材料力学 第五章 截面几何性质

12cm
A1 122 452.39; z1 0
9
§5–2 惯性矩与惯性积
一、 定义 y
I y z 2 dA A 2 I z y dA A
定义Iy ，Iz 为图形对y ，z 轴
的惯性矩。惯性矩永为正值，单位 为：m4。 o
z
dA y z
I yz yxdA
tg 2 0
2 I yc z c I z c I yc
19
形心主惯性矩：
I z0 I z I y Iz Iy 2 I yz 2 I y0 2
对称图形形心主轴的确定 y yC
△A △A
2
⑴对称轴为形心主轴，另一形
心主轴过形心且与对称轴垂直。 zC
13
§5–3 y
惯性矩与惯性积的平行轴公式
z a
yC zC C dA zC z
I z y dA ( yC b) dA
2 2 A A A 2 yC dA 2b yC dA b 2 dA A A
I zc 2bSzc b A
2
o
S zc 0
16
§5–4 惯性矩与惯性积的旋转轴公式· 主惯性轴与主惯性矩
一、转轴公式
y' y cos z sin z ' y sin z cos
I z ' y ' dA
2 A
y′
y

2
z
dA y
z′
y′
z′ z
2 2
( y cos z sin ) dA
Hale Waihona Puke ⑵组合图形的形心y2C2
o Z1 Z2 z
yC zC
Ay Ay A A A z A z A A
i i i i i i i i i i
使用上述公式时，对于挖掉部分的面积应取负值。 7
y1
[例5—2]求图示图形的形心位置。 y C3 C1 o C2 1 Ai 144 yi 6 zi 6 2 72 4 3 -16 6
y2 16 5.43 10.57mm
C1
6
4
（单位mm）
形心主惯性矩(主要采用组合方法及 移轴定理)
y
y2 6 y1 z 23
4 163 12 43 Iy 1429 .33m m4 12 12 2 2 I z I z1 Ad I A d 1 1 z2 2 2
S z max
bh2 8
4
截面对过形心轴的静矩等于零。
yC
S yc SZC 0
y
zC z
C
zC
二、形心
S z A ydA yC A A S y AzdA zC A A
dA C yC
y
z 5
o
常见几何图形的形心位置和面积 ⑴矩形截面 h/2 h/2 ⑵圆形截面 ⑶三角形截面 h/3 h 6
第五章
截面几何性质
§5–1 静矩与形心
§5–2 惯性矩与惯性积 § 5– 3 惯性矩与惯性积的平行轴公式 §5–4 惯性矩与惯性积的旋转轴公式·
主惯性轴与主惯性矩
2
§5–1 静矩与形心
一、静矩 y zC z C yC o dA y 面积与形心坐标的乘积称为 截面对坐标轴的静矩。即
S y AzC S z AyC
对于复杂截面，可用积分求之。
z
S y zdA A S z ydA A
静矩的单位为：m3
3
[例5—1]求图示矩形截面abcd 部分对z 轴的静矩。 b 解：
yc
a d y
C
b c
当y =0 时为半截面，静矩最大。
y
o
z
h 1 h S z A yC b( y )[ y ( y )] 2 2 2 b h h ( y )( y ) 2 2 2 b h2 ( y2 ) 2 4
A

4
D/2
0
d sin 2 d
3 0
2
I zc
D
[
4
64
4 D 4 64
]
D/2 0
sin 2 2 [ ]0 2 4

12
⑶环形对形心轴的惯性矩
C
zc
I zc
D d

64
(D4 d 4 )
⑷组合图形的惯性矩
A1
A2 z
I z I z1 I z 2 I zi
1 3 bh 12
[练习2]求图示矩形截面对z轴的惯性矩。 dA h 解： I z

A
y dA by2 dy
2 0
dy
h
b
z
1 3h 1 3 by 0 bh 3 3
11
y
⑵圆形对形心轴的惯性矩
C d D

dA zc
dA d d y sin
I zc y 2 dA
15
h/2 h/2
[例5—4]求图示图形对z 轴的惯性矩。
C1
z1
C
C2
z
z2
解：
80
I z I z矩 2I z圆 I z矩 2(I z1 A1 y12 )
3 4 2
(mm)
80160 40 40 2 ( 402 ) 12 64 4 23034100 .7m m4
C b/2 b/2 y
z
C d/2 d/2 y
z
C
b
A bh
A

4
d
2
1 A bh 2
对称图形，形心一定在对称轴上。
三、组合图形的静矩和形心 ⑴组合图形的静矩
y C1
S y A1 z1 A2 z 2 Ai zi S z A1 y1 A2 y2 Ai yi
C o
-b b
z 20
y y C 槽钢截面 z z
y C z
C
等边角钢截面
梯形截面
⑵正多边形，过形心的任一轴都是形心主轴，且对所有
形心主轴的惯性矩都相等。
21
[例5—5]求图示梯形截面的形心主惯性矩。 y 解：确定形心位置。 y 为对称轴，形心在y 轴上。
C2 C
y2 6 y1 z 22
4 16 2 4 12 10 y1 5.43mm 4 16 4 12
2 2
1 cos 2 1 cos 2 Iz I yz sin 2 I y 2 2 Iz Iy Iz Iy I z' cos 2 I yz sin 2 2 2 Iz Iy Iz Iy 同理得： I y ' cos 2 I yz sin 2 2 2 Iz Iy I z'y' sin 2 I yz cos 2 2
18
I z' I y' I z I y
图形对过一点的任一对正交轴的惯性矩之和等于常数。
二、形心主轴
使惯性积等于零的一对正交轴称为主惯性轴；图形对主 惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心 主轴；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
设形心主轴的方位角为0 ，由Iyz=0 得
A 2 2 A
o

cos y dA 2 sin cos yzdA sin z dA
A A
17
I z cos 2 y 2 dA 2sin cos yzdA sin 2 z 2 dA
A A A
I z cos I yz sin 2 I y sin
I z I zc Ab
2
这就是平行轴公式：图形对任一与形心轴平行轴的惯性矩，等 于对形心轴的惯性矩加上图形面积与两轴间距平方的乘积。 14
同理可得：
I y I yc Aa
2
I yz I yc zc Aab
[例5—3]求图示矩形对z 轴的惯性矩。
C
zC
b
z
h 2 I z I zc A( ) 2 3 2 bh h bh 12 4 1 3 bh 3
A
定义Iyz 为图形对y ，z 轴的惯性积。惯性积可正、可负，
也可等于零，单位为：m4。
10
二、常用几何图形的惯性矩 ⑴ 矩形对形心轴的惯性矩 dA dy h/2 h/2 C b zc
bh I zc 12
3
y
I zc y dA 2
2 A
h/2
0
by2 dy
2 3 by 3
h/2 0
2 4
6
12
z
16
4
144 6 72 4 16 6 Ai yi 5.28cm 解： yC A 144 72 16 144 6 72 16 16 4 Ai zi zC A 9.76cm 144 72 16
8
（单位：cm）
C2 C C1
16 4 4 16 (5.53 2) 2 12 4 123 4 12 (10.57 6) 2 12 2416 .76m m4
3
6
4
（单位mm）
[练习1]求图示图形的形心位置。 y 9cm 9cm 12cm
解：
z
C2
C1
∵ z 轴为对称轴，
yC 0
9cm
1 A2 18 9 81; z2 3 2 A1 z1 A2 z2 (81) (3) zC 0.65cm A1 A2 452.39 81