直线的直角坐标方程
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
9.1直线的方程
§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB | (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4.直线方程的五种形式判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示.( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )1.直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120°答案 B解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5， 所以直线方程为x ＋y －5＝0.综上，直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.4.(教材改编)若过点A (m,4)与点B (1，m )的直线与直线x －2y ＋4＝0平行，则m 的值为________. 答案 3 解析4－m m －1＝12， ∴m ＝3.5.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2.将本例(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，求直线l 倾斜角的范围. 解 如图：直线P A 的倾斜角为45°， 直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0). (1)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 (2)已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，则yx 的最大值为________；最小值为________.答案 (1)B (2)2 23解析 (1)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.(2)本题可先作出函数y ＝8－2x (2≤x ≤3)的图象，把yx 看成过点(x ，y )和原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)， ∴4a ＋1a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与均值不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.(1)(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案 (1)5 (2)－12解析 (1)∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3).当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点， 且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形， ∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立.(2)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.13.求直线方程忽视零截距致误典例 (12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况. 规范解答解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.[2分] 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.[4分] ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[6分] (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.[10分]综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[12分]温馨提醒 (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A.m ≠－32B.m ≠0C.m ≠0且m ≠1D.m ≠1答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0， 解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线.2.(2015·山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π答案 B解析 f ′(x )＝a (x －1)2＋ 3 (a >0)，∴k ≥ 3. 切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.3.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( ) A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.4.设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足 ( ) A.a ＋b ＝1 B.a －b ＝1 C.a ＋b ＝0 D.a －b ＝0 答案 D解析 由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1. 即a ＝b ，故应选D.5.已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A. 3B.－3C.0D.1＋3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________.答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1 解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1， ∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0). 7.一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________.答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0解析 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b ＝1. ①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解. 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程.8.若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________.答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号.即ab 的最小值为16.9.设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3；(2)直线l 的斜率为1.解 (1)∵l 在x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即m ≠3，又m ≠－1，∴m 2－2m －3≠0.令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3， 由题意知，2m －6m 2－2m －3＝－3， 解得m ＝－53. (2)由题意知2m 2＋m －1≠0，且－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43. 10.已知点P (2，－1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2， 解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示.由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A.1B.2C.4D.8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.答案 3 解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， ∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3. 13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.15.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4) ＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
平面直角坐标系规律
平面直角坐标系规律
在平面直角坐标系中，规律主要体现在点的坐标表示、距离
计算、直线方程和图形变换等方面。
1.坐标表示：
平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)表示，
其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影
长度。
根据坐标的正负，可以判断点在哪个象限。
2.距离计算：
两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即
$d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}$。
这个公式可以用来
计算两点之间的直线距离。
3.直线方程：
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式、斜截式、点斜式
和截距式等多种形式表示。
例如，一般式表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数；斜截式表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；点斜式表示为yy_1=k(xx_1)，其中(x_1,y_1)
为直线上一点的坐标；截距式表示为x/a+y/b=1，其中a、b
为x和y轴的截距。
4.图形变换：
平面直角坐标系中，常见的图形变换包括平移、旋转、缩放和对称等。
平移是通过给坐标加上一个平移向量实现，旋转是通过坐标旋转变换矩阵实现，缩放是通过给坐标乘上一个缩放因子实现，对称是通过以某一直线或点为中心实现。
总结一下，平面直角坐标系中的规律主要体现在坐标表示、距离计算、直线方程和图形变换等方面。
这些规律在几何学、图像处理、物理学等领域中都有广泛应用。
直角坐标方程的原理和应用
直角坐标方程的原理和应用一、直角坐标系简介直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它是由两条垂直于彼此的直线（通常称为x轴和y轴）组成的。
在直角坐标系中，每个点都可以通过两个数值来表示，第一个数值表示该点在x轴上的位置，第二个数值表示该点在y轴上的位置。
二、直角坐标方程的定义直角坐标方程是用来描述平面上的点、直线、曲线等物体的数学方程。
直角坐标方程通常由一或多个未知数和常数构成，通过将这些未知数赋予特定的数值，可以得到相应的点、直线或曲线。
三、直角坐标方程的一般形式直角坐标方程的一般形式可以表示为：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个关于x和y的函数，通过使F(x, y)等于零，可以得到一个或多个满足方程的点。
四、直角坐标方程的应用直角坐标方程在数学和物理学中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：1. 直线方程直线是直角坐标系中最简单的几何形状之一，可以通过直线方程来描述。
直线方程的一般形式为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是常数，通过给A、B和C赋予不同的数值，可以得到不同位置和方向的直线。
2. 圆的方程圆是直角坐标系中的一种特殊的曲线，可以通过圆的方程来描述。
圆的方程的一般形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
通过给h、k和r赋予不同的数值，可以得到不同大小和位置的圆。
3. 椭圆的方程椭圆是直角坐标系中的另一种曲线，它比圆更为复杂。
椭圆的方程的一般形式为：(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
通过给h、k、a和b赋予不同的数值，可以得到不同形状和大小的椭圆。
4. 抛物线的方程抛物线是直角坐标系中的另一种常见曲线，它可以通过抛物线的方程来描述。
抛物线的方程的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是常数，通过给a、b和c赋予不同的数值，可以得到不同形状和位置的抛物线。
如何将直线的极坐标方程化为直角坐标方程公式
如何将直线的极坐标方程化为直角坐标方程公式直线是几何学中最基本的图形之一，它可以用不同的坐标系统进行表示。
直角坐标系是我们常见的坐标系统，而极坐标系则以极径和极角表示。
在一些情况下，我们需要将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程公式，以便更方便地进行计算和分析。
1. 了解极坐标系和直角坐标系在进行转换之前，我们首先需要了解极坐标系和直角坐标系的基本概念和表示方法。
•极坐标系：由极径和极角两个参数表示一个点的坐标。
极径表示点到原点的距离，极角表示从正半轴逆时针旋转到点所需的角度。
通常用(r, θ)表示极坐标点。
•直角坐标系：由横坐标和纵坐标两个参数表示一个点的坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
通常用(x, y)表示直角坐标点。
2. 极坐标方程的表示直线的极坐标方程一般有以下两种形式：•r = k：极径等于常数k的直线。
该直线与极角无关，即不随极角变化而移动或旋转。
•θ = k：极角等于常数k的直线。
该直线与极径无关，即不随极径变化而移动或缩放。
3. 将极坐标方程转化为直角坐标方程公式要将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，我们可以利用极坐标点与直角坐标点之间的关系进行换元。
对于极坐标点(r, θ)，可将其转化为直角坐标点(x, y)，其中：•x = r * cos(θ)：将极径r与极角θ代入三角函数cos中，得到点在x轴上的位置。
•y = r * sin(θ)：将极径r与极角θ代入三角函数sin中，得到点在y轴上的位置。
根据以上公式，我们可以将极坐标方程转化为直角坐标方程的一般公式：•当极坐标方程为r = k时，直角坐标方程为x * cos(θ) + y * sin(θ) = k。
•当极坐标方程为θ = k时，直角坐标方程为x * sin(θ) - y * co s(θ) = 0。
4. 举例说明为了更好地理解如何将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，我们来举个例子。
假设有一直线的极坐标方程为r = 3cos(θ)，我们想将其转化为直角坐标方程。
直线的极坐标方程转化为直角坐标方程的方法是
直线的极坐标方程转化为直角坐标方程的方法是直角坐标系和极坐标系是几何学中常用的两种坐标系。
直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，用(x, y)表示点的位置；而极坐标系由极径和极角构成，用(r, θ)表示点的位置。
在数学和物理问题中，有时需要将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程。
本文将介绍两种常用的方法来完成这个转化的过程。
方法一：直线斜率法通过直线的斜率求解的方法，可以将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程。
以下是具体步骤：1.已知直线在极坐标系中的方程为$r = A \\cdot \\cos(\\theta -\\alpha)$，其中A为正常数，$\\alpha$为常数角度。
这个方程表示的是以原点为极点，方向角（与极径正方向之间的角度）为$\\alpha$，极径为A的直线。
2.将极坐标方程转化为直角坐标方程，需要根据直线斜率的定义进行求解。
直线的斜率可以通过求导计算斜率的变化率，即$\\frac{{dy}}{{dx}}$。
3.使用导数的关系式，在直角坐标系中得到直线斜率的表达式如下：$\\tan(\\theta) = \\frac{{\\frac{{dy}}{{dx}}}}{{1 - \\frac{{dy}}{{dx}}}}$。
4.将极坐标方程$r = A \\cdot \\cos(\\theta - \\alpha)$代入上述表达式，并进行变形运算，最终得到直线在直角坐标系中的方程。
5.求解出直线在直角坐标系中的方程后，即可得到直线的直角坐标方程。
方法二：利用三角恒等式除了直线斜率法外，还可以使用三角恒等式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程。
以下是具体步骤：1.在极坐标系中，直线的方程为$r = A \\cdot \\cos(\\theta - \\alpha)$，其中A为正常数，$\\alpha$为常数角度。
2.利用三角恒等式$\\cos(A - B) = \\cos(A) \\cdot \\cos(B) + \\sin(A)\\cdot \\sin(B)$将上述极坐标方程进行展开。
直线的极坐标方程化为直角坐标方程
直线的极坐标方程化为直角坐标方程
1、极坐标方程和直角坐标方程的概念
极坐标方程：极坐标方程是一种坐标系，是以极点为原点的坐标系，
由极轴和极角确定一个点的坐标。
直角坐标方程：直角坐标方程是一种坐标系，其原点位于坐标系原点，由水平轴和竖直轴确定一个点的坐标。
2、极坐标方程化为直角坐标方程的方法
（1）首先，从极坐标原点，水平轴上取一点A，假设其极坐标为（r，θ），这个点A的直角坐标为（x，y）；
（2）其次，由r=x^2+y^2可知，x^2=r^2-y^2，又由tanθ＝y/x，可知
y=tanθ（r^2-x^2）；
（3）最后，令x=t，将最终的直角坐标方程化简为：y=tanθ(r^2-t^2)。
3、极坐标方程化为直角坐标方程的应用
（1）用于计算出离极点最近的点的位置：若要约束一个实体在一定
距离以内，我们可以使用极坐标方程与直角坐标方程，加以变换，就
可以计算出离极点最近的点的位置；
（2）用于几何图形的描述：在几何图形的描述中，使用极坐标可以
把具有绝对极限范围的几何图形表示为一条直线，使用极坐标方程化
为直角坐标方程后，可以求出这条直线上的坐标；
（3）用于数学模型的建立：在建立数学模型时，极坐标与直角坐标
可以相互转换，以方便求解；
（4）用于轨迹的分析：使用极坐标可以把复杂的轨迹表述为一条简单的直线，而用极坐标方程化为直角坐标方程后，可以求出这条直线上的坐标，从而对轨迹的某个点进行分析。
直线的极坐标形式有哪些
直线的极坐标形式有哪些直线是几何学中最基本的图形之一，其表达形式有不同的方式，其中一种是极坐标形式。
极坐标是一种以原点和极径、极角来描述点的坐标系统。
在直角坐标系中，直线可以用一元一次方程y = kx + b来表示，而在极坐标系中，直线的表达形式则有其他几种方式。
1. 极坐标方程直线的极坐标方程是通过表示直线上的点与极坐标系的原点之间的距离和夹角来定义的。
表示直线的极坐标方程的一般形式是：$r = \\frac{p}{\\cos(\\theta - \\alpha)}$其中，r表示点与原点之间的距离，$\\theta$表示点与极轴之间的夹角，p表示直线到原点的垂线的长度，$\\alpha$表示直线与极轴的交角。
2. 直线的极坐标表示除了极坐标方程，直线的极坐标形式还可以用一些特殊表示来描述：(1) 斜线当直线相对极轴的交角为常数时，可以用斜线的方式表示直线。
斜线的极坐标方程为：$\\theta = \\alpha$其中，$\\theta$表示点与极轴的夹角，$\\alpha$表示直线与极轴的交角。
(2) 水平线当直线与极轴平行时，可以用水平线的方式表示直线。
水平线的极坐标方程为：$\\theta = \\frac{n\\pi}{2}$其中，n表示直线与极轴的交角为$\\frac{n\\pi}{2}$。
(3) 竖线当直线与极轴垂直时，可以用竖线的方式表示直线。
竖线的极坐标方程为：r=p其中，p表示直线到原点的垂线的长度。
(4) 直线段当直线在极坐标系内部时，用直线段的方式来表示直线。
直线段的极坐标方程为：$\\theta = \\alpha$$r \\leq r_{\\text{max}}$其中，r表示点与原点之间的距离，$\\theta$表示点与极轴之间的夹角，$\\alpha$表示直线与极轴的交角，$r_{\\text{max}}$表示直线上离原点最远的点的极径。
3. 极坐标方程与直角坐标方程的转换直线的极坐标方程可以通过一些方法转换为直角坐标方程。
空间坐标系已知两点坐标求直线方程
空间坐标系已知两点坐标求直线方程
在三维空间中，如果已知两个点的坐标，可以通过求解它们的连线所在的直线方程来描述它们之间的关系。
在空间直角坐标系中，直线方程可以表示为：
Ax + By + Cz + D = 0
其中 A、B、C分别表示直线的方向向量的x、y、z分量，D表示直线与坐标平面的交点到原点的距离。
首先，我们需要求解出通过这两个点的直线的方向向量。
假设这两个点的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，那么这条直线的方向向量可以表示为：
V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
接下来，我们需要求解出直线与坐标平面的交点到原点的距离。
设交点的坐标为(x0,y0,z0)，则根据直线方程的定义，我们可以得到： A*x0 + B*y0 + C*z0 + D = 0
其中A、B、C已知，D需要求解。
由于交点到原点的距离可以表示为：
D = -A*x0 - B*y0 - C*z0
因此，我们只需要将交点的坐标代入上述公式即可求解出D。
最终，将A、B、C、D代入直线方程即可得到所求直线的方程。
- 1 -。
空间直角坐标系中的直线方程
空间直角坐标系中的直线方程在我们的生活中，直线就像是一条条优雅的舞蹈，划过空间，把一切都串联起来。
想象一下，你在公园散步，走到一条笔直的小路上，周围的树木、花草都在微风中摇摆，阳光透过树叶洒下斑驳的光影。
这个场景就像是几何学中的直线，清晰而美丽，恰到好处。
空间直角坐标系就像是我们生活的地图，把这个舞蹈记录下来。
坐标系里有三个轴，X、Y和Z，分别对应着左右、上下和前后。
嘿，听起来是不是有点复杂？其实呢，理解起来并不难。
就像吃西瓜，切开来，里面的红瓤一目了然。
要说到直线方程，那可是个有趣的家伙。
简单来说，直线方程就像是直线的身份证，告诉你这条线的特点和走向。
通常我们会用一种叫做斜截式的形式来表示它，听起来是不是挺酷的？y = mx + b，这里的y和x就像是两个好朋友，总是一起出现在派对上。
m则是斜率，决定了这条线的倾斜程度，就像你骑自行车的时候，坡度越大，越考验你的骑行技术。
而b则是截距，意味着当x为零的时候，y会在哪里出现。
这就好比你站在一个高高的山坡上，往下看，视野开阔，正对着那片蓝天，心情格外舒畅。
我们来聊聊这个直线的斜率。
斜率就像是在说：“我这条线有多牛！”斜率越大，线就越陡，越小则相反，像是平坦的小路。
在生活中，我们也常常遇到这样的情况，比如在攀岩的时候，越陡的墙壁越让人兴奋又紧张。
说到斜率，不得不提升降。
你知道吗？当斜率为正的时候，直线向上走，心情自然也好；当斜率为负，线向下，那心情也得跟着掉下去，真是“高峰低谷”啊。
直线的方程还有另一种形式，叫做点斜式。
如果你手上有一个点的坐标，再加上斜率，就可以写出直线方程。
这就像你有了一个出发点，还知道要去哪里，轻松就能找到路线。
生活中，我们常常也需要这样的目标感，明确自己的方向才能走得更远。
想象一下，朋友们一起去旅行，大家都有不同的目标，有的想去海边，有的想去山上，但只要有一个共同的出发点，大家就能一起出发，享受旅程。
在空间直角坐标系里，我们不仅能画出平面上的直线，还能画出三维空间里的直线。
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直线的直角坐标方程
一、引言
在数学中，直角坐标系是一种用于描述平面上点位置的坐标系。直线
是平面几何中的基本概念之一，而直线的方程是研究直线性质的重要
工具。本文将详细介绍直线的直角坐标方程。
二、什么是直线的直角坐标方程
在平面直角坐标系中，一条直线可以表示为两个变量x和y之间的关
系式。这种关系式被称为“直线的方程”。通常来说，我们使用y =
mx + b来表示一条斜率为m，截距为b的直线。但是，在某些情况
下，使用不同形式的方程更加方便。
三、点斜式
点斜式是一种表示直线方程的形式。它需要已知一条经过点（x1, y1）
且斜率为m的直线。该方程如下：
y - y1 = m(x - x1)
其中，m是该直线的斜率。
四、截距式
截距式也是表示直线方程的一种形式。它需要已知该条直线与y轴相
交时所对应的y值（即截距）。该方程如下：
y = mx + b
其中，m是该条直线的斜率，b是该条直线与y轴相交时所对应的y
值。
五、斜截式
斜截式是表示直线方程的一种形式。它需要已知该条直线的斜率和截
距。该方程如下：
y = mx + b
其中，m是该条直线的斜率，b是该条直线与y轴相交时所对应的y
值。
六、两点式
两点式是表示直线方程的一种形式。它需要已知直线上的两个点（x1,
y1）和（x2, y2）。该方程如下：
(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)
这个公式可以通过将左侧分子和分母乘以(x2 - x1)，然后移项得到以
下形式：
(y - y1) = [(y2 - y1) / (x2 - x1)](x - x1)
七、总结
在平面直角坐标系中，我们可以使用多种形式来表示一条直线的方程。
这些形式包括点斜式、截距式、斜截式和两点式。每种形式都有其独
特的优势和适用范围，因此在实际问题中选择合适的形式非常重要。