概率论与数理统计1.5

例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、 、 这三个事件是 这三个事件是两两相互独立 这表明 、B、C这三个事件是两两相互独立 但不是相互独立的． 的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 试验序列 如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立 则称该试验序列为一个独立试验序列 独立试验序列。 的，则称该试验序列为一个独立试验序列。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验 伯努利试验。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。 有些试验的基本结果虽然不只两个， 有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本 结果， 的对立事件作为另一个基本结果， 结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 发生的概率则称为成功概率 成功概率。 验成功， 验成功，而A发生的概率则称为成功概率。 由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列 称为伯努利试验序列 如果重复的次数是n 伯努利试验序列， 称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试 验序列为n重伯努利试验。 验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n
n ≥ 0.999999 1 − 0 .3 10
−6nBiblioteka ≥ 0 .3n ≥ −0.6 / lg 0.3 = 11 .47
●
P(A)=p2+pq=p，P(C)=2pq，P(AC)=pq，P(A)P(C)=2p2q 因此，只有当p=1/2时，才有 P(AC)=P(A)P(C)，即才 有A与C独立。 在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根 据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具 体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求 直接应用定义中的公式进行计算。
2）必然事件 与任意随机事件A相互独立； 不可能事件∅与任意随机事件A相互独立． ∅ 证明：由 P(ΩA) = P( A) = 1 ⋅ P( A) = P (Ω )P ( A) 可知必然事件 与任意事件 A 相互独立； 由 可知不可能事件∅与任意随机事件A相互独立.
P ( AB ) = P ( A) P (B )
n P ∑ A = 1 − (1 − p )n i =1 i
注
意
假设独立重复地做n次某一试验E , A是某一随机 事件, Ai 表示第i次试验中A出现, 则前n次试验中 A至少出现一次的概率为
→1
此结论说明:小概率事件迟早要发生 .
三个臭皮匠， 例4 三个臭皮匠，合成一个诸葛亮 丙三人在同一时间分别破译某一个密码， 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码， 设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7， 设甲译出的概率为 ，乙译出的概率为 ，丙译 出的概率为0.6，求密码能译出的概率。 出的概率为 ，求密码能译出的概率。 分别表示甲、 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙译出密码的 、 、 分别表示甲 事件，显然A、 、 相互独立 相互独立， 事件，显然 、B、C相互独立，且密码能译 出的概率为 P( A + B + C )=1 – P(A B C) =1 – P(A)P(B)P(C) =1 – (1-0.2)(1-0.3)(1-0.4) =1 – 0.8*0.7*0.6 =0.976
事件序列的相互独立性 事件序列的相互独立性 序列
设 A1， A2， ⋯， An , ⋯ 为一个随机事件序列，如果它们中
任何有限个事件都是相互独立的， 任何有限个事件都是相互独立的，则称该事件序列 为相互独立的. A1，A2，…，An，…为相互独立的.
四、伯努利(Bernoulli)概型 伯努利(Bernoulli)概型 (Bernoulli)
P ( AB ) = P ( A)P(B ) ≠ 0
所以， AB ≠ ∅
4)(续) 续
2) 由于AB = ∅ ，所以
P( AB ) = P(∅ ) = 0
但是，由题设 P( A)P(B ) ≠ 0
所以， P ( AB ) ≠ P ( A)P (B )
这表明， 不相互独立． 这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
注 意
在三个事件独立性的定义中， 在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的． 可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等 式的成立；反之， 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立． 前三个等式的成立．
例3
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜 色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 1 P ( A) = P (B ) = P (C ) = 2 1 P( AB ) = P (BC ) = P( AC ) = 4 1 P ( ABC ) = 4
( (
)
)
( ) ( )
(
) ( )( )
个随机事件相互独立。 则称 A1，A2，…，An这n个随机事件相互独立。
说 明
在上面的公式中，
2 3 第一行有Cn 个等式，第二行有Cn 个等式， ⋯，最后 ⋯ n 一行共有Cn 个等式
因此共有
C + C +⋯+ C = 2 − C − C
2 n 3 n n n n 0 n
二、三个事件的独立性
是三个随机事件， 设A、B、C是三个随机事件，如果
P( AB ) = P ( A)P(B ) P(BC ) = P(B )P(C ) P( AC ) = P( A)P(C ) P( ABC ) = P ( A)P (B )P (C ) 则称随机事件 随机事件A 相互独立的． 则称随机事件A、B、C是相互独立的．
例2
甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙 投中的概率为0.8，求甲、乙两人至少有一人投中的 概率. 解： 记A=“甲投中”， B=“乙投中”
显然A 与 B 相互独立，故 甲、乙两人至少有一人投中的概率
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )
= P ( A) + P ( B ) − P ( A) P ( B )
§1.5 事件的独立性
一、两个事件的独立性 二、三个事件的独立性 三、n个事件的独立性 伯努利(Bernoulli) (Bernoulli)概型 四、伯努利(Bernoulli)概型
一、两个事件的独立性
• 设A、B是试验E的两事件，若P(A)>0，则我们 是试验E的两事件， P(A)>0， 可以定义P(B|A)。 可以定义P(B|A)。 P(B|A) • 一般，A的发生对B发生的概率是有影响的， 一般， 的发生对B发生的概率是有影响的， 也就是说，P(B|A)不等于P(B)。 也就是说，P(B|A)不等于P(B)。 不等于P(B) • 如果这种影响不存在，那么P(B|A)=P(B)。 如果这种影响不存在，那么P(B|A)=P(B)。 P(B|A)=P(B) • 这时有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)。 这时有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)。 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
两个事件独立性的定义
设 A、B 是两个随机事件，如果
P( AB ) = P( A) P(B )
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质
1）如果事件A 与 B 相互独立，而且P(A)>0 则 P(B|A)=P(B)
证明：
由于事件 A 与 B 相互独立，故
P( AB ) P( A)P(B ) 因此， P(B A) = = = P (B ) P ( A) P ( A)
= 0.7 + 0.8 − 0.7 × 0.8 = 0.94
P( A + B ) = 1 − P( A + B) = 1 − P( A B ) = 1 − P( A ) P( B )
= 1 − 0.3 × 0.2 = 0.94
例1 设试验E 抛甲、乙两枚均匀硬币， 均匀硬币 设试验E为“抛甲、乙两枚均匀硬币，观察 正反面出现的情况” 设事件A 正反面出现的情况”。设事件A为“甲币出 乙币出现H 。 现H”，事件B为“乙币出现H”。E的样本空间 ，事件B ={HH，HT，TH，TT} 为：
其中i1， i2， ⋯， in 是1， 2， ⋯， n的一个排列
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
是相互独立的事件， 若A1，A2，…，An 是相互独立的事件，则
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An ) = 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An )
这表明， 这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的， 是否发生在概率上是没有影响的，即 呈现出某种独立性． 事件 A 与 B 呈现出某种独立性．
由此， 由此，我们引出事件独立性的概念
注意
两事件A与B是否独立依赖于概率测度P( )。如在例1中， 取事件A={HH，HT} A={HH， C={HT，TH}(甲、乙 A={HH HT}(甲币出现H), C={HT，TH} 两硬币不出现同一面)，并设两硬币出现正面H的概率 均为p，出现反面T的概率均为q=1-p，则