与直角有关的折叠问题(二)(北师版)(含答案)

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北师大版七年级下册第2章平行线 ---纸片翻折问题专题练习(word版、含解析)

北师大版七年级下册平行线纸片翻折问题专题练习一、单选题1．如图,长方形纸片ABCD 中,AB =3cm,AD =9cm,将此长方形纸片折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点H 的位置,折痕为EF ,则△ABE 的面积为（）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2 2．如图,在长方形ABCD 纸片中,//AD BC ,//AB CD ,把纸片沿EF 折叠后,点C 、D 分别落在C '、D 的位置．若65EFB ∠=︒,则AED '∠等于（）A ．70°B ．65°C ．50°D ．25° 3．如图,在四边形ABCD 中,△A=120°,△C=80°．将△BMN 沿着MN 翻折,得到△FMN ．若MF △AD,FN △DC ,则△F 的度数为（）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100° 4．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点,D C 分别落在点',D C '的位置,若65EFB ∠=︒,则'AED ∠等于（）A ．50B ．55C ．60D ．655．如图,已知长方形纸片ABCD , 点E 、F 在BC 边上,点G 、H 在AD 边上,分别沿EG 、FH 折叠,使点B 和点C 都落在点M 处,若a +β=224°,则△EMF 的度数为（）A ．90°B ．91°C ．92°D ．94°6．将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后,若边//AD BC ,则翻折角1∠与2∠一定满足的关系是（）A ．122∠=∠B ．1290∠+∠=︒C ．1230∠-∠=︒D ．213230∠-∠=︒ 二、填空题 7．如图,将一张长方形的纸片沿折痕EF 翻折,使点B 、C 分别落在点M 、N 的位置,且△AFM ＝12△EFM,则△AFM ＝_____°．8．如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上, 将BMN△沿MN翻折,得△FMN,若MF△AD,FN△DC,则△B =___°．9．如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,△BFE= 65°,则△AEB=____________.10．如图所示,把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠,若△BDE＝20°,那么△BED＝__．11．如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若△EFC′＝125°,那么△ABE的度数为________．12．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,若△34CBD=,则△ABC=______°．、为折痕,边BA与BE折叠后紧靠在一起,若13．如图,将一长方形纸片折叠,BC BD∠=︒,则DBEABC25∠=__________度．14．如图,将正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 边点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,若32NEC FMN ∠=︒∠=，_____︒．三、解答题15．手工制作课上,老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样,若折痕与一条边BC 的夹角△EFB =30°,你能说出△EGF 的度数吗？16．同学们,我们己学习了角平分线的概念和性质,那么你会用它们解决有关问题吗？（1）如图（1）,己知AOB ∠,请你画出它的角平分线OC ,并填空：因为OC 是AOB ∠的平分线,所以△______=△______12AOB =∠ （2）如图（2）,己知AOC ∠,若将AOC ∠沿着射线OC 翻折,射线OA 落在OB 处,请你画出射线OB,射线OC 一定平分AOB ∠．理由如下：因为BOC ∠是由AOC ∠翻折而成,而翻折不改变图形的形状和大小,所以BOC ∠=∠_______,所以射线_________是△_________的角平分线．拓展应用（3）如图（3）,将长方形纸片的一角折叠,使顶点A 落在C 处,折痕为OE ,再将它的另一个角也折叠,顶点B 落在OC 上的D 处并且使OD 过点C,折痕为OF ．直接利用（2）的结论；△若30AOE ∠=︒,求EOF ∠的度数．（写出计算说理过程）△若AOE m∠=︒,求EOF∠的度数有什么规律？（写出∠的度数,从计算中你发现了EOF计算说理过程）17．如图△,将一张长方形纸片沿EF对折,使AB落在A B''的位置；（1）若△1的度数为a,试求△2的度数（用含a的代数式表示）；（2）如图△,再将纸片沿GH对折,使得CD落在C D''的位置．EF C G',△1的度数为a,试求△3的度数（用含a的代数式表示）：△若//'⊥',△3的度数比△1的度数大20°,试计算△1的度数．△若B F C G参考答案：1．A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =,在Rt BAE 中,利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,9cm AD =,9BE AE ∴=-,根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-,解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABE S ∴=⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形,掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．2．C【解析】【分析】由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,由题可知,AD △BC ,可知△DEF =△EFB =65°,由平角为180°,可知△AED ′的度数．【详解】解：由折叠可知,△DEF =△D ′EF ,△AD △BC ,△△DEF =△EFB =65°,△△AED ′=180°-△DEF -△EFB =50°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质,掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出△BMF=120°,△FNB=80°,再利用翻折变换的性质得出△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,进而求出△B 的度数以及得出△F 的度数．【详解】△MF△AD,FN△DC,△A=120°,△C=80°,△△BMF=120°,△FNB=80°,△将△BMN 沿MN 翻折得△FMN,△△FMN=△BMN=60°,△FNM=△MNB=40°,△△F=△B=180°-60°-40°=80°,故选B ．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质,得出△FMN=△BMN,△FNM=△MNB 是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据//AD BC 得出DEF EFB ∠=∠,再由翻折变换的性质得出'D EF DEF ∠=∠,由平角的定义即可得出结论．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形△//AD BC△DEF EFB ∠=∠△65EFB ∠=△65DEF EFB ∠=∠=△四边形''EFC D 由四边形EFCD 翻折而成,△'65D EF DEF ∠=∠=,△'180'180656550AED DEF D EF ∠=-∠-∠=--=．故选A ．【点睛】本题考查的是图形的翻折变换,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．5．C【解析】【分析】根据四边形ABCD是长方形,可得AD△BC,得到△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,进而得到△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠性质可知,△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,进而得到△BEM+△CFM=272°,根据平角的定义列式得到△MEF+△MFE=88°,再根据三角形的内角和即可得解．【详解】解：△四边形ABCD是长方形,△AD△BC,△△BEG+α=180°,△CFH+β=180°,△△BEG=180°-α,△CFH=180°-β,△α+β=224°,△△BEG+△CFH=360°-（α+β）=136°,由折叠可知：△BEG=△GEM,△CFH=△HFM,△△BEM+△CFM=2（△BEG+△CFH）=272°,△△MEF+△MFE=360°-（△BEM+△CFM）=360°-272°=88°,△△EMF=180°-（△MEF+△MFE）=92°,故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和．6．B【解析】【分析】根据平行可得出△DAB+△CBA=180°,再根据折叠和平角定义可求出1290∠+∠=︒．【详解】解：由翻折可知,△DAE=21∠,△CBF=22∠,△//AD BC,△△DAB+△CBA=180°,△△DAE+△CBF=180°,∠+∠=°,即2122180△1290∠+∠=︒,故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．7．36【解析】【分析】△EFM可得△EFM＝△BFE＝由折叠的性质可得△EFM＝△EFB,设△AMF＝x°,由△AFM＝122x°,然后根据平角的定义列方程求出x的值即可得答案．【详解】△将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折,使点B、C分别落在点M、N的位置,△△EFM＝△EFB,设△AFM＝x°,△EFM,△△AFM＝12△△EFM＝△BFE＝2x°,△x°+2x°+2x°＝180°,解得：x＝36,△△AFM＝36°．故答案为：36【点睛】此题考查了折叠的性质与平角的定义．解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．8．95【解析】【详解】△MF△AD,FN△DC,△△BMF=△A=100°,△BNF=△C=70°.△△BMN沿MN翻折得△FMN,△△BMN=12△BMF=12×100°=50°,△BNM=12△BNF=12×70°=35°.在△BMN中,△B=180°－（△BMN＋△BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°. 9．50°【解析】【分析】根据翻折求出各个角的度数,再根据平角180°求出△AEB的度数即可.【详解】如图所示,由矩形ABCD可得AD△BC,△△1=△BFE =65°,由翻折得△2=△1=65°,△△AEB =180°-△1- △2 =180°-65°-65°=50°.10．140°【解析】【分析】由AD△BC,利用“两直线平行,内错角相等”可得出△CBD的度数,由折叠的性质可得出△EBD 的度数,结合△CBE＝△CBD+△EBD可得出△CBE的度数,由AD△BC,利用“两直线平行,同旁内角互补”可求出△BED的度数．【详解】解：△AD△BC,△△CBD＝△BDE＝20°．由折叠的性质可知：△EBD＝△CBD＝20°,△△CBE＝△CBD+△EBD＝40°．△AD△BC,△△BED＝180°﹣△CBE＝140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质,牢记“两直线平行,同旁内角互补”是解题的关键．11．20°【解析】【分析】由折叠的性质知：△EBC′、△BC′F都是直角,△BEF=△DEF,因此BE△C′F,那么△EFC′和△BEF互补,这样可得出△BEF的度数,进而可求得△AEB的度数,则△ABE可在Rt△ABE中求得．【详解】解：由折叠的性质知,△BEF=△DEF,△EBC′、△BC′F都是直角,△BE△C′F,△△EFC′+△BEF=180°,又△△EFC′=125°,△△BEF=△DEF=55°,△△BED=110°,△△AEB=180°-△BED=70°在Rt△ABE中,可得△ABE=90°-△AEB=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等．12．73【解析】【分析】首先根据折叠的性质得出ABE ABC ∠=∠,然后利用()11802ABC CBD ∠=⨯︒-∠求解即可．【详解】如图,由折叠可知ABE ABC ∠=∠,34,180CBD EBD ∠=︒∠=︒,()()11180180347322ABC CBD ∴∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒, 故答案为：73．【点睛】本题主要考查几何图形中的角度计算,掌握折叠的性质是解题的关键．13．65【解析】【分析】根据折叠的性质得到△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,再根据平角的定义得到△FBD +△DBE ,从而计算△DBE ．【详解】解：由折叠可知：△ABC =△FBC =25°,△FBD =△DBE ,△△FBD +△DBE =180°-（△ABC +△FBC ）=130°,△△DBE =130°÷2=65°,故答案为：65．【点睛】本题考查了折叠问题,解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．14．119【解析】【分析】根据正方形的性质得到△A=△C=△D=90°,根据折叠的性质得到△F=△A=90°,△FEN=△C=90°,△DNM=△ENM,根据平角的定义得到△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD是正方形,△△A=△C=△D=90°,△将正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边点E处,点A落在点F处,△△F=△A=90°,△FEN=△D=90°,△DNM=△ENM,△△NEC=32°,△△ENC=58°,△△ENM=12（180°-△ENC）=12（180°-58°）=61°,△△FMN=360°-90°-90°-61°=119°,故答案为：119．【点睛】本题考查了角的计算,翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相等的角是解决本题的关键．15．120°【解析】【分析】由平行线的性质可得△DEF=△EFG=30°,由折叠性质可得△GEF=△DEF=30°,可求△DEG,再利用平行线性质可求△EGC即可．【详解】解：因为AD∥BC（已知）,所以△DEF=△EFG=30°（两直线平行,内错角相等）,因为△GEF=△DEF=30°（对折后重合部分相等）,所以△DEG=2△DEF=60°,所以△EGC=180°－△DEG=180°－60°=120°（两直线平行,同旁内角互补）．【点睛】本题考查平行线性质,折叠性质,掌握平行线性质,折叠性质是解题关键．16．（1）△AOC,△BOC；（2）△AOC,OC,△AOB；（3）△90︒,过程见解析,△90°,EOF∠始终是90°,过程见解析．【解析】【分析】(1)根据角的平分线的定义解答即可；(2)根据折叠的意义解答即可；(3)△根据折叠的意义,平角的定义,角平分线的定义解答即可；△根据计算探究规律．【详解】解：（1）如图(1),根据角的平分线的定义,知△AOC＝△BOC,故答案为：△AOC,△BOC；∠=∠AOC,所以射线OC_是△AOB的角平分线,（2）如图(2),BOC故答案为：△AOC,OC,△AOB；（1）（2）（3）（3）△由（2）“翻折”结论得30EOC AOE ︒∠=∠=,12DOF BOF BOD ∠=∠=∠, 而180180()BOD AOC AOE EOC ∠=︒-∠=︒-∠+∠180230120︒︒︒=-⨯=, 所以111206022DOF BOF BOD ︒︒∠=∠=∠=⨯=, 所以306090EOF EOC DOF ∠=∠+=︒+︒=︒；△当AOE m ∠=︒时,同理可得,EOC AOE m ∠=∠=︒,()1118029022DOF BOF BOD m m ︒︒︒︒∠=∠=∠=-=-, 所以()9090EOF EOC DOF m m ∠︒=︒︒︒=∠++-=,综上所述,发现EOF ∠始终是90°．【点睛】本题考查了角的平分线,角的平分线的基本作图,折叠的意义,折叠的应用,熟练掌握角的平分线的意义和折叠的意义是解题的关键．17．（1）12902a ⎛⎫=-︒ ⎪⎝⎭∠；（2）△13454a ⎛⎫=+︒ ⎪⎝⎭∠；△50° 【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△4=△B ′FC =α,由折叠的性质可知,△2=△BFE ,再根据平角的定义求解即可；（2）△由（1）知,△BFE =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,根据平行线的性质得到△BFE =△C ′GB =1902a ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质及平角的定义求解即可；△由（1）知,△BFE =△EFB ′=90°-12△1,由B ′F △C ′G 可知,△B ′FC +△FGC ′=90°,再根据折叠的性质得到△1+180°-2△3=90°,结合△3=△1+20°即可求解．【详解】解：（1）如图,由题意可知,A′E//B′F,△△4=△1=α,△AD//BC,△△4=△B′FC=α,由折叠的性质可知,△2=△BFE,△△BFE+△2+△B′FC=180°,△△2=12×（180°-α）=1902a⎛⎫-︒⎪⎝⎭；（2）△由（1）知,△BFE=90°-12α,△EF//C′G,△△BFE=△C′GB=1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,再由折叠的性质可知,△3+△HGC=180°-1902a⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭,△△3=△HGC=1454a⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭；△由（1）知,△BFE=△EFB′=90°-12△1,由B′F△C′G可知,△B′FC+△FGC′=90°,△180°-2×(90°-12△1)+(180°-2△3)=90°,即△1+180°-2△3=90°,△△3=△1+20°,△△1=50°．【点睛】此题考查了平行线的性质,以及折叠的性质,熟记“两直线平行,同位角相等”、“两直线平行,内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．。

北师版八年级数学知识点及经典例题

北师版八年级数学知识点及经典例题八年级上册专题一勾股定理(已知两边求第三边)基础篇一．勾股定理：如右图，直角三角形的两直角边为斜边为 c ,则有a 2+ b 2=c 2。

（一）．勾股定理证明：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S 小正=S 大正解：由面积相等得 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证a 2+ b 2=c 2（二）．勾股数：具有a 2+ b 2=c 2 特性的正整数；例如：32+ 42=52所以3,4,5是勾股数.例1：在ABC 中,∠C=90°，若a 2+ b 2=c 2, (1)若a=3，b=4,则c=__ 5 _.(2)若a=6,c=10,A A B则b=____8__.(3)若c=13，a：b=5:12，则a=__5 _，b=__ 12 _.例2：填入勾股数；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。

自测题：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 。

2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 5 。

3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= 6 ，b= 8 。

二．勾股定理逆定理:三角形的三边a,b,c满足a2+ b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.三．互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.例4：提高篇四．1.已知:直角三角形的三边长分别是=___7或25_____。

2022年最新北师大版七年级数学下册期末测评卷(Ⅱ)(含答案及详解)

北师大版七年级数学下册期末测评卷（Ⅱ）考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（） A ．427 B ．29C ．827D ．227 2、如图，直线a ∥b ，Rt △ABC 的直角顶点C 在直线b 上．若∠1＝50°，则∠2的度数为（） A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 3、如图，已知∠BAC =∠ABD =90°，AD 和BC 相交于O ．在①AC=BD ；②BC =AD ；③∠C =∠D ；④OA=OB ．条件中任选一个，可使△ABC ≌△BAD ．可选的条件个数为（）·线○封○密○外A．1 B．2 C．3. D．44、已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1 B．a2－2a＋1 C．a2＋1 D．4a＋4 5、已知∠1与∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）A．∠1B．122∠-∠C．∠2D．122∠+∠6、若∠A与∠B互为补角，且∠A＝28°，则∠B的度数是（）A．152°B．28°C．52°D．90°7、下列运算正确的是（）．A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．(a2)3＝a5D．(3a2)2＝9a48、如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（）A．40°B．45°C．50°D．55°9、如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10、下列运算正确的是（） A ．235b b b += B ．33a a a ⋅= C ．824y y y ÷= D ．()3328x x = 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图，点D 、 E 分别在ABC 的AB 、AC 边上，沿DE 将ADE 翻折，点A 的对应点为点A '，∠A 'EC =α，∠A 'DB =β，且α<β，则∠A 等于________（用含α、β表示）． 2、从分别写有2，4，5，6的四张卡片中任取一张，卡片上的数是偶数的概率为_____． 3、如图，OE 是AOB ∠的平分线，CD OB ∥交OA 于点C ，交OE 于点D ，50ACD ∠=︒，则CDO ∠的度数是______°．4、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是△ABD 中AD 边上的中线，若△ABC 的面积是80，则△ABE 的面积是________． ·线○封○密○外5、若()0211x -=，则x ≠______．6、比较大小：4442____33337、抛掷一枚质地均匀硬币，第一次正面朝上，第二次也是正面朝上，问第三次是正面朝上的可能性为__________．8、若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0＝_____．9、如图，在ABC 中，AF 是中线，AE 是角平分线，AD 是高，90BAC ∠=︒，13BC =，12AB =，5AC =，则根据图形填空：（1）BF =_________，AD =_________；（2）BAE ∠=_________︒，CAE ∠=_________︒．10、在关系式38y x =+中，当122y =时，x 的值是________．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、（阅读与理解）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC 中，AB ＞AC （如图），怎样证明∠C ＞∠B 呢？（分析）把AC 沿∠A 的角平分线AD 翻折，因为AB ＞AC ，所以点C 落在AB 上的点C ’处，即AC ＝AC ’，据以上操作，易证明△ACD ≌△AC ’D ，所以∠AC ’D ＝∠C ，又因为∠AC ’D ＞∠B ，所以∠C ＞∠B ．（感悟与应用）（1）如图（1），在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 平分∠ACB ，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，CD ＝CB ．求证：∠B ＋∠D ＝180°． 2、李华同学用11块高度都是1cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD （∠ABC ＝90°，AB ＝BC ），点B 在EF 上，点A 和C 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF ． 3、已知在纸面上画有一数轴，如图所示．（1）折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3的点与表示的点重合；（直接写出答案）（2）折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，则表示100的点与表示数的点重合；（直接写出答案）（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，将点A 移动10个单位得到点B ，此时点B 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值． 4、将边长为a 的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成·线○封○密·○外①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2，请用含a ，b 的式子表示：S 1＝，S 2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．5、按照要求进行计算：（1）计算：()()()222223x x y xy xy y x xy xy ⎡⎤----÷⎣⎦（2）利用乘法公式进行计算：()()22x y z x y z ++---参考答案-一、单选题1、B【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中一个面涂色的有6块，可求出相应的概率．【详解】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个），有6 个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有一个面涂色的概率为62279 ，故选：B ．【点睛】本题考查了概率公式，列举出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决问题的关键．2、B【分析】由平角的定义可求得∠BCD 的度数，再利用平行线的性质即可求得∠2的度数．【详解】解：如图所示：∵∠1＝50°，∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝180°﹣∠1﹣∠BCD ＝40°， ∵a ∥b ， ∴∠2＝∠BCD ＝40°．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 3、D 【分析】先得到∠BAC =∠ABD =90°，若添加AC =BD ，则可根据“SAS ”判断△ABC ≌△BAD ；若添加BC =AD ，则可利用“HL ”证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ，若添加∠C =∠D ，则可利用“AAS ”证明△ABC ≌△BAD ；若添加·线○封○密○外OA =OB ，可先根据“ASA ”证明△AOC ≌△BOD 得∠C =∠D ，则可利用“AAS ”证明△ABC ≌△BAD ．【详解】解：在△ABC 和△BAD 中，90BA AB BAC ABD AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△BAD故选AC=BD 可使△ABC ≌△BAD ．∵∠BAC =∠ABD =90°，∴△ABC 和△BAD 均为直角三角形在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，BA AB BC AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △BAD故选BC=AD 可使△ABC ≌△BAD ．在△ABC 和△BAD 中，90BA AB BAC ABD C D =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△BAD故选∠C=∠D 可使△ABC ≌△BAD ．∵OA=OB∴OAB OBA ∠=∠∵∠BAC =∠ABD =90°，∴OAC OBD ∠=∠在△AOC 和△BOD 中， OA OB AOC BOD OAC OBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩ ∴△AOC ≌△BOD ∴C D ∠=∠ 在△ABC 和△BAD 中， 90BA AB BAC ABD C D =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩ ∴△ABC ≌△BAD 故选OA=OB 可使△ABC ≌△BAD ． ∴可选的条件个数有4个故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”． 4、A 【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a +1）2=a 2+2a +1．故选：A ． ·线○封○密·○外【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．5、B【分析】由已知可得∠2＜90°，设∠2的余角是∠3，则∠3＝90°﹣∠2，∠3＝∠1﹣90°，可求∠3＝122∠-∠，∠3即为所求．【详解】解：∵∠1与∠2互为补角，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＞∠2，∴∠2＜90°，设∠2的余角是∠3，∴∠3＝90°﹣∠2，∴∠3＝∠1﹣90°，∴∠1﹣∠2＝2∠3， ∴∠3＝122∠-∠，∴∠2的余角为122∠-∠，故选B ．【点睛】本题主要考查了与余角补角相关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握余角和补角的定义． 6、A 【分析】根据两个角互为补角，它们的和为180°，即可解答．【详解】解：∵∠A 与∠B 互为补角， ∴∠A +∠B =180°， ∵∠A ＝28°， ∴∠B ＝152°．故选：A 【点睛】本题考查了补角，解决本题的关键是熟记补角的定义． 7、D 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及积的乘方法则逐一判断即可．【详解】解：A 、a 2•a 3= a 5 a 6，故本选项不合题意； ·线○封○密·○外B、a3÷a= a2≠a3，故本选项不合题意；C、(a2)3= a6≠a5，故本选项不合题意；D、(3a2)2=9a4，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键．8、C【分析】首先根据△ABC≌△EDC得到∠E＝∠BAC，然后由三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△EDC，∴∠E＝∠BAC，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，∴∠DAB＝∠ACE＝50°，故选：C．【点睛】此题考查了三角形全等的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，三角形外角的性质．9、D【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．【详解】解：∵BC ⊥l 3交l 1于点B ，∴∠ACB ＝90°，∵∠2＝30°，∴∠CAB ＝180°−90°−30°＝60°，∵l 1∥l 2，∴∠1＝∠CAB ＝60°．故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 10、D 【分析】根据整式的运算法则逐项检验即可．【详解】解：A 、b 2与b 3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B 、34a a a ⋅=，原计算错误，故该选项不符合题意；C 、826y y y ÷=，原计算错误，故该选项不符合题意；D 、()3328x x =，正确，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法除法，积的乘方等整式的相关运算法则，能够熟记基本的运算法则并灵活运用，正确计算是解决本题的关键． ·线○封○密·○外二、填空题1、1122βα-【分析】根据翻转变换的性质得到ADE A DE =∠'，AED A ED ∠=∠'，根据三角形的外角的性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵A DB β∠'=， ∴由折叠的性质可知，11(180)9022ADE A DE ββ∠=∠'=︒-=︒-，AED A ED ∠=∠'，设DEC x ∠=，∵AED A ED ∠=∠'，∴180x x α︒-=+，解得：1902x α=︒-， ∴1902DEC α∠=︒-，A DEC ADE ∴∠=∠-∠1190(90)22αβ=︒--︒- 1122βα=-，故答案为：1122βα-．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．·线2、34【分析】根据概率的求法，让是偶数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．【详解】解答：解：∵四张卡片上分别标有数字2，4，5，6，其中有2，4，6，共3张是偶数， ∴从中随机抽取一张，卡片上的数字是偶数的概率为34，故答案为：34．【点睛】点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ． 3、25【分析】先证明1,2AODBOD AOB 再证明,50,CDO BOD ACD AOB 从而可得答案.【详解】解： OE 是AOB ∠的平分线， 1,2AOD BOD AOB ∵CD OB ∥，50ACD ∠=︒,50,CDOBOD ACD AOB 125,2CDO AOB 故答案为：25本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟练的运用平行线的性质与角平分线的定义证明角的相等是解本题的关键.4、20【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．【详解】解：∵AD 是BC 上的中线，∴S △ABD =S △ACD =12S △ABC ，∵BE 是△ABD 中AD 边上的中线，∴S △AB E =S △BED =12S △ABD ，∴S △ABE =14S △ABC ， ∵△ABC 的面积是80，∴S △ABE =14×80=20．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．5、12## 【分析】直接利用零指数幂的底数不为0可得出答案．·线解：∵（2x﹣1）0＝1，∴2x﹣1≠0，．解得：x≠12．故答案为：12【点睛】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的底数不为0是解题关键．6、【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵2444=（24）111=16111，3333=（33）111=27111，而16111<27111，∴2444<3333，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．7、1##2【分析】根据概率的意义直接回答即可．【详解】解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为12，且三次抛掷相互不受影响，∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次也是正面朝上，则第三次正面朝上的概率为12，故答案为：12．【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8、3【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0， ∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=， ∵21()02m -≥，213()02n +≥， ∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-， ∴m －2﹣n 0＝201122-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝4-1＝3． ·线故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．9、6.5601345 45 【分析】（1）根据三角形高和中线的定义进行求解即可得到答案；（2）根据三角形角平分线的定义进行求解即可【详解】解：（1）在ABC 中，AF 是中线， ∴1 6.52BF CF BC ===， ∵90BAC ∠=，13BC =，12AB =，5AC =，AD 是高， ∴11=22ABC S AC AB BC AD ⋅=⋅， ∴6013AB AC AD BC ⋅==；（2）∵90BAC ∠=，AE 是角平分线，∴=45BAE CAE =∠∠，故答案为：6.5，6013；45，45．【点睛】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10、38【分析】把y 的值代入解析式，解一元一次方程即可．【详解】解：把y=122代入38y x =+中，得：122=3x+8，解得：x=38．故答案为38．【点睛】本题考查了一次函数自变量的值，利用已知条件代入式子求解，是比较简单的题目．三、解答题1、（1）AC +AD =BC ；（2）证明见解答过程；【分析】（1）把AC 沿∠ACB 的角平分线CD 翻折，点A 落在BC 上的点A ′处，连接A′D ，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据三角形的外角性质得到∠A ′DB =∠B ，根据等腰三角形的判定定理得到A ′D =A ′B ，结合图形计算，证明结论；（2）将AD 沿AC 翻折，使D 落在AB 上的D ′处，连接CD ′，根据全等三角形的性质得到CD =CD ′=BC ，∠D =∠AD ′C ，进而证明结论；【详解】（1）解：AC +AD =BC ，理由如下：如图，把AC 沿∠ACB 的角平分线CD 翻折，点A 落在BC 上的点A ′处，连接A′D ， ·线○∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=90°-∠B=60°，由折叠的性质可知，CA′=CA，A′D=AD，∠CA′D=∠A=60°，∵∠B=30°，∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，∴∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，∴AD=A′B，∴BC=CA′+A′B=AC+AD；（2）证明：如图，将AD沿AC翻折，使D落在AB上的D′处，连接CD′，则△ADC≌△AD′C，∴CD=CD′=BC，∠D=∠AD′C，∴∠B=∠BD′C，∵∠BD′C+∠AD′C=180°，∴∠B+∠D=180°．本题考查的是翻折变换的性质、等腰三角形的性质，掌握翻折变换的性质是解题的关键． 2、11cm【分析】根据∠ABE 的余角相等求出∠EAB ＝∠CBF ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△BCF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝BF ，BE ＝CF ，于是得到结论．【详解】解：∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°，∴∠EAB +∠ABE ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABE +∠CBF ＝90°，∴∠EAB ＝∠CBF ，在△ABE 和△BCF 中，90EAB CBF AEB BFC AB BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△BCF （AAS ）， ∴AE ＝BF ＝5cm ，BE ＝CF ＝6cm ， ∴EF ＝5+6＝11（cm ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3、（1）3；（2）-98；（3）a 的值为5或-5 ·线○（1）根据对称的知识，若1表示的点与-1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到-3的对称点；（2）由表示−1的点与表示3的点重合，可确定对称中心是表示1的点，则表示100的点与对称中心距离为99，与左侧与对称中心距离为99的点重合；（3）分两种情况分析，①若A 往左移10个单位得10a -，②若A 往右移10个单位得10a +．【详解】（1）根据题意，得对称中心是原点，则−3表示的点与数3表示的点重合，故答案为：3；（2）∵表示-1的点与表示3的点重合，∴表示100的点与表示数-98的点重合；（3）①若A 往左移10个单位得10a -，根据题意得()100a a -+=.解得：5a =.②若A 往右移10个单位得10a +，根据题意得：()100a a ++=，解得：5a =-.答：a 的值为5或-5．【点睛】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键．4、（1）22()()a b a b a b ，-+-；（2）22()()a b a b a b +-=-；（3）1．【分析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式即可解答；（2）由（1）中所得的S ₁和S ₂的面积相等即可解答；（3）根据（2）中的公式，将2020×2022写成（2021－1）×（2021＋1），然后按照平方差公式进行化简，再按照有理数的混合运算计算出即可．【详解】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ₁＝a 2﹣b 2，S ₂＝（a ＋b ）（a ﹣b ）故答案是：a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）由（1）所得结论和面积相等，则可以验证的乘法公式是a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）．故答案是：（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2．（3）运用（2）所得的结论可得：20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）×（2021＋1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212＋1＝1．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，灵活利用数形结合思想以及掌握平方差公式的形式是解答本题的关键． 5、（1）1133xy -（2）22242x y yz z --- 【分析】（1）先计算中括号内的整式乘法，再运用多项式除以单项式的法则计算即可；（2）运用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）()()()222223x x y xy xy y x xy xy ⎡⎤----÷⎣⎦ ·线○封=()()22322322233x y x y x y x y x y xy xy ⎡⎤----+÷⎣⎦=22322322233x y x y x y x y x y xy xy ⎡⎤--++-÷⎣⎦=23223x y xy xy ⎡⎤-÷⎣⎦ =1133xy - （2）()()22x y z x y z ++--=()()222x y z -+=()22242x y yz z -++ =22242x y yz z ---．【点睛】本题考查了整式的乘除和乘法公式，解题关键是熟练掌握整式运算法则，熟练运用乘法公式进行计算．。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)

一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2，解得 x =4．故线段 BN 的长为 4．【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52，若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数．【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一．所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一．所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。

专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题公开课获奖课件

北师版
专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题
1. 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2. 部分图形折叠后可构造出直角三角形，利用勾股定理等知识建立方程求解线段长度，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，有时还需用分类讨论的思想思考问题．
类型二、利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 5. (普宁模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( C ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
6. 已知长方形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面涂色(如图)，则涂色部分的面积为( B )
3. (深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把AB对折后，点A与点B 重合，折痕为DE.
(1)若∠A＝25°，求∠BDC的度数； (2)若AC＝4，BC＝2，求BD.
解：(1)由翻折的性质得∠A＝∠ABD＝25°，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD ＝25°＋25°＝50° (2)设BD＝x.由翻折的性质可知DA＝BD＝x，则CD＝ 4－x.在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝CD2＋BC2，即x2＝(4－x)2＋22，解得x＝2.5，即BD＝2.5
4. (广州模拟)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.
(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； (2)如图②，如果点B′落在AC的中点上，求CE的长．
解：(1)如图①，设 CE＝x，则 BE＝8－x；由题意得 AE＝BE＝8－x，在 Rt△ACE 中，由勾股定理得：x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 CE 的长为74 (2)如图②，因为点 B′落在 AC 的中点上，所以 CB′＝12AC＝3；设 CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2＋32＝(8－x)2，解得 x＝5156，即 CE 的长为5156

总复习矩形中的折叠问题教案数学北师大版九年级上册

《矩形中的折叠问题》教学设计一、教学分析（一）学情分析1.学生的认知基础：学生已经学习过全等三角形、相似三角形、轴对称以及矩形等有关知识，同时在探究角平分线等腰三角形等几何图形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。

2.心理特征：九年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强，同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。

从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律。

课堂教学中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而进一步提高学生综合解决数学问题的能力。

（二）教学任务分析在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，在中考中会以选择、填空、解答题的形式出现.这类问题的解决是有规律可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，抓住折叠中不变的量，然后利用勾股定理，相似三角形的有关知识，轴对称的性质等几何知识进行推理、计算。

根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

（三）教学目标：知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、直角三角形、相似三角形等知识解决矩形中的折叠问题。

过程与方法：经历对矩形折叠问题的探究过程，掌握探究问题的方法，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法。

情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决矩形折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣，获得解决问题的成功体验。

北师大版四年级数学上册第二单元：角度计算问题“拓展型”专项练习(原卷版+解析)

2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列第二单元：角度计算问题“拓展型”专项练习（原卷版）一、填空题。

1．图中∠1＝70°，那么∠2＝( )°。

2．看图计算。

如图，已知∠1＝50°，那么∠2＝( )。

3．将长方形的一个角按下图所示的方式折叠。

已知140∠=︒，那么2∠=( )°。

4．把长方形的一个角折叠，如图所示。

∠1＝32°，那么∠2的度数是( )。

5．钟面上5时整，分针和时针的所夹的较小角是( )°，再过30分钟，它们之间的夹角就是( )°。

6．9时30分，钟面上的时针与分针的夹角（较小的角）是( )度。

7．下图是一张长方形纸折起来以后的图形。

其中∠1＝40°，求∠2是( )°。

8．已知：∠2＝39°，∠1＝( )°，∠1＋∠2＋∠3＝( )°。

9．下图是一张长方形纸折起来以后的图形。

已知∠2＝50°，则∠1＝( )°。

10．将一张正方形纸对折后，出现一条折痕，将正方形的两个角折到刚刚的折痕上，如图。

如果形成的∠1＝60°，那么∠2＝( )°。

二、解答题。

11．如图，把两把三角尺叠起来，图中的∠1和∠2相等吗？请判断并写出理由。

12．如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。

分别求出∠2、∠3和∠6的度数。

13．将一张正方形纸沿AB边折叠后如图所示，如果∠1＝34°，那么∠2是多少度？请用文字或算式表示你的思考过程。

14．下面是用一张长方形的纸折出的图形，已知∠1＝24°，求图中∠2的度数。

15．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1和一个145°的角正好可拼成一个平角，求∠1和∠2的度数。

16．如图是张长方形纸折起来以后形成的图形。

已知：∠1＝48°，求∠2的度数。

直角三角形的边角关系(单元测试) (北师版)(含答案)

直角三角形的边角关系（单元测试）（北师版）试卷简介:检测学生对于三角函数本身的概念和性质、处理三角函数问题的原则（放在直角三角形或构造直角三角形解决问题）以及三角函数在实际生活中的应用三部分内容的掌握情况。

一、单选题(共16道，每道5分)1.如果△ABC中，，则下列最确切的结论是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形答案：C解题思路：∵，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值2.sin76°，cos76°，tan76°的大小关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：根据锐角三角函数的定义，知又∵cos76°=sin14°，在大于0°小于90°范围内，正弦值随着角的增大而增大，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性3.已知α为锐角，且cosα的值小于，那么α的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵，在大于0°小于90°范围内，余弦值随角的增大而减小，∴当时，．又∵α为锐角，∴．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性4.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则sinα的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：要求sinα的值，需将α角放在直角三角形中，利用对边和斜边的比值来求得．如图，过点P作PB⊥x轴于点B．根据题意，得OB=12，PB=5．在Rt△OBP中由勾股定理得，．∴．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义5.如图，在Rt△ABC中，，，则AC的长为( )A.3B.4C. D.6答案：A解题思路：由正切的定义知，，∴．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，CD是斜边上的高．在Rt△ABC中，AB=4，，∴，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．可得，四边形AEFD为矩形，∴AE=DF．在Rt△ABE中，AB=8，，∴，∴．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=60°．在Rt△DCF中，，，∴．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形8.如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：∵AC，BD，法线均和镜面垂直，∴∠A=∠B=α，∠ACE=∠BDE=90°，∴△ACE∽△BDE，∴，即，∴．在Rt△ACE中，．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形9.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将该纸片（△ABC）按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据题意可知，∠CBE在Rt△CBE中，且，其中BC长度已知，只需求出CE的长度即可．由折叠可知，AE=BE．设CE=x，则AE=BE=AC-CE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得，，即，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：翻折变换(折叠问题)10.如图，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：把∠CFB放在直角三角形中求tan∠CFB的值，需构造直角三角形．如图，过点C作CD⊥AB于点D，则EF∥CD．设EC=x，则AE=3x，在Rt△AEF中，，在Rt△ACD中，，，∴．在Rt△CFD中，．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形11.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，则这栋高楼BC的高度为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=120m，∴．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD=120m，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用—仰角俯角问题12.如图所示，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且．AC上有一点E，若AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点E作EF⊥AD于点F．设AD=3a，则BD=CD=4a，∵AE：CE=2:3，∴，∴．在Rt△EFD中，．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形13.周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A，B两点的距离为30m．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为( )（结果精确到0.01米，参考数据：，）A.36.21mB.37.71mC.40.98mD.42.48m答案：D解题思路：如图，CD为塔高．由题意，得GD=AE=1.6-0.1=1.5，EF=AB=30．设CG=xm，在Rt△CGE中，α=45°，∴CG=GE=x．在Rt△CGF中，β=30°，∴，∴，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用—仰角俯角问题14.如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是( )A.海里B.海里C.7海里D.14海里答案：A解题思路：如图，过点B作BN⊥AM于点N．由题意得，，∠BAN=30°，∠ABM=105°，∴∠ABN=60°，∠MBN=45°．在Rt△ABN中，∠BAN=30°，∴．在Rt△BNM中，∠MBN=45°，∴．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用—方位角问题15.如图，钓鱼騀AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼騀AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为m，则鱼騀转过的角度是( )A.60°B.45°C.15°D.90°答案：C解题思路：在Rt△ABC中，，∴，∴．在中，，∴，∴，∴，即鱼竿转过的角度为15°．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用16.小明想测量一棵树AB的高度，如图，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长BF为8米，坡面上的影长CF为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A. B.12米C. D.10米答案：A解题思路：如图，延长AC交BF的延长线于点D，作CE⊥BD于点E．在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴，．∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴，∴ED=4，∴，∴．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用—仰角俯角问题二、填空题(共2道，每道6分)17.=____．答案：2解题思路：试题难度：知识点：特殊角的三角函数值18.如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是____度．答案：60解题思路：如图，由坡度为得γ=60°．∵平面镜反射成与地面平行的光线，∴∠α=∠β=60°．试题难度：知识点：解直角三角形的应用—坡度坡角问题。

北师大版七年级数学下册第五章学情评估附答案 (2)

北师大版七年级数学下册第五章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的)1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是( )2．下列各选项中左边的图形与右边的图形成轴对称的是( )3．下列轴对称图形中，对称轴最多．．的是( )A．正方形B．等边三角形C．等腰三角形D．线段4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是( )A．2 B．3 C．4 D．5(第4题) (第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是( )A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，其中PM，PN表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是( )7．下列说法正确的是( )A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线D．等腰三角形有3条对称轴8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm9．如图，有一张直角三角形纸片，直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为( )A．10 cm B．12 cmC．15 cm D．20 cm10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P 是AD上的一个动点，则CP＋EP的最小值是( )A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．△ABC与△A′B′C′关于直线l对称(点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′)，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为________．12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若CD＝12BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是________．(第13题) (第14题)14．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF＝________．15．如图，在正方形网格中，阴影部分是涂灰7个小正方形所形成的图案，再将网格内空白的一个小正方形涂灰，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．(第15题) (第16题)16．如图，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN分别交OA，OB于点E，F.若△PMN的周长为18.8 cm，PG＝2 cm，PH ＝2.9 cm，则△PEF的周长为________cm.三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)如图，D为△ABC的边BC的延长线上一点，且CD＝CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB，且CF交AB于点F，试判断CE与CF的位置关系．18．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，过点B作直线MN.(1)画出线段BC关于直线MN的轴对称图形BD；(2)连接AD，如果∠NBC＝25°，求∠BAD的度数．19．(8分)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.(1)若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是多少？(2)若∠BAD＝30°，求∠B的度数．20．(8分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1)；(2)在直线l上画出点P，使PA＋PC最小；(3)△A1BC的面积为________．21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)①作∠CBD的平分线BM；②作△ABC的边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F.(2)判断BF和边AC的位置关系，并说明理由．22．(10分)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 是直线BC上的一动点(点D不与B，C重合)，连接CE.(1)如图①，当点D在边BC上时，试说明：BC＝CE＋CD.(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE＋CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由．(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写推理过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系．答案一、1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B9．C 提示：△ACD的周长为AC＋CD＋AD.由折叠可知AD＝BD，所以AC＋CD＋AD ＝AC＋BC＝15 cm.10．B二、11.54°12.63°或27°13.18 14.60°15．3 16.9三、17.解：因为CD＝CA，E是AD的中点，所以∠ACE＝∠DCE.因为CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF.因为∠ACE＋∠DCE＋∠ACF＋∠BCF＝180°，所以∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°.所以CE⊥CF.18．解：(1)如图所示，BD即为所求．(2)由题意可知BC＝BD，∠NBD＝∠NBC＝25°.因为AB＝BC，所以AB＝BD，所以∠BAD＝∠BDA.因为∠ABD＝∠ABC＋∠NBC＋∠NBD＝140°，所以∠BAD＝12(180°－∠ABD)＝20°.19．解：(1)过点D作DE⊥AB于点E.因为∠C＝90°，所以AC⊥CD.因为AD平分∠BAC，所以DE＝CD.因为CD＝BC－BD＝4，所以DE＝4，即点D到AB的距离为4.(2)因为AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，所以∠BAC＝2∠BAD＝60°.又因为∠C＝90°，所以∠B＝180°－90°－60°＝30°. 20．解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，点P为所作；(3)11 提示：如图，△A1BC的面积＝6×4－12×6×2－12×2×5－12×1×4＝11.21．解：(1)①如图所示；②如图所示．(2)BF∥AC.理由如下：因为AB＝BC，所以∠CAB＝∠C.因为∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CBD＝180°，所以∠C＋∠CAB＝∠CBD.又因为∠CBM＝∠MBD，所以∠C＝∠CBM，所以BF∥AC.22．解：(1)因为△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，所以∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，所以△ABD ≌△ACE (SAS)，所以BD ＝CE ，所以BC ＝BD ＋CD ＝CE ＋CD .(2)不成立，存在的数量关系为CE ＝BC ＋CD .理由：因为△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，所以AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，所以∠BAD ＝∠CAE . 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，所以△ABD ≌△ACE (SAS)，所以BD ＝CE . 因为BD ＝BC ＋CD ，所以CE ＝BC ＋CD . (3)如图，CD ＝BC ＋EC .北师大版七年级数学下册期中学情评估一、选择题(每题3分，共30分) 1．计算：(－3)－1＝( )A ．－3B ．3C.13D ．－132．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )3．某颗粒物的直径约为0.000 001 8米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为( )A．0.18×10－5米B．1.8×10－5米C．1.8×10－6米D．18×10－5米4．下列运算正确的是( )A．(a2)3＝a6B．a3·a4＝a12C．a8÷a4＝a2D．(－3a2)2＝6a45．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是( )A．∠BAC＝∠ACDB．∠DCE＝∠BC．∠B＋∠BCD＝180°D．∠B＋∠BAD＝180°6．下列算式不能运用平方差公式计算的是( )A．(x＋a)(x－a)B．(x＋2a)(－2a＋x)C．(a＋b)(－a－b)D．(－x－b)(x－b)7．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中，洗衣机内的水量y(升)与浆洗一遍的时间x(分)之间关系的图象大致为( )8．已知在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下表的关系，下列说法不正确的是( )x/kg0123 4y/cm2022242628A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．所挂物体的质量为2 kg时，弹簧的长度为24 cmC．弹簧不挂物体时的长度为0 cmD．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1 kg，弹簧的长度增加2 cm 9．观察如图所示的图形，下列说法正确的个数是( )①过点A有且只有一条直线与直线BD平行；②平面内，过点A有且只有一条直线AC垂直于直线BD；③线段AC的长是点A到直线BD的距离；④线段AB、AC、AD中，线段AC最短，根据是两点之间，线段最短．A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题) (第10题)10．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，则下列结论：①∠COE＝90°－12n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF.其中正确的有( )A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题(每题3分，共15分)11．小明家离学校3千米，上学时小明骑自行车以10千米/时的速度骑了x小时，这时离学校还有y千米．写出y与x之间的关系式：__________________．12．一个角的补角与这个角的余角的差是 ______ °.13．已知2x＝6，4y＝7，那么2x＋2y的值是______．14．若代数式x2－6x＋k是完全平方式，则k＝______．15．如图①，在某个底面积为20 cm2的盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是______cm3/s.三、解答题(一)(每题8分，共24分)16．先化简，再求值：[(ab＋2)(ab－2)－2a2b2＋4]÷2ab，其中a＝1，b＝－2.17．如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.(1)BD和CE平行吗？请说明理由；(2)∠A和∠F相等吗？请说明理由．18．作图题(保留作图痕迹，不写作图过程)：(1)在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．①经过点P，画直线PQ平行于AB所在直线．②过点C，画直线CN垂直于CB所在直线．(2)尺规作图：已知∠ACB，求作：∠A′C′B′，使∠A′C′B′＝∠ACB.四、解答题(二)(每题9分，共27分)19．亮亮计算一道整式乘法的题(3x－m)·(2x－5)，由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“－”写成了“＋”，得到的结果为6x2－5x－25.(1)求m的值；(2)计算这道整式乘法的正确结果．20．为了解某种品牌汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：(1)根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；(2)该品牌汽车的油箱有50L油，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？21．小明骑单车上学，当他骑了一段路后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中的信息回答下列问题：(1)小明家到学校的距离是______米；(2)小明在书店停留了______分钟；(3)本次上学途中，小明一共行驶了____米，一共用了______分钟；(4)若骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．在整个上学途中小明的最快车速是多少米/分？速度是否在安全限度内？五、解答题(三)(每题12分，共24分)22．如图①的两个长方形可以按不同的形式拼成图②和图③两个图形．(1)在图②中的阴影部分的面积S1可表示为____________；(写成多项式乘法的形式)；在图③中的阴影部分的面积S2可表示为______；(写成两数平方差的形式)(2)比较图②与图③的阴影部分面积，可以得到的等式是______；A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2(3)请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2－n2＝12，2m＋n＝4，则2m－n＝______；②计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋…＋(232＋1)＋1的值，并写出该值的个位数字是多少．23．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．试说明：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA.解：如图①，过点A作AD∥MN，因为MN∥PQ，AD∥MN，所以AD∥MN∥PQ，所以∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，所以∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA，即∠CAB＝∠MCA＋∠PBA.【类比应用】若直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD.(1)如图②，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；(2)如图③，设∠PAB＝∠α、∠CDP＝∠β，则∠α、∠β、∠P之间的数量关系为__________________；【联系拓展】如图④，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD.AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN＋12∠PAB＝∠P，运用(2)中的结论，直接写出∠N的度数．答案一、1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C 9.C 10．A二、11.y ＝3－10x 12.90 13.42 14. 915.403提示：由题图可知，5s 时，水面刚好到达实心圆柱体铁块顶端，5s 后水面高度不受实心圆柱体铁块影响，则水流速度为（15－11）×2011－5＝403(cm 3/s)．故答案为403. 三、16.解：原式＝(a 2b 2－4－2a 2b 2＋4)÷2ab＝(－a 2b 2)÷2ab ＝－12ab .当a ＝1，b ＝－2时，原式＝－12×1×(－2)＝1.17．解：(1)平行．理由：因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以BD ∥CE .(2)相等．理由：因为BD ∥CE ，所以∠C ＝∠DBA ，又因为∠C ＝∠D ，所以∠DBA ＝∠D ，所以DF ∥AC ，所以∠A ＝∠F . 18．解：(1)如图．(2)如图.四、19.解：(1)根据题意可得，(3x＋m)(2x－5)＝6x2－15x＋2mx－5m＝6x2－(15－2m)x－5m，所以－5m＝－25，解得m＝5.(2)(3x－5)(2x－5)＝6x2－15x－10x＋25＝6x2－25x＋25. 20．解：(1)由题意得汽车每行驶1h，油量减少6L，则剩余油量为Q＝100－6t.(2)50÷6×100＝2 5003(km)，答：该车最多能行驶2 5003km.21．解：(1)1 500 (2)4 (3)2 700；14(4)当时间在0～6分钟内时，速度为1 200÷6＝200(米/分)，当时间在6～8分钟内时，速度为(1 200－600)÷(8－6)＝300(米/分)，当时间在12～14分钟内时，速度为(1 500－600)÷(14－12)＝450(米/分)，因为450＞300＞200，所以在整个上学途中小明的最快车速为450米/分，速度不在安全限度内．五、22.解：(1)(a＋b)(a－b)；a2－b2(2)B(3)①3②原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋…＋(232＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋…＋(232＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋…＋(232＋1)＋1＝…＝264－1＋1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，其个位数字2，4，8，6重复出现，而64÷4＝16，于是“2，4，8，6”经过16次循环，因此264的个位数字为6.23．解：(1)如图①，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD, PE∥AB，所以AB∥PE∥CD，所以∠APE＝∠A＝50°，∠DPE＋∠D＝180°，所以∠DPE＝ 180°－150°＝30°.所以∠APD＝∠APE＋∠DPE＝ 50°＋30°＝80°.(2)∠α＋∠β－∠P＝180°【联系拓展】∠N的度数为45°. 提示：如图②，设PD交AN于点O，因为AP⊥PD，所以∠APO＝90°，所以∠POA＋∠PAN＝ 90°，因为∠PAN＋12∠PAB＝∠APD，所以∠PAN＋12∠PAB＝ 90°，所以∠POA＝12∠PAB，因为∠POA＝∠NOD，所以∠NOD＝12∠PAB，因为DN平分∠PDC，所以∠ODN＝12∠PDC，所以∠AND＝ 180°－∠NOD－∠ODN＝ 180°－12(∠PAB＋∠PDC)，由(2)得∠CDP＋∠PAB－∠APD＝ 180°，所以∠CDP＋∠PAB＝ 180°＋∠APD，所以∠AND＝ 180°－12(∠PAB＋∠PDC)＝ 180°－12(180°＋∠APD)＝ 180°－12(180°＋90°)＝ 45°.21。

专题1.4 直角三角形的边角关系章末拔尖卷(北师大版)(解析版)

第1章直角三角形的边角关系章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =cos B =12，则△ABC 是（）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A =60°，∠B =60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C 的度数，即可解答．【详解】解：∵sin A cos B =12，∴∠A =60°，∠B =60°，∴∠C =180°−∠A−∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（）A ．12B ．34C ．1D ．43【答案】B 【分析】根据折叠的性质得出BE =AE ，设CE =x ，则BE =AE =8−x ，在Rt △BCE 中，根据勾股定理得出BC 2+CE 2=BE 2，列出方程求出x 的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE 沿DE 折叠得到△BDE ，∴BE =AE ，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：BC2+CE2=BE2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．3．（3分）（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A B C．12D【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB=5，AC==∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD∴sin ∠CAB =BD AB =故选：B ．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．4．（3分）（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD =CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF≌△DBF (AAS)，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =AC BC ，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ， ∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵∠G =∠DBF ∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF≌△DBF (AAS)，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC =AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（3分）（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（）A ．B ．(−3C ．(−3+D ．【答案】D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt△ACO中，AC=在Rt△ABC中，∠CBA=30°，∴tan∠CBA=CABC，∴BC=CAtan∠CBA∴BE3=EC1，解得BE=EC∴EO=EC+CO，∴点B的坐标为．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．6．（3分）（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为（）A．6或B．6或C．D．6或【答案】D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，=∴PC=PB=3如图4：当∠ABC =60°时，∠C =30°，∵∠ABP =30°，∴∠PBC =60°+30°=90°，∴PC =BCcos30°故选：D【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P 在直线AC 上的不同位置．7．（3分）（2023秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰RtΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（）A ．23B ．1C ．13D ．12【答案】A【分析】过点D 作DE 垂直于CB 的延长线于点E ，设AC =BC =a ，根据勾股定理得AB =，由等腰直角三角形的性质得∠ABC =∠BAC =45°，从而得BD =2AB =，在Rt △BDE 中，解直角三角形得DE =2a ，BE =2a ，进而求得CE =BC +BE =3a 即可求得tan ∠BCD ．【详解】解：过点D 作DE 垂直于CB 的延长线于点E ，如下图，设AC =BC =a ，∵AC ⊥BC ，AC =BC =a ，∴AB =，∠ABC +∠BAC =90°，∠ABC =∠BAC ，∴∠ABC =∠BAC =45°，BD =2AB =，∴∠DBE =∠ABC =45°，∵DE ⊥CE ，∴DE =BD·sin ∠DBE =sin45°=2a ，BE =BD·cos ∠DBE =cos45°=2a ，∴CE =BC +BE =3a ，∴tan ∠BCD =DE CE =2a 3a =23，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin ∠BCD =35，则tan ∠CDB 的值为（）A ．23B ．34C ．710D ．913【答案】D【分析】过点B 作BE ⊥CD 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，可得△ABC ，△BED ，△BEC ，△BCF 都是直角三角形，根据sin ∠BCE ＝BE BC =35，设BE ＝3a ，BC ＝5 a ，得CE 4 a ，过点C 作DB 延长线于点G ，得矩形CFBG ，设AC ＝x ，AB ＝y ＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∴△ABC ，△BED ，△BEC ，△BCF 都是直角三角形，∵sin ∠BCD ＝35，∴sin ∠BCE ＝BE BC =35，设BE ＝3a ，BC ＝5a ，∴CE 4a ，过点C 作DB 延长线于点G ，得矩形CFBG ，∴BF ＝CG ，设AC ＝x ，AB ＝y ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB 2﹣AC 2＝BC 2，∴y 2﹣x 2＝25a 2，∵S △ABC ＝12×AB •CF ＝12×AC •BC ，∴y •CF ＝5ax ，∴CF ＝5ax y ，在Rt △BCF 中，根据勾股定理，得BF ＝25y a ，∴BF ＝CG ＝25y a ，在正方形ABDH 中，AB ＝BD ＝y ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理，得DE∴CD ＝CE +ED ＝4a ∵S △CBD ＝12×CD •BE ＝12×BD •CG ，∴CD •BE ＝BD •CG ，∴(4a ＝y ×25y a ，＝133a ，∴tan ∠CDB ＝tan ∠EDB ＝BE DE ＝＝913．故选：D ．【点睛】本题属于几何综合题，是选择题压轴题，考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形，解决本题的关键是设参数利用勾股定理列方程．9．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =则该“风车”的面积为（）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】连接AC ,由题意可得Rt △AOB ≌Rt △DCO ≌Rt △EOF ≌Rt △GOH ，进而说明△OAC 为等腰直角三角形，再说明分CD 、GI 垂直平分AB ，进而说明∠OBH =∠OHB =45°，然后再运用解直角三角形求得AI ，然后再求得三角形AOB 的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt △AOB ≌Rt △DCO ≌Rt △EOF ≌Rt △GOH∴OA =OC , ∠OAB = ∠OCD∵∠AOC =∠AOB =90°∴△OAC 为等腰直角三角形又∵∠OAB = ∠OCD ：∴∠AJD =180°-∠ADJ -∠OAB=180°-∠ODC -∠OCD =90°，即AJ ⊥CD又∵CJ =DJ∴AJ 垂直平分CD同理：GI 垂直平分AB∴AC =AD ,AJ 是等腰三角形顶角∠CAD 的角平分线即∠DAJ =12∠CAD =12×45°=22.5°易得IH =BJ ,IJ =IB +BJ =IB +IH又∵IB =IA∴IJ =IB +BJ =IH +IA 在Rt △ABO 中，∠ABH =∠BAH =22.5°∴∠OBH =OHB =45°设OB =OH =a ，即AH =BH∴tan ∠A =BOAO =∴IH IA =tan ∠A设IH =）x ，AI =x∴IH +IA x =1∴S △ABH =12×AB ×IH =又∵S ΔBOHS ΔABH =OH AH∴S △BOH =∴S △AOB =S △ABH +S △BOH +=∴S 风车=4S △AOB =4故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD =10，cos ∠AFD AE 的长为．【答案】【分析】过点A 作AG∥BE ，BG∥AE 交于点G ，连接DG ，勾股定理求得DG ，过点D 作DH ⊥BG ，证明G,H 重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AG∥BE ，BG∥AE 交于点G ，连接DG ，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12DB=5,∴DH=12∴G,H重合，∴AE=BG=BH=故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=4，AE⊥BC于点E，3AE的延长线与DC的延长线交于点F，则S△ECF:S四边形ADCE=．（S表示面积）【答案】4:21【分析】设AE =4k ，则BE =3k ，根据勾股定理求出AB =5k ，然后证明△CEF ∽△DAF ，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶ ∵tan ∠ABC =43，AE ⊥BC ，∴tan ∠ABC =43=AE BE ，设AE =4k ，则BE =3k ，∴AB ==5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC−BE =2k ，∵CB∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S △DAF ===425，∴S △CEF S 四边形ADCE =S △CEFS △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（3分）（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，E 是对角线BD 上一动点（点E 不与点B ，D 重合），当△ABE 是等腰三角形时，DE = ．【答案】2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD =90°，∴BD =5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD =AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD−BE =BD−2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD−BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG∥AD ，AG =GB ，∴BE ED =BG AG =1，∴DE =12BD =52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，求一个角的余弦，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD ，DC 延长线的垂线，垂足分别为点E ，F ．若∠ABC =120°，AB =6，则PE−PF 的值为．【答案】【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE−PF =PE−PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =6，可得∠BAD =60°，根据EM =AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=∴PE−PF=故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（3分）（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M，N 分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E 在AD边上运动，则D，F．其中结论正确的序号有．【答案】①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，(180°−∠DPC)．∴∠PDC=∠PCD=12∵PC=PG，(180°−∠CPG)．∴∠PCG=∠PGC=12[360°−(∠DPC+∠CPG)]．∴∠PCD+∠PCG=12∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP +∠PFG =180°，∴∠DEP +∠HFP =180°．∵∠DEP +∠HFP +∠EHF +∠EPF =360°，∴∠EHF +∠EPF =180°．∴∠EPF =90°，∴∠EHF =90°．即GH ⊥AD ．∵AD//BC ，∴GF ⊥BC ．∴∠CGF =45°．∴tan ∠CGF =1．∴②的结论正确；∵PA =PB ，PM ⊥AB ，∴∠APM =∠BPM ，∵PM//AE ，∴∠PEA =∠BPM ，∠PAE =APM ．∴∠PEA =∠PAE ．∴PA =PE ．∵PE =PF ，∴PA =PB =PE =PF ．∴点A ，B ，E ，F 在以点P 为圆心，PA 为半径的同一个圆上．∴∠FAB =12∠FPB =12×90°=45°．∴点F 在对角线AC 上，∴∠FCB =45°．∵∠BCG =∠CGF =45°，∴△FCG 为等腰直角三角形．∵BC 平分∠FCG ，∴BC 垂直平分FG ．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4=∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（3分）（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．【答案】2【分析】设直线y+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，然后求出CB1=2OB1=22×CB2=2CB1=23CB3=2CB2==24…，进而可得CB2022=22023×CB2023=22024B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y+2与x轴交于点C，当x=0时，y=2；当y=0时，x=∴A(0,2)，C(，∴OA=2，OC=∴tan∠ACO=OAOC∴∠ACO=30°，∵△AB1A1是等边三角形，∴∠AA1B1=∠AB1A1=60°，∴∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，∴AC=AB1，∵AO⊥CB1，∴OB1=OC=∴CB1=2OB1=22同理，CB2=2CB1=23×CB3=2CB2=24×……，∴CB2022=22023CB2023=22024∴B2022B2023=2202422023×2故答案为：2【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何的变换规律的综合，解直角三角形，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，找到点的变换规律是解题的关键．16．（3分）（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+EFGH的周长为．【答案】8+【分析】先构造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH:EF=∠ARH=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角”，先求得FT的长，进而根据相似三角形求得ER，进而求得AE，于是得出∠AEH=30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt△PMN中，∠P=15°，NQ=PQ，∠MQN=30°，设MN=1，则PQ=NQ=2，MQPN=∴cos15°tan15°=如图2，作EK⊥FH于K，作∠AHR=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C，在△AEH与△CGF中，AE=CG∠A=∠CAH=CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH=GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，设HK=a，则EH=2a，EK，∴EF==，∵∠EAH=∠EBF=90°，∴∠R=∠T=75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=AR=AH⋅tan15°=△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴=∴ER=4，∴AE=ER−AR=∴tan∠AEH∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=∴EH+EF=4+2(2+，∴2(EH+EF)=4(2+，∴四边形EFGH的周长为：8+故答案为：8+【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·山东东营·九年级校联考期中）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°．(2)(π−1)0+4sin|−3|．【答案】(1)2(2)4【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可；（2）先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可．【详解】（1）原式=×+6×=2−16×12+3=2．（2）原式=1+4+3=1+3=4．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值计算和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（6分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．【答案】(1)CD=4(2)35【分析】（1）根据正切的定义得到tan∠ACD=ADCD =32，由此即可得到答案；（2）根据（1）所求求出BD=8，进而求出AB=10，再根据正弦的定义求出sin∠ABD即可得到答案．【详解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD =4，∴BD =BC−CD =8，∴AB==10，在Rt △ABD 中，sin ∠ABD =AD AB =35，即sin ∠ABC =35．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A （7，8）、C （0，6），AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点D 在线段OB 上，DE ∥AC ，交AB 于点E ，EF ∥CD ，交AC 于点F ．（1）求经过A 、C 两点的直线的表达式；（2）设OD ＝t ，BE ＝s ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在点D ，使四边形CDEF 为矩形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝27x +6；（2）s ＝2﹣27t （0＜t ＜7）；（3）点D 的坐标为（127，0）．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式y ＝kx +b ，即可求解；（2）根据题意可得点D （t ，0），点E （7，s ），根据一次函数的图象及性质，可得直线DE 的表达式为：y ＝27x ﹣27t ，将点E 的坐标代入即可求解；（3）设点D （t ，0），证明∠OCD ＝∠BDE ，则tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，列出比例式即可求解．【详解】解：（1）设直线AC 的表达式为y ＝kx +b将点A 、C 的坐标代入，得得：7k +b =8b =6 ，解得：k =27b =6，故直线AC 的表达式为：y ＝27x +6；（2）∵OD ＝t ，BE ＝s ，AB ⊥x轴∴则点D （t ，0），点E （7，s ）∵DE ∥AC可设直线DE 的解析式为y ＝27x +c将点D 的坐标代入0＝27t +c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y ＝27x ﹣27t ，将点E 的坐标代入，得s ＝2﹣27t （根据点D 在线段OB 上，可得0＜t ＜7）；（3）存在，理由：设点D （t ，0），由（2）BE ＝2﹣27t ，四边形CDEF 为矩形，则∠CDE ＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴OD OC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t ，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．【点睛】此题考查的是一次函数与矩形的综合题型，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象及性质、矩形的性质和等角的锐角三角函数也相等是解决此题的关键．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C ，D 均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC =∠D ．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC 上求作一点P ，使得∠PBA =∠C ，并简要说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，根据网格的特点和勾股定理得到tan ∠D =BF DF =13，tan ∠ABC =CE BE =13，证明出tan ∠D =tan ∠ABC ，即可得到∠ABC =∠D ；（2）取格点D ，E ，根据网格的特点和勾股定理得到tan ∠ACE =tan ∠ABD ，进而证明出∠ACE =∠ABD ．【详解】（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =DF =∴tan ∠D =BF DF 13，∵CE =1，BE =3，∴tan∠ABC=CEBE =13，∴tan∠D=tan∠ABC，∴∠ABC=∠D；（2）解：如图，取格点D，E，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=12，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12，∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．【点睛】此题考查了解直角三角形，网格和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．21．（8分）（2023春·海南·九年级校联考期中）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE 平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．【答案】(1)45，120(2)F距离地面CE的高度为(3)宣传牌AB的高度约为(6+米【分析】（1）由题意，得AD⊥DF，FD∥CE，则∠ADF=90°，∠CDF=∠ECD=30°，即可由∠DAF=90°−∠AFD，∠BDC=∠ADF+∠CDF求解；（2）过点F作FG⊥EC于G，先证明四边形DEGF是矩形，得FG=DE，解Rt△CDE，求出DE的长，即可求解．（3）解Rt△CFG，求得CG=2.5FG=×2.5=Rt△AFD是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt△CDE中，DE=CE⋅tan∠DCE=6×tan30°=∴FG=答：F距离地面CE的高度为（3）解：∵斜坡CF的坡度为i=1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG =2.5FG = 2.5=∴FD =EG =+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD =45°，∴AD =FD =+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=∴AB =AD +DE−BE =+(6+（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（8分）（2023秋·广东深圳·九年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图①，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =底边腰=BC AB ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________．(3)如图②，已知sin A =35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．【答案】(2)0<sad A <2【分析】（1）如图，∠BAC =90°,AB =AC ,cos45°=AB BC =sad90°=BC AB （2）如图，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，相应的sad A =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sad A =BC AB >0；于是0<sad A <2．（3）如图，在AB 上截取AH =AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则AD =4x ,DC =AC−AD =x ．解Rt △HDC ，HC ，sad A =CH AH =【详解】（1）解：如图，∠BAC =90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC =∴sad90°=BC AB =（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sad A =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sad A =BC AB 逐渐接近0，sad A =BC AB >0；∴0<sad A <2（3）解：如图，在AB 上截取AH =AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sin A =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD ==4x ,∴DC =AC−AD =5x−4x =x ．Rt △HDC 中，HC =，∴sad A =CH AH【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．23．（8分）（2023秋·湖南永州·九年级期末）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE =120°，若AB =6，DB =CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD =∠BCE ，AE BE =23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．【答案】(1)见解析(3)12815【分析】（1）先判断出∠ABD =∠BAD ，进而得出△ABN≌△BAH ，即可得出BN =AH ，代换即可得出结论；（2）设出EF =a ，先利用勾股定理求出FC ，证明△ABD ∽△AFE ，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a ，利用勾股定理即可求出CE ；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE =2m ，BE =3m ，则AB =AC =5m ，证明△ABD ∽△GCA ，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【详解】（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，∠ANB =∠BHA =90°∠ABD =∠DAB AB =BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN =AH ，∴ 12BC =AH ，∴BC =2AH ；（2）如图2，在AC 上取一点F ，使EF =EC ，连接EF ，∵∠BAC =∠DAE =120°，∴∠DAB =∠EAC ，∵AB =AC ，∴∠ABE =∠C =∠CFE =30°，∴∠ABD =∠AFE =150°，∴△ABD ∽△AFE，∴ AB AF =BD EF ，即6AF =∴ AF EF =设EF =a ，则AF =，∵EF =CE =a ，∠C =30°，∴CF =2EF·cos30°=，∴，∴a =∴CE =EF =（3）如图3，过点A 作AP ⊥BC 于P ，作AG∥CE 交BC 的延长线于G ，设AE =2m ，BE =3m ，则AB =AC =5m ，∵tan ∠ABC =34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m 5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解本题的难点是作出辅助线构造全等三角形和相似三角形，是一道很好的中考常考题．。

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1
学生做题前请先回答以下问题
问题1：折叠是__________，变换前后______、______都相等，从而实现条件的转移.折叠前
后的图形关于_________________对称.
问题2：与直角有关的折叠题目，首先需要利用折叠___________，然后根据特征进行条件
组合，利用________________解决问题.
问题3：直角三角形的性质都有哪些？

与直角有关的折叠问题（二）（北师版）
一、单选题(共8道，每道12分)
1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若AB=16，
BC=32，则BF的长为( )

A.15 B.
C.16 D.17

答案：A
解题思路：

试题难度：三颗星知识点：折叠问题
2

2.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形
ABCD内部，延长AF交CD于点G．若，则( )

A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
3
试题难度：三颗星知识点：折叠问题
3.如图，折叠直角三角形纸片ABC的直角∠C，使点C落在斜边AB上的点E处，已知
，∠B=30°，则DE的长为( )
4

A.B.
C.D.
答案：A
解题思路：

试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
4.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
若BC=3，则折痕CE的长为( )
5

A.B.
C.D.6
答案：A
解题思路：

试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
5.如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边的中点
P处．若∠DPE=60°，则矩形的周长为( )cm．
6

A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：

试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
6.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在处，若，DE=2，则的长
为( )

A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
7

试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质
7.如图1是一个直角三角形纸片，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，将其折叠，使点C落在斜边
上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′
处，如图3，则折痕DE的长为( )

A.3cm B.
C.2cm D.
答案：C
解题思路：
8

试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形
8.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸
片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则CD的
长为( )

A.6 B.
C.3 D.
答案：D
解题思路：
9

试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：回顾自己解决下面这道题的过程，回答以下问题：
如图，在矩形ABCD中，，将矩形沿直线EF折叠，使点B落在AD边中点P
位置．如果∠DPE=60°，则矩形的周长为( )cm．

第一步，读题标注，合理转化：你是怎么做的？对照下面的示范调整.
10

第二步，执果索因，转移所求目标：
要求周长，已知AD，只要求AB或CD即可，由于条件都在左侧，故转化为求_____即可.
第三步，考虑条件组合搭配；
由折叠可知BF=_____，∠B=______=90°，故只要求AF+PF即可，所以把条件集中到Rt△AFP
中；由∠DPE=60°可知∠APF=_____°，利用三边比例关系求解即可.