初二几何经典难题集锦[含答案解析]

初二几何经典训练题

1、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.

⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形;

⑵求AE的长.

2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．

（1）求证：△ADE≌△BCF；

（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF和OF的长。

3、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A →D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．（1）求AD的长及t的取值范围；（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律。

4、如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G,若CF=15cm,求GF 之长。

5、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE =∠C。（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）。

6、如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA ＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，

我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离。

7、如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交

于P、Q，

（1）若AB=6，求线段BP的长；

（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．

8、如图已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。

（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；

（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________；

（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_____________。

对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明。

1、解答：（1）证明略;⑵AE=BF=.

（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证；

（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据△BCF ∽△ACB，得到BF2=CF?AF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长。2、解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形

∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC

∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）

∴∠OCB=∠OBC

∴∠DAE=∠CBF

又∵AE=

1

2

OA，BF=

1

2

OB

∴AE=BF

∴△ADE≌△BCF；

（2）过点F作FG⊥CD于点G，

∴∠DGF=90°

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DCB=90°

∴∠DGF=∠DCB

又∵∠FDG=∠BDC

∴△DFG∽△DBC

∴

FG

BC

＝

DF

DB

＝

DG

DC

由（1）可知F为OB的中点，所以DF=3FB，得

DF

DB

＝

3

4

∴

FG

4

＝

3

4

＝

DG

8

∴FG=3，DG=6

∴GC=DC-DG=8-6=2

在Rt△FGC中，CF＝

FG2+GC2

＝

9+4

＝

13

cm．

（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）

解答：（1）略（2）∴OF=cm．

（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF；

（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC；由（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，进而求得CF的长．

3、解答：

13+3

2

=8（秒），

点Q从出发到点C共需

8

1

=8秒（3分），

又∵t≥0，

∴0≤t≤8（4分）；

PC

PM

DE

即

16?2t

13

=

PM

12

∴PM=

12

13

（16-2t）（7分）

又∵BQ=t

∴y=

1

2

BQ?PM

=

1

2

t?

12

13

（16-2t）

=-

12

13

t2+

96

13

t（3分），

（3）∵由（2）知y=-

12

13

t2+

96

13

t=-

12

13

（t-4）2+

192

13

，

即顶点坐标是（4，

192

13

），抛物线的开口向下，

即抛物线被对称轴分成两部分：

在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；

在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小；

即当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；

当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；

当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）

注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．

②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）

③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）

4、解答：∵AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，

∴△AEC≌△BED，

∴∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=BD，

又∵D为线段FB的中点，

∴AC

∥

.

FD，

∴四边形ACFD为平行四边形，

∴△AGC∽△BGF，

∴

CG

GF

＝

AC

FB

=

1

2

，

∴

CF?GF

GF

＝

1

2

设，则

由勾股定理得

解得。（3）∵△ABF∽△EAD

∴

得。

6、解答：解：作出示意图

连接AB，同时连结OC并延长交AB于E，…………………………………………（1＇）因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴…………………………………………（2＇）

∴OE⊥AB AE＝BE………………………………………………（3＇）

∴Rt△OCD∽Rt△OAE……………………………………………………（4＇）

∴＝…………………………………………………………………（5＇）

而OC＝＝＝26……………………………………（6＇）

即＝∴AE＝＝15……………………（7＇）

∴AB＝2AE＝30（mm）…………………………………………………（8＇）

答：AB两点间的距离为30mm.

7、解答：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形

∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE

∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED

∴△ABP∽△ADE

∴

BP

DE

=

AB

AD

∴BP=

AB

AD

?DE=

6

18

×6=2；

（2）图中的△EGP与△ACQ全等

证明：

∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形

∴AB=BC=EF=FG

∴AB+BC=EF+FG

∴AC=EG

∵AD∥HE

∴∠1=∠2

∵BG∥CF

∴∠3=∠4

∴△EGP≌△ACQ。

8、解答：（1）证明：∵FH∥EG∥AC，

∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC，

∴．∴，

又∵BF=EA，

∴，

∴，

∴AC=FH+EG；

（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC，证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，

∵EG∥AC，

∴四边形EPCG为平行四边形，

∴EG=PC，

∵HF∥EG∥AC，

∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP，

又∵AE=BF，

∴△BHF≌△EPA，

∴HF=AP，

∴AC=PC+AP=EG+HF，

即EG+FH=AC；

（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG﹣FH=AC，如图，过点A作AP∥BC交EG于P，

∵EG∥AC，

∴四边形APGC为平行四边形，

∴AC=PG，

∵HF∥EG∥AC，

∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE，

又∵AE=BF，

∴△BHF≌△EPA，

∴HF=EP，

∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF，即EG﹣FH=AC。