2019高考总复习文数(北师大版)课件：数列的概念与简单表示法
高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第五章第一节 数列的概念及其函数特性(34张PPT)
数学
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
角度一 形如 an＋1＝anf(n)，求 an 1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和
Sn＝n＋3 2an. (1)求 a2，a3；
(2)求{an}的通项公式． 解：(1)由 S2＝43a2 得 3(a1＋a2)＝4a2，
[试一试] 1．已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项
公式为________． 答案：an＝2n－1(n∈N＋) 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝22·n3－n－51nn为为偶奇数数，， 则 a4·a3＝________. 解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：54
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
[类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解 过程分为三步： (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
高考数学大一轮复习 第五章 数列 第1课时 数列的概念与简单表示法课件 理 北师大版.ppt
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不确定
解析：∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an，故数列{an}为递增数
列． 答案：A
4．已知数列{an}的前n项的和Sn＝n2＋1，则an＝________. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1 ＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝2，不满足an＝2n－1， ∴an＝22， n－n＝ 1，1， n≥2. 答案：22，n－n＝1，1n≥2
(5)an＝01
n为奇数 n为偶数
或an＝1＋2－1n或an＝1＋c2os
nπ .
(6)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000
－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.
考点二 由递推公式求数列的通项公式 [例2] 根据下列条件，求数列的通项公式an. (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝n＋n 2an； (3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1； (4)在数列{an}中，an＋1＝3a2n，a1＝3； (5)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1.
也可写为an＝－3n，1n，n为n为正正偶奇数数. ，
(4)将数列各项改写为：
9 3
，
99 3
，
999 3
，
9999 3
，…，分母都是
3，而分子是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝
1 3
(10n－
1)．
根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化 特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部 分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变 形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．
2018-2019高三数学(文)北师大版一轮复习课件：第六章 数列 6.1 数列的概念与表示
核心考点
-13-
考点1
考点2
考点3
知识方法
易错易混
考点1由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,- 13,19,…;
1 1 1 1 (2), ,, ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5 2 4 6 8 10 (3) , , , , ,…; 3 15 35 63 99 1 9 25 (4) ,2, ,8, ,…; 2 2 2
解析 答案
2
双击自测
-10-
1 2 3 4 5
4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,则a6+a7+a8=
.
关闭
a6+a7+a8=S8-S5=88-40=48.
关闭
48 解析 答案
双击自测
-11-
1 2 3 4 5
1 5.数列{an}满足an+1= ,a =2,则a1= 1-������������ 11
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事. ( × ) (2)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点. ( √ ) (3)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( × ) (4)若数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N+,都有an=Sn-Sn-1. ( × ) (5)任何一个数列不是递增数
6.1
数列的概念与表示
考纲要求
-3-
考纲要求:1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、 通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
-4-
高考数学一轮复习 第28讲 数列的概念与简单表示法课件
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第28讲 数列的概念与简单表示法
• ► 探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式
•点
面 讲
例 1 (1)数列 5，11，17，23，…的一个通项公式
考 向
是 an＝________．
(2)数列{an}的前 6 项是12，14，－58，1136，－2392，6614，
则这个数列的通项公式是 an＝________．
•
双 向
固
基
础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．对数列概念的理解
(1)数列 1，2，3，4 与数列 4，3，2，1 表示同一数列．
()
(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(3)[2012·天津卷改编] 如果数列{an}的通项公式 an＝3n ＋2，则数列{an}是递增数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
这个数列的递推公式．
4．an 与 Sn 的关系
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第28讲 数列的概念与简单表示法
•
双 向
固
基
础
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 给出 4 个数列：①1，3，2，5，4，6； ②an＝2n－3；③an＝n＋n 1；④an＝－n12，其中是递增数列的 序号是________．
[答案] ②④
[解析] 易知②④两个数列是递增数列．
双 向
固
基
础
3．[教材改编] 已知数列{an}的通项公式 an＝(－1)n＋1(n2
＋1)，则该数列的前 5 项和为________．
[答案] 16
[解析] 数列的前 5 项依次为 2，－5，10，－17，26， 所以前 5 项的和为 16.
【高中课件】高中数学北师大版必修5数列的概念与简单表示法导学课件ppt.ppt
2.掌握等差数列的通项公式及推导方法,会应用直线、一次函数等有关知
1.本章学习应使学生认识到数学来源于生活实践,生活
识研究等差数列的性质,能熟练运用通项公式求有关的量:a1,d,n,an,Sn
中充满了数学,数学中有无穷的奥秘.学会从生活实际
3.掌握等差数列的前 n 项和公式及推导方法,能熟练运用通项公式、前 n
问题2 数列的分类:(1)按项数分类: 有穷数列 和 无穷数列 . (2)按数列的单调性分类: 递增数列 、递减数列及 常数列 . (3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项 小于它的前一项,这样的数列叫 摆动数列.
问题3
数列中的项与集合中的元素相比较异同如下: 相同点:数列中的每一项都是 确定的 、集合中的每一个 元素都是 确定的 .
数列在日常 1.能通过类比、转化等方法解决与等差数列、等比数列有关的一些问题
经济生活中 2.体会数学来源于生活,又服务于生活,提高学习数学的积极性
的应用
第1课时 数列的概 念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、 列表、递推公式、图像法) .
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映 自然的基本数学模型.
【解析】∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意 到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,
∴猜得 an=2n+1-1.
根据数列的前几项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,-1,1,-1,…; (2)3,5,9,17,33,…;
中小学精编教育课件
第一章 数列
知识点
层次要求
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
2019年高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法学案 文 北师大版
第一节 数列的概念与简单表示法[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．(对应学生用书第67页)[基础知识填充]1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．从函数观点看，数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 2．数列的分类3 4 5 项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝，S n －S n －1，n[知识拓展]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立． 2．数列{a n }是递减数列⇒a n ＋1＜a n 恒成立．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15B ．16C ．49D ．64A [当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.]3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图51100090153】 B ．28 D ．301＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4a n 是__________．n 2n －1 [由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1.] 5．(2018·张掖模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.](对应学生用书第68页)(1)3,5,7,9，…；(2)12，－34，78，－1516，3132，…；(3)3,33,333,3 333，…. (4)－1,1，－2,2，－3,3…[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. (2)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…， 所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n－1)．(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12 n 为奇数，n2 n 为偶数.[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．[变式训练1] (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) 【导学号：00090154】A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝n －2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.(1)C (2)2n ＋1n 2＋1[(1)注意到分子0,2,4,6(2)数列{a n }项可变形为2×1＋12，2×2＋12，a n ＝2n ＋1n 2＋1.](1)＝________.n n [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.][规律方法] 由S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式．易错警示：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误．[变式训练2] (1)(2018·河南八校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则数列的通项公式a n ＝________.【导学号：00090156】(1)－2n －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2[(1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.]n (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 【导学号：00090157】[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.(2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.[规律方法] 1.已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .2．已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转a 1是否适合所求式，(3)中常见错误是[{a n }的通项公式． a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13， 以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13， 即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n n ＋.当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，也与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋.(3)由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3) 又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列 ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第6章数列 第1节数列的概念与简单表示法
确定这个数列的.
微思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?
提示 数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数
y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象
上.
2.an与Sn的关系
S1 , = 1,
若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an=
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的
问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
含义
数列
按 一定次序
排列的一列数
数列的项
数列中的 每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子
通项公式
表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式
前n项和
数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫作数列的前n项和
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不是唯一的
微点拨1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)
为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应
的一列函数值.
2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能
1
例3(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则an等于( A )
A.2+ln n
B.2+(n-1)ln n
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义：第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法.1
§6.1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列a n ＋1>a n 递减数列a n ＋1<a n 按项与项间的大小关系分类常数列a n ＋1＝a n其中n ∈N ＋3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝Error!2．在数列{a n }中，若a n 最大，则Error!若a n 最小，则Error!3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )题组二 教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(n ≥2)，则a 5等于( )(－1)nan －1A. B.3253C. D.8523答案 D解析 a 2＝1＋＝2，a 3＝1＋＝，(－1)2a 1(－1)3a 212a 4＝1＋＝3，a 5＝1＋＝.(－1)4a 3(－1)5a 4233．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4题组三 易错自纠4．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为____________．答案 (－∞，3)解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1<a n .∵a n ＝－n 2＋λn 恒成立，∴－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)<－n 2＋λn ，即λ<2n ＋1对于n ∈N ＋恒成立．而2n ＋1在n ＝1时取得最小值3，∴λ<3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是________．答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－2＋，(n －112)1214∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 Error!解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝Error!题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，，，，…的一个通项公式为( )234567A ．a n ＝(n ∈N ＋)n －1n ＋2B ．a n ＝(n ∈N ＋)n －12n ＋1C ．a n ＝(n ∈N ＋)2(n －1)2n －1D ．a n ＝(n ∈N ＋)2n2n ＋1答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－，，－，，…的一个通项公式a n ＝________.11×212×313×414×5答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n .1n (n ＋1)思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N＋处理．(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二 由a n 与S n的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则其通项公式为______．答案 a n ＝Error!解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝Error!(2)(2017·南昌模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋(n ∈N ＋)，则{a n }的通项公式2313a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝a n ＋，得当n ≥2时，S n －1＝a n －1＋，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又23132313当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1＋，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)2313n －1.思维升华已知S n ，求a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)(2017·河北衡水中学押题卷)已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系＋＋＋…＋＝，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )a 1b 1a 2b 2a 3b 3anbn 12n A ．－454 B ．－450C ．－446 D ．－442答案 B解析 由题意可得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N ＋)，且＋＋＋…＋＝，a 1b 1a 2b 2a 3b 3an bn 12n ＋＋＋…＋＝，a 1b 1a 2b 2a 3b 3an －1bn －112n －1当n ≥2时，两式作差可得＝－＝－，an bn 12n 12n －112n 则b n ＝Error!由此可得S 5＝－450.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln；(1＋1n )(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ，(1＋1n )∴a n －a n －1＝ln＝ln (n ≥2)，(1＋1n －1)n n －1∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2nn －1n －1n －232＝2＋ln (nn －1·n －1n －2·…·32·2)＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N ＋)．(2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴＝2n －1 (n ≥2)，anan －1∴a n ＝··…··a 1anan －1an －1an －2a 2a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2.(1)2n n -又a 1＝1适合上式，故a n ＝2(n ∈N ＋)．(1)2n n -(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若a n ＝·a n －1(n ≥2，且n ∈N ＋)，其他条件不变，则a n ＝________.n －1n 答案 1n解析 ∵a n ＝a n －1 (n ≥2)，n －1n ∴a n －1＝a n －2，…，a 2＝a 1.n －2n －112以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1···…·＝＝.1223n －1n a 1n 1n当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝.1n 思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列．(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列．(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现＝f (n )时，用累乘法求解．anan －1跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________.答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋，则通项公式a n ＝________.1n (n ＋1)答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋－，1n 1n ＋1则a 2＝a 1＋－，a 3＝a 2＋－，11121213a 4＝a 3＋－，…，a n －1＝a n －2＋－，a n ＝a n －1＋－，逐项相加得13141n －21n －11n －11n a n ＝a 1＋1－，1n 故a n ＝4－.1n 题型四 数列的性质典例已知a n ＝，那么数列{a n }是( )n －1n ＋1A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．不确定答案 B解析 a n ＝1－，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．2n ＋1典例数列{a n }满足a n ＋1＝，a 8＝2，则a 1＝________________.11－an 答案 12解析 ∵a n ＋1＝，11－an ∴a n ＋1＝＝＝11－an 11－11－an －11－an －11－an －1－1＝＝1－1－an －1－an －11an －1＝1－＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3，111－an －2∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝，∴a 1＝.11－a 112命题点3 数列的最值典例数列{a n }的通项a n ＝，则数列{a n }中的最大项是( )nn 2＋90A ．3B ．1910C. D.1191060答案 C解析 令f (x )＝x ＋(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥2，当且仅当x ＝3时等号成90x 9010立．因为a n ＝，所以≤，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝最1n ＋90n 1n ＋90n 1290119大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．an ＋1an③结合相应函数的图像直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝Error!a 1＝，则数列的第2 018项为________．35答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×－1＝，3515a 3＝2×＝，1525a 4＝2×＝，2545a 5＝2×－1＝，4535∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝.15(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝，数列{a n }an －1an ＋1的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( )A ．504 B ．588C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝，∴a 2＝，a 3＝－，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周an －1an ＋11312期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×＝－588，故选C.76(－76)解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·n ，则此数列的最大项是第________项．(1011)(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________．思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)n ＋1－(n ＋1)n(1011)(1011)＝n ×，(1011)9－n11当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝Error!C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sin 不合题意，故选C.n π22．现有这么一列数：2，，，，( )，，，…，按照规律，( )中的数应为( )32547813321764A. B. C. D.9161116121118答案 B解析 分母为2n ，n ∈N ，分子为连续的质数，所以( )中的数应为，故选B.11163．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a ＝a ＋a (n ≥2)，则2n 2n ＋12n －1a 6等于( )A ．16B ．4C ．2D ．452答案 B解析 由题意得a －a ＝a －a ＝…＝a －a ＝3，故{a }是以3为公差的等差数2n ＋12n 2n 2n －12212n 列，即a ＝3n －2.2n 所以a ＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.264．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝(n ≥3且n ∈N ＋)，则a 2 018等于( )an －1an －2A ．3 B ．2 C. D.1223答案 A解析 由已知a 3＝＝，a 4＝＝，a 2a 132a 3a 212a 5＝＝，a 6＝＝，a 4a 313a 5a 423a 7＝＝2，a 8＝＝3，a 6a 5a 7a 6∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{a n }满足a 1，，，…，是首项为a 2a 1a 3a 2anan －11，公比为2的等比数列，则a 101等于( )A ．2100 B ．24 950 C ．25 050 D ．25 151答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1，，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，a 2a 1a 3a 2anan －1∴＝2n －1，anan －1∴a n ＝a 1×××…×＝1×21×22×…×2n －1＝，a 2a 1a 3a 2anan －1(1)22n n ∴a 101＝25 050.故选C.6．(2017·河北保定模拟)已知函数f (x )＝Error!若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．(2,3) D.[2411，3)答案 C解析 因为{a n }是递增数列，所以Error!解得Error!即2<a <3，故选C.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋，a 8＝，则a 5＝______________.1an 3421答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝，a 6＝，a 5＝.2113138858．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝________.答案 Error!解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝Error!9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·n ，则数列{a n }的项取最大值时，(67)n ＝________.答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则Error!即Error!解得Error! 即4≤n ≤5，又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝.657410．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________.答案 2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得－＝n ，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n －1)1an ＋11an 1an 1a 1＝，n 2－n 2又因为a 1＝1，所以＝＋1＝，1an n 2－n 2n 2－n ＋22所以a n ＝(n ∈N ＋)．2n 2－n ＋211．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝a ＋a n (n ∈N ＋)．122n 12(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝a ＋a n (n ∈N ＋)可得122n 12a 1＝a ＋a 1，解得a 1＝1，122112S 2＝a 1＋a 2＝a ＋a 2，解得a 2＝2，12212同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝＋a ，①an2122n 当n ≥2时，S n －1＝＋a ，②an －12122n －1①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)．1a ＋2(n －1)(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)，1a ＋2(n －1)又a ＝－7，∴a n ＝1＋(n ∈N ＋)．12n －9结合函数f (x )＝1＋的单调性，12x －9可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋＝1＋，1a ＋2(n －1)12n －2－a 2已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋的单调性，12x －2－a2可知5＜＜6，即－10＜a ＜－8.2－a2即a 的取值范围是(－10，－8)．13．(2018届广东珠海摸底)整数列{a n }满足a n ＋1－a n －1<3n ＋，a n ＋2－a n >3n ＋1－，n ∈N ＋，a 2＝3，则a 2 018等于( )1212A. B.32 010－3832 009－38C.D.32 019－3832 018－38答案 C解析 由a n ＋1－a n －1<3n ＋，可得a n ＋2－a n <3n ＋1＋，又a n ＋2－a n >3n ＋1－，且{a n }为整数121212列，所以a n ＋2－a n ＝3n ＋1，a 2 018＝(a 2 018－a 2 016)＋(a 2 016－a 2 014)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝32 017＋32 015＋…＋33＋3＝＝.3(1－32 018)1－932 019－3814．若数列中的最大项是第k 项，则k ＝________.{n (n ＋4)(23)n }答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·n ＋1－n (n ＋4)·n(23)(23)＝n ＝(10－n 2)．(23)[23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n]2n3n ＋1所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…，故a 4最大，所以k ＝4.15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝，若a n (a n －1＋2a n ＋1)13＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项a n 等于( )A. B. C. D.12n －112n －113n －112n －1＋1答案 B解析 a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1，＋＝，1an ＋12an －13an －＝2，1an ＋11an (1an －1an －1)则＝2，数列是首项为2，公比为2的等比数列，1an ＋1－1an1an －1an －1{1an ＋1－1an }－＝2×2n －1＝2n ，1an ＋11an 利用累加法，＋＋＋…＋1a 1(1a 2－1a 1)(1a 3－1a 2)(1an－1an －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1，＝＝2n －1，则a n ＝.故选B.1an 2n －12－112n －116．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a －na ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.2n ＋12n 答案 (n ∈N ＋)1n 解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列，所以a n ·a n ＋1≠0，所以－＋1＝0.(n ＋1)an ＋1annan an ＋1令＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0，an ＋1an 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，所以t ＝或t ＝－1(舍去)，即＝.nn ＋1an ＋1an nn ＋1方法一 (累乘法)因为····…·a 2a 1a 3a 2a 4a 3a 5a 4anan －1＝····…·，12233445n －1n 所以a n ＝(n ∈N ＋)．1n 方法二 (迭代法)因为a n ＋1＝a n ，nn ＋1所以a n ＝a n －1＝··a n －2n －1n n －1n n －2n －1＝···a n －3n －1n n －2n －1n －3n －2＝…＝···…·a 1，n －1n n －2n －1n －3n －212所以a n ＝(n ∈N ＋)．1n 方法三 (特殊数列法)因为＝，所以＝1.an ＋1an nn ＋1(n ＋1)an ＋1nan所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列．所以na n ＝1×1n －1＝1.所以a n ＝(n ∈N ＋)．1n。
北京专用2019版高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念及简单表示法课件文
1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,∴原数列的
一个通项公式为an= 2 n . 1
n2 1
方法指导 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
C.an=
1, n
2
n
1 3,
D.an=
n2
1, n 1
2
n
3, n
2
答案 C 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1时,a1=1不 适合上式,故an= 12,nn选31C,,n. 2.
5.(2015北京东城模拟)已知函数f(x)的对应关系如下表所示,数列{an}满
2.数列的分类
分类原则
类型
按项数分类
有穷数列
无穷数列
按项与项间的大 递增数列 小关系分类
递减数列
常数列
按其他 标准分类
有界数列 摆动数列
满足条件 项数③ 有限 项数④ 无限 an+1⑤ > an
其中n∈N*
an+1⑥ < an an+1=an
存在正数M,使对于任意的n∈N*,都有|an|≤M 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
第一节 数列的概念及简单表示法
教材研读
总纲目录
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所以 an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．
答案：递增
02
课堂· 考点突破
由递推关系求通项公式
[明技法] 由数列递推式求通项公式的常用方法
[提能力]
【典例】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.
解析：由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1 n2＋n＋2 ＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝ . 2
(2)数列的分类 分类标准 项数 类型 有穷数列 满足条件 有限 项数__________ 无限 项数__________
无穷数列
递增数列 递减数列 常数列
项与项间 的大小关系
an＋1__________ an ＞
an＋1__________ an ＜
an＋1＝an
其中 n∈N＋
(3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那
答案：－30
n 5．若数列{an}的通项公式为 an＝ ，那么这个数列是________数列．(填“递 n＋1 增”或“递减”或“摆动”)
解析：方法一 {an}是递增数列． 方法二 n＋1 1 n 因为 an＋1－an＝ － ＝ ＞0， n＋2 n＋1 n＋1n＋2 1 x 令 f(x)＝ ，则 f(x)＝1－ 在(0，＋∞)上是增函数，则数列 x＋1 x＋1
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3n－28，则数列{an}的最 小项为________．
32 121 9 9 解析：an＝n －3n－28＝n －3n＋4－4－28＝n－2 － 4 .
2 2
所以当 n＝1 或 n＝2 时，an 取得最小值，(an)min＝－30.
nπ C．an＝2－sin 2
－1n＋1 B．an＝ 2 －1n－1＋3 D．an＝ 2
解析：对于 A、B、D 选项，可令 n＝1,2,3,4，…逐一验证不符合，对于选项 C， 由
nπ an＝2－sin 2 ，可得 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
2．数列的函数特性 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集 N＋或其子集上的函数， 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 3．an 与
S1，n＝1， Sn 的关系：an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)an 与{an}是不同的概念．( (3)数列是一种特殊的函数．( ) )
第 六 章
数
列
第一节
数列的概念与简单表示法
考点 数列的概念 命题分析
高考试题
考查内容
核心素养 逻辑推理
2016·全国卷Ⅲ·T17·12分
2014·全国卷Ⅱ·T16·5分
由递推关系求通项
由递推关系求首项
本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式或已 知Sn与an的关系求Sn，三种题型均有可能出现，难度中低档.
n2＋n＋2 答案： 2
n [ 母题变式 1] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝ a ”，如何求解？ n＋1 n
an＋1 n n 解：∵an＋1＝ a ，∴ a ＝ ， n＋1 n n ＋ 1 n n－1 n－2 n－3 1 2 an an－1 an－2 a3 a2 ∴an＝ · · · …· · · a＝ n · · · …·· 2＝n. an－1 an－2 an－3 a2 a1 1 n－1 n－2 2
么这个公式叫作这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式 任一项an 与它的 _______________ 前一项an－1 如果已知数列 {an} 的首项 ( 或前几项 ) ，且 __________ (n≥2) (或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公 式．
提醒： 1．辨明两个易误点 (1) 数列是按一定 “ 次序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有 关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． (2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数 是指数列的项对应的位置序号．
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
2．(教材习题改编)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( A ) A．15 B．16 C．49 D．64
解析：当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15，故选A．
3．下列可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( C ) A．an＝1
栏
目 导 航
02
01
课前· 回顾教材Leabharlann 课堂· 考点突破03
课后· 高效演练
01
课前· 回顾教材
1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 一定次序 排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的 按 __________ {an} ，其中数列 项 _______. 数列一般形式可以写成 a1 ，a2 ，a3 ， …， an，… ，简记为 _____ 首项 通项 的第1项a1也称__________ ；an是数列的第n项，也叫数列的__________.
(2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的．( ) )
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(
(5)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N＋，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.(
)
1 (6)若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝ ，且 a2＝1，则可以写出数列{an} 2an－1 的任何一项．( )
[母题变式2] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3. 故 an＋1＋3＝2(an＋3)． bn＋1 an＋1＋3 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝5，且 b ＝ ＝2. an＋3 n 所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.