用特征根方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项

当

()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：1

n n n aa b a ca d

++=

+ 令 ax b x cx d +=+，即2

()0cx d a x b +--= ，

令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有

111

n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d =

+）

(2)若12x x ≠,则有

111

122n n n n a x a x

q a x a x ++--=-- （其中12

a cx q a cx -=

-）

例题1：设

()27

x f x x -+=

-，

(1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使

()()f x a x a

f x b x b

--=--恒成立的常数k 的值；

(3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a 。23

()27

x f x x -+=

解析：(1)设函数

()f x 的不动点为0x ，则00023

x x x -+=

解得012

x =-或03x = (2)由231111

()127

2222238248(3)83327

x x x x x x x x x x -++---++-===?-++-----

可知使

()()f x a x a k

f x b x b --=--恒成立的常数18k =。(3)由(2)可知1111

122383

n n n n a a a a --++=?--，所以数列 123n n a a ?

?+????-????

是以34-为首项，18为公比的等比数列。则

11312()348n n n a a -+=-?-，则11

911

()482311()

n n n a ---=+

例2．已知数列}{n a 满足性质：对于1

N,,23

n n n a n a a ++∈=

+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的

根，则有

114

1234231114244651052

223

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-

+++++++++

即

1111

1252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ??-??

+??

是以25为首项，1

为公比的等比数列 1

121()255n n n a a --=-+ 114

()1(5)455,N.212(5)

1()

55n n n n n a n ---+--==∈+--- 例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

131

+-=

+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a

解：作特征方程.3

13+-=

x x x

变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =

（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543

,N.7

n n a n n +=

∈+ 一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）

在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），

（1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列；（2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列；（3）当

1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；

（4）当

0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1q

x p

-叫做特征方程的特征根，这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+；

例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ；

（参考答案：1

22273n n a -=-

）

二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）

在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数）

，则称2

x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。（1）当1

2x x ≠时，有1122

n n n a c x c x =+；（2）当12x x =时，有1

11[(1)]n n a a n d x -=+-；

其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。例2：在数列{}n a 中，123,7a a ==，且3n ≥时，12340n n n a a a ----=，求n a ；

（参考答案：121(1)2n n n

a +-=-+）考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列}{n a 的项满足1a b =, 1n n a ca d +=+

其中,1,0≠≠c c

求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程

的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10

a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

x -=

作换元,0x a b n n -= 则1

101n n n d b a x ca d c

--=-=+-

- 0().1n n n cd

ca c a x cb c

=-=- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10

a x =时，01=

b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.2

,2310-=--=x x x 则

当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3

-为公比的等比数列.于是1111111

()(),323n n n b b --=-=-

133111

(),N.2223

n n n a b n -=-+=-+-∈

例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位.

当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？

解：作方程,)32(i x x

+=则.5360i x +-=

要使n a 为常数，即则必须.5

3601i

x a +-==

现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3．已知数列}{n a 满足性质：对于,3

,N 1

++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对

于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=

（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h

a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方

程h

rx q

px x ++=

（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ

若λ≠1a ，则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则1

2--=

n n n

c c a λλ，,N ∈n 其中

).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=

-a n r

p r p a a c n n 其中

证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N ,∈-=n a d n n λ

则λλ-++=

-=++h ra q pa a d n n n n 11 h ra h q r p a n n

+-+-=λλ)( h

d r h

q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=

]

)([)(2 ① ∵λ是特征方程的根，∴λ

.0)(2=--+?++=

q p h r h

r q

p λλλλ

将该式代入①式得.N ,)

∈-+-=

+n r

h rd r p d d n n n λλ ②

将r

p x =

代入特征方程可整理得

,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r

≠

于是.0≠-r p λ ③

当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ

当01

≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(11

p r d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=+ ④

由λ是方程h rx q px x

++=

的两个相同的根可以求得.2r h

p -=

λ ∴

,122=++=---+=-+h p p h r

h p p r

r h p h r p r h λλ 将此式代入④式得

.N ,111∈-+=+n r p r d d n n λ 令.N ,1

∈=

n d b n

则.N ,1∈-+

=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.

∴.N ,)1(1∈-?

-+=n r p r n b b n λ 其中.11111λ

-==a d b

当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1

∈+=

+=n b d a n

n n λλ 当存在,N 0

∈n 使00=n b 时，λλ+=

+=0

001

n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12

a ≠λ于是可作变换

.N ,2

∈--=

n a a c n n n λλ

故2

1111

λλ--=+++n n n a a c ，将h

ra q

pa a n n n ++=

代入再整理得

N ,)()(22111∈-+--+-=

+n h

q r p a h

q r p a c n n n λλλλ ⑤

由第（1）部分的证明过程知r

p x =不是特征方程的根，故.,21

p r p ≠≠

λλ 故

.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：

,2211211

∈-+

--+

?--=+n r

p a r

p h

q a r

p r p c n n n λλλλλ ⑥ ∵特征方程h

rx q px x ++=

有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程

xr p xh q x --=

-与方程0)(2

=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--r

p h q r p h q

将上两式代入⑥式得

N ,2121211

∈--=--?--=-n c r p r p a a r p r p c n n n n λλλλλλ 当,01

=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为

p r p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有

.))(()(

2121111211------=--=n n n r

p r p a a r p r p c c λλλλλλ 当01=c 即11λ=a 时，上式也成立.

由2

1λλ--=

n n n

a a c 且21

λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,1

2∈--=

n c c a n n n λλ(证毕)

注:当

qr ph =时,

h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h

ra q

pa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘

述.

现在求解前述例3的分类递推问题）（*.

解:依定理作特征方程,3

++=

x x x

变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的

根，使用定理2的第（2）部分，则有

.N ,)2

21211(2313)(11212111∈?-?-?+-?--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)51

(521∈-=-n c n n

∴.N ,1)5

1(521

)51

(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a n

n n 例4．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

131

+-=

+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？

解：作特征方程.3

13+-=

x x x 变形得,025102=+-x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.

（1）∵∴=∴=.,511

λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a （2）∵.,311

λ≠∴=a a ∴λ

λr p r

n a b n --+-=

)1(11

1131

)1(531?-?-+-=

n ,8

21-+-

=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，5

51--=

n n b a n n λ.

（3）∵,5,61==λa ∴.1λ≠a

∴.,81

1)1(11N n n r p r n a b n

∈-+=--+-=

λλ 令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n

∴.N ,743

558

1111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

λ （4）显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是

存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8

51)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得

N ,113

51∈--=

n n n a 且n ≥2.

∴当1

51--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在.

于是知：当1a 在集合3{-或

,:113

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.

特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p). （2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则 λ=1/（1-2）= -1那么 A（n+1）+1=2（An+1）二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意： ①m n为（※）两根。 ②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜， ③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2

求递推数列通项的特征根法与不动点法

求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121 12 c c =???= ??， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2 441x x =-，解得121 2x x ==，令()1212n n a c nc ?? =+ ??? ，由1122121()121(2)2 4 a c c a c c ? =+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa B a C a D ++= +的数列对于数列2n n n Aa B a C a D ++= +，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为A x B x C x D += +，变形为2()0C x D A x B +--=…②

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

不动点(特征方程)法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d

【高中数学】特征根法求通项公式

特征方程法解递推关系中通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说说说说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 1 11=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.2 1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1-为公比的等比数列.于是 .N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-= 要使n a 为常数，即则必须.5 3601i x a +-== 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程

数列的特征方程

递推数列特征方程的来源与应用递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列???? ??-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+=

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

特征方程推导数列

递推数列特征方程的来源与应用递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近几年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。本文以线性递推数列通项求法为例，谈谈这方面的认识。关于一阶线性递推数列：),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -=c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-++c d a c c d a n n 知数列??????-+ 1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理，得 ()1 1---+=-c d c b d bc a n n n 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为02 2=--+=q px x q px x 即， 1、若方程有两相异根A 、B ，则n n n B c A c a 21+= 2、若方程有两等根,B A =则n n A nc c a )(21+= 其中1c 、2c 可由初始条件确定。很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受

用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项一、递推数列特征方程的研究与探索递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？（一）、若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则，令d t c =-)1(，即1 -= c d t ，当1≠c 时可得 )1 (11-+=-+ +c d a c c d a n n ，知数列? ????? -+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1 (1--+=-+ ∴n n c c d a c d a 将 b a =1代入并整理，得()1 1---+=-c d c b d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设 )(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11 )(-++-=n n n sta a t s a , 令 ? ??==-q st p t s （ ※）（1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s , 则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、 {}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得 1 1 11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1 2 12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②, ∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()() n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+= . （2）若方程组（ ※）有两组相等的解???==21 2 1t t s s ，易证此时11s t -=，则 ())(2112 111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a

特征方程法求数列的通项公式

特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径? 1.已知数列a n 满足a n 1 a -an ---------------------------- …… ① 其中c O,ad bc,n N c a n d 定义1 ：方程x ax _b 为①的特征方程，该方程的根称为数列 a n 的特征根，记为 cx d (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) (a c )a n [ c (a c c )] (a c )a n (a c ) a c a ” 上/ a c 证毕 a n 定理2 :若 a 1 且 a d c rnri 1 2c 1 0，则 a n 1 a d a n 证明： * d 2 a 2 c, b c 1 1 ca n d ca n d a n 1 aa n b (aa n b) (ca n d) (a c)a n b d ca n d ca n a 2 c ca n a 2 c ca n a 2 c (a c)a n ( 2 c a 2 2 c) (a c)(a n ) a d / 2 (a n ) 2ca n 2a 4 c 2ca n (a 2 c) d 2c(a n ) (a d) (a d)(a n ) (a d)(a n ) (a d)(a n ) 定理 1：若 , 印且证明： x ax b --- 1 2 cx cx d d a ( )c,b aa n b a n 1 ca n d a n 1 aa n b ca n d ,则 a n 1 a n 1 a c a n a c a n (d a)x b c (aa n b) (ca n d) (aa n b) (ca n d) a d b W c (a c 冋(b d ) (a c )a n (b d )

求数列通项公式的十一种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333 n n n n n a a +++-=+，故

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

特征方程法求解数列通项的依据

特征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位. 当取何值时，数列是常数数列？

解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）. 例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果. 定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换则 ① ∵是特征方程的根，∴

将该式代入①式得② 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③ 当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化： ④ 由是方程的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列. ∴ 其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得

用特征根方程法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项当f(x)二X 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 aa n ■ b 人 ax ■ b 2 典型例子：a n 1 - 令 x ，即 ex ? (d -a)x —b = 0 ca n +d cx + d 令此方程的两个根为 x , , x 2 1 (1)若x , = x 2，则有 a n^ _x 1 a n — X , a - — X , a — ex , ⑵若X i=X 2,则有—— -=q — -(其中q —) a n 半一 x 2 a n —X 2 a ~ cx 2 —2x +3 例题1：设f(x)= 2x —7 (i)求函数y = f (x)的不动点；(2 )对(i)中的二个不动点a,b (a ::- b)，求使 f (x) _ a = k x _ a 恒成立 f(x)-b x —b 的常数k 的值； 2X 3 ⑶对由a — =1,a n = f (a n 丄)(n_2)定义的数列｛a n ｝，求其通项公式a n 。f(x)= 2x —7 解析：⑴设函数f (x)的不动点为x 0，则X o 2X0 3 2x o -7 -2x 3 1 1 / 1、 1 X (x ) x — ⑵由 2X-7 2 2 U 2 -2x+3 3 8x+24 -8(x-3) 8 x -3 2x -7 可知使f (x) -a _k x _a 恒成立的常数 f (x) -b x -b a n 1 31 3(1厂-〕 —2=2 .(丄严，则a 二吐 2 a n -3 4 8 n 「3(—严 4 W a +4 例2?已知数列｛a n ｝满足性质：对于n ?N,a n1 n ,且a^3,求｛a n ｝的通项公式. 2 a n 3 1 P (其中P ) a n - x ! a d 1 解得x 0 或x 0 =3 2 1 + 丄，2 k 。(3)由⑵可知an 2 J an 」2，所以数列 8 a 8 a 丄 (3) -为公比的等比数列。则 8

特征根法求数列通项

特征根法在求递推数列通项中的运用各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）…………… 2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4 1 = q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，=+++)1)(1(m n m n a a a a ) 1)(1(q p q p a a a a +++， 1）当时，求通项5 4 ,21== b a n a 。像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足 ?? ?-==+q x x p x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 2 1112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1 121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1 211231+= +? =n n a a n

特征方程法求解递推关系中的数列通项(二)

特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）三、(分式递推式)定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11 2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----= -a n r p r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++= ∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解:依定理作特征方程,3 24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 .N ,)2 21211(2313)(11212111∈?-?-?+-=--?--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)5 1(521∈-= -n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,) 5(24)5(∈-+--=n a n n n

数列通项特征根法的证明

数列{a(n)}，设递推公式为a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 . 若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同) 若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n 以上部分内容的证明过程：设r、s 使a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] 所以a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) 即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。然后进一步证明那个通项公式：如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，两边同时除以r^(n+1)，得到a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r 等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r] 整理一下，并设a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个r 用A 来代，就可以得到a(n)=(c+nd)*A^n 了。至于那个方程有两个不等的实根的情况，证明起来原理基本一致，就是略微繁琐一点，这里就不多说了，lz自己试试，当成数列练习把~~ 如果r不等于s，那么可得，a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] (1) a(n+2)-s*a(n+1)=r[a(n+1)-s*a(n)] (2) (1) 公式，[a(n+2)-r*a(n+1)]/[a(n+1)-r*a(n)]=s,换元得b(n+1)/b(n)=s等比数列，则有b(n)＝a(n+1)-r*a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1) (3) (2) 公式，[a(n+2)-s*a(n+1)]/[a(n+1)-s*a(n)]＝r等比数列, 则有a(n+1)-s*a(n)= [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1) (4) (3)-(4)可得，(s-r) a(n)= [a(2)-r*a(1) ]s^(n-1)- [a(2)-s*a(1) ]r^(n-1) a (n)= ([a(2)-r*a(1) ]/[s(s-r)])*s^n-([a(2)-s*a(1) ] /[r(s-r)])* /[s(s-r)] *r^n a(n)=a*s^n+b*r^n 若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同) 若方程有两等根A=B，则a(n)=(c+nd)*A^n