{3}x - 1，求f(g(x))的反函数。
解答4：同样地，求得复合函数f(g(x))：f(g(x)) = f(\frac{1}{3}x - 1) = 3(\frac{1}{3}x - 1) + 1 = x - 2因此，f(g(x))的反函数为f^{-1}(x) = x - 2。
三、三角函数的逆运算第三个练习题是针对三角函数的逆运算。
反函数基础练习含标准答案
反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪-- (三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜1 00g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443 比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x (x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
中考必考反函数经典试题锦集[1]1
![中考必考反函数经典试题锦集[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/2db1a200bb68a98271fefa5d.png)
反函数练习题一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x y C 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x y D 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3、 已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ）A 、))(,(1a f a -B 、()()b b f ,1-C 、()()a a f ,1-D 、()()b f b 1,-4、 若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、3二、 填空题5、 函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。
6、 设f(x)的反函数为)(1x f -，23)(1+=-x x f ，则=-)3(1f ，f(3)=7、 若点(1,2)既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则a= ,b=8、 f(x)在()+∞,0上为递增函数，则)1(1-f 与)3(1-f 的大小关系是三、 解答题9、 函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)10、函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ，求a,b,c 的值 11、已知132)(1≥-=-x x x f ，，求f(x)12、函数f(x)=x 2-2tx+1(t ∈R)，定义域为[][]8,71,0 ∈x ，（1）f(x)在定义域内是否一定有反函数？（2）若f(x)有反函数，求t 的范围。
反函数练习题
反函数练习题反函数是数学中的一个重要概念，它与函数之间的关系密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来加深对反函数的理解和运用。
题目一：求反函数已知函数f(x) = 2x - 3，求其反函数f^{-1}(x)。
解析：为求反函数f^{-1}(x)，我们先将f(x)写成关于x的等式y = 2x - 3。
接下来，我们将x和y交换位置，得到x = 2y - 3。
接下来，解出y，即可得到反函数f^{-1}(x)。
将x = 2y - 3两边加3，得到x + 3 = 2y。
再将等式两边同时除以2，得到(y = (x + 3)/2)。
所以，反函数f^{-1}(x) = (x + 3)/2。
题目二：验证反函数已知函数f(x) = 4x - 5，求其反函数f^{-1}(x)并验证是否为反函数。
解析：首先，我们仍然将f(x)写成关于x的等式y = 4x - 5。
然后，将x和y交换位置，得到x = 4y - 5。
再次解出y，即可得到反函数f^{-1}(x)。
将x = 4y - 5两边加5，得到x + 5 = 4y。
再将等式两边同时除以4，得到((x + 5)/4 = y)。
所以，反函数f^{-1}(x) = (x + 5)/4。
为了验证f^{-1}(x)是否为f(x)的反函数，我们需要计算复合函数f(f^{-1}(x))和f^{-1}(f(x))，并判断它们是否等于x。
首先，计算f(f^{-1}(x)) = f((x + 5)/4)。
将(x + 5)/4代入f(x)的表达式中，得到f(f^{-1}(x)) = 4((x + 5)/4) - 5 = x - 1。
我们可以看到，f(f^{-1}(x))得到了x。
接下来，计算f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(4x - 5)。
将4x - 5代入f^{-1}(x)的表达式中，得到f^{-1}(f(x)) = ((4x - 5) + 5)/4 = x。
我们可以看到，f^{-1}(f(x))也得到了x。
反函数作业
1、函数2()23f x x ax =--在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是（ ）A 、1a ≤B 、2a ≥C 、12a ≤≤D 、1a ≤或2a ≥] 2、函数213,(10)xy x -=-≤<的反函数是 3、设1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --+⋅+=，则1()f a b -+=4、已知函数f(x)的反函数是112004()log (),(0)m f x m m x-+=+>，则方程f(x)=2004的解集是（ ）A 、{-1}B 、{-1，1}C 、{1}D 、∅5、曲线C 与曲线23x y =-图象关于直线:y x = 对称，则曲线C 与 有一个交点的横坐标位于区间（ ）A 、（-2，-1）B 、（2，3）C 、（1，2）D 、（-1，0）6、已知函数()1a x f x x a -=--，其反函数1()f x -的图象对称中心是（-1，3），则实数a = 7、设12()1x f x x-=+，函数g(x)与1(1)f x -+图象关于直线y=x 对称，则g(2)= 8、定义在R 上的函数f(x)，g(x)都有反函数，又f(x-1)与1(2)g x --的图象关于直线y=x 对称，若g(5)=2002，则f(4)=9、设函数221,(0)()1,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则13()4f --的值是10、设f(x)的反函数为1()f x -，则y=f(x+a)+b ，1()y f x a b -=++，二次函数图象关于直线 对称。
11、已知方程2log 2,22x x x x +=+=的根分别为12,,x x 则12x x +=12、下列所给命题中，其命题的序号为(1) 若f(x)为单调函数，则f(x)存在反函数，且1()f x -与f(x)有相同的单调区间； (2) 函数y=f(x)与1()x f y -=的图象重合； (3)偶函数一定没有反函数；(4)若f(x)为周期函数，则f(x)无反函数。
利用反函数求值练习题
利用反函数求值练习题反函数是指原函数经过变换得到的新函数，它的定义域和值域与原函数相反。
利用反函数求值是一种常见的数学问题，通过给定函数的反函数，可以通过给定的函数值来求得相应的自变量值。
本文将介绍一些反函数求值练习题，以帮助读者更好地理解和应用反函数的概念。
在介绍具体的练习题之前，我们先回顾一下反函数的定义和性质。
对于函数f(x)和它的反函数f^{-1}(x)，满足以下条件：1. f(f^{-1}(x)) = x，即函数f和它的反函数f^{-1}互为反函数；2. f^{-1}(f(x)) = x，即函数f和它的反函数f^{-1}互为反函数。
基于上述性质，我们可以利用反函数求解一些特定的数值问题。
下面是几个具体实例，希望能对读者有所帮助：例题一：已知函数y = f(x) = 2x - 3，求f^{-1}(5)的值。
解析：根据反函数的定义和性质，求解f^{-1}(5)即为求解f(x) = 5的解。
我们可以使用方程2x - 3 = 5，得到x = 4。
因此，f^{-1}(5)的值为4。
例题二：已知函数y = g(x) = \frac{1}{x-2}，求g^{-1}(3)的值。
解析：同样地，根据反函数的性质，我们要求解g^{-1}(3)即为求解g(x) = 3的解。
将3代入函数g(x)，我们得到\frac{1}{x-2} = 3，通过变换可得x - 2 = \frac{1}{3}，解得x = \frac{7}{3}。
因此，g^{-1}(3)的值为\frac{7}{3}。
例题三：已知函数y = h(x) = \sqrt{x+4}，求h^{-1}(9)的值。
解析：类似地，我们要求解h^{-1}(9)即为求解h(x) = 9的解。
将9代入函数h(x)，我们得到\sqrt{x+4} = 9，通过变换可得x + 4 = 81，解得x = 77。
因此，h^{-1}(9)的值为77。
通过以上例题，我们可以看到反函数求值的基本思路，即将给定的函数值代入函数表达式，通过变换和求解方程得到相应的自变量值。
【关系】高考数学第一总复习010反函数
【关键字】关系g3.1010反函数一、知识回顾：1、反函数的定义设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成2、函数y=f（x）有反函数的条件是__________________________.3、求反函数的步骤：①. ②. ③.4、互为反函数间的关系：①从函数角度看：②从函数图象看：单调性的关系：2、基本训练：1、给出下列几个函数：①；②③④⑤其中不存在反函数的函数序号是变题：函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（）A、B、C、D、2、函数的反函数是（）A．B．C．D．3．（05江苏卷）函数的反函数的解析表达式为( )（A）（B）（C）（D）4. （05全国卷Ⅰ）反函数是（）（A）（B）（C）（D）5. （05天津卷）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）A．B．C．D．6. （05湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝.7、已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为_____________.三、例题分析：１、①若函数是函数的反函数，则的图象为（）A B C D②已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）③ 若函数f （x ）的图象与的图象关于直线y=x 对称，则函数的单调减区间是 （ ）A 、（1，+∞）B 、（-∞，1]C 、（0，1]D 、[1，2）２、①函数的反函数是②、已知，则___ .③、已知函数的反函数是,且 ,则函数的值域为______________.3、已知函数，若函数y=g （x ）与的图象关于直线对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
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学好反函数需掌握的11种题型及方法反函数是高中数学的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中也占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，现归纳整理反函数的几种题型及其解法，供复习参考. 一. 反函数存在的充要条件例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C.(][)a ∈-∞+∞，，12D.[]a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2，故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
y=()f x 是映射:,f x y →反函数 x=1()f y -是映射:f y x →.因此, y=()f x 存在反函数的充分必要条件是所属区间上,x 、y 应该一一对应.二. 反函数的求法例2.函数y=2()x e x R ∈的反函数为（） ()2ln (0)A y x x => ()ln(2)(0)B y x x =>1()ln (0)2C y x x =>1()ln(2)(0)2D y x x =>解：y=2()xe x R ∈，取常用对数，得2x=lny,x=12lny.其中20,xe > 即y>0.因此，反函数是1ln (0)2y x x =>.选（B ）.例3.y=21-+1(x>0) 的反函数（）A y=log 211x -(1,2)x ∈,B y=-log 211x -(1,2)x ∈ C y=log 211x -](1,2x ∈ D y=log 211x -[]1,2x ∈解：解方程y=21-+1，得x=log 211y -,即y=log 211x -.10,021,12,()x x y f x --><<<<∴的定义域(1,2).故选(A) 注：求反函数解析式要注意其定义域例4.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ） A.y x x =+≥-()()113B.y x x =-+≥-()()113C.y x x =+≥()()103D.y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13，即其反函数是y x x =-+≥-()()113 故选（B ）。
评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。
在求反函数的过程中必须注意三个问题： （1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；（2）求反函数的步骤：①求原函数的值域，②反表示，即把x 用y 来表示，③改写，即把x 与y 交换，并标上定义域。
其中例3在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域（x ≤0）来确定x y =-+()13，再结合原函数的值域即可得出正确结论。
另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
例如：求y x x x =--≤-2231()的反函数。
由x ≤-1可得{}y y |≥0，反表示解出x y -=±+14，由x ≤-1应取x y -=-+14，即x y =-+14，所以y x x =-+≥140()为其反函数。
（3）f （x ）与fx -1()互为反函数，对于函数y f x =+()1来说，其反函数不是y f x =+-11()，而是y f x =--11()。
同理y f x =+-11()的反函数也不是y f x =+()1，而是y f x =-()1。
三. 求反函数定义域、值域类型 1.求原函数的定义域例5.函数)(x f 反函数是()1()10f x x -=≥，求)(x f 定义域解：原出数定义域是反函数值域，()1()10f x x -=≥的值域是[)1,-∞，故函数)(x f 定义域是[)1,-∞2.求反函数定义域例6.函数f(x+1)=log(x+2)+x2+2x+3的定义域[]1,7，求反函数定义域解：f(x+1)的值域[]7,68，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是[]7,68注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x2+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是[]2,9，不要误认为是[]1,7,从而出现f(x)的值域不是[]7,68错误.3.求反函数值域例7.若f x-1()为函数f x x()lg()=+1的反函数，则f－1（x）的值域为_________。
解析：通法是先求出f（x）的反函数f x x-=-1101()，可求得f－1（x）的值域为()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f－1（x）的值域为() -+∞1，。
评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
四. 反函数的奇偶性、单调性类型例8. 函数ye ex x=--2的反函数是（）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数解析：因为e x在（0，+∞）上是增函数，e x-在（0，+∞）上是减函数所以ye ex x=--2在（0，+∞）上是增函数，易知ye ex x=--2为奇函数利用函数y f x=()与f－1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。
解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+∞）上是增函数，反函数1()y f x-=也增函数.故选（C）.注:利用函数y f x=()与f－1（x）具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数、偶函数无反函数这三条性质，立即选（C）。
五. 反函数求值类型例9.设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f x f-=140()()，，则f-=14()___________。
解析：由f()40=，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。
而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。
由题意知点（-2，4）也在函数f （x ）的图象上，即有f ()-=24，所以f -=-142()。
评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。
在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b fa =-1()。
例10.设f －1（x ）是函数f x x ()log ()=+21的反函数，若[][]11811++=--f a f b ()()，则f a b ()+的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. log 23分析：直接利用：若a f b =()，则b f a =-1()。
选（B ）。
例11.已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .解：易求当0x <时，()13xf x -=-。
解方程813x --=-和831x-=-，前者x=-2,后者无解. 则=-)8(g -2. 例12.设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 2解: 1()f a -即21log (1)a x =+，1()f b -即22log (1)a x =+.求得121a x =-，221b x =-。
11[1()][1()]f a f b --++=12[1][1]x x ++=22a b ⋅=8，a+b=3,于是)(b a f +=3log 2.选（D ）.注;涉及1()f a -的值时,往往从它的意义入手,通过解方程()f x a =,得x=1()f a -,较为简便. 例13. 设352)(-+==x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线y=x 对称，则g(3)= 。
解析 ：我们知道， 反函数有一个非常重要的性质，即若点（a ，b ）在原函数上，则（b ，a ）一定在反函数上，反之也成立。
于是可设（4，a ）为 y=g(x) 图象上的任一点，则（a ，4）为)1(1+=-x f y 图象上的一点，（a+1，4）为)(1x fy -=图象上的一点，从而（4，a+1）为 y=f(x) 图象上的一点,代入y=f(x)的解析式，有12345421=⇒-+⨯=+a a 。
点评：在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f （x ）存在反函数时，若a f b =()，则b f a =-1()。
得来全不费工夫，反函数的一个简单而又重要的性质发挥了威力，这是逆向思维在解题中的重要体现。
六. 反函数方程例14.已知函数f xx()log=+⎛⎝⎫⎭⎪342，则方程f－1（x）=4的解x=_____________。
解析：当函数f（x）存在反函数时，若a f b=()，则b f a=-1()。
所以只需求出f()4的值即为f－1（x）=4中的x的值。
易知f()41=，所以x=1即为所求的值。
评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。
即先求出反函数f－1（x）的解析式，再解方程f －1（x）=4，也可得x=1。
七. 反函数不等式例15.设f－1（x）是函数f xa aax x()()=->-21的反函数，则f－1（x）>1成立时x的取值范围是（）A.aa212-+∞⎛⎝⎫⎭⎪，B.-∞-⎛⎝⎫⎭⎪，aa212C.aaa212-⎛⎝⎫⎭⎪，D.()a，+∞解析：由a>1，知函数f（x）在R上为增函数，所以f－1（x）在R上也为增函数。
故由f－1（x）>1，有x f >()1而f aaaa ()1121122=-⎛⎝⎫⎭⎪=-可得xaa >-212故选（A）。
评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。