阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB

PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质

定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ

证（以1>λ为例）

设λ===QB AQ PB AP a AB ,

，则 1

,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知

于是,1

,122-=-=λλλa AC a BC .λ=BC AC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ 性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外；

当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。

性质2.因AQ AP AC ⋅=2，过AC 是圆O 的一条切线。

若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。

性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.12

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛-λλπa

性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。

性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠ 数学应用

1.（03北京春季）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值),0(>a a 求点P 的轨迹.

2.（05江苏）圆1O 和圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 和圆2O 的切线N M PN PM ,(,分别为切点），使得PN PM 2=，试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程.

3.（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.

4.(08江苏)满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.

5.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.

6.已知P A ),0,2(-是圆16)4(:22=++y x C 上任意一点，问在平面上是否存在一点B ，使得?2

1=PB PA 若存在，求出点B 坐标；若不存在，说明理由. 变式：已知圆16)4(:22=++y x C ，问在x 轴上是否存在点A 和点B ，使得对于圆C 上任意一点P ，都有

?2

1=PB PA 若存在，求出B A ,坐标；若不存在，说明理由.

7.在ABC ∆中，AD AC AB ,2=是A ∠的平分线，且.kAC AD =

（1）求k 的取值范围；

（2）若ABC ∆的面积为1，求k 为何值时，BC 最短.

问题在同一平面内，已知两定点()()2,0,4,0A B -，若动点P 满足12

PA PB =,则点P 的轨迹方程是________.其轨迹为_________. 变式如果将题目中“12

PA PB =”改为“()01PA PB λλλ=>≠且”呢？ 8、已知()()2,0,4,0A B -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，问是否存在

这样的常数λ，使得

PA PB

λ=？若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由

对以上问题的反思：对于圆222r y x =+上任意一点P ，和定点)0,(0x A ，是否在

x 轴上存在不同于A 点的点B ，使得|

|||PA PB 为常数λ？ 变式一求证：对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点)0,(0x A ),0(00r x x ±≠≠，

在x 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且)0,(02

x r B ，||0x r =λ 变式：求证：对于圆222r y x =+上任意一点P ，在x 轴上存在不同的两点

)0,(),0,(21x B x A )0,0(21≠≠x x ，使得|

|||PA PB 为常数λ)1(≠λ，且1221,x x r x λλ

=±= 变式：求证：对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点),0(0y A ),0(00r y y ±≠≠，

在y 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且),0(0

2

y r B ，||0y r =λ 注1.可以由变式二类似地到什么结论，请你把它写下来，并加以证明

2.你还能得到更一般的结论吗？