五矩阵运算与方程组求解
解方程组的方法
解方程组的方法解方程组是数学中的一个重要概念，它涉及到代数方程的求解，是数学学习中的基础知识之一。
在解方程组的过程中，我们需要运用一些特定的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种常见的解方程组的方法。
一、代入法。
代入法是解方程组的一种常用方法。
当我们遇到一个方程组中的某个方程可以很方便地解出其中一个变量时，就可以利用代入法来求解方程组。
具体步骤是，先解出一个方程中的一个变量，然后将其代入另一个方程中，从而得到另一个变量的值。
二、加减消去法。
加减消去法是解方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过加减运算，将方程组中的某些变量相消，从而简化方程组的求解过程。
具体步骤是，将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中一个变量，然后解出另一个变量的值。
三、等价变形法。
等价变形法是解方程组的另一种重要方法。
它的核心思想是通过对方程组进行等价变形，将方程组化简为更简单的形式，从而便于求解。
具体步骤是，对方程组中的某个方程进行加减乘除等运算，使其变形为更简单的形式，然后逐步化简整个方程组，最终求解出所有变量的值。
四、矩阵法。
矩阵法是解方程组的一种较为高级的方法。
它利用矩阵的运算性质，将方程组转化为矩阵的形式，从而利用矩阵运算的方法来求解方程组。
具体步骤是，将方程组的系数矩阵与未知数的矩阵相乘，得到一个新的矩阵，然后通过矩阵的行变换和列变换，化简为阶梯形矩阵或最简形矩阵，最终求解出所有变量的值。
五、高斯消元法。
高斯消元法是解方程组的一种重要方法，它利用矩阵的行变换和列变换，将方程组化简为最简形式，从而求解方程组。
具体步骤是，将方程组的系数矩阵与未知数的矩阵合并成增广矩阵，然后通过行变换将增广矩阵化简为最简形式，最终求解出所有变量的值。
总结。
解方程组是数学学习中的重要内容，掌握好解方程组的方法对于提高数学水平具有重要意义。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程组，从而得到准确的解答。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握解方程组的方法，提高数学解题的能力。
《矩阵分析》ppt课件
包括结合律、分配律、 数乘的结合律和分配律 等。
特殊矩阵类型介绍
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
对称矩阵
若一个方阵满足$A^T = A$， 则称该方阵为对称矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为零的方阵称为单位 矩阵。
反对称矩阵
牛顿法
利用矩阵微积分计算目标函数的二阶导数（海森矩阵），通过迭代 更新参数实现更快速地最小化目标函数。
最小二乘法
利用矩阵微积分求解线性方程组的解，实现数据拟合和回归分析等 任务。
矩阵级数展开式
矩阵幂级数展开
01
将矩阵函数表示为幂级数的形式，便于进行矩阵运算和求解矩
阵方程。
矩阵指数函数展开
02
将矩阵指数函数表示为级数形式，便于计算矩阵指数函数的值
03
CATALOGUE
特征值与特征向量问题
特征值和特征向量定义及性质
特征值和特征向量的 定义：对于n阶方阵A ，如果存在数λ和非零 n维列向量x，使得 Ax=λx，则称λ是A的 一个特征值，x是A的 对应于特征值λ的一个 特征向量。
特征值和特征向量的 性质
不同特征值对应的特 征向量线性无关。
特征值的和等于方阵 主对角线上元素的和 ，即迹。
解的唯一性条件
当系数矩阵A满秩（即r(A) = n）时，线性方程组有唯一解。
高斯消元法求解线性方程组原理步骤
高斯消元法步骤
从最后一个方程开始，逐个回代求解未知数列向量x 。
高斯消元法原理：通过初等行变换将系数矩阵 A化为上三角矩阵，然后回代求解未知数列向 量x。
对系数矩阵A和常数列向量b组成的增广矩阵 [A|b]进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
矩阵的计算公式图文解析
矩阵的计算公式图文解析矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用于表示和处理多维数据。
在实际应用中，矩阵的计算是非常常见的操作，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
本文将通过图文解析的方式，详细介绍矩阵的计算公式及其应用。
一、矩阵的加法。
矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵相加的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的加法结果C为：C = [6 8; 10 12]二、矩阵的减法。
矩阵的减法与加法类似，也是指两个相同维度的矩阵相减的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的减法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的减法结果C为：C = [-4 -4; -4 -4]三、矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n和n×p，那么它们的乘法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×p的矩阵，它的每个元素都等于A的对应行与B的对应列的元素乘积之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和一个2×2的矩阵B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的乘法结果C为：C = [19 22; 43 50]四、矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换的操作。
假设有一个m×n的矩阵A，那么它的转置运算可以表示为：B = A^T。
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。
一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。
我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。
1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。
2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。
3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。
二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。
下面我们将详细介绍这些运算。
1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。
其中加法满足交换律和结合律。
2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。
同样地，减法也满足交换律和结合律。
3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。
数乘也满足结合律和分配律。
4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。
三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。
1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。
矩阵运算的课程设计
矩阵运算的课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解矩阵的定义，掌握矩阵的基本元素和结构特点；2. 学会矩阵的加、减、乘运算，并能够运用这些运算解决实际问题；3. 掌握矩阵的转置、逆矩阵的概念及其运算方法；4. 了解矩阵运算在现实生活中的应用，如线性方程组求解、图像处理等。
技能目标：1. 能够熟练运用矩阵运算公式进行计算，提高解题速度和准确性；2. 能够运用矩阵运算解决实际问题，培养分析问题和解决问题的能力；3. 能够运用矩阵软件（如MATLAB）进行矩阵运算，提高计算效率。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对矩阵运算的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队协作精神，学会与他人共同探讨问题；3. 引导学生认识到矩阵运算在科学技术发展中的重要性，增强学生的国家使命感和社会责任感。
课程性质：本课程为高中数学选修课程，适用于对数学有一定基础的学生。
学生特点：学生具备一定的代数基础，对矩阵概念有一定了解，但对矩阵运算尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，通过实例分析、问题解决等方法，使学生掌握矩阵运算的基本技能，并培养其运用矩阵运算解决实际问题的能力。
在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，提高学生的学习兴趣和积极性。
最终实现课程目标的分解与达成。
二、教学内容1. 矩阵的定义与基本概念：回顾矩阵的定义，讨论矩阵的行、列、元素等基本属性。
教材章节：第二章第一节2. 矩阵的加、减运算：讲解矩阵加、减法的规则，通过例题演示运算方法。
教材章节：第二章第二节3. 矩阵的乘法运算：介绍矩阵乘法法则，分析矩阵乘法与实数乘法的异同。
教材章节：第二章第三节4. 矩阵的转置与逆矩阵：阐述转置矩阵的概念，探讨逆矩阵的定义及性质。
教材章节：第二章第四节5. 矩阵的应用：介绍矩阵在解决线性方程组、图像处理等方面的应用。
教材章节：第二章第五节6. 矩阵运算软件实践：指导学生使用MATLAB软件进行矩阵运算，提高计算效率。
矩阵方程的简化求解方法
矩阵方程的简化求解方法来源：文都教育与通常意义上的方程类似，矩阵方程是指以矩阵为未知量的矩阵等式. 求解矩阵方程本质上就是矩阵的运算特别是矩阵乘法和求逆矩阵的运算，因此求解矩阵方程，求出未知矩阵的表达式应充分地利用矩阵的运算及其性质先化简，将其化为矩阵方程的以下几种基本形式：(1),(2),(3).AX B XA B AXB C ===若A 和B 均可逆，那么可求得待求矩阵分别为1111,,.X A B X BA X A CB ----===当A 和B 均不可逆时，常将矩阵方程用待定元素法转化为解线性方程组. 在实际的计算中，往往不可能恰好给出以上三种形式，需要经过一番整理和化简，再应用相关知识使其露出“庐山真面目”. 本文将就典型的情况，加以说明，为这类题目的简化求解提供帮助.1. 对已知2A aA bE O ++=，需求1()A kE -+或()A kE +（其中k 为常数）的矩阵方程常用凑因子矩阵的方法来求解. 可将原方程化为()A kEB E +=或者()B A kE E +=的形式，从而B 就是待求的A kE +的逆矩阵. 下面举例加以说明.例1 设矩阵方程满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则1()A E --= . 解 先对2A 与A 两项分别凑出因子A E -，过程如下： 24A A E O +-=222()()4A E E A E E E O ⇔-++-+-=()()()2A E A E A E E ⇔-++-=()()2A E A E E E ⇔-++=.所以，1()A E --=(2)2A E +.2. 求解AX B =或XA B =，其中A 为不可逆矩阵常用解方程组的方法来求解这类问题，通常设出所求矩阵的行数、列数及其待定元素，将矩阵方程转化为待定元素的线性方程组，解此方程组即可求出待求元素，从而求出未知矩阵. 这类问题在历年考研试题中还未涉及，因此需要引起注意.例2 若11232246X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X = . 解 显然矩阵1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦的行列式为0，故不可逆. 由矩阵乘积的性质可知，X 为2×2矩阵，设1234x x X x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是有 123411232246x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是方程转化为非齐次线性方程组：121234342,224,3,226,x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求解此非齐次线性方程组，得1212341223x x c c X x x c c --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中12,c c 为任意常数. 以上分两种情况讨论了矩阵方程的求解方法，在复习过程中考生可能还会遇到其他形式的矩阵方程，在毛纲源教授编著的《2016考研数学客观题简化求解》一书中，有更为全面的解读，相应深入浅出的方法技巧一定会使读者看完后有所收获，考研数学的解题更上一个新台阶.。
线性代数教案-线性方程组与矩阵
第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
矩阵的运算与应用
矩阵的运算与应用矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学与工程领域中有着广泛的应用。
矩阵不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，通过矩阵的运算，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
本文将从矩阵的基本运算开始，探讨矩阵的应用领域，并介绍一些常见的矩阵应用案例。
一、矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
矩阵的加法和减法是按元素进行的，即对应位置的元素相加或相减。
数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
而矩阵的乘法是一种更为复杂的运算，它不同于数的乘法，而是通过行与列的组合来计算。
矩阵的乘法有两种形式，分别是左乘和右乘。
左乘指的是将一个矩阵乘以另一个矩阵的过程，结果矩阵的行数与左矩阵相同，列数与右矩阵相同。
右乘则是将一个矩阵乘以另一个矩阵的过程，结果矩阵的行数与右矩阵相同，列数与左矩阵相同。
矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律，即A*B不一定等于B*A。
二、矩阵的应用领域矩阵的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有科学与工程领域。
以下是一些常见的矩阵应用领域：1. 线性代数：矩阵在线性代数中有着重要的地位，它是线性方程组的基本工具。
通过矩阵的运算，我们可以求解线性方程组的解，进而解决实际问题。
2. 图像处理：图像处理中常用到矩阵的运算。
例如，将一幅图像表示为一个矩阵，可以通过矩阵的变换来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
3. 机器学习：机器学习中的很多算法都基于矩阵的运算。
例如，通过矩阵的特征分解可以实现主成分分析（PCA）算法，通过矩阵的奇异值分解可以实现推荐系统等。
4. 信号处理：信号处理中的很多算法也离不开矩阵的运算。
例如，通过矩阵的傅里叶变换可以实现信号的频域分析和滤波。
5. 优化问题：优化问题中常用到矩阵的运算。
例如，通过矩阵的求逆可以求解最小二乘问题，通过矩阵的特征值分解可以求解特征值问题。
三、矩阵应用案例1. 图像压缩：在图像压缩中，可以利用矩阵的奇异值分解来实现图像的压缩。
线性方程组求解的常用方法与技巧
线性方程组求解的常用方法与技巧线性方程组是数学中常见的问题，它的求解在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组求解的常用方法与技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是线性方程组求解最常用的方法之一。
它通过化简矩阵，将线性方程组转化为阶梯形式，从而求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵形式。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的首个非零元素。
3. 通过初等变换，将主元所在列的其他元素消成零。
4. 重复步骤2和3，直到转化为阶梯形式。
5. 回代求解未知数，得出线性方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易行，适用于任意规模的线性方程组。
然而，该方法在面对大规模线性方程组时会面临计算复杂度高的问题。
二、雅可比迭代法雅可比迭代法是另一种常用的线性方程组求解方法，它通过迭代逼近的方式求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行分解，将其分解为D、L和U三个矩阵，其中D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。
3. 利用雅可比迭代公式，依次迭代计算未知数的值，直到满足收敛条件。
4. 得到线性方程组的解。
雅可比迭代法的优点是适用于稀疏矩阵，且收敛性较好。
然而，它的迭代次数通常较多，计算效率较低。
三、LU分解法LU分解法是线性方程组求解的一种常见方法，它将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行LU分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。
3. 将方程组AX=B转化为LUx=B，再分别解得Ly=B和Ux=y两个方程组的解。
4. 得到线性方程组的解。
LU分解法的优点是可以重复利用分解后的LU矩阵求解不同的线性方程组，从而提高计算效率。
然而，该方法对于具有大量零元素的矩阵不适用。
四、克拉默法则克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它通过计算行列式的方式求解未知数的值。
矩阵运算理论小结
班级：09金融3 学号：2009241164 姓名：陈妮矩阵运算理论小结运算是数学的基础概念和基础内容，矩阵是线性代数的基础概念和基础内容。
因此，矩阵运算理论是线性代数的重要理论之一。
矩阵是贯穿线性代数各部分内容的一条线索。
线性代数中的很多计算及应用与矩阵及其运算都有密切的关系。
掌握并能灵活运用矩阵运算及其性质是学好线性代数的一个必备条件。
矩阵运算的基本途径就是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题。
在《经济数学—线性代数》这一本书中，对矩阵的定义是：由m ×n 个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m 行n 列的数表111213121222323132333123.................n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a 称为m 行n 列的矩阵，简称m ×n 矩阵。
一．线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：(2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解,即有矩阵等式成立, 则 即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.二．矩阵的初等变换把线性方程组的三种初等变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等行变化：1.对调矩阵的两行（换行变换）2.以非零常数K乘矩阵某一行的各元（倍法行变换）3.把某一行所有的元素的K倍加到另一行对应的元上去（倍加行变换）。
把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初等列变换定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。
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75 项目三 多元函数微积分 实验4 水箱的流量问题（综合实验） 实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.
问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1 E=30.24cm), 容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L)). 某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水1~2次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量),(tf并估计一天的总用水量.
表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水位落到27E以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.
表1 时间/s 水位210E 时间/s 水位210E
0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 2795 2752 2697 泵水 泵水 3550 3445 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270
3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 泵水 泵水 3475 3397 3340
模型假设 (1) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响; (2) 水泵的灌水速度为常数; (3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求; (4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,可以认为每天的用水量分布都是相似的; (5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似. 76
问题分析与模型建立 为方便起见,记V表示水的容积;iV表示时刻it (单位:h)水的容积;)(tf表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(G/h). 先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(,2hrV单位:G481.7E1,G1033 ). 输入 tt={0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932, 39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535, 71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270}/3600//N vv=Pi*(57/2)^2*{3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697, no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767, 2697,no_data,no_data,3475,3397,3340}*10^(-2)*7.481/10^3//N 则输出下表.
表2 时间/h 水量/310G 时间/h 水量/310G
0. 0.921111 1.84306 2.94972 3.87139 4.97806 5.9 7.00639 7.92861 8.96778 9.98111 10.9256 10.9542 12.0328 606.098 593.69 583. 571.546 562.574 552.074 544.057 533.557 525.349 514.849 no_data no_data 677.685 657.64 12.9544 13.87558 14.9822 15.9039 16.8261 17.9317 19.0375 19.9594 20.8392 22.015 22.9581 23.88 24.9869 25.9083 639.505 622.324 604.571 598.299 574.982 558.756 542.529 528.212 514.849 no_data no_data 663.367 648.477 637.593
由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度. 平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度 输入 tt1=Table[(tt[[i+1]]+tt[[i]])/2,{i,27}] vv1=Table[(vv[[i]]-vv[[i+1]])/(tt[[i+1]]-tt[[i]]),{i,27}] 则输出下表
表3 时间区间的中点值/h 平均水流量/310G/h 时间区间的中点值/h 平均水流量
/310G/h 0.460556 1.38208 2.39639 3.41056 4.42472 5.43903 6.45319 13.471 11.5953 10.3498 9.73471 9.48735 8.69649 9.48974 13.4151 14.429 15.4431 16.365 17.3789 18.4846 19.4985 18.6466 16.0463 16.5697 15.5248 14.677 14.6733 15.5294 77
7.4675 8.44819 9.47444 10.4533 10.9399 11.4935 12.4936 8.90086 10.1036 no_data no_data no_data 18.5833 19.6766 20.3993 21.4271 22.4865 23.419 24.4335 25.4476 15.1898 no_data no_data no_data 13.4514 11.8095
模型求解 为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 <执行以后再输入 Clear[L]; L=Transpose[DropNonNumericColumn[{tt1,vv1*10^3}]] (*命令中vv1*10^3,使平均水流量vv1的单位变为G/h*) g1=ListPlot[L] 则输出图4.1
5101520251000012000140001600018000
图4.1 图中空白区域为泵水时间. 从中可以看出数据分布不均匀. 我们采用8阶多项式进行拟合. 输入 ft=Fit[L,Table[t^i,{i,0,8}],t] 则输出
8765432
t00024547.0t0248438.0t01085.1t1138.21t101.240t79.1468t62.4690t96.78394.16281
这就是流出水箱的水的流速关于时间t的函数)(tf. 为作出其拟合曲线图, 输入 fg=Plot[ft,{t,0,26},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction] 则输出图4.2. 78
5101520251000012000140001600018000 图4.2 求解结果 将460556.0th和460556.24th代入到水的流速拟合函数),(tf我们得到这两时刻的流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为)(tf能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数)(tf在24小时周期内的积分. 输入 Integrate[ft,{t,0.46,24.46}] 则输出 336013.G 若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.
模型评价 该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型计算出来, 可以推测速度. 但数据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.
实验报告 某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.
202225282932343841/00.650.500.550.400.450.300.350.200.2/万瓶预期销售量元售价
为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入4万元的广告费, 销售增长因子为1.95. 即销售量将是预期销售量的1.95倍. 根据经验, 广告费与销售增长因子的关系见下表.
8.195.100.295.185.170.140.100.1706050403020100)(销售增长因子元广告费用
试确定装饰材料商店的最佳营销策略, 即确定彩漆售价和广告费投入使得预期的利润最大?