高二数学选修2 平面向量知识复习
高二数学下册第二单元平面向量知识点梳理
高二数学下册第二单元平面向量知识点梳理数学，是研究数目、构造、变化、空间以及信息等观点的一门学科，查词典数学网为大家介绍了高二数学下册第二单元平面向量知识点，请大家认真阅读，希望你喜爱。
考点一：向量的观点、向量的基本定理【内容解读】认识向量的实质背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等观点，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量观点的理解，向量是能够自由挪动的，平移后所得向量与原向量同样 ;两个向量没法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法例、三角形法例进行向量的加减运算 ;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系 ;掌握向量的数目积的运算，领会平面向量的数目积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数目积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数目积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不第1页/共4页大，考察要点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其余内容相联合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】要点考察定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
因为向量应用的宽泛性，常常也会与三角函数，分析几何一并考察，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，有时也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考察了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考取试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相联合，也有向量与三角函数图象平移联合的问题，属中档偏易题。
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。
高二数学下册第二单元平面向量知识点
高二数学下册第二单元平面向量知识点数学是学习和研究现代科学技术必不行少的基本工具。
以下是查词典数学网为大家整理的高二数学下册第二单元平面向量知识点，供参照学习。
1.基本看法：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2.加法与减法的代数运算：(1)若 a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 ) 则 a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法例、三角形法例。
向量加法有以下规律：+ = + ( 互换律 ); +( +c)=( + )+c ( 联合律);3.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |(2)当 a0 时，与 a 的方向同样 ;当 a0 时，与 a 的方向相反 ; 当 a=0 时， a=0.两个向量共线的充要条件：(1)向量 b 与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得 b= .(2)若 =( ),b=( ) 则‖ b .平面向量基本定理：若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2.4.P 分有向线段所成的比：设 P1、P2 是直线上两个点，点 P 是上不一样于 P1、P2 的随意一点，则存在一个实数使 = ，叫做点 P 分有向线段所成的比。
当点 P 在线段上时，当点 P 在线段或的延伸线上时，分点坐标公式：若 = ; 的坐标分别为 ( ),( ),( ); 则 ( -1) ，中点坐标公式： .5. 向量的数目积：(1).向量的夹角：已知两个非零向量与 b，作= , =b,则 AOB= ( ) 叫做向量与b 的夹角。
(2).两个向量的数目积：已知两个非零向量与 b，它们的夹角为，则b=| ||b|cos .此中 |b|cos 称为向量 b 在方向上的投影 .(3).向量的数目积的性质：若 =( ),b=( ) 则 e = e=| |cos (e为单位向量 );b b=0 ( ， b 为非零向量 );| |= ;cos = = .(4).向量的数目积的运算律：b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.6.主要思想与方法：本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等。
高二数学平面向量的基本定理
O
A
结
论
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。 OP 关于基底 则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 OB ｝的分解式为 OP =（1－t） ｛OA ， OA＋t OB （*） 并且满足（*）式的点一定在L上 P B M A L
课堂练习
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点， 若OA ＝a，OB＝b，则OM 1 o （ a b ） 2
A
M
B
变式探究：
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点， 1 （a b ） 若OA＝a，OB＝b，则OM 2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量 内涵 基底组数： 无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：
ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
M
C
A
B
例1. 已知：
分析：为了求MA和MD， 关键是先求AC,DB. b
ABCD的两条对角线相交于点M， 且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
D C
M
A
1 1 1 MA AC (a b) a b 2 2 2
a
B
1 1 1 MD DB a b 2 2 2
=(m+n) e1 +(-2m+3n) e2
m n 3 m 2 所以 ,所以c = 2a+ b 2m 3n 1 n 1
合作交流 自我总结
高二数学下册平面向量的综合应用知识点梳理
高二数学下册平面向量的综合应用知识点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编预备了高二数学下册平面向量的综合应用知识点，期望你喜爱。
考点一：向量的概念、向量的差不多定理【内容解读】了解向量的实际背景，把握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，明白得向量的几何表示，把握平面向量的差不多定理。
注意对向量概念的明白得，向量是能够自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求把握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;把握实数与向量的积运算，明白得两个向量共线的含义，会判定两个向量的平行关系;把握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并明白得其几何意义，把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判定两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式要紧以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】把握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来关心明白得。
【命题规律】重点考查定义和公式，要紧以选择题或填空题型显现，难度一样。
由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，要紧是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范畴。
高二数学下学期平面向量期中复习知识点
高二数学下学期平面向量期中复习知识点向量概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆;相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量共线向量：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，--a=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
表示方法几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB。
AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→有向线段 AB的长度叫做向量的模，记作| AB|。
有向线段包含 3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量 a、 b平行，记作 a// b，零向量与任意向量平行，即 0// a，在向量中共线向量就是平行向量，这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量长度等于0的向量叫做零向量，记作 0。
注意粗体格式，实数“0”和向量“ 0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆零向量的方向是任意的;且零向量与任何向量都平行且垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、 j作为基底。
任作一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j我们把x，y叫做向量 a的直角坐标，记作a=x，y，其中x叫做 a在x轴上的坐标，y叫做 a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
高中数学必修二 专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)
专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与 【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底； 对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示） 【答案】 【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋ ＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（ ） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标． 【答案】(1) ，；（2）.【解析】 （1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】 由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得． 故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .， 得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得； 由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分 ，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。
高二数学平面向量的基本定理
我们把不共线的向量 e， e叫做 1 2 表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e1， e2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a2 ，使
a = a1 e1 + a2 e2
分析：OP = OA + AP
P
B
AP t AB 解： OP OA AP OA t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？ （2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究：给定平面内两个向量 e 、e ，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？ N B
1 2
e2
A
e1
M
e2
a
平移 共同起点
e1
B
a OA OB
O
A
结
论
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。 OP 关于基底 则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 OB ｝的分解式为 OP =（1－t） ｛OA ， OA＋t OB （*） 并且满足（*）式的点一定在L上 P B M A L
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量 内涵 基底组数： 无数组
2.定理中a1， a 2的值是否唯一？
3.定理的价值何在？
例1. 已知：
ABCD的两条对角线相交于点M，
苏教版高中数学必修第二册第9章平面向量章末复习课课件
的值为_1_8__.
考点突破
解析 作CO⊥AB于点O，建立如图 Nhomakorabea示的平面直角坐标系， 则 A－32，0，B12，0，C0， 23，D－1， 23， 所以 E16， 33，F－56， 23， 所以A→E＝53， 33，A→F＝23， 23， 所以A→E·A→F＝53， 33·23， 23＝190＋12＝2198.
三、向量坐标法在平面几何中的应用
1.向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几何 中的平行、垂直、长度、夹角等问题. 2.对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运算 解决.考查学生转化与化归和数形结合的能力.
考点突破
例 3 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝
解析 作出示意图如图所示.
E→B＝E→D＋D→B＝12A→D＋12C→B ＝12×12(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B－14A→C.故选 A.
12345
真题体验
2.(2019·全国Ⅱ)已知A→B＝(2,3)，A→C＝(3，t)，|B→C|＝1，则A→B·B→C等于
A.－3
B.－2
A.30°
√ B.45°
C.60°
D.120°
考点突破
解析 设a与b的夹角为θ，
因为 a·b＝|a||b|cos θ＝12，且|a|＝1，
所以|b|cos θ＝12.
①
又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，
即1＋|b|2－1＝1，
故|b|＝1.
②
高二数学下册平面向量的综合应用知识点梳理
高二数学下册平面向量的综合应用知识点梳理数学是研究现实世界空间形式和数目关系的一门科学。
小编准备了高二数学下册平面向量的综合应用知识点，希望你喜爱。
考点一：向量的观点、向量的基本定理【内容解读】认识向量的实质背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等观点，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量观点的理解，向量是能够自由挪动的，平移后所得向量与原向量同样 ;两个向量没法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法例、三角形法例进行向量的加减运算 ;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系 ;掌握向量的数目积的运算，领会平面向量的数目积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数目积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数目积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不第1页/共5页大，考察要点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其余内容相联合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】要点考察定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
因为向量应用的宽泛性，常常也会与三角函数，分析几何一并考察，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，有时也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考察了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考取试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相联合，也有向量与三角函数图象平移联合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主假如向量与二次函数联合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
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..
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高二数学选修2 平面向量知识复习
教学目标：
复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备
教学重点：平面向量的基础知识
教学难点：运用向量知识解决具体问题
教学过程：
一、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量
的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算
1、向量的运算及其性质
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则
2三角形法则
),(2121yyxxba
abba
)()(cbacba
ACBCAB
向
量
的 减 法 三角形法则
),(2121yyxxba
)(baba
BAAB
ABOAOB
向
量
的
乘
法
1a是一个向量,满足:
2>0时,a与a同向;
<0时,a与a异向;
=0时, a=0
),(yxa
aa)()(
aaa)(
baba)(
a
∥bab
向
量
的
数
量
积
ba•
是一个数
10a或0b时,
ba•
=0
20a且0b时,
),cos(||||bababa•
2121
yyxxba
•
abba••
)()()(bababa•••
cbcacba•••)(
22
||aa
22
||yxa
||||||baba•
2、平面向量基本定理：
如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只
有一对实数21,，使a ；
..
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注意)(21OBOAOP,OAOAOP)1(的几何意义
3、两个向量平行的充要条件：
⑴ //ab的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若),(),,(2211yxbyxa，则//ab的充要条件是： ；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件：
⑴ ab的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若),(),,(2211yxbyxa，则ab的充要条件是： ；（坐标表示）
三、课堂练习
1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( OB-OC)·(OB+OC－2OA)=0，
则ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
2．P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．已知||22p，||3q，p、q的夹角为45，则以52apq，3bpq为邻边的平
行四边形的一条对角线长为（ ）
A．15 B．15 C． 14 D．16
5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OAOP)||||(ACACABAB，
),0[
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
..
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6．设平面向量a=(－2，1)，b=(λ，-1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．),2()2,21( B．),2( C．),21( D．)21,(
7．若,0,7,4,3,2caba方向在则bc上的投影为 。
8．向量(,1),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
9．在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,
则OC=
10．在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则)(OCOBOA•的最小值是
__________。
..
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