专题九坐标平面上的直线
八年级数学下册专题九反比例函数中k的几何意义作业新版华东师大版
1．如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数 y＝k 在第二象限的图象上的 x
点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上．若△ABC 的面积为 8，则
k 的值为___－__1_6___．
2．如图，点 P(x，y)在双曲线 y＝k x
的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 y＝8 和 y＝k 的图象交于 P，Q 两点．若
x
x
S△POQ＝15，则 k 的值为( D )
A．38 B．22 C．－7 D．－22
10．如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝kx1 (x>0)及 y2＝kx2 (x>0)的
图象分别交于 A，B 两点，连结 OA，OB.已知△OAB 的面积为 4，则 k1－k2＝__8__．
x
8．如图，点 A 在双曲线 y＝3 (x>0)上，点 B 在双曲线 y＝k (k≠0，x>0)，AB
x
x
∥x 轴，分别过点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，
则 k 的值为( D )
A.5 B．7 C．9 D．11
9．(内江中考)如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M
11．如图，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 y＝3 (x>0)， x
y＝－6x (x>0)的图象交于 A 点和 B 点．若 C 为 y 轴上任意一点，连结 AC，BC，则 9
△ABC 的面积为____2_____．
的图象上，PA⊥x 轴，垂足为 A，若 S△AOP
＝2，则该反比例函数的表达式为___y_＝__－__4x____．
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
专题九(动点型问题)
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③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴 于点H ，在△AOE和△BEF中， ∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。 ∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
4
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中考典例剖析 （二）以双动点为载体，探求结论开放性问题 4 例轴8，.O如A为图y，轴在建矩立形平A面B直CD角中坐，标AO系=3，，设taDn、∠EA分CB别= 是3．线以段OA为C、坐O标C上原的点动，点OC，为它x 们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单 位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒） （1）求直线AC的解析式； （2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？ （4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的 抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．
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高中数学教师备课必备(直线与方程)：专题九 直线与方程提高训练 含解析
【知识点一：倾斜角与斜率】(1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0③倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在。
记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时， 00α=，0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时， 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y xx ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3)求斜率的一般方法:①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yy k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率;（4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC xx x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k ll =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行(2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k ll注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为—1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题:过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】。
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。
09 专题九：一次函数与平行四边形存在性问题(方法专题)
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。
【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。
2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。
【答案】（-1,0）。
1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭。
2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。
解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。
例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标． 【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上，(0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ，∴402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 专题精析（2）如图，①当BC 为对角线时，易求1(3,2)M ；②当AC 为对角线时，//CM AB ，且CM AB =．所以2(3,2)M -；③当AB 为对角线时，//AC BM ，且AC BM =．则||2y M OC ==，||5x M OB OA =+=，所以3(5,2)M -． 综上所述，符合条件的点M 的坐标是1(3,2)M ，2(3,2)M -，3(5,2)M -．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线3y kx =-经过点A ，且与y 轴交于点C ，若点M 在直线AB 上运动，点N 在直线AC 上运动，且以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标 ______ ．【答案】解：把0x =代入4y x =-+得：4y =，即点B 的坐标为：(0,4)，线段OB 的长度为：4，把0y =代入4y x =-+得：40x -+=，解得：4x =，即点A 的坐标为：(4,0)，把点(4,0)A 代入直线3y kx =-的：430k -=，解得：34k =，即直线AC 的解析式为：334y x =-，设点M 的横坐标为m ，则M 的坐标为：(,4)m m -+，根据题意得：点N 的坐标为：3(,3)4m m -当04m <<时，3(4)(3)44m m -+--=， 解得：127m =， 即点M 的坐标为：12(7，16)7， 当4m >时， 3(3)(4)44m m ---+=， 解得：447m =， 即点M 的坐标为：44(7，16)7-， 综上，点M 的坐标为：12(7，16)7或44(7，16)7-，如下图所示： 故答案为：12(7，16)7或44(7，16)7-．2．如图在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，且OA、OB 的长满足|2|0OA -．（1）求AB 的长；（2）若直线y kx b =+与线段AB 交于点E ，与坐标轴分别交于C 、D 两点，且点3(0,)2D ，(1,2)E ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：|2|0OA -，2OA ∴=，4OB =，在RtAOB ∆中，根据勾股定理得，AB（2）将点3(0,)2D ，(1,2)E 代入直线y kx b =+中得，232k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CD 是解析式为1322y x =+， 令0y =，则13022x +=，3x ∴=-， ∴点C 的坐标(3,0)-；（3）如图，连接BC ，由（1）知，2OA =，4OB =，点A 在x轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，(2,0)A∴，(0,4)B，由（2）知，(3,0)C-，5AC∴=，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为边时，//BP AC，5BP AC==，(5,4)P∴-或(5,4)；②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位，∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标(32,04)-+-，(1,4)P∴--，即：点P的坐标为(5,4)-或(5,4)或(1,4)--．例2、如图，在已建立直角坐标系的44⨯正方形方格纸中，若每个小正方形的边长为1，将ABC∆绕点B顺时针旋转90︒到DBE∆（1）求线段BC扫过的面积；（2）平移线段DE后的像为GF，在正方形格点上是否存在点F，G，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是菱形，求线段FG所在的直线解析式．【答案】解：（1）2902360Sππ==；（2）当(2,2)F ，(0,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y kx b =+，223k b b +=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，132FG y x =-+； 当(4,2)F ，(2,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y mx n =+，4223m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，142FG y x =-+．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线y x a =+交于点D ，点B 绕点A 顺时针旋转90︒的对应点C 恰好落在直线y x a =+上．（1）求直线CD 的表达式；（2）若点E 在y 轴上，且CDE ∆的周长最小，求点E 的坐标；（3）点F 是直线21y x =-+上的动点，G 为平面内的点，若以点C ，D ，F，G 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】解：（1）如图1中，连接AC ，作CE x ⊥轴于E ．90BAC ∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAE ∠+∠=︒，ABO CAE ∴∠=∠，AB OC =，90AOB CEA ∠=∠=︒，ABO CAE ∴∆≅∆，12CE OA ∴==，1AE OB ==， 3(2C ∴，1)2， 把3(2C ，1)2代入y x a =+，得到1322a =+， 1a ∴=-，∴直线CD 的解析式为1y x =-．（2）如图2中，作D 关于y 轴的对称点D '，连接CD '交y 轴于E ，此时CDE ∆的周长最小．由121y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2(3D ∴，1)3-，2(3D '-，1)3-， ∴直线CD '的解析式为511313y x =-，1(0,)13E ∴-．（3）如图3中，①如图3中，当DF 为菱形对角线时，四边形DCFG 是菱形，C ∴、G 关于AB 对称，易求直线CG 的解析式为1124y x =-， 由112421y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，G ∴与C 关于1(2，0)对称，可得1(2G -，1)2-．②如图4中，当AC 为菱形的对角线时，F 、G 关于CD 对称，求出线段CD 的垂直平分线，同法可得7(3G ，7)6-． ③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得3(2G，12或32+，12．综上所述，满足条件的点G 坐标为1(2-，1)2-或7(3，7)6-或3(2，12+或32+，12．1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在格点ABC ∆中，点A 的坐标为(2,3)（1）若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形是矩形，直接写出点D 的坐标： (0,4) ；（2）若以A 、B 、C 及点E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出所有点E 的位置．【答案】解：（1）如图1所示：四边形ADBC是矩形，5CD AB ∴=，1OD =，4OD ∴=，(0,4)D ∴，故答案为：(0,4)；专题过关（2）如图2所示：2．如图，直线2y =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD AB ⊥于点P ，交x 轴于点D （1）求点P 的坐标（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于直线2y +，令0x =得到2y =，令0y =得到-(0,2)A ∴，(B -0)，2AC AO =，4AC ∴=，(0,6)C ∴，CD AB ⊥，∴直线CD 的解析式为6y =+，由26y x y ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴，3)．（2）存在，P 点坐标3)，(23D，0)，(B -0)， BD ∴=，当1PM BD是平形四边形， 则1BD PM ==1(M ∴-3)，当2PBDM 是平形四边形，则2BD PM ==2M ∴，3)，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为3-，BE DF BD DE ==-=FO ∴3M ∴的横坐标为 3M ∴的坐标为(3)-；综上所述M 点的坐标为：1(M -3)，2M3)，3(M ，3)-．3．如图， 在平面直角坐标系xOy ，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点， 直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由 ．【答案】解：①如下图： 当//OE AD 时，//OE AC ，所以直线OE 的解析式为2y x =-， 联立OE 、AB ，得12y x y x =+⎧⎨=-⎩①②，解得1323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(3E -，2)3；②如下图： 当//DE OA 时，//OD AB 时，//OD AB ，∴直线OD 的解析式为y x =，联立OD 、AC ，得24y xy x =⎧⎨=-+⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4(3D ，4)3． 联立AB 、AC 得241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ．OA 的解析式为2y x =， //DE OA ，∴设直线DE 的解析式为2y x b =+，将点D 的坐标代入直线的解析式得：42y x =-联立DE 、AB 得4231y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得73103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，27(3E ，10)3． ③当OA 为对角线时，(1,2)A ，OA ∴的中点坐标为1(2，1)，点D 在直线24y x =-+上，∴设(,24)D m m -+，点E 在直线1y x =+上，∴设(,1)E n n +，DE ∴的中点坐标为(2m n +，241)2m n -+++， ∴122m n +=，24112m n -+++=， 43m ∴=，13n =-，1(3E ∴-，2)3综上所述：11(3E -，2)3，27(3E ，10)3．4．如图，四边形OABC 为矩形，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B 落在OA边的点G 处，折痕为EF ，F 点的坐标是(4,1)，30FGA ∠=︒． （1）求B 点坐标． （2）求直线EF 解析式．（3）若点M 在y 轴上，直线EF 上是否存在点N ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）F点的坐标是(4,1)，1FA∴=，4OA=，30 FGA∠=︒，GA∴=，2FG=，由折叠的性质知2BF FG==，3AB∴=，四边形OABC为矩形，4CB OA∴==，B∴点坐标为(4,3)；（2）903060AFG∠=︒-︒=︒，由折叠的性质知1(18060)602EFB EFG∠=∠=︒-︒=︒，BE∴=4CE∴=-(4E∴-3)，设直线EF的解析式是y kx b=+，∴41(44k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1kb⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线EF的解析式是1y=++（3）①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为点N在直线EF上，(N ∴2．②如图2中，当四边形MNFG 是平行四边形时，易知点N 点N 在直线EF 上，N ∴．③如图3中，当四边形MFNG 是平行四边形时，易知点N 的横坐标为8(8N ∴2)．5．平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,)C m ．（1）求k 的值；（2）求OBC ∆的面积；（3）点M 为直线132y x =-+上一动点，过M 作/MN x 轴交直线y kx =于点N ，作MP x ⊥轴于点P ，过N作NQ x ⊥轴于点Q ，当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(2,)C m 在直线132y x =-+上2m ∴=(2,2)C ∴将(2,2)C 代入(0)y kx k =≠中得：1k =（2）直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴，(0,3)B (2,2)COBC ∴∆的面积为：13232⨯⨯= （3）MP x ⊥轴，NQ x ⊥轴//MP NQ ∴，90MPQ ∠=︒/MN x 轴，即/MN PQ∴以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是矩形当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，即四边形MNQP 为正方形∴当满足MN NQ =时，必有以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形设(,)N a a ，则(62,)M a a -|63|MN a ∴=-，||NQ a =|63|||a a ∴-=3a ∴=或32(0,3)M ∴或3(3,)26．已知，如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线2:3l y x =-过原点且与直线1l 相交于C ，点P 为y 轴上一动点． （1）求点C 的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M ，使以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA PC +的值最小时，求此时点P 的坐标，并求PA PC +的最小值．【答案】解：（1）直线1:3l y x =+①与直线2:3l y x =-②相交于C ， 联立①②解得，34x =-，94y =，3(4C ∴-，9)4；（2）直线3y x =+交x 轴于点A ，(3,0)A ∴-，由（1）知，3(4C -，9)4，以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形， 设(,)M m n 如图1，∴①当AC 是对角线时，131(3)242m --=，191(0)242n +=，154m ∴=-，94n =， 15(4M ∴-，9)4， ②当OC 是对角线时，131(0)(3)242m -=-+，191(0)(0)242n +=+，94m ∴=，94n =，19(4M ，9)4， ③当OA 为对角线时，113(03)()224m -=-，119(00)()224m +=+，94m ∴=-，94n =-．29(4M -，9)4，（3）如图2，作点(3,0)A -关于y 轴的对称点(3,0)A '，连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC PA +最小，最小值为CA '= 由（1）知，3(4C -，9)4，(3,0)A '，∴直线A C '的解析式为3955y x =-+， 9(0,)5P ∴．。
专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习
r
交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a
r
r
r
r
r
r
结合律：( a ＋ b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c )
（二）减法：共起点，连终点，指向被减
高中数学一轮复习讲义
r
（三）数乘：求实数λ与向量 a 的积的运算
r
r
r
r
1.数乘意义：|λ a |＝|λ|| a |，当λ>0 时，λ a 与 a 的方向相同；
8
C．
3
5
D．
3
�
2．已知 A（﹣3，0），B（0，2），O 为坐标原点，点 C 在第二象限内，|��| = 2 2，且∠��� = ，
4
→
→
→
设�� = ��� + ��(� ∈ �)，则λ的值为（
2
B．− 3
A．1
）
1
C．
2
2
D．
3
3．如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，P 为以点 A 为圆心，以 AB 为半径的圆弧上一
r
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量平行或共
线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
r
r
r
4．平面向量基本定理
ur
ur
r
如果 e1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只
重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关
中考专题训练九阅读理解题型问题（二）二、综合型阅读理解例3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中(,0)A t 、(2,0)B t +两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离不大于1，则称P 为线段AB 的“环绕点”． （1）当3t =-时，①在点1(0,1)M ，2(0,0)M ，3(2,1)M --中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线2y x b =+上存在线段AB “环绕点”M 、N ，且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点(2,0)的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30︒得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的“环绕点”，直接写出t 的取值范围．例4.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由ABC ADE ABE ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形得：22111()2222a b ab c +=⨯+，化简得：222a b c +=．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x 的方程22x ax b +=的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，||ACb =，再在斜边AB 上截取2aBD =，则AD 的长就是该方程的一个正根（如实例二图）． 请根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）①如果,αβ都为锐角，且11tan ,tan 23αβ==，结合条件作出图1，则由图1可得αβ+= 。
（2）②如果,αβ都为锐角，且3tan 4,tan 5αβ==，则可在图2的正方形网络中，利用已作出的锐角α，画出=MON αβ∠-，由此可得αβ-= 。
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四、面积与坐标的联系
【例4】如图，直线 与 轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P( ， )，且△ABP的面积与△A ABC的面积相等，求 的值．
一、寻找比例系数
【例1】如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点的直线为 ，过A、P两点的直线为 ，且BP⊥AP，则 =．
点拔
解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP的等式即可．
解答
设OP=x
举一反三
(1)1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤ ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤ ≤-2，则这个函数的解析式为．
点拔
利用S△ABP＝S△ABC建立含 的方程，解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差．
注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．
解答
举一反三
(1)11．在直角坐标系 O 中， 轴上的动点M（ ，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为．
(3)当售票数为时，不赔不赚；当售票数 满足时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数 应为
(4)当售票数 满足时，此时利润比 ＝150时多．
(2)
(3)二、利用函数关系求和
【例2】设直线 ( 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 ( ＝1，2，…2000)，则S1+S2+…+S2000的值为( )
A．1 B． C． D．
点拔
求出直线与 轴、 轴交点坐标，从一般形式入手，把 用含 的代数式表示．
解答
举一反三
(1)4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F，设BP= ，EF=，则能反映 与 之间关系的图象是( )
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．
13．如果—条直线 经过不同的三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线 经过( )象限．
A．二、四B．—、三C．二、三、四D．一、三、四数对(a，b)的值．
(3)设 ， ，则 的值是（）．
A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
三、两交点坐标的意义
【例3】某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为 分钟，Q1、Q2与 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)分别求出 ≤2和 ≥2时 与 之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?
8．如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系 O 中，使AB在 轴的正半轴上，A点的坐标是(1，0)
(1)经过C点的直线 与 轴交于点E，求四边形AECD的面积；
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间 (分钟)的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．
点拔
对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量．
注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了．
5．下列图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象是( )
6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了( )
A．32元B．36元C．38元D．44元
③若 ，则一定有 ；④若 ，则一定有 ．
专题九坐标平面上的直线
任意一个一次函数 都可看作是关于 、 的一个二元一次方程 ；任意一个关于 、 的二元一次方程 ，可化为形如 ( )的函数形式．坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组．
(2)若直线 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线 的方程，并在坐标系中画出直线 ．(2001年湖北省荆州市中考题)
9．如图，已知点A与B的坐标分别为(4，0)，(0，2)
(1)求直线AB的解析式．
(2)过点C(2，0)的直线(与 轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础．
解答
举一反三
(1)7．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量(微克)随时间 (小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后．
【例5】在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线 上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象．
2．已知 ，且 ，则关于自变量 的一次函数 的图象一定经过第象限．
3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数 之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：
(1)当售票数满足0< ≤150时，盈利额 (元)与之间的函数关系式是．
(2)当售票数满足150<x≤200时，盈利额 (元)与 之间的函数关系式是．