理论力学习题-质点动力学基本方程.

， 第9章 质点动力学基本方程

一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。 ( √ ) 2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。 ( × ) 3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。 ( × ) 4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。 ( √ ) 5. 凡运动的质点一定受力的作用。 ( × ) 6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。 ( × )

》 二、填空题

1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。 2．质点动力学的基本方程是imFa，写成自然坐标投影形式为Fdtsdm22

nFvm



2 bF0。

3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。 4．质量为m的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)vtxbb，其中0v为初速度，b

为常数。则作用于质点上的力F2020()mbvbvt。 5．飞机以匀速v在铅直平面内沿半径为r的大圆弧飞行。飞行员体重为P，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vPgr。

: 三、选择题

1．如图所示，质量为m的物块A放在升降机上， 当升降机以加速度a向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。 (A) mg (B) )(agm (C) )(agm (D) 0

2．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m，弹簧的刚度系数为c，静伸长量为s，原长为0l，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。

、 、 (A) 0xmcx (B) 0)(sxmcx (C) gxmcxs)( (D) 0)(sxmcx / 3．在介质中上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力Rkv，

坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。 (A) xkmgxm (B) xkmgxm (C) xkmgxm (D) xkmgxm

l0

s x x

m O

x

图 图 四、计算题 9-1 质量为m的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r，如图所示。设物体与转台表面的摩擦系数为f，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。

解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有

) 0mgFN

sFmr2

根据静滑动摩擦定律，有sF≤NfF，代入上式，有

≤rgf 即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为

rgfmax

9-2 如图所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A、B作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径400mmD，求管模的最低转速n。

A a 图 r  gm

NF sF

A B

D

gm

{ 图 图 解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有

mgDm22

解得 )/(72sradDg 管模的最低转速n为 min)/(67307rn

9-3 物体自地球表面以速度0v铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度1v。假定空气

阻力2Rmkv，其中k是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。m是物体质量，v是物体的速度，重力加速度认为不变。

； 解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有

2mkvmgdtdvm

% 而dxdvvdtdxdxdvdtdv，所以上式可以写成

)(2kvgdxdvv 即 dxkvgvdv2

变物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由0v变成0，而坐标由0成h。两边积分，有 hvdx

kvg

vdv

00

20

这样有

0v x v h x

m

1v > x

v h x m )a(图 )1ln(2120gkvkh 物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b）所示。应用质点运动微分方程，有 · 2mkvmgdtdvm

上式可写成 dxkvgvdv2

物体自最高点下落到地面，其速度由0变成1v，而坐标由0变成h。两边积分，有 hvdx

kvg

vdv

0021

解得 21

ln21kvggkh

— 这样，有

21

20ln21)1ln(21kvggkgkvk

解得

gkvvv20011

9-4 静止中心O以引力2Fkmr吸引质量是m的质点M，其中k是比例常数，OMr

是点M的矢径。运动开始时0OMb，初速度为0v并与0OM的夹角为，如图所示。求质点M的运动方程。 解：应用直角形式的质点运动微分方程，有

mxkmrkFdtxdm2222coscos

mykmrkFdtydm2222sinsin ~ 上面两式可分别写为

0222xkdtxd，0222ykdtyd 其微分方程的通解可写为 ktBktAxsincos11，ktBktAysincos22

代入初始条件

)b(图 bxt0，cos00vdtdxt，00ty，sin00vdtdyt 可解得 bA1，kvBcos01，02A，kvBsin02

< 质点M的运动方程可写为

ktkvktbxsincoscos0，ktkvysinsin0 9-5 如图所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度0v脱离胶带，设0v与水平线的夹角为。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。 解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有

022dtxdm，mgdtydm22 即 022dtxd，gdtyd22 其微分方程的通解可写为 ( BAtx，DCtgty

2

2

1

代入初始条件 00tx，cos00vdtdxt，00ty，sin00vdtdyt

可解得 cos0vA，0B，sin0vC，0D

物料脱离胶带后的运动方程可写为 cos0tvx，sin2102tvgty

0M r x O

y M 0v

 

F 

0v

x

y O

￥ 图 图 9-6 滑翔机受空气阻力Rkmv作用，其中k为比例系数，m为滑翔机质量，v为滑 翔机的速度。在0t时，有0vv，试求滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离 (假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。 解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离为s。应用质点的运动微分方程，有

kmvdtsdm2

2

上式可写为 kvdtdv 上面微分方程的通解为 ktCev

? 即ktCedtds，解得

DekCskt 代入初始条件 00ts，00vdtdst

可解得 0vC，kvD0 滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离为 )1(0ktekvs

、 9-7一物体质量kgm10，在变力100(1)Ft牛顿作用下运动。设物体初速度

002msv./，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程 解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有

)1(10022tdtsdm

即)1(1022tdtsd，解得 DCttts32355 代入初始条件 00ts，00vdtdst