2019-2020学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念应用案巩固提升新人教A版必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念
[A 基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则( )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，
所以a＝0.
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的
充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的
平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；
在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．
解析：由复数相等可知x－1＝－3x，y＝1，所以x＝14，y＝1.
答案：14 1
7．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充

要条件得2m＋7＝m2－8，m2－2＝4m＋3，
解得m＝5.
答案：5
8．设z＝log2(1＋m)＋ilog12(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．

解析：因为z为虚数，所以log12(3－m)≠0，

故1＋m>0，3－m≠1，3－m>0，解得－1答案：(－1，2)∪(2，3)
9．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
(1)若复数z是实数，求实数m的值；
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(4)若复数z是0，求实数m的值．
解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
所以m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．
所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．

(3)当m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.

(4)当m2－2m－15＝0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是0，所以m＝－3.
10．已知关于x，y的方程组









x
＋

3

2
＋2（y＋1）i＝y＋4xi，

（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i
有实数解，求实数a，b的值．

解：设(x0，y0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得






x0＋32＝y

0
①，

2（y0＋1）＝4x0 ②，
2x0＋ay0＝9 ③，
－（4x0－y0＋b）＝－8 ④，

由①②得x0＝52，y0＝4，代入③④得a＝1，b＝2.
所以实数a，b的值分别为1，2.
[B 能力提升]
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为1－a＋a2＝a－122＋34＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯
虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数，故选B.
12．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数为________．

解析：由题意知x2－2x－3＝0，9y2－6y＋1＝0，解得x＝3，y＝13或x＝－1，y＝13.
所以实数对(x，y)表示的点有3，13，－1，13，共有2个．
答案：2
13．已知复数z＝m2＋3m＋1＋(m2＋5m＋6)i<0(m∈R)，则m的值为________．
解析：因为z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：－2
14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩
N
M，M∩N≠∅，求整数a，b
的值．

解：若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，
b
＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意．
所以a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．
所以a＝3，b＝－2.

若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，则a＋3＝a2－1，b2－1＝b＋2，即






a2－a
－4＝0，

b2－b
－3＝0，

此方程组无整数解．

综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
[C 拓展探究]
15．已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3
x
＋y的取值范围．

解：由复数相等的充要条件，得－a2＋2a＝2xya＝x－y，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－
1)2＋(y＋1)2＝2.
法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.

分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝|2－t|10≤2，
解得2－25≤t≤2＋25，
即3x＋y的取值范围是[2－25，2＋25]．

法二：令x－1＝2cos α，y＋1＝2sin α，

得x＝2cos α＋1，y＝2sin α－1.(α∈R)
所以3x＋y＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是
3x＋y的取值范围是[2－25，2＋25 ]．