2016年秋九年级数学上册1.2矩形的判定(第2课时)学案(新版)北师大版
九年级上册北师大版数学1.2.2矩形的判定课件
教学目标
1.掌握矩形的三种判定方法，并会用矩形的判定方法进 行有关的论证或计算。
2.经历猜想、证明、归纳等探究过程，体验数学活动 中既需要观察和操作，也需要进行合情的推理。过运用矩形的判定和性质，锻炼客服困难的意志，建 立自信心。
教学重难点
重点 ：矩形判定定理的探究 难点 ：矩形判定定理的探究和应用
情景导入
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框． 请你利用直尺和三角 板帮他检验一下，相框是矩形吗？
判定1（定义）： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 符号语言：如图1所示
∵ ABCD ，∠A＝90°
∴ ABCD是矩形．
图1
延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE.
(1)试判断四边形ABEC的形状；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是
矩形？
A
D
B
C
E
3.拓展提升 如图,连接四边形ABCD各边中点,得到 四边形EFGH, (1)添加_____条件,才能保证四边形 EFGH是矩形. (2)添加_____条件,才能保证四边形 EFGH是菱形.
1.课后作业（教材第16页习题的第2、3 题） 2.拓展性作业（选做） 3.前置性作业（预习 教材17-18页）
作业要求： 1.认真审题，明确题意。 2.书写规范，字迹清晰。 3.过程完整，步骤规范。
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形吗 ？
已知：如图2，在▱ABCD中， AC，DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证： ABCD是矩形。
图2
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形． 符号语言：如图3所示，
∵ ABCD，AC＝BD， ∴ ABCD是矩形．
图3
北师大版九年级数学上册1.2.3矩形的性质与判定(教案)
4.实际应用：结合实际问题，运用矩形性质和判定方法解决问题，提高学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观：通过矩形性质的学习，使学生能够直观理解矩形的特征，提高空间想象能力和几何直观。
2.提升逻辑推理能力：在学习矩形判定方法的过程中，训练学生运用逻辑推理，严谨证明几何问题的能力。
同时，关注学生的合作交流能力。在小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，这可能是因为他们不擅长与他人合作。为了解决这个问题，我将在课堂上多组织一些合作学习活动，鼓励学生主动与他人交流，培养他们的团队协作能力。
最后，关注学生的学习反馈。在课后，我会认真批改学生的作业，了解他们在矩形性质与判定方面的掌握情况。同时，我也会及时与学生们沟通，了解他们在学习过程中遇到的困难，以便在接下来的教学中进行针对性的指导。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的基本概念、性质与判定方法，以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强数学运算能力：通过矩形的周长和面积计算，加强学生对数学运算的熟练度和准确性，提高数学运算能力。
4.培养实际问题解决能力：将矩形知识应用于解决实际问题，提升学生将数学知识应用于现实情境的能力，增强数学实用价值。
5.培养合作交流意识：在小组讨论和合作探究中，培养学生主动与他人交流、合作的意识，提高团队协作能力。
1.2.2 矩形的性质与判定(课件)九年级数学上册(北师大版)
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
四边形 对 角 线
有三个角是直角 矩形 互 相 有一个角是 平 直角 分
平行四边形
对角线相等
情境&导入 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形
有一个角是直角
矩形
性质 矩形
边
角
矩形的对边 矩形的四个角 平行且相等. 都是直角.
对角线 矩形的两条对角线 相等且互相平分.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那 么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：□ABCD是矩形. A
B
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB.
D
C
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
D
∴OA = OC,OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
B
C
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
2016年秋季学期新版北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质和判定导学案8
数学
年级
八年级
授课班级
主备教师
王盛满
参与教师
课型
新授课
课题
§4.4.1矩形、正方形（1）
备课组长审核签名
教研组长审核 签名
学习目标：1．知道矩形的定义和矩形与平行四边形之间的联系；能说出矩形的四个角都是直角和矩形的的对角线相等的性质；能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。(重点) 2．通过图形的变化，来经历观察、 思考、合作、探究等数学活动；体会化归、建模、归纳等数学思想。（难点）3、在自主探究中学到方法，学会合作，学会倾听，在解决问题的过程中体验成功。
准备好一张矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片。
问题：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？
所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？
所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？
由此得出正方形的定义：叫做正方形
二、合作探究（理解）
问题1：由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边的矩形，又是有一个角是的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
学习内容（学习过程）
一、自主预习（感知）
1、仔细阅读课本112页 的内容，并动手实践，回答下列问题：
（1）有一个角是_____的__________叫矩形。
（2）矩形的性质是①_________________②_______________
③______________________
（3）通过如图4-12的操作可知：随∠α的变化，两条对角线的长度发生着变化，当∠α是________时，平行四边形变为 矩形，此时对角线________（填“相等”或“不相等”）也就是当对角线_________时，平行四边形变矩形。
2016年九年级数学上册1.2矩形的性质与判定的运用(第3课时)导学案2(新版)北师大版
矩形的性质与判定的运用基础题知识点矩形的性质与判定的运用1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝( )A．8 B．10 C．12 D．182．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD3．下列说法正确的是( )A．矩形的对角线互相平分B．矩形的四条边相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是( )A．AC⊥BD B．AC＝BDC．BO＝DO D．AO＝CO5．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是( )A．甲量得窗框两组对边分别相等B．乙量得窗框对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )A．5.5 B．5 C．6 D．6.57．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE＝( )A．1 B．2 C．3 D．48．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面______(填“合格”或“不合格”)．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝________．10．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为________．11．(海南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中四个小矩形的周长之和为________．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD.求证：EF＝CD.中档题13．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．15．如图所示，□ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN 与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．(要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件)综合题16．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM 的变化范围．参考答案基础题1.C2.D3.A4.A5.D6.A7.A8.合格9.25° 10.15° 11.1412.证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DF ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．又∵∠ACB ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EF ＝CD.中档题13.A 14.415.结论：四边形PQMN 是一个矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是一个平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.又∵AQ ，BN 分别是∠DAB ，∠ABC 的角平分线，∴∠PBA ＝12∠ABC ，∠PAB ＝12∠BAD.∴∠PBA ＋∠PAB ＝12(∠ABC ＋∠BAD)＝12×180°＝90°.∴∠APB ＝90°.同理：∠BNM ＝∠AQD ＝90°.∴四边形PQMN 是矩形．综合题16.(1)四边形PECF 是矩形．理由如下：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2.∴∠ACB ＝90°.∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC ＝∠ACB ＝∠CFP ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．（2）CM 的长度会改变．理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形，∴EF ＝PC ，CM ＝12CP.过点C 作CD ⊥AB ，当CD ＝PC 时PC 最小，∴PC ＝AC ·BC AB ＝125＝2.4.∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)，∴PC ＜BC ＝4.∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4，即EF 的范围是2.4≤EF ＜4.∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.。
北师大版数学九年级上册：第2课时矩形的判定课件
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ ×180°＝90° 在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB＝4，求证 ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四边形ADCE是平行四边形.而∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
C
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．
北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定教学设计
（二）讲授新知
1.矩形的定义：回顾平行四边形的定义，引导学生理解矩形是一种特殊的平行四边形，即四个角都是直角的平行四边形。
2.矩形的性质：通过动画演示、实际操作等方式，引导学生发现矩形的性质，如对边相等、对角线相等、对角线互相平分等。
1.基础巩固题：完成教材课后习题1、2、3题，要求学生熟练掌握矩形的基本性质和判定方法，加强对矩形知识点的理解。
2.提高拓展题：完成教材课后习题4、5题，引导学生运用矩形知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和知识运用能力。
4.实践应用题：设计一道与实际生活相关的矩形问题，如计算教室黑板的面积、设计一个矩形花园等，让学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.培养学生的空间观念，使学生能够将矩形的相关知识应用到生活中，体会数学在现实生活中的重要作用。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经掌握了平行四边形、三角形等基本的几何图形知识，具备了一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学生对矩形的认识已经具备了一定的基础，但在理解矩形性质的推理和应用方面，仍需进一步引导和培养。此外，学生在解决实际问题时，可能对矩形相关性质的应用还不够熟练，需要通过本章节的学习，提高对矩形的认识和运用能力。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定教学设计
一、教学目标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（一）知识与技能
1.理解矩形的定义，知道矩形是一种特殊的平行四边形，并掌握矩形的四个角都是直角的特性。
2.掌握矩形的基本性质，如对边相等、对角线相等、对角线互相平分等，并能够运用这些性质解决相关问题。
最新北师大版九年级数学上册教案 1.2 第2课时 矩形的判定3
矩形的性质与判定【设计理念】根据新课程标准要求，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。
学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。
结合九年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几点：1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。
2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。
3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。
4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．【教材分析】1．在教材中的地位与作用生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。
前面两节学习了矩形的性质与判定，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。
2．对教材的处理本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。
转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展。
在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深、由易到难的练习题。
教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。
3．教学目标知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。
通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
4.教学重点与难点重点：理解矩形判定定理的应用难点：矩形判定定理的应用【教学方法与教学手段】1．教学方法探究发现、合作学习的方法2．教学手段采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。
北师大版九年级数学上册1.2：矩形的性质与判定优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以现实生活中的矩形物体为例，如矩形桌面、矩形窗户等，引导学生关注矩形在日常生活中的应用，激发学生对矩形的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些与矩形相关的问题，如计算矩形面积、周长等，让学生在解决问题的过程中，自然地引入矩形的学习。
（二）问题导向
1.设计一系列递进式的问题，引导学生从直观到抽象，逐步深入地理解矩形的性质与判定。
3.培养学生严谨治学、精益求精的态度，使学生能够细致观察、推理严密。
4.培养学生合作、交流的能力，使学生学会倾听他人意见，提高自己的人际沟通能力。
在教学过程中，我将注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣，培养他们的数学素养。同时，通过合理的教学设计和丰富的教学手段，确保学生在知识、能力和情感态度与价值观等方面得到全面发展。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过现实生活中矩形物体的引入，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.问题导向的教学策略：设计一系列递进式的问题，引导学生独立思考、积极探索，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.小组合作的学习方式：学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力，培养学生的团队协作精神。
（三）学生小组讨论
1.学生分组进行讨论，每组选择一个矩形，观察并记录矩形的性质。
2.各组汇报讨Biblioteka 结果，分享彼此发现的长方形性质。3.教师点评各组的讨论成果，给予肯定和指导。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结矩形的性质与判定方法，帮助学生梳理知识点。
2.通过思维导图的形式，展示矩形的性质与判定方法，便于学生记忆。
2.运用小组合作、讨论交流的方法，让学生在探究中掌握矩形的性质与判定，提高学生的合作能力和沟通能力。
北师大版-数学-九年级上册-1.2.1矩形的性质与判定 名师学案
§1-2-2 矩形的性质与判定【学习目标】1．能运用综合法证明矩形判定定理。
2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
【学习过程】一、温故知新前面我们已经知道矩形具有一般平行四边形的所有性质，它还具有特殊的性质：1.矩形的四个角都是。
2.矩形的对角线。
二、新知探究观察教材P14的做一做中的图片，按照要求探索其中的规律。
1.猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在平行四边形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：平行四边形AB CD是矩形。
证明：由此得出判定定理1：相等的平行四边形是矩形。
2.一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？证明：判定定理2：有 是直角的四边形是矩形。
三、知识运用1．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）． A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90° C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C =90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°2．已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，•④BC=AD ，⑤A C=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3个，能使四边形ABCD 是矩形． 四、课堂小结判定定理1： 相等的平行四边形是矩形。
判定定理2：有 是直角的四边形是矩形。
六、课后作业1.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D, 则四边形ABCD 是 ；2.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，则该矩形的对角线长为 cm ；3.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 则斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高 cm.4.下列命题是真命题的是（ ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形 5.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm 2, 则其周长为（ ）. A. 15cm B. 30cm C. 45cm D. 90cm 6.如图3-12，□ABCD 中，∠DAC =∠ADB , 求证：四边形ABCD 是矩形.7.已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、图3-12B AC DOAD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．8.如图3-14，□ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H. 求证：EG =FH .图3-14HG F EBAC D BAC D N M。
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1
矩形的判定
【学习目标】
1．会证明矩形的判定定理．
2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
【学习重点】
理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用．
【学习难点】
定理的证明方法及运用．
情景导入 生成问题
1．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．
2．菱形的判定方法有哪些？
答：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
判定定理：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2)四边相等的四边形是菱形．
自学互研 生成能力
知识模块一 探索矩形的判定方法
先阅读教材P14“做一做”，完成下面的问题：
1．运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？
答：2个条件：(1)该四边形是平行四边形；(2)该平行四边形有一个角是直角．
2．“做一做”中随着∠α的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？
答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
1．动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
思考：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形．
2
已知：如图，在▱ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：▱ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC＝
∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝∠DCB＝12×180°＝90°.∴▱ABCD是矩形(矩形的定义)．
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结
论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
知识模块二 矩形判定定理的应用
解答下列各题：
1．对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．
2．下列说法错误的是( C )
A
．有一组对角互补的平行四边形一定是矩形
B
．两条对角线相等的平行四边形一定是矩形
C
．对角线互相平分的四边形一定是矩形
D
．有三个角是直角的四边形一定是矩形
典例讲解：
已知：如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠
EAB＋∠ABG＝12×180°＝90°.∴∠AFB＝90°，∴∠EFG＝∠AFB＝90°.同理可证∠AED＝∠BGC＝∠EFG＝90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
对应练习：
如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．
3
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC，BO＝12BD.∵AO＝BO，∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是
矩形)．在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，∴BC＝82－42＝43(cm)．∴S▱ABCD＝AB·BC＝4×43＝163
(cm2)．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将
疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索矩形的判定方法
知识模块二 矩形判定定理的应用
检测反馈 达成目标
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D
．AC＝BD
2．下列说法正确的是( D )
A
．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B
．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C
．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D
．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
3．在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则它的面积是__48__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求
证：四边形ADCE是矩形．
4
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD＝12∠BAC，∠CAN＝12∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝12(∠BAC＋
∠CAM)＝12×180°＝90°.在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________