难题突破专题一 规律归纳探索问题

难题突破专题一 规律归纳探索问题 特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自 主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等． 类型1 数字规律 1 2017·淮安 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

图Z1－1 则2017在第________行． 例题分层分析 (1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________； (2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2017在第_______行 解题方法点析 解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等． 类型2 数式规律 2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等． (1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式； (2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.

图Z1－2 例题分层分析 (1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？ (2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？ 解题方法点析 数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键． 类型3 图形规律 3 [2017·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________．

图Z1－3 例题分层分析 (1)首先求出B点坐标________， (2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________； (3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2017÷3＝672……1，故其运动路径长为________．

图Z1－4 4[ 2017·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2017个图形的周长为________．

图Z1－5 例题分层分析 (1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________； (2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8. (3)第2017个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．

专 题 训 练 1．[2017·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )

图Z1－6 A．180 B．182 C．184 D．186 2．[2017·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )

图Z1－7 A．73 B．81 C．91 D．109 3．[2017·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )

图Z1－8 A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25) 4．[2017·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：

图Z1－9 则第⑦个图案有________个黑色棋子． 5．[2017·郴州] 已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________． 6．[2017·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

图Z1－10 7．[2017·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在

直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．

图Z1－11 8．[2017·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2018的纵坐标是________．

图Z1－12 9．[2017·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2017的坐标为________． 图Z1－13 10．[2017·内江] 观察下列等式： 第一个等式：a1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1； 第二个等式：a2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1； 第三个等式：a3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1； 第四个等式：a4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1. 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：a6＝________＝________； (2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________； (3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)； (4)计算：a1＋a2＋…＋an.

参考答案 类型1 数字规律 例1 【例题分层分析】 (1)1 4 9 16 25 (2)n2 1936 最大数为2025 45 [答案] 45 类型2 数式规律 例2 【例题分层分析】 (1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. (2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1. 解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. (2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1. 类型3 图形规律 例3 【例题分层分析】

(1)(－1，3) (2)6 不变 (5，3) (3)(1346 33＋896)π [答案] (5，3) (1346 33＋896)π 例4 【例题分层分析】 梯 平行四边形 3 1 梯形 3025 3026 1 6053 [答案] 8 6053 专题训练 1．C [解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184. 2．C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现： 第①个 第②个 第③个 第④个 … 第个

上半部分 1＝12 4＝22 9＝32 16＝42 … n2 下半部分 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1 … n＋1 由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91. 3．B 4．19 [解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19. 5.1765 6．9n＋3 [解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3. 7．(－9 3－9，9＋3 3) [解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，

∵AB⊥y轴，点B的坐标是(0，1)，且点A在直线y＝－33x上， ∴点A的坐标为(－3，1)，即OB＝1，AB＝3，