工程力学课件 第十章 重心和形心

制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心
的位置。
z C1 C
Ci
o
x
P ΔP1 ΔPi z1 zC zi y1 yC yi x1 xC xi
y
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第5章 重心和形心
5
§5-1 重心和形心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
右图认为是一个空间力系，则 P=∑ΔPi 合力的作用线通过物体的重 心，由合力矩定理
第5章 重心和形心
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4. 称重法 对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其 重心测定常采用这种方法。 思考题5-1 图示机床重 2500 N，现拟用“称重法”确 定其重心坐标。为此，在B处 y 放一垫子，在A处放一秤。当 A 机床水平放置时，A处秤上读 θ 数为1750N，当θ=20º时秤上 B 的读数为1500 N。试算出机床 重心的坐标。
心。对重力来说，则为重心。 重心的位置对于物体的 相对位置是确定的,与物体在 空间的位置无关。
x o z C1
C
P
Ci
ΔPi ΔP1 z1 zC zi
y1
yC yi
x1
xC
xi
y
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重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如， 电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、
y
20
2
200 1 O 150 20 x
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例题 5-2
x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180×130 = -23400 mm2 故 x2= 85 mm, y2= 110 mm 30000×75 - 23400×85 xC = 30000 - 23400 30000×100 - 23400×110 yC = 30000 - 23400 两种方法的结果相同。
C
展开得
2y
2 max
6a ymax 3a 0
2
a E ymax B x
解方程得
ymax 62 3 a 0.634 a 4
A
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z C1 o x
C
Ci
P ΔP1 ΔPi z1 zC zi
y1
yC yi
x1
xC
xi
y
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平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用
线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
o
y1 z C
C1
Ci
P ΔP1 ΔPi z1 zC zi yC yi x1 xC xi
y
M y ( P) M y (Δ Pi )
P xC Δ P i xi
x
xC
i i
ΔPx
i
i
同理有
yC
ΔPy P
P
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为确定 zC ，将各力绕y轴转90º，得
zC ΔPz
i
z
i
P
C1
C P
Ci
2. 均质物体的重心坐标公式
即物体容重g 是常量，则
x
o
ΔPi ΔP1 z1 zC zi y1 yC yi x1 xC xi
y
P g V , Δ P i g ΔVi
xC
ΔV x
i
i
V
yC
ΔV y
i
i
V
zC
ΔV z
a C
Ⅱ
a
E Ⅰ
ymax
B
A
x
ymax 2 a a ymax a 3 2 2 a ymax a 2 2
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例题 5-3
ymax ymax a 2 a ymax a 3 2 2 a ymax a 2 2
y D
a
x
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例题 5-3
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等 腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余 部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。
y D
a C
a
E
A B
ymax x
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例题 5-3
解：分两部分考虑 a xC = 2 极限位置 yC= ymax Ⅰ： A1 a ymax / 2 y1 ymax / 3 Ⅱ： A2 a2 , y2 a / 2 A1 y1 + A2 y2 yC = A1 + A2 , 即 ymax
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3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称 平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。 设板厚为d ，则 有 V =A· d， ΔVi = ΔAi· d
则
xC
yC
Δ
Δ
Ai xi A
Ai yi
x
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例题 5-2
由组合法，得到
y 20
A1 x1 + A2 x2 xC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2 yC = A1 + A2
= 39.5 mm
= 64.5 mm
200 1
O 2 150 20 x
另一种解法： 负面积法
将截面看成是从200mm×150mm的 矩形中挖去图中的小矩形（虚线部 分）而得到，从而 A1 = 200×150= 30000 mm2
20
2
200
1 O 150 20 x
= 39.5 mm
= 64.5 mm
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3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次 悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线 的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什 么？
A
B A C
B
.
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A A 例题 5-1 求图示半圆形的形心位置。
C 2R
.O
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例题 5-1
解：建立如图所示坐标系， dy 则 xC= 0 现求 yC 。
y
y b(y)
C 2R
b( y ) 2
R y
2
2
.O
x
d A b( y ) d y 2
R2 y2 d y
则
i
i
V
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i i
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xC
ΔV x V ΔVi yi
z
C1 o x C P Ci
yC
V Δ Vi zi zC V
ΔPi ΔP1 z1 zC zi y1 yC yi x1 xC xi
y
上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物 体，其重心与形心的位置是重合的。
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2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每 个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第 一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方 法称为组合法。 下面通过例子来说明。
y
例题 5-2
角钢截面的尺寸如图所 示，试求其形心位置。
200 O
20
150
20 x
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Sx y d A
A
2y
0
R
3 2 2 3 2 2 2 2 2 R R y d y (R y ) | 0 R 3 3
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例题 5-1
代入公式有
yC

y
A
y dA A
Sx 4 R A 3 π
C 2R
.O
x
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例题 5-2
解：取Oxy坐标系如图所示，将角钢分割成两个 矩形，则其面积和形心为： A1 =（200-20）×20=3600 mm2
x1 = 10 mm
y1 = 110 mm A2 = 150×20=3000 mm2
x2 = 75 mm y2 = 10 mm
y 20 200 1 O 2 150 20
A 上式也即为求平面图形形心的公式。
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§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
具体方法：
(1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。
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1. 积分法
对于任何形状的物体或平面图形，均可用下 述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的 具体位置。对于均质物体，则有
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§5-1 重心和形心的坐标公式 §5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
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地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。 任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些 微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重 力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、 zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个 汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上 物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而 此力系的合力称为物体的重力。
xC yC zC

V
x dV V y dV V z dV V
z
, ,

C1 o x
C P
Ci
V
ΔPi ΔP1 z1 zC zi y1 yC yi x1 xC xi
y
V
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若为平面图形，则
xC x dA y dA , y
A A C