八年级数学相似的图形2

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八年级数学几何图形第02讲三角形中的数学思想方法与热点题型(学生版)

第02讲三角形中的数学思想与热点题型（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一方程思想典例1在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠A的3倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D．典例2（江阴市期中）如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝132°，∠BGC ＝118°，则∠A的度数为（）A．65°B．66°C．70°D．78°针对训练11．（2018秋•安庆期末）已知△ABC中，∠A比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C为（）本*号资料皆来源于微信公众号：数学第六感A．85°B．95°C．100°D．110°3．（2020春•江都区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是．4．（2021•柳南区校级模拟）一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是．2．（2021春•锡山区期中）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE ＝10°，∠B＝60°，求∠A的度数．类型二分类讨论思想典例3（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）* 本号@资料皆*来源于微信公众号：数学第六感①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．典例4（平泉市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．针对训练25．（2017春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对6．将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有种．。

数学人教版八年级上册等腰三角形中的相等线段

《等腰三角形中的相等线段》教学设计一、教学目标：1.学会利用等腰三角形的轴对称性，发现等腰三角形中相等的线段，并且利用三角形全等及等腰三角形的性质证明这些结论。

2.通过动手实践，合作交流，培养观察、分析、解决问题的能力。

3.鼓励学生积极思考，在实践、探究、证明中体验数学学习的乐趣，逐步培养学生想象能力，合作与探究的意识。

教学重点：在探索过程中利用等腰三角形的轴对称性证明等腰三角形中相等的线段。

教学难点：设置探究活动中，让学生由浅入深、循序渐进地探索等腰三角形中的相等线段，并熟练运用。

二、教学过程：1、复习旧知：昨天，已经要求大家对本章内容进行总结概括，下面请课代表组织大家进行汇报。

课代表：大家上午好，下面请各小组派出代表进行本章内容汇报。

生1：在本章中我们先学习了轴对称图形和图形的轴对称的概念，根据轴对称的性质能够作出轴对称图形的对称轴及画轴对称图形，并归纳得出对应点连线段被对称轴垂直平分的性质，并由这一结论的得出我们讨论并研究了垂直平分线的性质定理及逆定理。

课代表：接下来我们又学习了等腰三角形及等边三角形，并学习了等腰三角形及等边三角形的性质及判定。

同学们请说说轴对称图形的性质和等腰三角形的性质分别是什么呢？生1：轴对称图形性质：关于某条对称轴对称的两个图形对应边相等、对应角相等；对应点连线段被对称轴垂直平分；对应线段的沿长线交点在对称轴上。

生2：等腰三角形的两腰相等，两底角相等;等腰三角形底边高线、底边中线、顶角平分线重合；师：同学们汇报的非常好，即把本章的所有内容展示出来，又突出了本章的重点。

本节课，我们将利用等腰三角形的是轴对称图形来研究等腰三角形中相等的线段。

设计意图：通过复习等腰三角形的性质，为证明等腰三角形中相等的线段作准备。

师生活动：教师提问，学生组织语言回答，教师主要的任务是让学生把等腰三角形与轴对称图形联系起来，通过建构知识，掌握知识的内在联系，为以下的活动提供理论依据。

2、引入新知：活动一：探索并证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图：在△ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点，过点D 分别向AB 、AC 作垂线交于点E 、F ，将等腰三角形沿对轴称AD 翻折，观察线段DE 、DF 的数量关系，并请明。

八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题新版湘教版

八年级数学上册第2章：三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

八年级数学上册 13.2 全等图形课件 (新版)冀教版

4. 如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角.
A
D
C
B
E
边 AB= AE 边 AC= AD 边 BC= ED
角 ∠A= ∠A 角 ∠B= ∠E 角 ∠ACB= ∠ADE
归纳有公共角的，公共角一定是对应角.
二全等三角形的性质
想一想（1）两条能够完全重合的线段有什么关系？（2）两个能够完全重合的角有什么关系？（3）两个全等三角形的对应边之间有什么关系，对应角之间又有什么关系？
Hale Waihona Puke 归纳有公共边的，公共边一定是对应边.
变式：
D E
B
如图：平移后△ABC≌△ EFD,若AB
＝6，AE＝2. F你能说出AF的长吗？说说你的理由.
A
解：∵△ _A_B_C__≌△_E_F_D__ ，
∴AB＝_E_F__＝_6_ ，
C
∴ AB－_A__E__ ＝EF－_A_E__.
∴ AF=BE=_6_-2_=__4.
对应边.∠A和∠D，∠B和∠DEF，∠ACB和∠F分别是对应角；
（2）在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠A=180°（三角形内角和定理），
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-35°=67°.
∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠ACB=67°.EF=BC=18.
A
D
B
E
C
F
当堂练习
1.如图所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点
每当春节来临，家家户户都把房舍打扫得干干净净，在客厅、卧室、窗台和门板等处贴上年画。你知道这些相同的年画是怎么制作的吗？
讲授新课
一认识全等图形及全等三角形

苏科版八年级数学下册课件：9.4矩形、菱形、正方形(5)正方形2(共35张PPT)

直角三角形.
7.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的有
一点，且CE=AC.求∠E的度数.
A
D
B
C
E
8.已知:如图,四边形ABCD是正方形,以对角线
AC为一边作菱形AEFC.求∠FAB的度数.
DC
F
A
BE
9.已知:如图, E、F是正方形ABCD的对角线AC 上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是菱形.
（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？
A O (A')
D
F
D'
B
E
C
A O (A')
B
E
B'
D
F D'
C
B'
C'
C'
练习：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图
所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A．
（1）A、B、C的对应点分别是什么？
（2）△ABC可通过怎样的变换得到△ADC？
A
（3）从对称性看，四边形
ABCD是什么图形？ B
O
D
正方形实际是等腰直角三角形
绕其底边上的中点旋转180°
而形成的中心对称图形.
C
四边形ABCD有哪些特点？
四边形ABCD是中心对称图形,又是轴对称图形；
是平行四边形
A
A
D
F
OE
B
C
平行四边形
矩正菱形方形
形
挑战第二关具备什么条件的平行四边形是正方形？
正方形的判别方法：

八年级数学图形的位似1

位似形：在上图中，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行．像这样的两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心．
位似形的性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比.
典例分析
1、下列说法正确的是（）
A、位似图形一定是相似图形 B、相似图形不一定是位似图形 C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
典例分析
2、如图，△ABC 与 △ABC是位似图形，点O
是位似中心，若 OA 2AA，S△ABC 8 ，则
S△ABC
探索活动
已知点O和ΔABC
分别在OA、OB、OC的反向延长线上取点A2、
Ｂ2、Ｃ2，使
OA 2
OA

OB 2
OB

OC 2
OC

2 ，画ΔA2Ｂ2Ｃ2．
Ａ
B2 ．
C2 O A2
C B
合作交流
A
A1
C
． C1
O
B1 B
Ａ
B2 ．
C2 O A2
C B
ΔABC、ΔA1Ｂ1Ｃ1、ΔA2Ｂ2Ｃ2是否相似？为什么？
(1)画射线OA、OB、OC，分别在OA、OB、OC
上取点A1、Ｂ1 、Ｃ1，使
OA 1

OB 1

OC 1

2
OA OB OC
画ΔA1Ｂ1Ｃ1．
A
A1
C
．
C1
O
B1 B
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八年级数学简单的轴对称图形2

想一想
角是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？
折一折
请你运用折纸的方法折出一个45°的角,然后折出它的角平分线。请同学们仔细想一想，并动手折一折，同桌之间可以展开讨论。
任意一个角都可以通过折纸的办法平分，折痕就是角平线所在的直线。
☆ 角是轴对称图形，且它的对称轴是它的角平分线所在的直线（折痕）。
E
B
∵ OC是∠AOB的平分线
且DE⊥AB DC⊥BC
∴ CD＝CE
练一练
A
2cm
O P

？
B
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到 2cm OB的距离是__________________ 。
试一试
如图，在Rt△ABC中， BD是∠ABC的平分线， DE⊥AB ,垂足为E。DE 与DC相等吗？为什么？
用一用
如图,直线a,b,c表示三条相交叉的公路,A、B, 表示公路b 与 c 、a与 c的交叉点.若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？Ｆ a
C
Ｅ b
P
Ｄ
B
A
c
课外延伸 2、某一个星期六，凌霄中学初一段的同学参加义务劳动，其中有三个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外三个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域 A 内设一个茶水供应点P，使P 到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P的位置，并说明理由。
解： DE＝DC ∵ ＢD是∠ABC的平分线
B
E
A

初中数学八年级《三角形全等的判定“边角边”(SAS)》优秀教学设计

本节课打下基础。从能力方面看：学生从尺规作图、动手裁剪、得到结论等过程就是一个难点，
特别是尺规作图中每一个严格步骤更是一个难点，把推理过程叙述清楚也存在困难。所以 , 本节课学生需要在老师的引导下来作图和探究。
从情感方面看：八年级学生有一定的数学知识形成的基础 , 处于形象思维到抽象思维过渡的阶段 , 思维较为活跃 .
四、教学策略选择与设计本节课采用启发引导教学法 , 以学生动手实验（即尺规作图）为主，教师引导
为辅；借助教师一同作的三角形和幻灯片直观演示，分散难点。在一系列数学活动中新知得以巩固。
五、教学资源与工具设计
多媒体课件、三角板、直尺、圆规、自制的教具（六、教学过程（一）创设情境，引入新知
P39 页的思考）
总结出三角形全等的判定定理（ SAS），通过多媒体课件展示正确的文字语言和几
何语言
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简记为“边角边”
或“ SAS”）。
几何语言：（如图所示）
在△ ABC和△ A′ B′ C′中， AB=A′ B′
A
A
′
∠ B=∠ B’
BC=B′ C′
∴ △ ABC ≌△ A′ B′ C′ (SAS)
性，学生跃跃欲试，从而对学习本节课有了更大的信心。
它方法的思考，带着问题进入本节课的学习。
紧接着教师板书课题，展示学习目标，明确学习任务。
（二）问题引导，自主探究
活动一：
问题 1：如何用尺规作一个角等于已知角？师生活动：动手用直尺、圆规画图．已知：∠ AOB．
求作：∠ A1O1B，1 使∠ A1O1B1∠= AOB．学生边作图边叙述作图步骤，【作法】（1）以点 O为圆心，以适当长为半径画弧，交 OA?于点 C，?交 OB于点 D；（ 2）作射线 O1A1，以点 O1为圆心，以 OC长为半径画弧，交 O1A1于点 C1；（ 3）以点 C1为圆心，以 CD?长为半径画弧，交前面的弧于点 D1；（4）过点 D1作射线 O1B1，∠ A1O1B1就是所求的角．设计意图：帮助学生复习了尺规作图的步骤，既符合学生的认知规律，又为

人教版八年级数学上册知识点归纳

精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；（8）全等表示方法：用“ ”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）（9）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；11.2三角形全等的判定（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）（3）证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；（4）经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；（5）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释）11.3角的平分线的性质（1）角的平分线的作法：课本第19页；（2）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；（4）性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）（5）三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；第十二章轴对称12.1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

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3.1相似的图形
教学目标
目的与要求通过一些相似的实例，理解相似的概念，正确地区分出哪些是相似的图形，哪
些不是相似图形．
知识与技能了解相似的概念，能按要求作出简单图形的相似图形．
情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中，体验
数学活动充满探索性和创造性，通过一些相似的实例去体会感受生活中的相似．
教学过程
相似的图形
日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们
把具有相同形状的图形称为相似形．
例1 观察下面的图形是否是相似图形?
思路与技巧相似图形只是图形的形状相同，大小不一定相同．
图1—1和图1—4中的两个图形虽然大小不同，但形状相同，所以是相似图形．而图
1—2和图1—3中的两个图形，它们的形状不相同，虽然具有一些相像的成分，其实形状是
不相同的，所以不是相似形。

解答图1—1和图1—4中的两组图形是相似形，图1—2和图1—3中的两组图形不
是相似形．

例2 如图2，左边格点图中有一个直角梯形，请在右边的格点图中画出一个与该四
边形相似的图形．
思路与技巧画相似图形时，要注意对应位置上的线段要放大或缩小相同的倍数，对
应的角的大小不变，这样画出的图形才可能与原图形相似．
解答如图3所示．

评注此题答案不惟一，可由相对应的线段放大或缩小不同的倍数，得到多个不同的
答案．

【探究活动】
提出问题有一张正方形纸片，第1次把它分割成4片与原纸片相似的纸片，第2次
把其中的一片再如此分成4片，以后每一次都把前面所得的其中—片分割成4片．如此进
行下去，试问：
(1)经过5次分割后，共得到多少张纸片?
(2)经n次分割后，共得到多少张纸片?
(3)能否经过若干次分割后，共得到2003张纸片?
探究准备一张较大的正方形白纸，一把直尺，刀片．
探究过程用直尺按要求折纸，并用刀片裁剪．由于每次分割后，1片变成4片，增
3片，经5次分割后，共增(3×5)15片，故共得(1＋15)16片；经n次分割后，共增3n片，
故共得（1+3n）片；注意到2003＝3×667+2不能写成3n十1形式，故不可能经若干次分
割后得到2003张纸片．
探究评析从探究过程可知：每次分割，增加3张纸片，所以分割n次，共得（1+3n）
张纸片——这就是解决本题的关键，循此规律可方便地解决问题（3）．

例3 把一张纸剪成5块，从其中取出一块，再把每一块剪成5块，再从其中取出1
块，再剪成5块……，这样依次地剪下去，剪完某一次停止，共得纸片块数可能是
( )
A．2002 B．2003 C．2005 D．2008
思路与技巧根据上面探究问题的方法，每剪—次增加4片，故n次分割后，共增4n
片，故共得（1+4n）片，注意到2005＝4×501+1，能写成（4n+1）的形式，故是可能的；
而2002、2003、2008不能写成4n+1的形式，故是不可能的．
解答选C