高考数学 高频考点归类分析 数列特征方程的应用(真题为例)

所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：

1. 形如1n n A uA v +=+的数列，一般是令x ux v =+，解出x a =，则{}n A a -是公比为u 的等比数列 。

2. 形如21n n n A uA vA ++=+的数列，一般是令2x ux v =+，解出12,x x x =，则

①当12x x ≠时, 12n n n A ax bx =+，其中a b ，为待定系数，可根据初始值12,A A 求出； ②当12=x x 时，1()n n A an b x =+，其中a b ，为待定系数，可根据初始值12,A A 求出。

3. 形如1n n n uA v A rA t ++=+的数列，一般是令ux v x rx t

+=+，解出12,x x x =，则 ①当12x x ≠时，

12 n n A x A x --为等比数列；②当12=x x 时，11 n A x -为等差数列。 典型例题：

例1. （2012年全国大纲卷理12分）函数2

()23f x x x =--。定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

（1）证明：123n n x x +≤<<；

（2）求数列{}n x 的通项公式。

【答案】解：（1）∵2(4)4835f =--=，∴点(4,5)P 在函数()f x 的图像上。

∴由所给出的两点(4,5),(,())n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存

在。

∴直线n PQ 的直线方程为()55(4)4

n n f x y x x --=--。 令0y =，可求得()2285=44n n n x x x x -----，解得43=2

n n x x x ++。 ∴1432

n n n x x x ++=+。 下面用数学归纳法证明23n x ≤<：

当1n =时，12x =，满足123x ≤<，

假设n k =时，23k x ≤<成立，则当1n k =+时，

1435422k k k k x x x x ++==-++， 由23k x ≤<得，425k x <≤+，即55124k

k <

综上可知23n x ≤<对任意正整数恒成立。

下面证明1n n x x +<：

∵22143432(1)4222

n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++----+-=-==+++， ∴由23n x ≤<得，112n x <≤-。∴()20143n

∴10n n x x +->即1n n x x +<。

综上可知123n n x x +≤<<恒成立。

（2）由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432

x x x +=+即2230x x --=，

解得3x =或1x =-。

∴14333=3=22n n

n n n x x x x x ++---++① ，

14355(1)122

n n n n n x x x x x +++--=+=++②。 两式相除可得11331151

n n n n x x x x ++--=?++。

而1132311213x x --==-++ ∴数列31n n x x ??-??+??

是以13-为首项以15为公比的等比数列1311()135

n n n x x --=-?+。 ∴11195143351351

n n n n x ---?-==-?+?+。 【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。

【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明23n x ≤<，运用差值法证明1n n x x +<，从而得证。

（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。