圆心角定理汇总

圆心角教学设计

《圆心角》教学设计 课型：新授课课时：一课时年级：九年级 一、教材分析 《圆心角》选自浙教版数学九年级上册第三章第四节，是《义务教育课程标准》中“图形与几何这一部分。圆心角是在学生认识了圆，学习了《图形的旋转》以及《垂径定理》后学习的，奠定知识技能基础。《圆心角》在初中教学中占有重要地位，它不仅为接下来的圆周角学习打下基础，也为以后更为复杂的几何学习做好铺垫。 二、学情分析 1.九年级的学生有一定的逻辑思考能力，也有主动思考的意识，所以，老师应该多让学生参加到课堂中来，多与学生互动，让学生主动思考。 2.九年级的学生相对比较活跃，教师应积极引导学生学习，带动课堂氛围。 三、教学目标 1)知识技能 理解圆心角的定义，并掌握圆心角定理。能够利用学过的知识证明：在同圆或等圆中，相同的圆心角所对的两条弦心距相等。 2)数学思考 能够动手操作探究圆心角定理，能够用已学过的数学语言证明圆心角定理。激发学生对本节课的学习兴趣和热情。 3)问题解决 在认识圆心角，证明圆心角定理的过程中，体验动手操作，与他人合作的重要性。 4)情感态度价值观 本节课主要通过合作学习，让学生在合作交流中，体验探索知识的乐趣，并意识到与他人合作的重要性。锻炼了学生的动手操作与合作探究能力。 四、教学重难点 教学重点：圆心角定理。 教学难点：圆心角定理的证明过程，以及例2的证明。 五、教学手段及教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 教学方法：讲授法、讨论法 六、教学过程 （一）创设情景，引入新知 （PPT上播放一张图片，让同学们思考，图案上的这个圆应该怎么画？进而引入圆心角。） 1、在PPT上播放一张动图，体现了一个圆绕圆心旋转180度后仍与原来的圆重合， 进而引导学生得出：圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、在观察ppt时还发现一个结论：无论圆以怎样的角度旋转，圆都能与原来的图 形重合，这个就是圆的旋转不变性。 进而得出，圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角。 设计意图：让学生温习学过的知识，得出新知识，易于学生们接受。 （二）自主探索，讲授新知 合作学习： 如图1：在圆中，已知圆心角和圆心角相等。 设计一个实验，探索两个相等的圆心角所对的两段弧，两条弦之间有什么关系？ 图1

垂径定理与圆心角

9.垂径定理与圆心角 垂径定理 知识点梳理 【知识点一】垂径定理 1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 【知识点二】垂径定理的逆定理 1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 典例分析 【题型一】利用垂径定理进行计算 【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为 D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径. 【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长. 【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标 【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的 坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______

【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________ 【题型三】应用垂径定理等分弧 【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？ 【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。 【题型四】垂径定理的实际应用 【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道? 【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为 __________m

圆周角和圆心角定理

《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计

教学过程设计说明 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． 回顾旧知，导入新课[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境习欲望。心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 )A．13．3在通过射门游戏引入圆周角的概念。 [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆 有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)探索新知 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题：认识 概念 顶点在圆上的角是圆周角吗？(1) 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2) 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：个重要特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 试列举一些反例让学生进行辨析。 )1(出示投影片一试 [师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时， 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关 系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起 它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。什么关系？ 验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半． （教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系） [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其 论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学

圆心角定理

圆心角定理 (弧、弦、圆心角关系定理) 基本内容: 1、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 2、在同圆或等圆中,如果两条弧相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。 3、在同圆或等圆中,如果两条弦相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。 在理解时要注意: ⑴前提:在同圆或等圆中; ⑵条件与结论:在①两条弧相等;②两条弦相等;③两个圆心角相等中,只要有一个成立,则有另外两个成立。 基本概念理解: 1.在同圆或等圆中,若的长度＝的长度,则下列说法正确的个数就是( ) ①的度数等于 ;② 所对的圆心角等于所对的圆心角;③ 与 就是等弧; ④ 所对的弦心距等于 所对的弦心距。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,在两半径不同的同心圆中,?=''∠=∠60B O A AOB ,则( ) A. B. C. 的度数= 的度数 D. 的长度= 的长度 3.下列语句中,正确的有( ) (1)相等的圆心角所对的弧相等;(2)平分弦的直径垂直于弦; (3)长度相等的两条弧就是等弧; (4)经过圆心的每一条直线都就是圆的对称轴. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 4.已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为 . 5.在⊙O 中, 的度数240°,则 的长就是圆周的 份. 概念的延伸及其基本应用: 1.在同圆或等圆中,如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍,则下列式子中能成立的就是( ) 2.在同圆或等圆中,如果 ,则AB 与CD 的关系就是( ) A.CD AB 2> B.CD AB 2= C.CD AB 2< D.CD AB = 3.在⊙O 中,圆心角?=∠90AOB ,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( ) (2题图)

初中数学：圆心角定理的推论练习(含答案)

初中数学：圆心角定理的推论练习（含答案） 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．如图3－4－14,AB ,CD 是⊙O 的两条弦,OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,则： (1)如果AB ＝CD ,那么________,________,________； (2)如果AB ︵＝CD ︵ ,那么________,________,________； (3)如果∠AOB ＝∠COD ,那么________,________,________； (4)如果OM ＝ON ,那么________,________,________. 3－4－14 3－4－15 2．如图3－4－15所示,在⊙O 中,AB ︵＝AC ︵ ,∠A ＝30°,则∠B 的度数是( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 3．如图3－4－16,已知点A ,B ,C 均在⊙O 上,并且四边形OABC 是菱形,那么∠AOC 与2∠AOB 之间的大小关系是( ) A ．∠AOC ＞2∠AO B B ．∠AO C ＝2∠AOB C ．∠AOC ＜2∠AOB D ．不能确定

3－4－16 3－4－17 4．如图3－4－17,已知AB 是⊙O 的直径,C ,D 是BE ︵ 上的三等分点,∠AOE ＝60°,则∠COE 的度数为( ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．120° 5．如图3－4－18,圆心角∠AOB ＝20°,将AB ︵旋转n °得到CD ︵,则CD ︵ 的度数是________． 3－4－18 3－4－19 6．如图3－4－19,在⊙O 中,C 是弧AB 的中点,∠A ＝50°,则∠BOC ＝________°. 图3－4－20 7．如图3－4－20, O 是圆心,且PO 平分∠BPD ,OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,则下列结论：①AB ＝CD ；②AB ︵ ＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵ ；⑤PB ＝PD ,其中正确的是________(填写序号)．

圆心角--知识讲解(基础)

圆心角--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角的概念； 2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 .如下图， 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 要点二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点诠释： (1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点诠释： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相

等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角的概念 1. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断． 【答案与解析】 解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置; ②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心; ③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心; ④是，满足圆心角定义. 【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论 2.（2016?台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（） A．25 B．40 C．50 D．55

初中数学：圆心角定理练习(含答案)

初中数学：圆心角定理练习（含答案） 知识点1 圆的中心对称性 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．角 B．等边三角形 C．平行四边形 D．圆 图3－4－1 2．如图3－4－1所示,正方形ABCD的四个顶点都在圆上,以点O为中心,逆时针旋转这个图形,如果旋转后的图形和原图形重合,那么最小的旋转角度为( ) A．45° B．90° C．120° D．180° 知识点2 圆心角的定义 3．如图3－4－2,下列各角是圆心角的是( ) A．∠AOB B．∠CBD C．∠BCO D．∠DAO 图3－4－2 图3－4－3 4．如图3－4－3,在⊙O中,AB是弦,∠OAB＝50°,则弦AB所对的圆心角的度数是________．

知识点3 圆心角定理 5．下列命题是真命题的是( ) A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的圆心角所对的弦相等 C ．在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等 D ．顶点在圆内的角是圆心角 图3－4－4 6．如图3－4－4,AB 是⊙O 的直径,∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝36°,则下列说法错误的是( ) A ．C 是BD ︵ 的中点 B ．D 是CE ︵ 的中点 C ．E 是AEB ︵ 的中点 D ．E 是AC ︵ 的中点 7．已知：如图3－4－5,在⊙O 中,∠AOD ＝∠BOC .求证：AB ＝CD . 图3－4－5

8．如图3－4－6,D ,E 分别是⊙O 的半径OA ,OB 上的点,且CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,CD ＝CE ,求证：C 是AB ︵ 的中点． 3－4－6 知识点4 圆心角度数与它所对的弧的度数的关系 9．如图3－4－7所示,点A ,B ,C 在⊙O 上,OA ∥BC ,∠OBC ＝40°,则AB ︵ 的度数是( ) A ．10° B ．20° C ．40° D ．70°

垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弧长扇形面积练习

1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ， 如果∠DAB=65°，那么∠AOC 等于 A.25° B.30° C.50° D.65° 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点.若BC=8，2 cos 3 D ， 则AB 的长为 A B ．163 C D ．12 3．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45 ° C ．50° D ．70° 4. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4， ∠P =30°，则弦AB 的长为 A ． B ． C D ． 2 5、如右图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于 点G ，H ，则EF GH 的值为 A. B. 3 2 C. D. 2 6、时针匀速运动，设∠APB=y （单位：度），如果y 与P 运动的时间x （单位：秒），的函数关系的图象大致如图2所示，那么P 的运动路线可能为（ ） A.O →B →A →O B.O →A →C →O C.O →C →D →O D.O →B →D →O 7．如图，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路 线匀速运动，设∠APB =y （单位：度），点P 运动的时间为x （单位：秒），那么表示y 与x 关系的图象是（ ） BAC

8.小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O -M -N 匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N 9.小明四等分弧AB ，他的作法如下： （1）连接AB （如图）； （2）作AB 的垂直平分线CD 交弧AB 于点M ，交AB 于点T ； （3）分别作AT ，TB 的垂直平分线EF ，GH ，交弧AB 于N ，P 两点，则N ，M ，P 三点把弧AB 四等分。你认为小明的作法是否正确： 理由是 10、已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，⊙O 的直径为4cm ，∠ACB=45°，求AB 的长 11.如图所示，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并说明理由。

圆周角和圆心角定理

《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计 会昌县白鹅初中邹焰辉

教学过程设计说明 创设问题情境[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什 么特点？请同学们画一个圆心角． [生]学习了圆心角，它的顶点在圆心． [师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆 心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形 产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果 有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ 回顾旧知，导入新课 设置悬念，激发学生学 习欲望。 探索新知 认识概念 [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 3．3．1A) [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边 有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆 有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义) 圆周角(angle in a circular segment)定义： 顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题： (1)顶点在圆上的角是圆周角吗？ (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？ 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念 的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征： 在通过射门游戏引入圆 周角的概念。 让学生认识圆周角的两 个重要特征。

(1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．试 一试1(出示投影片) 列举一些反例让学生进 行辨析。 联想建构 验证猜想 [师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时， 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠AB C，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关 系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆 心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？ [师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心 角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？ 它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到 的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有 什么关系？ [生]弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的 方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆 周角都等于它所对的圆心角的一半． （教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角 的关系） [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其 论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交 流． 提出这一问题意在引起 学生思考，为本节活动 埋下伏笔。

圆心角定理答案

例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数. 解：连结OC ， 在Rt △AOB 中，∠A=35° ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴ 的度数为70°， ∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°， ∴的度数为20°. 说明：连结OC ，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识. 例题2、如图，已知：在⊙O 中， =2 ，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关 系，并说明理由. 解：∠AOB=2∠COD ， AB<2CD ，理由如下： 如图，在⊙O 上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’ ∵ =2 ，∴， = + = . ∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD ，即AB<2CD. 说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。 ②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量. 由=2 可得 ∠AOB=2∠COD 是正确的，但由 =2 得出AB=2CD ，是错误的，培养学生在学习中的 迁移能力. 例题3、如图，已知：AB 是⊙O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证： = . 分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等. 证法一：连结AC 、OC 、OD 、BD ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴AC= OC 、OD=BD 又∵OC=OD ，∴AC= BD ，∴= . 证法二：连结OC 、OD ， ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM=21AO ，ON=2 1 BO ， ∵OA=OB ，∴OM=ON ， ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴OC=OD ， ∴Rt △COM ≌Rt △DON ，∴∠COA=∠DOB ，∴ = . 证法三、如图，分别延长CM 、DN 交⊙O 于E 、F ， 1图） ' （例题2图） A A B （例题3图1）

圆心角定理教程文件

圆心角定理

圆心角定理 （弧、弦、圆心角关系定理） 基本内容: 等。 在理解时要注意: ⑴前提：在同圆或等圆中； ⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要 有一个成立，则有另外两个成立。 基本概念理解: ①V 的度数等于②’所对的圆心角等于’、所对的圆心角； ③八和 是等弧; （2题图） C . 的度数二的度数 D . 3 ?下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称 1、 在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2、 在同圆或等圆中, 如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相 3、 在同圆或等圆中, 如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相 1.在同圆或等圆中，若2 的长度，则下列说法正确的个数是 ④2所对的弦心距等于「「所对的弦心距。 C . 3个 2.如图，在两半径不同的同心圆中, AOB AOB 60，贝9() D . 4 B

轴. （A） 1 个（B）2个（C）3个（D） 4 个 4. 已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数 为 ____ . 5._____________________________________________ 在。O中，丄的度数240°,贝卜的长是圆周的_____________________________ 份. 概念的延伸及其基本应用： 1. 在同圆或等圆中，如果圆心角BOA等于另一圆心角COD的2倍，贝U下列 式子中能成立的是（） A. AB-2CD B. cb C. A5<26b D. 2. 在同圆或等圆中，如果，则AB与CD的关系是（） A. AB 2CD B. AB 2CD C. AB 2CD D. AB CD 3. 在。O中，圆心角AOB 90，点0到弦AB的距离为4,则。O的直径的长为（） A. 4 2 B. 8 2 C. 24 D . 16 4 .在O O中，两弦AB CD，OM，ON分别为这两条弦的弦心距，则0M ，ON的关系是（） A. OM ON B. OM ON C . OM ON D .无法确定 1 5.已知：O O的半径为4cm,弦AB所对的劣弧为圆的-，则弦AB的长为 3 cm，AB的弦心距为_____ cm . ' O

浙教版数学(九上)同步提高 第3章 3.4.1 圆心角定理(解析版)有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 1. 圆的中心对称性 圆不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心就是圆心． 2. 圆心角的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 4. n°的弧 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧． 注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，与圆的半径无关，也就是说在大小不同的两个圆中，相同度数的圆心角所对的弧的度数也相等；反过来，弧的度数相等，它所对的圆心角的度数也相等. 例1：如图，圆心角∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则( ) A ．A B ︵ ＝A ′B ′︵ B ．AB ＝A ′B ′ C ．AB ︵ 的度数为60° D ．A ′B ′︵ 的度数大于60° 答案：C 分析：在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．∠∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，∠AB ︵ 的度数为60°. 圆心角定理 知识讲解 典型例题

一、选择题 1．下列关于“圆”的说法不正确的是( C ) A ．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心 B ．垂直于弦的直径一定平分这条弦 C ．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等 D ．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴 2. 下列说法中，正确的是 ( C ) A ．圆心角越大，圆心角所对的弦越长 B ．圆心角越大，圆心角所对的弧越长 C ．n°的圆心角所对的弧的度数就是n° D ．n°的圆心角所对的弦长就是n 3. 图1中的角，是圆心角的个数是( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在半径为1的圆中，90°的圆心角所对的弦长为 ( D ) A ．1 B ．2 C ． 2 2 D ．2 5．[2018秋·泰兴校级月考]如图，∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( D ) A ．A B ＝CD B.AB ︵＝CD ︵ C ．∠AOB ∠∠COD D ．∠AOB ，∠COD 都是等边三角形 【解析】 ∠∠AOB ＝∠COD ，∠AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵ ， ∠OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠∠AOB ∠∠COD ，∠AOB ，COD 不一定是等边三角形，故选D. 6．[2018·相山区四模]如果两个圆心角相等，那么( D ) A ．这两个圆心角所对的弦相等 B ．这两个圆心角所对的弧相等 同步练习

第2课时圆心角定理的推论

第3章 圆的基本性质 3.4 圆心角 第2课时 圆心角定理的推论 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．如图3－4－14，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，则： (1)如果AB ＝CD ，那么________，________，________； (2)如果AB ︵＝CD ︵ ，那么________，________，________； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么________，________，________； (4)如果OM ＝ON ，那么________，________，________. 3－4－14 3－4－15 2．如图3－4－15所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠A ＝30°，则∠B 的度数是( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15° 3．如图3－4－16，已知点A ，B ，C 均在⊙O 上，并且四边形OABC 是菱形，那么∠AOC 与2∠AOB 之间的大小关系是( ) A ．∠AOC ＞2∠AO B B ．∠AO C ＝2∠AOB C ．∠AOC ＜2∠AOB D ．不能确定 3－4－16

3－4－17 4．如图3－4－17，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵ 上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的度数为( ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．120° 5．如图3－4－18，圆心角∠AOB ＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵ 的度数是________． 3－4－18 3－4－19 6．如图3－4－19，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝________°. 图3－4－20 7．如图3－4－20, O 是圆心，且PO 平分∠BPD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则下列结论：①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③PO ＝PE ；④BG ︵＝DG ︵ ；⑤PB ＝PD ，其中正确的是________(填写序号)． 8．课本课内练习第2题变式如图3－4－21所示，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等．求证：AD ︵＝BC ︵. 图3－4－21 9．2019·牡丹江如图3－4－22，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵ ，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .求证：AD ＝BE . 图3－4－22

圆周角与圆心角复习讲义

1 知识框架 圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①∟AOB=∟DOE ；②AB=DE ； ③OC=OF ；④ 弧BA =弧BD 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵∟AOB 和∟ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∟AOB=2∟ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵∟C 、∟D 都是所对的圆周角 ∴∟C=∟D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆， 所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∟C=90° ∴ ∟C=90° ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∟C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 【典型例题】 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 例1、如图，BE 是半径为6的圆D 的 四分之一圆周，C 点是BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ） 例2、下列语句中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、平分弦的直径垂直于弦 C 、长度相等的两条弧是等弧 D\经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例3、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） 例4、（2007?重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧AE 是劣孤DE 的2倍；⑤AE=BC ．其中正确结论的序号是 考点二：圆周角定理 例1 如图， ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ） 例2、 （2011?衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ） 例3、 （ 2010?荆门）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为 AN^ 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ） B A B A O

初三数学堂上讲义：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(题目)

2017年初三数学堂上讲义： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 初三（ ）班 姓名: 学号: 一、知识要点 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等； （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系； （3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧； （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 弧的度数：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 注意：弧的度数与弧的长度是不同概念，等弧是指能完全重合的两条弧，度数与长度相等。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 常用辅助线添加方法： （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2 ）有弦的中点时，常作弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定 O B' M' A' B M A