2018_2019学年高中数学活页作业22幂函数新人教A版必修

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高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章3.3《幂函数》课件

(-1,-1) -1
-2
-3
2
4
6
x
从图象能得出它们的性质吗?
二、分组讨论，合作探究
几个幂函数的性质:
y x y x2
y x3
1
y x2
定义域
值域
奇偶性
单调性
y x1
公共点
二、分组讨论，合作探究
几个幂函数的性质:
y x y x2
定义域 R
R
值域 R y | y 0
奇偶性奇函数偶函数
第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”。
一、创设情境，形成概念
汶上人杰地灵，物产丰富，汶上的芦花鸡更是远近闻名！请同学们阅读并回答下列问题：
3.核心素养 (1）直观想象 (2) 逻辑推理 (3) 数学运算
六、课后作业
必做题：课本P91 复习巩固第3题固学案基础巩固
选做题：固学案拓展提高2,3,4
练习 1.画出函数 y x 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
2.试用描点法画出函数 f x x2 的图象，求函数的定义域、
值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
五、课堂小结
1.知识方面
(1) 幂函数的定义 (2) 幂函数的图象与性质
2.思想方法 (1) 数形结合 (2) 特殊到一般
A.幂函数 y x1, y x的图象都经过点（0,0），（1,1）
B.幂函数
1,2,3，1 ，-1 2
时，幂函数 y
x
的图象都经过

微专题30幂函数15种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题30 幂函数15种常考题型总结题型1 幂函数的概念辨析题型2 求幂函数的解析式或值题型3 根据函数是幂函数求参数值题型4 幂函数的定义域问题题型5 幂函数的值域问题题型6 幂函数的图象及应用题型7 幂函数的图象过定点问题题型8 判断幂函数的单调性题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性题型10 由幂函数的单调性求参数题型11比较幂值的大小题型12 利用幂函数的单调性解不等式题型13 幂函数的奇偶性的应用题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用题型15 幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．（5）在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．5、求幂函数的定义域和值域的方法幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．幂函数的定义域由幂指数a 确定：（1）当幂指数a 取正整数时，定义域为R ，当a 为正偶数时，值域为[0,)+¥；当a 为奇数时，值域为R ．（2）当幂指数a 取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，当0a =时，值域为{}1；当a 为负偶数时，值域为(0,)+¥；当a 为负奇数时，值域为{}0y y ¹．（3）当幂指数a 取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．6、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．7、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．8、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝12y x=或y ＝x 3)来判断．9、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．10、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型1 幂函数的概念辨析【例1】下列函数是幂函数的是（）A ．31y x =B ．2x y =C ．22y x =D ．1y x -=-【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如y x a =，R a Î叫幂函数，对A ，331y x x-==，故A 正确；B ，C ，D 均不符合.故选：A ．【变式1】下列函数中幂函数的是（）A ．3y x =B ．22y x =+C ．()21y x =+D ．y =【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A ：函数3y x =为一次函数，故A 不符合题意；B ：函数22y x =+为二次函数，故B 不符合题意；C ：函数22(1)21y x x x =+=++为二次函数，故C 不符合题意；D ：函数12y x ==为幂函数，故D 符合题意.故选：D【变式2】现有下列函数：①3y x =；②24y x =；③51y x =+；④()21y x =-；⑤y x =，其中幂函数的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由幂函数的定义即可求解.【详解】由于幂函数的一般表达式为：(),0y x aa =¹；逐一对比可知题述中的幂函数有①3y x =；⑤y x =共两个.故选：C.题型2 求幂函数的解析式或值【例2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则14f æö=ç÷èø．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出()32f x x -=，再代入求值即可.【详解】令()f x x a=，由题意得2a =，即132222222a -==，解得32a =-，故()32f x x -=，则()323212284f --æö===ç÷èø．故答案为：8【变式1】函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-【答案】C【解析】由幂函数的定义知2271k k --=，即2280k k --=，解得4k =或2k =-．故选：C【变式2】设函数()121,02,0xx x f x x ìï+>=íï£î，则()(4)f f -= ．【答案】54【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】()442f --=，()()()144225(4)221214f f f ----==+=+=.故答案为：54【变式3】已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f æöç÷èø的值为（）A ．2B ．14C ．14-D ．2-【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设()f x x a=，则(6)634(2)2f f aa a ===，所以1111()()3334f a a ===.故选：B【变式4】若函数()log 238a y x =-+（0a >且1a ¹）的图象恒过点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则()4f = ．【答案】64【分析】先找到定点P 的坐标，通过P 点坐标求解幂函数()f x x a=的解析式，从而可求()4f ．【详解】对于函数log 238ay x =-+（），令231x -=，解得2x =，此时8y =，因此函数log 238ay x =-+（）的图象恒过定点()2,8P ，设幂函数()f x x a=，P 在幂函数()f x 的图象上，82a \=，解得3a =．()3f x x \=．则()34464==f .故答案为：64题型3 根据函数是幂函数求参数值【例3】已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(4,2)，则m n -=（）A ．3-B ．52-C ．2-D ．32-【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得21m +=,所以1m =-,又()nf x x =的图象经过点()4,2,所以42n =,解得12n =,所以13122m n -=--=-.故选：D.【变式1】己知幂函数()(1)af x k x =-×的图象过点12æççè，则()f k = .【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数()(1)a f x k x =-×是幂函数，所以11k -=，解得2k =，又幂函数()a f x x =的图象过点12æççè，所以12aæö=ç÷èø12a =，所以12()f x x =，所以()()2f k f ==【变式2】已知幂函数()f x k x a=×的图象过点()3,9，则k a +=（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得1k =，再由()39f =，求得2a =，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得1k =，又由()39f =，可得39a =，解得2a =，所以3k a +=．故选：C.【变式3】“4m =”是“()22()33m f x m m x +=--是幂函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为()()2233m f x m m x +=--是幂函数，所以2331m m --=，解得4m =或1m =-，故“4m =”是“()()2233m f x m m x +=--是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.题型4 幂函数的定义域问题【例4】下列函数中定义域为R 的是（）A ．12y x =B ．54y x =C ．23y x =D ．13y x -=【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】12y x ==[0,)+¥，故A 错误；54y x ==[0,)+¥，故B 错误；23y x ==R ，故C 正确；13y x-=={0}x x ¹∣，故D 错误，故选：C.【变式1】函数()0=f x x 的定义域是（）A ．(],2-¥B ．()0,2C ．()(),00,2-¥U D ．()(],00,2-¥È【答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有200x x ->ìí¹î，解得：2x <且0x ¹，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-¥U ，故选：C .【变式2】函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-¥+¥B ．()(),00,¥-+¥UC ．[)0,¥+D ．()0,¥+【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ¹ìí³î，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,¥+.故选：D.【变式3】已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()112f x -的定义域为．【答案】1(,)2-¥【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵()y f x x a==的图象过点()4,2，∴()f x =()112f x =-x 应该满足：120x ->，即12x <，∴()112f x -的定义域为1,2æö-¥ç÷èø．故答案为：1,2æö-¥ç÷èø题型5 幂函数的值域问题【例5】下列函数中，值域为()0,¥+的是（）A ．()f xB ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x [)0,¥+，故A 错误；()1021x f x x x x >\=+³== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+¥，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ¥Î-+0> ，函数值域为(0,)+¥，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x Î，()11,0x -Î-，所以()()0,1f x Î，故D 错误.故选：C.【变式1】下列四个幂函数：①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④32y x =的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）【答案】②③【解析】对于①，331y x x -==，则其值域为{}0y y ¹；对于②，221y x x-==，则其值域为{}0y y >；对于③，23y x-==，则其值域为{}0y y >，对于④，332y x ==，则其值域为{}0y y ³.综上符合题意的是②③.【变式2】在下列函数中，定义域和值域不同的是（）A ．13y x =B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D【解析】由13y x ==x R Î,R y Î，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x Î+¥，[0,)y Î+¥，定义域、值域相同；由53y x ==可知，x R Î,，定义域、值域相同R y Î；由23y x ==x R Î，[0,)y Î+¥，定义域、值域不相同.故选：D【变式3】函数213324y x x =++，其中8x -…，则其值域为.【答案】[)3,+¥/()3y y ³【分析】利用换元法将函数化为2224(1)3y t t t =++=++，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设13t x =，则2224(1)3y t t t =++=++.因为8x -…，所以2t -…. 当1t =-时，min 3y =.所以函数的值域为[3)+¥，.故答案为：[3)+¥，【变式4】已知函数())2()x a f x x x a ì³ï=í<ïî，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y =[,)a +¥上单调递减，其函数值集合为(,-¥，当0a >时，2y x =的取值集合为[0,)+¥，()f x 的值域(,[0,)R -¥È+¥¹，不符合题意，当0a £时，函数2y x =在(,)a -¥上单调递减，其函数值集合为2(,)a +¥，因函数()f x 的值域为R ，则有2a ³，解得10a -££，所以实数a 的取值范围为[1,0]-.故选：D题型6 幂函数的图象及应用【例6】图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D【变式1】如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象.已知n 分别取112,,,222--四个值，与曲线1234C C C C 、、、相应的n 依次为（）A ．112,,,222--B ．112,2,,22--C ．11,,2,222--D ．112,,2,22--【答案】A【解析】由幂函数的单调性可知曲线1234C C C C 、、、相应的n 应为112,,,222--.故选：A【变式2】幂函数2y x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数()221y f x x x -===定义域为{}|0x x ¹，且()()()2211f x f x x x -===-，所以()2y f x x -==为偶函数，函数图象关于y 轴对称，又当()0,x Î+¥时()2y f x x -==单调递减，则()2y f x x -==在(),0¥-上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C【变式3】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）A ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①2y x =，②13y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数3y x =为奇函数且定义域为R ，该函数图像应与①对应；函数20y x =³，且该函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，该函数图像应与②对应；12y x ==[)0,¥+，该函数图像应与③对应；11y x x-==，其图像应与④对应．故选：A ．【变式4】函数()54f x x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()54f x x =的定义域为R ，且()()5544f x x x f x -=-==，故()54f x x =为偶函数，排除AB ，因为514>，故函数在()0,¥+上增长速度越来越快，为下凸函数，C 正确，D 错误.故选：C 【变式5】已知函数()02,0x f x x x³ï=í<ïî，若()()g x f x =-，则函数()g x 的图象是（）A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出函数()00x f x ³=<的图象如下图所示：因为()()g x f x =-，则将函数()f x 的图象关于x 轴对称，可得出函数()g x 的图象，如下图所示：故选：C.【变式6】【多选】函数()241f x ax x =++与()ag x x =在同一直角坐标系中的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定a 的正负，再观察幂函数图象判断即得.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如2a =，A 可能；对于B ，二次函数开口向下，则0a <，此时存在()ag x x =与图中符合，如1a =-，B 可能；对于C ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如12a =，C 可能；对于D ，二次函数开口向上，则0a >，此时()ag x x =在()0,¥+为增函数，不符合，D 不可能.故选：ABC【变式7】【多选】下列幂函数中满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++æö<<<ç÷èø的函数是（）A ．()f x x =B ．()2f x x=C ．()f x =D ．()1f x x=【答案】BD【分析】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线.对于A,函数()f x x =的图象是一条直线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö=ç÷èø,不满足题意；对于B,函数()2f x x =的图象是凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意；对于C,函数()f x =,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èø,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数()1f x x =的图象是一条凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意.故选:BD.题型7 幂函数的图象过定点问题【例7】函数()2y x aa =-为常数的图象过定点．【答案】()1,1-【分析】利用11a =求得正确答案.【详解】当1x =时，121y a =-=-，所以定点为()1,1-.故答案为：()1,1-【变式1】【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（）A ．2y ax a =+-B ．1a y x =+C ．11(0,1)x y a a a -=+>¹D ．log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>¹，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.【变式2】已知函数y x a =的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为 .【答案】4【解析】函数y x a =的图象恒过定点(1,1)A ，所以1m n += ,因为,0m n >，所以1111()()224m n m n m n m n n m +=++=++=+=，当12m n ==时，11m n+的最小值为4.【变式3】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->¹的图象所经过的定点，则b 的值等于（）A ．12±B ．C ．2D ．2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->¹，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，所以1()2g b =，即212b =，解得：b =,故选：B.【变式4】若函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，且()23af x x +=+，则()yg x =必过定点（）A ．()4,0B ．()4,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】D【解析】()23af x x +=+ ，()()23af x x \=-+，()()33234af \=-+=，所以，函数()y f x =的图象过定点()3,4，又函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，因此，函数()y g x =必过定点()4,3.故选：D.题型8 判断幂函数的单调性【例8】【多选】下列函数中，在区间()0,¥+单调递减的是（）A ．21y x =B ．()ln 1y x =+C ．1y x x=+D ．2xy -=【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A 项，由幂函数性质知，221y x x-==在(0,)+¥上单调递减，故A 项正确；对于B 项，令1t x =+（0x >），则ln y t =（1t >），因为1t x =+在(0,)+¥上单调递增，ln y t =在在(1,)+¥上单调递增，所以ln(1)y x =+在(0,)+¥上单调递增，故B 项不成立；对于C 项，由对勾函数性质可知，1y x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+¥上单调递增，故C 项不成立；对于D 项，因为12(2xx y -==，所以2x y -=在(0,)+¥上单调递减，故D 项正确.故选：AD.【变式1】【多选】下列函数中，满足“x "ÎR ，()()0f x f x --=，且1x "，2(,0)x Î-¥，都有1212()()0f x f x x x ->-”的是（）A ．()51f x x =+B ．3()f x x=-C ．4()f x x=D ．2()2022f x x =-+【答案】BD【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，然后逐个分析判断即可.【详解】由()(),0x f x f x "Î--=R ，知函数()f x 是偶函数，由()12,,0x x ¥"Î-，都有()()12120f x f x x x ->-，知()f x 在(),0¥-上单调递增，所以()f x 在(0,+∞)上单调递减.对于A ：()51f x x =+不满足为偶函数，故A 错误；对于B:()333,0,0x x f x x x x ì£=-=í->î，符合题意，故B 正确；对于C ：4()f x x=不满足为偶函数，故C 错误；对于D:()22022f x x =-+符合题意.故选：BD.题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性A ．[)2,+¥B ．[)4,+¥C ．(],2-¥D ．(],0-¥【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断.【详解】令24t x x =-,则y =由240x x -³，解得4x ³或0x £，故函数y ={0x x £或x ≥4}.又函数24t x x =-在(],0-¥上单调递减，在[)4,+¥上单调递增,y 在[)0,+¥上单调递增，则函数y =[)4,+¥上单调递增.故选：B.【变式1】函数y =的单调减区间为；【答案】(],5-¥-【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =y =与245u x x =+-复合而成的函数. 令2450u x x =+-³，得5x £-或1x ³.易知245u x x =+-在(],5-¥-上是减函数，在[)1,+¥上是增函数，而y =在[)0,¥+上是增函数，所以y =(],5-¥-.故答案为：(],5-¥-.【变式2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则函数()22y f x x =+的单调递增区间为（）A ．(),2¥--B ．(),1¥--C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．【详解】设()f x x a=，因为()f x 的图象过点æççè，所以2a=，解得12a =-，即()12f x x -=，可得()f x 在(0,+∞)上单调递减，则函数()()122222y f x x x x -=+=+=，由220x x +>，解得2x <-或0x >，则函数22y x x =+在(),2¥--上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以函数()22y f x x =+的单调递增区间为(),2¥--.故选：A.【变式3】【多选】已知幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（）A ．()f x 为增函数B ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èøC ．()f x 为偶函数D ．若1x >，则()1f x >【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点(9,3)，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选项A ，C ，D 正误；对于选项B ，根据函数解析式分别表示出()()1212(),22f x f x x x f ++，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，得93n =，所以12n =.12()f x x ==[0,)+¥，对于A 选项：因为102>，由幂函数的性质得A 选项正确；对于B 选项：若120x x >>，则12(2x xf +()()12221212[([]222f x f x x x x x f +++-=21204x x -=>（），所以()()122212[()][]22f x f x x xf ++>，又()()1212()0,022f x f x x x f ++=>=>，所以()()1212(22f x f x x xf ++>，故B 选项正确；对于C 选项：由于定义域不关于数字0对称，故C 选项不正确；对于D 选项：因为()f x 为增函数，若1x >，则()(1)1f x f >=，故D 选项正确；故选：ABD.题型10 由幂函数的单调性求参数【例10】已知幂函数()()12232mf x m m x -=-满足()()23f f <,则m =.【答案】13-【分析】根据幂函数的定义,得2321m m -=,解得1m =或13m =-,分别代入()f x 判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,2321m m -=,即23210m m --=,解得1m =或13m =-.当1m =时,()12f x x -=在()0,¥+上单调递减,不满足()()23f f <；当13m =-时,()56f x x =在()0,¥+上单调递增,满足()()23f f <.综上,13m =-.故答案为：13-.【变式1】幂函数()()2345m f x m m x -=--在()0,¥+上为减函数，则m 的值为．【答案】2-【分析】根据幂函数定义求出m 的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因()()2345m f x m m x -=--是幂函数，则25=1m m --，解得：3m =或2m =-.当3m =时，5()f x x =，此时函数在()0,¥+上为增函数，舍去；当2m =-时，10()f x x -=，此时函数在()0,¥+上为减函数，符合题意.故答案为：2-.【变式2】已知幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，则k = .【答案】1【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，所以221103k k k ì-=ïí->ïî，解得1k =.故答案为：1【变式3】已知2311,,,,2,33422a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a=在区间(),0¥-上单调递增，且其图像不过坐标原点，则a = .【答案】23-【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则0a £，当23a =-，()23f x x -==在区间(),0¥-上单调递增，符合题意；当34a =-，()34-=f x x ()0,¥+，不合题意；当12a =-，()12f x x -==的定义域为()0,¥+，不合题意；综上所述：23a =-.故答案为：23-.【变式4】已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,¥+上是减函数，则11mx +<的解集为（）A ．()0,1B ．()(),01,-¥È+¥C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【分析】根据()f x 是幂函数且在()0,¥+上是减函数求出m 的值，再将所求不等式两边同时平方求出x 的范围.【详解】 ()()21mf x m m x =+-是幂函数，\211m m +-=，解得1m =或2m =-，当1m =时，()f x x =不满足()f x 在()0,¥+上是减函数，当2m =-时，()2f x x -=满足()f x 在()0,¥+上是减函数，\2m =-，将不等式211x -+<的两边同时平方得，24411x x -+<，解得01x <<，\11mx +<的解集为()0,1.故选：A.【变式5】已知函数2295,1()1,1a x ax x f x x x -ì-+£=í+>î，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．92,2éö÷êëøB ．94,2éö÷êëøC ．[]2,4D ．(]9,2,2æù-¥+¥çúèûU 【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a a a a -ì³ïï-<íï-´+³+ïî，解得24a ££，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C题型11比较幂值的大小【例11】设232555322555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,，，则,,a b c 大小关系是 .【答案】a c b＞＞【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为()25f x x =在()0,¥+单调增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，即a c >，因为()25xg x æö=ç÷èø在(),-¥+¥单调减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【变式1】设 1.3 1.4 1.40.9,0.9,0.7a b c ===，则下列不等式中正确的是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设()0.9xf x =，则由指数函数()0.9xf x =在R 上单调递减，得()() 1.3 1.41.3 1.40.90.9f f a b >Þ=>=，设() 1.4h x x =，则幂函数() 1.4h x x =在()0,¥+上单调递增，得()()1.41.40.90.90.70.7h b c h ==>==，所以a b c >>.故选：B【变式2】设21log 3a =，1312b æö=ç÷èø，1213c æö=ç÷èø，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】2log x y = 在()0,+¥上是增函数，221log log 103a \=<=，12xy æö=ç÷èø在R 是减函数，12y x =在()0,¥+上是增函数，1113221110223b c æöæöæö=>>=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a c b \<<.故选：D.题型12 利用幂函数的单调性解不等式【例12】不等式()()2233213x x +<-的解为 .【答案】24,3æö-ç÷èø【分析】根据幂函数的性质确定幂函数()23f x x =的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数()23f x x ==R ，且函数在[)0,¥+上单调递增，又()()f x f x -===，则()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0¥-上单调递减，则由不等式()()2233213x x +<-可得213x x +<-，平方后整理得231080x x +-<，即()()3240x x -+<，解得243x -<<，则不等式的解集为24,3æö-ç÷èø.故答案为：24,3æö-ç÷èø.【变式1】实数a 满足3322(21)(1)a a --->+，则实数a 的取值集合为.【答案】1,22æöç÷èø【分析】首先分析出幂函数32y x -=的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】32x y -=()0+¥，，且在定义域上单调递减，因为3322(21)(1)a a --->+，所以21010211a a a a ->ìï+>íï-<+î，解得122a <<故答案为：1,22æöç÷èø【变式2】已知幂函数14()f x x =，若(102)(1)f a f a -<+，则a 的取值范围是．【答案】(]3,5【解析】因为14()f x x =的定义域为[)0+，¥，且14()f x x =在[)0+，¥上单调递增，所以由(102)(1)f a f a -<+可得：1021102010a a a a -<+ìï-³íï+³î，解得：35a <£【变式3】已知函数21*()(N )m mf x xm +=Î.若该函数图象经过点，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是.【答案】31,2éö÷êëø【解析】由已知212m m +=22m m +=，又m 是正整数，故解得1m =，即12()f x x =，函数定义域是[0,)+¥，易知12()f x x =是增函数，所以由(2)(1)f a f a ->-得210a a ->-³，解得312a £<.【变式4】设函数1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，如果()01f x >，则0x 的取值范围是 .【答案】()(),11,-¥-È+¥【分析】通过分00x <和00x >两种情况进行讨论，从而可求出0x 的取值范围.【详解】因为1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，所以000211x x -<ìí->î或012001x x >ìïíï>î，解得01x <-或01x >，所以0x 的取值范围是()(),11,-¥-È+¥.故答案为：()(),11,-¥-È+¥.题型13 幂函数的奇偶性的应用【例13】已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为.【答案】1【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】()f x 为幂函数，2331a a \-+=，解得：1a =或2a =；当1a =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2a =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.【变式1】若幂函数()()219mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m =（）A ．5-或4B ．5-C ．4D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数()()219mf x m m x =+-，则2191m m +-=，解得4m =或5m =-，且幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，则m 为偶数，故4m =.故选：C ．【变式2】幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在()0+¥，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z Î,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m =故答案为：1题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用【例14】下列幂函数中，既在区间()0,¥+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,¥+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,¥+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,¥+为减函数，设()123321f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()()11332211f x f x x x éùæö-===êúç÷èø-êúëû，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,¥+为减函数，设()11331f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()113311f x f x x x æöæö-==-=-ç÷ç÷-èøèø，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D【变式1】已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为 .【答案】()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数()223m m y x m N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【变式2】若幂函数()22529m m f x x -++=的图象关于y 轴对称，()f x 解析式的幂的指数为整数, ()f x 在(),0¥-上单调递减，则m =（）A ．19B ．19或499C ．13-D ．13-或73【答案】D【分析】由题意知()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递减,可得22529m m -++为正偶数，再根据22529m m -++的范围可得答案.【详解】由题意知()f x 是偶函数，因为()f x 在(),0¥-上单调递减,所以22529m m -++为正偶数，又222534342(1)999m m m -++=--+£，∴234(1)29m --+=，解得73m =或13-．故选：D ．【变式3】函数()2223()1(03,)m m f x m m x m m --=-+££ÎZ 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x f x -=；②在(0,)+¥上是减函数，则f 的值为（）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．【详解】m ÎZ ，03m ££，0,1,2,3m =，代入223m m --分别是3,4,3,0---，在定义域内()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，因此223m m --取值4-或0，2230m m --=时，()f x 在(0,)+¥上不是减函数，只有234-=-满足，此时1m =，4()f x x -=，444f -===．故选：B ．【变式4】已知函数()333x x f x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-¥-+¥U ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-¥-+¥U ，，D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x x f x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B题型15 幂函数性质的综合应用【例15】已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,¥-+¥U ，值域为(0,)+¥(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ¹，解得0x ¹故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-¥+¥U ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+¥；（3）任取x A Î，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．【变式1】已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图像关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图像；(3)直接写出函数()1g x >的解集．【答案】(1)1()f x x=(2)图像见解析(3)()()1,00,1-U 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图像性质即可得解.（2）由（1）求出函数()g x ，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出()g x 的图像.（3）根据（2）中图像特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因为()22()55m f x m m x -=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-¥+¥U ，易得()f x 是奇函数，图像关于原点对称，则1m =满足题意；当4m =时，函数2()f x x =，易知()f x 是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数()f x 的解析式是11()f x x x-==.（2）因为函数()|()1|||g f x x x ==，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，且()()11g x g x x x-===-，所以()g x 是(,0)(0,)-¥+¥U 上的偶函数，当0x >时，1()g x x=在(0,)+¥上单调递减，其图像是反比例函数1y x =在第一象限的图像，作出函数()g x 在第一象限的图像，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，()1g x >的解集为()()1,00,1-U .。

2018_2019学年高一数学作业(6)幂函数新人教A版

高一数学寒假作业（6）幂函数1、已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--,当(0,)x ∈+∞时为减函数，则( )A. 2m =B. 1m =-C. 1m =-或2m =D. m ≠2、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. 2y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg y x =3、已知幂函数()(f x x αα=是有理数)的图象过点12,?4⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()f x 的单调递减区间是( ) A. [)0,+∞ B. ()0,+∞ C. (],0-∞ D. (),0-∞4、函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.14B. 1-C. 4D. 4-5、函数43y x =的图象是( ) A.B.C.D.6、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都经过点()()0,0,1,1 B.幂函数的图象不可能出现在第四象限C.当幂指数a 取11,2,3,2时,幂函数ay x =是增函数D.当幂指数1a =-时,幂函数ay x =是减函数7、下列函数中,是幂函数的是( ) A. 2(2)y x =+B. y =C. 12y x = D. 3xy =8、下列函数既是偶函数又是幂函数的是( )A. y x =B. 23y x = C. 12y x = D. y x =9、已知幂函数()2333m y m m x =--是偶函数,则实数m 的值是( ) A. 4 B. 1-C.32D. 4或1-10、设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >>11、已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4,则1()2f 的值为__________.12、已知幂函数()()22233m m f x m m x --=-+的图象不经过原点,则m =__________.13、若函数249a a y x --=是偶函数,且在()0,+∞内是减函数.则整数a 的所有可能值为__________.14、已知幂函数()f x 的图象经过点2),点1(2,)4-在幂函数()g x 的图象上. 1.求(),()f x g x 的解析式.2.当x 为何值时()()?f x g x >,当x 为何值时, ()()?f x g x < 15、已知函数()22,R x x f x k k -=+⋅∈. 1.若函数()f x 为奇函数,求实数k 的值;2.若对任意的[)0,x ∈+∞都有()2x f x ->成立,求实数k 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：因为2223(1)m m y m m x --=--为幂函数,211,m m ∴--=解得1m =-或 2.m =因为当(0,)x ∈+∞时, 2223(1)m m y m m x --=--为减函数,2230,m m ∴-=<解得1 3.m -<< 所以m 的值为2.2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：B解析：∵()f x x α=的图像过点12,?4⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴1=24α, ∴=2α-. ∴()2f x x -=,∴()f x 的单调递增区间为()0,+∞.4答案及解析：答案：C解析：由幂函数的性质,可知当0a <时, ay x =在()0,+∞上是减函数,故2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,故2max142y -⎛⎫== ⎪⎝⎭.5答案及解析：答案：A解析：因为43y x =图象必过()0,0点,且关于y 轴对称.所以C 、D 不正确. 因为当0x >时, y 的值随x 的增大而增大,且增大的速度越来越快,所以B 不正确.故选A.6答案及解析：答案：B解析：当幂指数1a =-时.幂函数的图象不经过原点，故A 错误；因为在(R)a y x a =∈中，只要0x >,必有0y >,所以幂函数的图象不可能在第四象限.故B 正确;当2a =时.幂函数2y x =在(,0)-∞上递减,在(0,)+∞上递增,故C 错误;当1a =-时,幂函数1y x -=在整个定义域上不是减函数.故D 错误.故选B.7答案及解析：答案：C 解析：8答案及解析：答案：B 解析：对于A,函数是奇函数,不合题意;对于B,函数是偶函数且是幂函数,符合题意;对于C:,函数不是偶函数,不合题意; 对于D,函数不是幂函数,不合題意. 故选B9答案及解析：答案：A 解析：已知函数()2333m y m m x =--是幂函数,则2331m m --=,解得1m =-或4m =, 当1m =-时, 13y x-=不是偶函数;当4m =时, 43y x =是偶函数. 综上,实数m 的值是4,故选A10答案及解析：答案：A 解析：∵指数函数25xy ⎛⎫=⎪⎝⎭单调递减,∴32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即b c <. 幂函数25y x =在()0,+∞上单调递增,∴22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即a c >,∴a c b >>,故选A11答案及解析：答案：4解析：设()af x x =,因为函数的图象经过点1(2,)4,212,2,().4a a f x x -∴=∴=-∴= 2211()()2 4.22f -∴===12答案及解析：答案：1或2解析：∵()()22233m m f x m m x --=-+为幂函数.∴2331m m -+= ∴1m =或2m =.当1m =时, ()2f x x -=,其图像不经过原点,符合题意;当2m =时, ()0f x x =,其图像不经过原点,也符合题意.∴m 的值为1或2.13答案及解析：答案：1,1,3,5-解析：由题意知249a a --应为负偶数,即()()22*492132N a a a k k --=--=-∈.()22132a k -=-.当2k =时, 5a =或1a =-; 当6k =时, 3a =或1a =.14答案及解析：答案：1.设(),a f x x =则22,2,().a a f x x =∴=∴= 设(),g x x β=则21(2),2,()(0).4g x x x ββ--=∴=-∴=≠2.当1x >或1x <-时, ()();f x g x > 当10x -<<或01x <<时, ()().f x g x < 解析：15答案及解析：答案：1.∵()22x x f x k -=+⋅是奇函数, ∴()(),R f x f x x -=-∈,即()2222x x x x k k --+⋅=-+⋅,∴()()21120x k k +++=对一切x ∈R 恒成立, ∴1k =-.2.∵对于[)0,x ∈+∞,均有()2x f x ->, 即222x x x k --+⋅>成立, ∴212x k -<对0x ≥恒成立. ∴()()2min120x k x -<≥,又22xy =在[)0,+∞上单调递增,∴当0x ≥时, ()2min21x =,∴0k >. 解析：。

3.3幂函数【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】

3.3幂函数1. 下列函数为幂函数的是()A．y＝2x3B．y＝2x2－1C．y＝1x D．y＝3x2解析：选C.y＝2x3中，x3的系数不等于1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝1x ＝x－1是幂函数；y＝3x2＝3x－2中x－2的系数不等于1，故D不是幂函数．2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，则实数a的值为()A．－1或2B．－2或1 C．－1D．1解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x 1a－2为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.3．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D.由题意设f(x)＝x n，因为函数f(x)的图象经过点(3，3)，所以3＝3n，解得n＝12，即f(x)＝x，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.4．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)解析：设f(x)＝xα.由2α＝14，得α＝－2，故f(x)＝x－2，其单调递增区间是(－∞，0)．5．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()A．n<m<0 B．m<n<0C．n>m>0 D．m>n>0解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.取x＝2，则有2m>2n，知m>n，故n<m<0.故选A.6．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的α的值的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：由幂函数的性质知α＝13，1,3时满足题意．故选C. 7．设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <a <b B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a解析：a ＝20.3＝80.1，b ＝30.2＝90.1，c ＝70.1，由幂函数y ＝x 0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c <a <b . 8．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x a 的图象在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1在(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，即a <0或0<a <1，故选C.9.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f (x )解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)10．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.答案：α＜011．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.12.若(a＋1)13<(3－2a)13，则a的取值范围是.解析：因为函数f(x)＝x 13的定义域为R，且为单调递增函数，所以由不等式可得a＋1<3－2a，解得a<23.13．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n>(－13)n，则n＝.解析：∵－12<－13，且(－12)n>(－13)n，∴y＝x n在(－∞，0)上为减函数．又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1，或n＝2.14．已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝.解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m＝1.15.已知函数y＝(a2－3a＋2)x a2－5a＋5(a为常数)，问：(1)当a 为何值时，此函数为幂函数？ (2)当a 为何值时，此函数为正比例函数？ (3)当a 为何值时，此函数为反比例函数？解：(1)由题意知a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝4.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝－1，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝3.16．已知幂函数f (x )＝(2m 2－6m ＋5)x m ＋1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )为幂函数知2m 2－6m ＋5＝1，即m 2－3m ＋2＝0，得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，f (x )＝x 2，符合题意；当m ＝2时，f (x )＝x 3，为奇函数，不符合题意，舍去．所以f (x )＝x 2.(2)由(1)得y ＝f (x )－2(a －1)x ＋1＝x 2－2(a －1)x ＋1，即函数的对称轴为x ＝a －1，由题意知函数在(2，3)上为单调函数，所以对称轴a －1≤2或a －1≥3，即a ≤3或a ≥4.故实数a 的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)．17. 已知幂函数f (x )＝x 13 (m －2)(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式，并讨论g (x )＝a f （x ）－bxf （x ）的奇偶性．解：由f (x )＝x 13 (m －2) (m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，得13(m －2)＜0，所以m ＜2.因为m ∈N ，所以m ＝0，1.因为f (x )是偶函数，所以只有当m ＝0时符合题意，故f (x )＝x －23.于是g (x )＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 13－bx 13，g (－x )＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 13＋bx 13，且g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ≠0且b ≠0时，g (x )既不是奇函数也不是偶函数；当a ＝0且b ≠0时，g (x )为奇函数；当a ≠0且b ＝0时，g (x )为偶函数；当a ＝0且b ＝0时，g (x )既是奇函数又是偶函数．18. 若已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝x 2，当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增， ∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4⇒0≤k ≤1.。

2019高中数学活页作业22 幂函数新人教A版必修1

活页作业(二十二) 幂函数(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列幂函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 12 C ．y ＝x 35D ．y ＝x 43解析：B 中y ＝x 12 ＝x ，定义域为{x |x ≥0}．A 中y ＝x ，C 中y ＝x 35 ＝5x 3，D 中y ＝x 43 ＝3x 4，定义域均为R .答案：B2．设a ＝0.40.5，b ＝0.60.5，c ＝0.60.3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b解析：∵y ＝x 0.5为(0，＋∞)的增函数，∴0.40.5＜0.60.5.又y ＝0.6x为R 上的减函数， ∴0.60.5＜0.60.3.∴a ＜b ＜c . 答案：C3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：∵y ＝x －1和y ＝x 13 都是奇函数，故B 、D 错误．又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 错误．y ＝x －2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．答案：A4．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A ．①y ＝x 2，②y ＝x 13 ，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：注意到函数 y ＝x 2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，该函数图象应与②对应；y ＝x 12 ＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y ＝x －1＝1x，其图象应与④对应．答案：B5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m －2的图象关于原点对称，则m 的取值范围为( )A ．1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1解析：∵函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2.当m ＝1时，y ＝x －1，其图象关于原点对称；当m ＝2时，y ＝x 0＝1(x ≠0)，其图象关于y 轴对称，故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若y ＝axa 2－12 是幂函数，则该函数的值域是__________．解析：∵a ＝1，∴y ＝x 12 ，其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．若(3－2m )12 ＞(m ＋1)12 ，则实数m 的取值范围为______．解析：考察幂函数y ＝x 12 ，因为y ＝x 12 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m ＞m ＋1，解得－1≤m ＜23.故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2323 ，3－23 ，223 的大小关系是______________．解析：∵幂函数y ＝x 23 在(0，＋∞)上是增函数，又∵3－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1323 ，且13＜23＜2，∴3－23 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2323 ＜223 .答案：3－23 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2323 ＜223三、解答题(每小题10分，共20分)9．讨论函数y ＝x 25 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图．解：∵y ＝x 25 ＝5x 2≥0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，＋∞)． ∵f (－x )＝(－x )25 ＝ 5－x2＝5x 2＝x 25 ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．由于25＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．又f (x )是偶函数，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．根据以上性质可画出函数y ＝x 25 图象的草图如图所示．10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数？ (2)是正比例函数？(3)是反比例函数？ (4)是二次函数？解：(1)∵f (x )是幂函数，∴m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.一、选择题(每小题5分，共10分) 1．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析：由于53＞0，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当α＞1时，幂函数的图象在第一象限内向下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案：B2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：幂函数f (x )＝x3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5＜0，即m ＜53.又m ∈N ，∴m ＝0,1. ∵f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数． ∴m ＝1. 答案：B二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知幂函数f (x )＝xm 2－1(m ∈N )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是______________．解析：∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1＜0，解得－1＜m ＜1. ∵图象关于原点对称，且m ∈N ， ∴m ＝0.∴f (x )＝x －1. 答案：f (x )＝x －14．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)－m3＜(3－2a )－m3的a 的取值范围为______________________．解析：由y ＝xm 2－2m －3在(0，＋∞)上是减函数，可知m 2－2m －3＜0，∴－1＜m ＜3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 当m ＝1时，y ＝x －4是偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3是奇函数． ∵函数图象关于y 轴对称， ∴该函数是偶函数．∴m ＝1.∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13.∴a ＋1＞3－2a ＞0或－3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . ∴a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32三、解答题(每小题10分，共20分) 5．已知幂函数y ＝x3－p(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1)p2 ＜(3－2a )p2 的实数a 的取值范围．解：∵幂函数y ＝x 3－p(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x3－p是偶函数．又y ＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，∴3－p 是偶数且3－p ＞0. ∵p ∈N *，∴p ＝1.∴不等式(a ＋1)p 2 ＜(3－2a )p2 化为(a ＋1)12 ＜(3－2a )12 . ∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a ＜23.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 6．已知幂函数f (x )＝x2－k(k ∈N *)，满足f (2)＜f (3)．(1)求实数k 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在正数m ，使函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x 在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)对于幂函数f (x )＝x 2－k(k ∈N *)，满足f (2)＜f (3)．因此2－k ＞0，解得k ＜2. 因为k ∈N *，所以k ＝1，f (x )＝x . (2)g (x )＝1＋(m －1)x ，当m ＞1时，函数g (x )为增函数，故最大值为g (1)＝m ＝5.当0＜m ＜1时，函数g (x )为减函数，故最大值为g (0)＝1≠5，不成立．当m ＝1时，g (x )＝1，不合题意．综上所述，m ＝5.。

高中数学 2.3幂函数课时作业新人教a版必修1

§2.3 幂函数课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12x ，y ＝x －1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．1．一般地，______________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12x ，y ＝x －1的图象．3．结合2中图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．(5)幂函数在第____象限无图象．一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －12．幂函数f (x )的图象过点(4，12)，那么f (8)的值为( )A.24B ．64C ．2 2 D.1643．下列是y ＝23x 的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a6．函数f (x )＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y ＝12x ＋x －1的定义域是____________．9．已知函数y ＝x －2m －3的图象过原点，则实数m 的取值范围是____________________．三、解答题10．比较1. 12、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．知识梳理1．函数y ＝x α3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．]2．A [设幂函数为y ＝x α，依题意，12＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－12.∴幂函数为y ＝12x-，∴f (8)＝128-＝18＝122＝24.] 3．B [y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝3－x2＝3x 2＝f (x )，即y ＝23x 是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ；y ＝(25)x在x >0时是减函数，所以c >b .]6．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x |<1.要使f (x )＝x α>|x |，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f (x )＝1>|x |；当α＝2时，f (x )＝x 2＝|x |2<|x |；当α＝－2时，f (x )＝x －2＝|x |－2>1>|x |. 综上，α的可能取值为0或－2，共2个．] 7．④解析当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 8．(0，＋∞)解析 y ＝12x 的定义域是[0，＋∞)，y ＝x －1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m <－32解析由幂函数的性质知－2m －3>0，故m <－32.10．解考查函数y ＝1.1x，∵1.1>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y ＝12x ，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵1.4>1.1，∴121.4>121.1，∴121.4>121.1>131.1.11．解由题意，得3m －7<0.∴m <73.∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2，∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数．∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.13．解设f (x )＝x α，则由题意，得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；(3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。

高一【数学(人教A版)】幂函数-课后练习

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为，求该气体的流量速率（精确到）.
【答案】
1.（1）．（2）．
2.因为，所以为奇函数.
任取，且，则 .
因为，，
所以，即幂函数是增函数.
3.函数为偶函数；在上单调递减，在上单调递增.
4.（1） .（2） .（3） .
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
幂函数
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月
学生信息
姓名
学校
班级学号课后Fra bibliotek习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），．
2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性．
3．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性．
4．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.
（1）写出气体流量率关于管道半径的函数解析式；
（2）若气体在半径为3 的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为的管道时，其流量速率的表达式；

3.3 幂函数【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册限时作业含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！§3．3 幂函数限时作业一．选择题1．给出下列函数：4．函数13y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D8．若幂函数m n y x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n >二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．§3．3 幂函数限时作业【参考答案】一．选择题1．给出下列函数：【答案】B　4．函数13y x=的图象是（）A．B．C．D ．【答案】B5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥【答案】D 7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D【答案】B8．若幂函数m ny x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n>【答案】D二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．【答案】,>>10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】 ∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N Î，∴1m =．即12()f x x =，其定义域为0x ³，且在定义域上函数为增函数，∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a £-<-，解得312a £<．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）由题意，函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z Î，且函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=．（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -¹+¹，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,(,3)322-U ．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．【答案】(1)m ＝2或m ＝－1．(2)m ＝－45 ．(3)m ＝－25．(4) m ＝－1． (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－．此时m2－m－1≠0，故m＝－．(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－．(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1．。

2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册讲义：3-3幂函数 Word版含答案

姓名，年级：时间：3．3 幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握y＝xα(α＝－1，12,1,2，3）的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见幂函数的图象与性质温馨提示:幂函数在区间(0,＋∞)上,当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时,y＝xα是减函数．1．y＝2x2和y＝－错误!是幂函数吗？[答案] 不是2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)函数y＝x0（x≠0)是幂函数．（)(2)幂函数的图象必过点（0，0)和（1，1)．( ）(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．（)(4）当α>0时，y＝xα是增函数．( ）［答案] （1）√（2)×（3)×(4）×题型一幂函数的概念【典例1】(1)在函数①y＝错误!，②y＝x2,③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x错误!中，是幂函数的是（)A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥（2)已知幂函数y＝(m2－m－1)x m2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．［思路导引] 紧扣幂函数的定义求解．[解析］(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数）的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形,⑥是α＝－错误!的情形，所以①②⑥都是幂函数;③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C。

(2）∵y＝(m2－m－1）x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1。

当m＝2时，m2－2m－3＝－3,则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0,且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0,它们的定义域都是{x|x≠0}．［答案］（1)C （2）见解析判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1)指数为常数;（2）底数为自变量；(3）系数为1。

2018-2019学年人教A版高中数学必修一练习：活页作业15指数幂及运算 Word版含解析

活页作业(十五) 指数幂及运算(时间：30分钟满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．[(－2)2]－12 的值为( )A. 2 B ．－2 C ．22D ．－22解析：原式＝2－12 ＝12＝22.答案：C2．计算(2a －3b －23 )·(－3a －1b )÷(4a －4b －53 )得( )A ．－32b 2B.32b 2C ．－32b 73 D ．32b 73解析：原式＝－6a －4b 13 4a －4b －53＝－32b 2. 答案：A 3．化简－a·3a 的结果是( )答案：A3．化简－a·3a 的结果是( )A.5－a2 B ．－ 6－a5C ．6－a5D ．－6a5解析：－a·3a ＝－a·(－3－a)＝－(－a )12 ·(－a )13 ＝－(－a )12 ＋13＝－(－a )56 ＝－错误!＝－错误!.答案：B二、填空题(每小题4分，共8分)4．计算64－23 的值是________．解析：64－23 ＝()26－23 ＝2－4＝116.答案：1165．化简(36a9)4·(63a9)4的结果为________．解析：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 32 4·⎝⎛⎭⎫6a34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12 4＝a 2·a 2＝a 4. 答案：a 4 三、解答题＝a 2·a 2＝a 4. 答案：a 4 三、解答题6．(本小题满分10分)化简下列各式：(1)1.5－13 ×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323 ； (2)⎝⎛⎭⎫14－12 ·错误!. 解：(1)原式＝错误!13 ＋234×214 ＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313(2)⎝⎛⎭⎫14－12 ·错误!. 解：(1)原式＝错误!错误!＋2错误!×2错误!＋22×33－错误!错误!解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2313 ＋234 ×214 ＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313＝21＋4×27＝110；(2)原式＝412 ·432 100a 32 ·b －32 ·a －32 ·b 32 ＝425a 0b 0＝425.＝425a 0b 0＝425.一、选择题(每小题5分，共10分)1．若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ≠12 C ．x ＞12D ．x ＜12解析：(1－2x )－34＝错误!，由1－2x ＞0，得x ＜错误!，故选D.答案：D2．在⎝⎛⎭⎫－12－1,2－12 ，⎝⎛⎭⎫12－12 ，2－1中，最大的是( )A.⎝⎛⎭⎫－12－1B ．2－12C.⎝⎛⎭⎫12 －12D ．2－1解析：∵⎝⎛⎭⎫－12－1＝－2,2－12 ＝22，⎝⎛⎭⎫12－12 ＝2，2－1＝12，∴2>22>12>－2.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知a ＞0，化简(a 13 ＋a －13 )2－(a 13 －a －13 )2＝________.解析：因为a ＞0，所以(a 13 ＋a －13 )2－(a 13 －a －13 )2＝(a 23 ＋2＋a －23 )－(a 23 －2＋a －23 )＝4.答案：44．若10m＝2,10n＝3，则103m-n2 ＝______.解析：103m-n2 ＝103m10n＝83＝263.答案：263三、解答题5．(本小题满分10分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求：(1)x 12 ＋y 12 ；(2)x 12 －y 12 ；(3)x －y .解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 ＋y 12 2＝x ＋y ＋2xy ＝18， ∴x 12 ＋y 12 ＝3 2. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 －y 12 2＝x ＋y －2xy ＝6，又x＜y ，∴x 12 －y 12 ＝－ 6. (3)x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 12 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋y 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 －y 12 ＝32×(－6)＝－3×212 ×212 ×312 ＝－6 3.∴x 12 ＋y 12 ＝3 2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 －y 12 2＝x ＋y －2xy ＝6，又x ＜y ，∴x 12 －y 12 ＝－ 6. (3)x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 12 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 ＋y 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 －y 12 ＝32×(－6)＝－3×212 ×212 ×312 ＝－6 3.又x ＜y ，∴x 12 －y 12 ＝－ 6.(3)x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 12 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋y 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 －y 12 ＝32×(－6)＝－3×212 ×212 ×312 ＝－6 3.＝32×(－6)＝－3×212 ×212 ×312＝－6 3.。

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活页作业(二十二)　幂函数
(时间：45分钟　满分：100分
)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列幂函数中，定义域不是R 的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x 12
C ．y ＝x
D ．y ＝x 35
43 解析：B 中y ＝x ＝，定义域为{x |x ≥0}．A 中y ＝x ，C 中y ＝x ＝，D 中
12 x 3
5 5x 3y ＝x ＝，定义域均为R .
4
3 3x 4答案：B
2．设a ＝0.40.5，b ＝0.60.5，c ＝0.60.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜b ＜c
D ．c ＜a ＜b
解析：∵y ＝x 0.5为(0，＋∞)的增函数，∴0.40.5＜0.60.5.又y ＝0.6x 为R 上的减函数，∴0.60.5＜0.60.3.∴a ＜b ＜c .
答案：C
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1
3 解析：∵y ＝x －1和y ＝x 都是奇函数，故B 、D 错误．又y ＝x 2虽为偶函数，但在
1
3 (0，＋∞)上为增函数，故C 错误．y ＝x －2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故1
x 2A 满足题意．
答案：A
4．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A ．①y ＝x 2，②y ＝x ，③y ＝x ，④y ＝x －1
13 12 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x ，④y ＝x －1
12 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x ，④y ＝x －1
12 D ．①y ＝x ，②y ＝x ，③y ＝x 2，④y ＝x －1
13 12 解析：注意到函数 y ＝x 2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，该函数图象
应与②对应；y ＝x ＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；
1
2 x y ＝x －1＝，其图象应与④对应．
1
x 答案：B
5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m －2的图象关于原点对称，则m 的取值范围为( )
A ．1≤m ≤2
B ．m ＝1或m ＝2
C ．m ＝2
D ．m ＝1
解析：∵函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m －2为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2.
当m ＝1时，y ＝x －1，其图象关于原点对称；
当m ＝2时，y ＝x 0＝1(x ≠0)，其图象关于y 轴对称，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若y ＝ax a 2－是幂函数，则该函数的值域是__________．
1
2 解析：∵a ＝1，∴y ＝x ，其值域为[0，＋∞)．
1
2 答案：[0，＋∞)
7．若(3－2m )＞(m ＋1)，则实数m 的取值范围为______．
12 1
2
解析：考察幂函数y ＝x ，因为y ＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数，
12 12 所以Error!
解得－1≤m ＜.
23故m 的取值范围是
.[－1，23)答案：[－1，23)
8.，3－，2的大小关系是______________．(23)
23 23 23 解析：∵幂函数y ＝x 在(0，＋∞)上是增函数，
23 又∵3－＝，且＜＜2，23 (13)
23 1323∴3－＜＜2.23 (23)
23 23 答案：3－＜＜223 (23)
23 23 三、解答题(每小题10分，共20分)
9．讨论函数y ＝x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图．
25 解：∵y ＝x ＝≥0，
2
5 5x 2∴函数y ＝f (x )的定义域为R ，
值域为[0，＋∞)．
∵f (－x )＝(－x )＝＝＝x ＝f (x )，
25 5 －x 25x 22
5 ∴f (x )是偶函数．
由于＞0，
2
5∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．
又f (x )是偶函数，
∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．
根据以上性质可画出函数y ＝x 图象的草图如图所示．
2
5
10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：
(1)是幂函数？
(2)是正比例函数？
(3)是反比例函数？
(4)是二次函数？
解：(1)∵f (x )是幂函数，∴m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，
解得m ＝2或m ＝－1.
(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－.
4545(3)若f (x )是反比例函数，
则－5m －3＝－1，
则m ＝－，此时m 2－m －1≠0，
25故m ＝－.
25(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数y ＝x 的图象大致是( )
53
解析：由于＞0，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当α＞1时，幂函数53的图象在第一象限内向下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．
答案：B
2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m －5＜0，即m ＜.
53又m ∈N ，∴m ＝0,1.
∵f (－x )＝f (x )，
∴函数f (x )是偶函数．
当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数；
当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数．
∴m ＝1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知幂函数f (x )＝x m 2－1(m ∈N )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是______________．
解析：∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，
∴m 2－1＜0，解得－1＜m ＜1.
∵图象关于原点对称，且m ∈N ，
∴m ＝0.∴f (x )＝x －1.
答案：f (x )＝x －1
4．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
则满足(a ＋1)－＜(3－2a )－的a 的取值范围为______________________．
m 3m 3 解析：由y ＝x m 2－2m －3在(0，＋∞)上是减函数，可知m 2－2m －3＜0，∴－1＜m ＜3.
又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.
当m ＝1时，y ＝x －4是偶函数；
当m ＝2时，y ＝x －3是奇函数．
∵函数图象关于y 轴对称，
∴该函数是偶函数．
∴m ＝1.∴(a ＋1)－＜(3－2a )－.
13 13 ∴a ＋1＞3－2a ＞0或－3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a .
∴a ＜－1或＜a ＜.
2332
答案：(－∞，－1)∪(23，32)
三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1)＜(3－2a )的实数a 的取值范围．
p 2 p 2 解：∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，
∴函数y ＝x 3－p 是偶函数．
又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p 是偶数且3－p ＞0.
∵p ∈N *，∴p ＝1.
∴不等式(a ＋1)＜(3－2a )化为(a ＋1)＜(3－2a ).
p 2 p 2 12 12 ∵函数y ＝是[0，＋∞)上的增函数，x ∴Error!⇒Error!
⇒－1≤a ＜.故实数a 的取值范围为
.23[－1，23)6．已知幂函数f (x )＝x 2－k (k ∈N *)，满足f (2)＜f (3)．
(1)求实数k 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式；
(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在正数m ，使函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x 在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于幂函数f (x )＝x 2－k (k ∈N *)，
满足f (2)＜f (3)．
因此2－k ＞0，解得k ＜2.
因为k ∈N *，所以k ＝1，f (x )＝x .
(2)g (x )＝1＋(m －1)x ，
当m ＞1时，函数g (x )为增函数，
故最大值为g (1)＝m ＝5.
当0＜m ＜1时，函数g (x )为减函数，
故最大值为g (0)＝1≠5，不成立．
当m ＝1时，g (x )＝1，不合题意．
综上所述，m ＝5.。